2020--2021年中考数学一轮突破 基础过关 第28讲定义、命题、定理与证明

第28讲　定义、命题、定理与证明

相关概念

1. 判断一件事情________叫做命题．每个命题都由________和________两部分组成；命题分为________命题和________命题．

2. 判断一个命题是假命题的常用方法是________．

3. 公认的真命题称为________；其他真命题的正确性都要通过________的方法证实，推理的过程称为________，经过证明的真命题称为________．

4. 任何一个命题都有________命题，但一个定理________有逆定理．

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真假命题的判断

(2020·玉林，第6小题，3分)下列命题中，其逆命题是真命题的是(　　)

A．对顶角相等

B．两直线平行，同位角相等

C. 全等三角形的对应角相等

D．正方形的四个角相等

【思路点拨】相等的角不一定是对顶角，例如等腰三角形的两个底角；同位角相等，两直线平行，这是两直线平行的一个判断定理，正确；对应角相等的对角线相似但不一定全等；四个角相等的不一定是正方形，比如长方形.

(2019·桂林，第7小题，3分)下列命题中，是真命题的是(　　)

A．两直线平行，内错角相等

B．两个锐角的和是钝角

C．直角三角形都相似

D．正六边形的内角和为360°

(2019·贵港，第8小题，3分)

下列命题中假命题是(　　)

A．对顶角相等

B．直线y＝x－5不经过第二象限

C．五边形的内角和为540°

D．因式分解x3＋x2＋x＝x(x2＋x)

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定义新运算

(2019·柳州，第12小题，3分)定义：形如a＋bi的数称为复数(其中a和b为实数，i为虚数单位，规定i2＝－1)，a称为复数的实部，b称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如(1＋3i)2＝12＋2×1×3i＋(3i)2＝1＋6i＋9i2＝1＋6i－9＝－8＋6i，因此，(1＋3i)2的实部是－8，虚部是6.已知复数(3－mi)2的虚部是12，则实部是(　　)

A．－6  B．6  C．5  D．－5

【思路点拨】根据题目中给的复数四则运算可将复数(3－mi)2用平方差公式展开，得到复数的实部和虚部，再根据题中给出的“实部是－8，虚部是6”求出m的值，即可求出实部．

(2019·玉林，第10小题，3分)定义新运算：p⊕q＝，例如：3⊕5＝，3⊕＝－，

则y＝2⊕x的图象是(　　)

,A　　　　　B)　,C　　　　　D)

1. 下列命题中，为真命题的是(　　)

A．等角的补角相等  B．同旁内角互补

C．若a2＝b2，则a＝b  D．若a>b，则－2a>－2b

2. 下列命题中假命题是(　　)

A．正六边形的外角和等于360°

B．位似图形必定相似

C．样本方差越大，数据波动越小

D．方程x2＋x＋1＝0无实数根

3. 下列命题中，不正确的是(　　)

A．n边形的内角和等于(n－2)·180°

B．两组对边分别相等的四边形是矩形

C．垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧

D．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半

4. 下列命题中，真命题有(　　)

①邻补角的平分线互相垂直

②对角线互相垂直平分的四边形是正方形

③四边形的外角和等于360°

④矩形的两条对角线相等

A．1个  B．2个  C．3个  D．4个

5. 下列命题中，错误的是(　　)

A．三角形两边之差小于第三边

B．全等三角形的对应角相等

C．三角形的一条中线能将三角形分成面积相等的两部分

D．等边三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形

6. 下列命题中，正确的是(　　)

A．若a·b>0，则a>0，b>0

B．若a·b>0，则a<0，b<0

C．若a·b＝0，则a＝0且b＝0

D．若a·b＝0，则a＝0或b＝0

7. 下列选项中，可以用来证明命题“若a2>1，则a>1”是假命题的反例是(　　)

A．a＝－2  B．a＝－1

C．a＝1  D．a＝2

8. 下列命题中，正确命题的序号是(　　)

①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形

②一组邻边相等的平行四边形是正方形

③对角线相等的四边形是矩形

④对角互补的四边形内接于圆

A．①②  B．②③  C．③④  D．①④

9. 如图，AB是⊙O的直径，AC，BC分别与⊙O相交于点D，E，连接DE，现给出两个命题：

①若AC＝AB，则DE＝CE；

②若∠C＝45°，记△CDE的面积为S1，四边形DABE的面积为S2，则S1＝S2.

那么(　　)

A．①是真命题　②是假命题

B．①是假命题　②是真命题

C．①是假命题　②是假命题

D．①是真命题　②是真命题

10. 已知下列命题：

①若a≤0，则＝－a；②若ma2>na2，则m>n；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④垂直于弦的直径平分弦．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是(　　)

A．1个  B．2个  C．3个  D．4个

11．对任意实数a，b定义运算“∅”：a∅b＝则函数y＝x2∅(2－x)的最小值是(　　)

A．－1  B．0  C．1  D．4

12. 命题“同位角相等”改写成“如果，那么”的形式是__________________________________________．

13. 命题“如果一个数是偶数，那么这个数能被2整除”的逆命题是．

14. 已知三条不同的直线a，b，c在同一平面内，下列四个命题：

①如果a∥b，a⊥c，那么b⊥c；

②如果b∥a，c∥a，那么b∥c；

③如果b⊥a，c⊥a，那么b⊥c；

④如果b⊥a，c⊥a，那么b∥c.

其中真命题是________．(填写所有真命题的序号)

15. 下列命题中，其逆命题成立的是____．(只填写序号)

①同旁内角互补，两直线平行；

②如果两个角是直角，那么它们相等；

③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；

④如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形．

16. 规定新运算※：使a※b＝3a－2b.若x※(4※1)＝7，则x＝________.

17．x，y表示两个数，规定新运算“*”及“△”如下：x*y＝mx＋ny，x△y＝kxy，其中m，n，k均为正整数，已知1*2＝5，(2*3)△4＝64，求(1△2)*3的值．

第28讲　定义、命题、定理与证明

【基础梳理】

1．正确或错误的句子　题设　结论　真　假　2.举反例

3．公理　推理　证明　定理　4.逆　不一定

【重点突破】

[例1]B　[变式1]A　[变式2]D　[例2]C　[变式3]D

【达标检测】

1．A　2.C　3.B　4.C　5.D　6.D　7.A　8.D　9.D

10．B　11.C

12．如果两个角是同位角，那么这两个角相等

13．如果一个数能被2整除，那么这个数是偶数

14．①②④　15.①④　16.9

17．解：∵1*2＝m×1＋n×2＝m＋2n，∴m＋2n＝5.

又∵m，n均为正整数，

∴(舍去) (舍去)

①当m＝1，n＝2时：

(2*3)△4＝(1×2＋2×3)△4＝8△4＝k×8×4＝32k，

有32k＝64，解得k＝2.

②当m＝3，n＝1时：

(2*3)△4＝(3×2＋1×3)△4＝9△4＝k×9×4＝36k，

有36k＝64，解出k＝1，这与k是正整数矛盾，因此m＝3，n＝1，k＝1这组值应舍去．

所以m＝1，n＝2，k＝2.

(1△2)*3＝(2×1×2)*3＝4*3＝1×4＋2×3＝10.