人教A版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念教学设计

课程目标

学科素养

A.通过实例了解集合的含义,体会元素与集合的“属于”关系,能选择集合不同的语言形式描述具体的问题.

B.了解集合元素的确定性、互异性、无序性,掌握常用数集及其专用符号,并能够用其解决有关问题.

C.会用集合语言表示有关数学对象：描述法，列举法。

1.数学抽象：集合的含义；

2.逻辑推理：选择集合不同的语言形式描述具体的问题；

3.数学运算：由集合与元素之间的关系求值；

4.直观想象：在理解集合含义及特性过程中，运用元素分析法分析集合问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、情景引入，温故知新

情景1：集合论诞生于19世纪末，其创始人是康托尔（1829-1920，德国数学家）。集合论被誉为20世纪最伟大的数学创造，它的出现大大扩充了数学的研究领域，可以说，集合论是整个数学大厦的基础，它不仅影响了现代数学，而且也深深影响了现代哲学和逻辑学。

情景2：高一开学第二天，学校通知：上午8点，

           在学校体育馆举行军训动员大会.

问题：这个通知的对象是全体高一学生还是个别对象？

高一学生全体

初中阶段，我们学习过哪些集合？

代数方面：自然数集合，有理数集合，实数集合，方程解的集合，不等式解的集合；

几何方面：点的集合等．

在初中学习中，我们用集合描述过什么？

圆的概念：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合．

二、探索新知

探究一  集合的含义

1.考察下列问题：                     

（1）1～20以内的所有偶数；                                  

（2）立德中学今年入学的全体高一学生；                                   

（3）所有正方形；                         

（4）到直线l的距离等于定长d的所有的点;

（5）方程的所有实数根；

（6）地球上的四大洋。

思考:

上述每个问题都由若干个对象组成，每组对象的全体都能组成集合吗？我们把研究的对象统称为元素，元素分别是什么？

2、归纳新知

（1）集合的含义

一般地，我们把研究对象统称为元素（element），把一些元素组成的总体叫做集合(set)（简称集）.

（2）集合与元素的表示

通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素.

探究二    集合中元素的性质

1. 所有的“帅哥”能否构成一个集合？由此说明什么？

不能. 其中的元素不确定    集合中的元素是确定的

2. 由1,3,0,5,︱-3 ︳这些数组成的一个集合中有5个元素，这种说法正确吗？

不正确.集合中只有4个不同元素1，3，0，5 .

集合中的元素是互异的

3.高一（5）班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合有没有变化？

       集合没有变化    集合中的元素是没有顺序的

归纳总结：通过以上的学习你能给出集合中元素的特性吗？

确定性、互异性、无序性

4.两个集合中，元素完全一样，则称两集合相等.

练习1：判断以下元素的全体是否组成集合,并说明理由:

 (1) 大于3小于11的偶数;      (2) 我国的小河流.

【解析】（1）是由4,6,8,10四个元素组成的集合.

        （2）由集合元素的确定性知其不能组成集合.

探究三： 元素和集合的关系

1.已知下面的两个实例：

（1）用A表示高一(3)班全体学生组成的集合.

（2）用a表示高一(3)班的一位同学，b表示高一(4)班的一位同学.

思考：那么a，b与集合A分别有什么关系?

【解析】a是集合A中的元素,b不是集合A中的元素.

2.元素与集合的“属于”关系

如果a是集合A中的元素，就说a属于集合A，记作a∈A；如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作aA.

③常用数集及其记法：非负整数（自然数集）N、正整数集N*或N＋、整数集Z、有理数集Q、实数集R.

练习2. 用符号“∈”或“∉”填空.

(1)2        N；(2)_____Q；(3)0       {0}；

(4)b             {a,b,c}.

【答案】(1)  ∈  (2)  ∉ （3）∈ （4）∈

探究四   集合的表示方法

1.列举法

思考1：地球上的四大洋组成的集合如何表示？

【提示】可以这样表示： {太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}.

思考2: 方程（x+1)(x+2)=0的所有根组成的集合，又如何用列举法表示呢？

【提示】  {-1,-2}

问题：通过思考以上问题大家能总结归纳出列举法的概念吗？

把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{   }” 括起来表示集合的方法叫做列举法.

注意：⑴大括号不能缺失，元素中间用逗号隔开；

      ⑵ 元素按一定的顺序列举，如：从小到大等。

思考3：a与{a}有什么区别？

【答案】a 是一个元素，{a}是集合。

例1 用列举法表示下列集合：   

（1）小于10的所有自然数组成的集合.

（2）方程x2=x的所有实数根组成的集合.

解：（1）设小于10的所有自然数组成的集合为A， 那么A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

（2）设方程x2=x的所有实数根组成的集合为B，那么B={1,0}.

