第四章 4.1三角函数概念-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

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判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．( × )
(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．( √ )
(3)不相等的角终边一定不相同．( × )
(4)终边相同的角的同一三角函数值相等．( √ )
(5)若α∈(0，eq \f(π,2))，则tan α>α>sin α.( √ )
(6)若α为第一象限角，则sin α＋cs α>1.( √ )
作业检查
阶段知识点梳理
1．角的概念
(1)任意角：①定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；②分类：角按旋转方向分为正角、负角和零角．
(2)所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的角的集合是S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
(3)象限角：使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角；如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．
2．弧度制
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示，读作弧度．正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
(2)角度制和弧度制的互化：180°＝π rad,1°＝eq \f(π,180) rad，1 rad＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(180,π)))°.
(3)扇形的弧长公式：l＝|α|·r，扇形的面积公式：S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)|α|·r2.
3．任意角的三角函数
任意角α的终边与单位圆交于点P(x，y)时，sin α＝y，cs α＝x，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
三个三角函数的初步性质如下表：
4.三角函数线
如下图，设角α的终边与单位圆交于点P，过P作PM⊥x轴，垂足为M，过A(1,0)作单位圆的切线与α的终边或终边的反向延长线相交于点T.
第2课时
阶段训练
题型一 角及其表示
例1 (1)若α＝k·180°＋45°(k∈Z)，则α在( )
A．第一或第三象限 B．第一或第二象限
C．第二或第四象限 D．第三或第四象限
(2)已知角α的终边在如图所示阴影表示的范围内(不包括边界)，则角α用集合可表示为________________．
答案 (1)A (2)(2kπ＋eq \f(π,4)，2kπ＋eq \f(5,6)π)(k∈Z)
解析 (1)当k＝2n(n∈Z)时，α＝2n·180°＋45°＝n·360°＋45°，α为第一象限角；
当k＝2n＋1 (n∈Z)时，α＝(2n＋1)·180°＋45°＝n·360°＋225°，α为第三象限角．
所以α为第一或第三象限角．故选A.
(2)在[0,2π)内，终边落在阴影部分角的集合为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(5,6)π))，
∴所求角的集合为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ＋\f(π,4)，2kπ＋\f(5,6)π)) (k∈Z)．
思维升华 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k赋值来求得所需的角．
(2)利用终边相同的角的集合S＝{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}判断一个角β所在的象限时，只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和，然后判断角α的象限．
(1)终边在直线y＝eq \r(3)x上的角的集合是__________________．
(2)(2016·台州模拟)若角θ的终边与eq \f(6π,7)角的终边相同，则在[0,2π]内终边与eq \f(θ,3)角的终边相同的角的个数为________．
答案 (1){α|α＝eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z} (2)3
解析 (1)在(0，π)内终边在直线y＝eq \r(3)x上的角为eq \f(π,3)，
∴终边在直线y＝eq \r(3)x上的角的集合为
{α|α＝eq \f(π,3)＋kπ，k∈Z}．
(2)∵θ＝eq \f(6π,7)＋2kπ(k∈Z)，
∴eq \f(θ,3)＝eq \f(2π,7)＋eq \f(2kπ,3)(k∈Z)，
依题意0≤eq \f(2π,7)＋eq \f(2kπ,3)≤2π，k∈Z，∴－eq \f(3,7)≤k≤eq \f(18,7)，
∴k＝0,1,2，即在[0,2π]内与eq \f(θ,3)角的终边相同的角为eq \f(2π,7)，eq \f(20π,21)，eq \f(34π,21)共三个．
题型二 弧度制
例2 (1)(2016·舟山模拟)若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________．
答案 eq \r(2)
解析 设圆半径为r，则圆内接正方形的对角线长为2r，∴正方形边长为eq \r(2)r，∴圆心角的弧度数是eq \f(\r(2)r,r)＝eq \r(2).
(2)已知扇形的圆心角是α，半径是r，弧长为l.
①若α＝100°，r＝2，求扇形的面积；
②若扇形的周长为20，求扇形面积的最大值，并求此时扇形圆心角的弧度数．
解 ①S＝eq \f(1,2)lr＝eq \f(1,2)αr2＝eq \f(1,2)×eq \f(5,9)π×4＝eq \f(10,9)π.
