高中数学人教版新课标A选修4-1一 圆周角定理课后练习题

阶段质量检测(一)  A卷

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．如图，已知＝，DE∥BC，则等于(　　)

A.　　　　　　　　   B.  C.   D.

解析：选C　∵DE∥BC，＝，

∴＝.∴＝.

又∵＝，∴＝.

2.如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝3，CD＝2，则AC∶BC的值是(　　)

A．3∶2   B．9∶4

C.∶   D.∶

解析：选A　Rt△ACD∽Rt△CBD，

∴＝＝.

3．在△ABC中，AB＝9，AC＝12，BC＝18，D为AC上一点，DC＝AC，在AB上取一点E，得到△ADE.若图中的两个三角形相似，则DE的长是(　　)

A．6   B．8  C．6或8   D．14

解析：选C　依题意，本题有两种情形：

(1)如图1，过D作DE∥CB交AB于E.

则＝.

又∵DC＝AC，

∴＝.

∴DE＝BC＝6.

(2)如图2，作∠ADE＝∠B，交AB于E，

则△ADE ∽△ABC.

∴＝.

又∵AD＝AC＝4，

∴DE＝＝＝8.

∴DE的长为6或8.

4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜边BC上的高，DE是△ACD的高，且AC＝5，CD＝2，则DE的值为(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选A　AC2＝CD·BC，

即52＝2×BC，

∴BC＝.

∴AB＝＝ ＝.

∵＝，∴DE＝.

5．如图，在Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，若BD＝3 cm，AC＝2 cm，则CD和BC的长分别为(　　)

A. cm和3 cm   B．1 cm和  cm

C．1 cm和3 cm   D. cm和2 cm

解析：选D　设AD＝x，

则由射影定理得x(x＋3)＝4，

即x＝1(负值舍去)，

则CD＝＝(cm)，

BC＝＝＝2(cm)．

6.如图，DE∥BC，S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶8，则AD∶DB的值为(　　)

A．1∶4   B．1∶3

C．1∶2   D．1∶5

解析：选C　由S△ADE∶S四边形DBCE＝1∶8，

得S△ADE∶S△ABC＝1∶9.

∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC.

∴2＝＝.

∴＝，＝.

7．△ABC和△DEF满足下列条件，其中不一定使△ABC与△DEF相似的是(　　)

A．∠A＝∠D＝45°38′，∠C＝26°22′，∠E＝108°

B．AB＝1，AC＝1.5，BC＝2，DE＝12，EF＝8，DF＝16

C．BC＝a，AC＝b，AB＝c，DE＝，EF＝，DF＝

D．AB＝AC，DE＝DF，∠A＝∠D＝40°

解析：选C　A项中∠A＝∠D，∠B＝∠E＝108°，

∴△ABC∽△DEF；

B项中AB∶AC∶BC＝EF∶DE∶DF＝2∶3∶4；

∴△ABC∽△EFD；

D项中＝，∠A＝∠D，

∴△ABC∽△DEF；

而C项中不能保证三边对应成比例．

8．在Rt△ACB中，∠C＝90°，CD⊥AB于D.若BD∶AD＝1∶4，则tan∠BCD的值是(　　)

A.   B.  C.   D．2

解析：选C　由射影定理得CD2＝AD·BD，

又BD∶AD＝1∶4.

令BD＝x，则AD＝4x(x>0)，

∴CD2＝4x2，

∴CD＝2x，tan∠BCD＝＝＝.

9.如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，DE∶CE＝2∶3，连接AE，BE，BD且AE，BD交于点F，则S△DEF∶S△EBF∶S△ABF等于(　　)

A．4∶10∶25   B．4∶9∶25

C．2∶3∶5   D．2∶5∶25

解析：选A　∵AB∥CD，∴△ABF∽△EDF.

∴＝＝.

∴＝2＝.

又△DEF和△BEF等高．

∴＝＝＝.

∴S△DEF∶S△EBF∶S△ABF＝4∶10∶25.

10．如图，已知a∥b，＝，＝3，则AE∶EC等于(　　)

A.   B.

C.   D.

解析：选A　∵a∥b，∴＝，＝.

∵＝3，∴BC＝3CD，∴BD＝4CD.

又＝，

∴＝＝.∴＝.∴＝.

∴＝＝.

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填写在题中的横线上)

11．如图，设l1∥l2∥l3，AB∶BC＝3∶2，DF＝20，则DE＝________.

解析：EF∶DE＝AB∶BC＝3∶2，

∴＝，又DF＝20，∴DE＝8.