注意：①由于元素完全相同的两个集合相等，而与列举的顺序无关，因此集合可以有不同的列举方法.例如，
    例1（1）可以表示为A={9,8,7,6,5,4,3,2,1,0}；

② 用列举法表示集合时，最好按一定的顺序列举元素。

2. 描述法

思考：能否用列举法表示不等式 x－3<7的解集？该集合中的元素有什么性质？

【解析】不能。但是可以看出，这个集合中的元素满足性质：

（1） 集合中的元素都小于10.（2） 集合中的元素都是实数．

这个集合可以通过描述其元素性质的方法来表示，

   写作:

思考：所有奇数的集合怎么表示？偶数的集合怎样表示？ 有理数集怎么表示呢？奇数集、偶数集表示方法是否唯一？

，或 ；

问题：通过思考以上问题大家能总结归纳出描述法的概念吗？

在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及其取值(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.这种用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫做描述法.如：或或。

注意：在不致混淆的情况下,描述法也可以简写成列举法的形式,只是去掉竖线和元素代表符号,例如:所有直角三角形的集合可以表示为{x|x是直角三角形},也可以写成{直角三角形}.

例2 试分别用列举法和描述法表示下列集合.

(1)方程x2-2=0的所有实数根组成的集合.

(2)由大于10小于20的所有整数组成的集合.

解：(1)设方程x2-2=0的实数根为x,并且满足条件x2-2=0，因此，用描述法表示为A={x∈R|x2-2=0}.

方程x2-2=0有两个实数根为，因此，用列举法表示为A={}.

(2)设大于10小于20的整数为x，它满足条件x∈Z,且10<x<20,因此，用描述法表示为

B={x∈Z∣10<x<20}.

大于10小于20的整数有11,12,13,14,15,16,17, 18,19，因此，用列举法表示为

B={11,12,13,14,15,16,17,18,19}.

思考：自然语言、列举法和描述法表示集合时，各自的特点和适用对象？

自然语言描述集合简单易懂、生活化；列举法的特点每个元素一一列举出来，非常直观明显的表示元素，当元素有限或者元素有规律性的时候，是常采用的方法；描述法表示的集合中元素具有明显的共同特征，集合中的元素基本是无限的，这是比较常用的集合表示法.

通过初中所学及实例，让学生感知、了解，进而概括出元素与集合的含义.提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。

用数学语言表示集合和元素。

通过具体的例子推理出元素的性质，教会学生解决和研究问题。

设计意图：集合是一个原始的、不定义的概念，只是对集合进行描述性说明.在开始接触集合的时候，主要通过实例，让学生感知、了解，进而概括出元素与集合的含义.提高学生用数学抽象的思维方式思考并解决问题的能力。元素、集合的字母表示，以及元素与集合的“属于”或“不属于”关系，建议在运用中逐渐熟悉.

通过练习巩固元素的性质，提高学生解决问题的能力。

集合的两种主要表示法，都通过学生对实例或问题的思考，去体验知识方法.不仅要让学生明白用列举法是集合最基本、最原始的表示方法，还要理解到集合中元素的列举与元素的顺序无关.通过问题的思考，学生认识到仅用列举法表示集合是不够的，有些集合是列举不完或者列举不出来的，由此说明学习描述法的必要性.学习描述法时，先用自然语言表示集合元素具有的共同属性，再介绍用描述法的具体方法.

学生通过对实例或问题的思考，去体验知识方法。发现并提出数学问题，应用数学语言予以表达。

三、达标检测

1．下列对象不能构成集合的是(　　)

①我国近代著名的数学家；②所有的欧盟成员国；③空气中密度大的气体．　 　　　　　

A．①②     B．②③    C．①②③     D．①③

【解析】　研究一组对象能否构成集合的问题，首先要考查集合中元素的确定性．①中的“著名”没有明确的界限；②中的研究对象显然符合确定性；③中“密度大”没有明确的界限．故选D.

【答案】　D

2．下列三个关系式：①∈R；②∉Q；③0∈Z.其中正确的个数是(　　)

A．1    B．2    C．3    D．0

【解析】　①正确；②因为∈Q，错误；③0∈Z，正确．

【答案】　B

3.a，b，c，d为集合A的四个元素，那么以a，b，c，d为边长构成的四边形可能是(　　)

A．矩形    B．平行四边形    C．菱形     D．梯形

【解析】　由于集合中的元素具有“互异性”，故a，b，c，d四个元素互不相同，即组成四边形的四条边互不相等.

【答案】　D

4.设集合A＝{x|x2－3x＋a＝0}，若4∈A，则集合A用列举法表示为________.

【解析】　∵4∈A，∴16－12＋a＝0，∴a＝－4，

∴A＝{x|x2－3x－4＝0}＝{－1,4}．

【答案】　{－1,4}

5．用适当的方法表示下列集合：

(1)方程组的解集；

(2)所有的正方形；

(3)抛物线y＝x2上的所有点组成的集合．

【解】　(1)解方程组得

故解集为{(4，－2)}．

(2)集合用描述法表示为{x|x是正方形}，简写为{正方形}．

(3)集合用描述法表示为{(x，y)|y＝x2}．

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。

四、小结

1.集合的概念

2.集合元素的三个特征：

3.常见数集的专用符号

4.集合的表示方法

五、作业

习题1.1    1,2题

通过总结，让学生进一步巩固集合与元素的含义与性质，集合的表示方法，提高语言转换和抽象概括能力,树立用集合语言表示数学内容的意识。