②由题意知l＋2r＝20，即l＝20－2r，
S＝eq \f(1,2)l·r＝eq \f(1,2)(20－2r)·r＝－(r－5)2＋25，
当r＝5时，S的最大值为25.
当r＝5时，l＝20－2×5＝10，α＝eq \f(l,r)＝2(rad)．
即扇形面积的最大值为25，此时扇形圆心角的弧度数为2 rad.
思维升华 应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决．
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
(1)将表的分针拨快10分钟，则分针旋转过程中形成的角的弧度数是 ( )
A.eq \f(π,3) B.eq \f(π,6)
C．－eq \f(π,3) D．－eq \f(π,6)
(2)圆弧长度等于圆内接正三角形的边长，则其圆心角的弧度数为( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,3)
C．3 D.eq \r(3)
答案 (1)C (2)D
解析 (1)将表的分针拨快应按顺时针方向旋转，为负角，故A、B不正确；又因为拨快10分钟，故应转过的角为圆周的eq \f(1,6).
即为－eq \f(1,6)×2π＝－eq \f(π,3).
(2)如图，等边三角形ABC是半径为r的圆O的内接三角形，则线段AB所对的圆心角∠AOB＝eq \f(2π,3)，
作OM⊥AB，垂足为M，
在Rt△AOM中，AO＝r，∠AOM＝eq \f(π,3)，
∴AM＝eq \f(\r(3),2)r，AB＝eq \r(3)r，
∴l＝eq \r(3)r，
由弧长公式得α＝eq \f(l,r)＝eq \f(\r(3)r,r)＝eq \r(3).
题型三 三角函数的概念
命题点1 三角函数定义的应用
例3 (1)(2016·杭州模拟)若角θ的终边经过点P(－eq \r(3)，m)(m≠0)且sin θ＝eq \f(\r(2),4)m，则cs θ的值为________．
(2)点P从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动eq \f(2π,3)弧长到达Q点，则Q点的坐标为 ( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，－\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，－\f(\r(3),2))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2)))
答案 (1)－eq \f(\r(6),4) (2)A
解析 (1)由题意知r＝eq \r(3＋m2)，
∴sin θ＝eq \f(m,\r(3＋m2))＝eq \f(\r(2),4)m，
∵m≠0，∴m＝±eq \r(5)，∴r＝eq \r(3＋m2)＝2eq \r(2)，
∴cs θ＝eq \f(－\r(3),2\r(2))＝－eq \f(\r(6),4).
(2)由三角函数定义可知Q点的坐标(x，y)满足
x＝cs eq \f(2π,3)＝－eq \f(1,2)，y＝sineq \f(2π,3)＝eq \f(\r(3),2).
∴Q点的坐标为(－eq \f(1,2)，eq \f(\r(3),2))．
命题点2 三角函数线
例4 函数y＝lg(2sin x－1)＋eq \r(1－2cs x)的定义域为__________________．
答案 [2kπ＋eq \f(π,3)，2kπ＋eq \f(5π,6))(k∈Z)
解析 要使原函数有意义，必须有
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2sin x－1>0，,1－2cs x≥0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x>\f(1,2)，,cs x≤\f(1,2)，))如图，在单位圆中作出相应的三角函数线，由图可知，原函数的定义域为[2kπ＋eq \f(π,3)，2kπ＋eq \f(5π,6)) (k∈Z)．
思维升华 (1)利用三角函数的定义，已知角α终边上一点P的坐标可求α的三角函数值；已知角α的三角函数值，也可以求出点P的坐标．
(2)利用三角函数线解不等式要注意边界角的取舍，结合三角函数的周期性写出角的范围．
(1)已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cs α≤0，sin α>0.则实数a的取值范围是( )
A．(－2,3] B．(－2,3)
C．[－2,3) D．[－2,3]
(2)满足cs α≤－eq \f(1,2)的角α的集合为________．
答案 (1)A (2){α|2kπ＋eq \f(2,3)π≤α≤2kπ＋eq \f(4,3)π，k∈Z}
解析 (1)∵cs α≤0，sin α>0，
∴角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上．