答案：8

12．如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延长线交于点P，已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，则PE＝________.

解析：∵PE∥BC，∠C＝∠A，

∴∠PED＝∠C＝∠A.

∴△PDE∽△PEA.

∴＝，

即PE2＝PD·PA.

又PD＝2，DA＝1，

∴PA＝3.

∴PE2＝2×3＝6，故PE＝.

答案：

13.如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝3，BE⊥AC，垂足为E，则ED＝________.

解析：在Rt△ABC中，BC＝3，AB＝，

所以∠BAC＝60°.

因为BE⊥AC，AB＝，所以AE＝.

在△EAD中，∠EAD＝30°，AD＝3，

由余弦定理知，

ED2＝AE2＋AD2－2AE·AD·cos∠EAD

＝＋9－2××3×＝，

故ED＝.

答案：

14．如图，▱ABCD中，N是AB延长线上一点，－的值为________．

解析：∵AD∥BM，∴＝.

又∵DC∥AN，

∴＝.

∴＝，

即＝.

∴－＝－＝＝1.

答案：1

三、解答题(本大题共4小题，共50分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)

15．(本小题满分12分)如图，△ABC中，BC的中点为D，∠ADB和∠ADC的平分线分别交AB，AC于点M，N.

求证：MN∥BC.

证明：∵MD平分∠ADB，

∴＝.

∵ND平分∠ADC，∴＝.

∵BD＝DC，∴＝＝＝.

∴MN∥BC.

16．(本小题满分12分)如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F.

求证：BP2＝PE·PF.

证明：连接PC，

∵AB＝AC，AD是中线，

∴AD是△ABC的对称轴，

故PC＝PB.

∠PCE＝∠ABP.

∵CF∥AB，

∴∠PFC＝∠ABP，

故∠PCE＝∠PFC.

∵∠CPE＝∠FPC，

∴△EPC∽△CPF，

故＝，

即PC2＝PE·PF，

∴BP2＝PE·PF.

17．(本小题满分12分)如图，四边形ABCD是平行四边形，P是BD上任意一点，过P点的直线分别交AB，DC于E，F，交DA，BC的延长线于G，H.

(1)求证：PE·PG＝PF·PH；

(2)当过P点的直线绕点P旋转到F，H，C重合时，请判断PE，PC，PG的关系，并给出证明．

解：(1)证明：∵AB∥CD，∴＝.

∵AD∥BC，∴＝.

∴＝.∴PE·PG＝PF·PH.

(2)关系式为PC2＝PE·PG.

证明：由题意可得到右图，

∵AB∥CD，

∴＝.

∵AD∥BC，

∴＝.

∴＝，即PC2＝PE·PG.

18．(本小题满分14分)如图(1)，已知矩形ABCD中，AB＝1，点M在对角线AC上，AM＝AC，直线l过点M且与AC垂直，与边AD相交于点E.

(1)如果AD＝，求证点B在直线l上；

(2)如图(2)，如果直线l与边BC相交于点H，直线l把矩形分成的两部分的面积之比为2∶7，求AD的长；

(3)如果直线l分别与边AD，AB相交于E，G，当直线l把矩形分成的两部分的面积之比为1∶6时，求AE的长．

解：(1)证明：连接BD，交AC于O点，

∵四边形ABCD为矩形，∴OA＝AC.

∵AM＝AC，∴AM＝OM.

在Rt△ABD中，AB＝1，AD＝，

∴BD＝＝2.

∴BO＝OA＝AB＝1.

∴△AOB是等边三角形．又AM＝OM，

∴BM⊥AO.∴点B在直线l上．

(2)设AD＝a，则AC＝.

∵∠EAM＝∠CAD，∠AME＝∠D＝90°，

∴△AEM∽△ACD.∴＝.

又AM＝AC＝ ，

∴AE＝＝.

由AE∥HC，得△AEM∽△CHM，

∴＝＝.∴HC＝3AE.

又BH＝BC－HC＝a－＝，

而S梯形ABHE＝(AE＋BH)·AB

＝·1＝.

∵S梯形ABHE∶S梯形EHCD＝2∶7，

∴S梯形ABHE＝S矩形ABCD＝a.

∴＝a.

解得a＝3，即AD＝3.

(3)如图，由题意知直线l分别交AD，AC，AB于E，M，G三点，

则有△AEG∽△DCA，

∴＝.

∵DC＝1，

∴AE＝.

∵S△AEG＝AE·AG，＝，

∴＝.

∴＝，

即＝.

∴AE2＝，AE＝.