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3a－9≤0，,a＋2>0，)) ∴－2(2)作直线x＝－eq \f(1,2)交单位圆于C、D两点，连接OC、OD，则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为{α|2kπ＋eq \f(2,3)π≤α≤2kπ＋eq \f(4,3)π，k∈Z}．
6．数形结合思想在三角函数中的应用
典例 (1)如图，在平面直角坐标系xOy中，一单位圆的圆心的初始位置在(0,1)，此时圆上一点P的位置在(0,0)，圆在x轴上沿正向滚动．当圆滚动到圆心位于C(2,1)时，eq \(OP,\s\up6(→))的坐标为________．
(2)(2016·合肥调研)函数y＝lg(3－4sin2x)的定义域为________．
思想方法指导 在坐标系中研究角就是一种数形结合思想，利用三角函数线可直观得到有关三角函数的不等式的解集．
解析 (1)如图所示，过圆心C作x轴的垂线，垂足为A，过P作x轴的垂线与过C作y轴的垂线交于点B.因为圆心移动的距离为2，所以劣弧＝2，即圆心角∠PCA＝2，
则∠PCB＝2－eq \f(π,2)，所以PB＝sin(2－eq \f(π,2))＝－cs 2，
CB＝cs(2－eq \f(π,2))＝sin 2，
所以xP＝2－CB＝2－sin 2，yP＝1＋PB＝1－cs 2，
所以eq \(OP,\s\up6(→))＝(2－sin 2,1－cs 2)．
(2)∵3－4sin2x＞0，
∴sin2x＜eq \f(3,4)，
∴－eq \f(\r(3),2)＜sin x＜eq \f(\r(3),2).
利用三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影部分所示)，
∴x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)．
答案 (1)(2－sin 2,1－cs 2)
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)
第3课时
阶段重难点梳理
1．三角函数值的符号规律
三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．
2．任意角的三角函数的定义(推广)
设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝eq \f(y,r)，cs α＝eq \f(x,r)，tan α＝eq \f(y,x)(x≠0)．
重点题型训练
1．设集合M＝{x|x＝eq \f(k,2)·180°＋45°，k∈Z}，N＝{x|x＝eq \f(k,4)·180°＋45°，k∈Z}，那么( )
A．M＝N B．M⊆N
C．N⊆M D．M∩N＝∅
答案 B
解析 方法一 由于M＝{x|x＝eq \f(k,2)·180°＋45°，k∈Z}＝{…，－45°，45°，135°，225°，…}，
N＝{x|x＝eq \f(k,4)·180°＋45°，k∈Z}＝{…，－45°，0°，45°，90°，135°，180°，225°，…}，显然有M⊆N，故选B.
方法二 由于M中，x＝eq \f(k,2)·180°＋45°＝k·90°＋45°＝(2k＋1)·45°，2k＋1是奇数；
而N中，x＝eq \f(k,4)·180°＋45°＝k·45°＋45°＝(k＋1)·45°，k＋1是整数，因此必有M⊆N，故选B.
2．若α是第三象限角，则下列各式中不成立的是( )
A．sin α＋cs α＜0 B．tan α－sin α＜0
C．cs α－tan α＜0 D．tan αsin α＜0
答案 B
解析 α是第三象限角，sin α＜0，cs α＜0，tan α＞0，则可排除A、C、D，故选B.
3．(2016·杭州一模)已知α是第二象限的角，其终边上的一点为P(x，eq \r(5))，且cs α＝eq \f(\r(2),4)x，则tan α等于( )
A.eq \f(\r(15),5) B.eq \f(\r(15),3)
C．－eq \f(\r(15),5) D．－eq \f(\r(15),3)
答案 D
解析 ∵P(x，eq \r(5))，∴y＝eq \r(5).
又cs α＝eq \f(\r(2),4)x＝eq \f(x,r)，∴r＝2eq \r(2)，
∴x2＋(eq \r(5))2＝(2eq \r(2))2，解得x＝±eq \r(3).
由α是第二象限的角，得x＝－eq \r(3)，
∴tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(\r(5),－\r(3))＝－eq \f(\r(15),3).
4．(2016·杭州第二中学模拟)若390°角的终边上有一点P(a，3)，则a的值是( )
A.eq \r(3) B．3eq \r(3)
C．－eq \r(3) D．－3eq \r(3)
答案 B
解析 ∵tan 390°＝eq \f(3,a)，又tan 390°＝tan(360°＋30°)
＝tan 30°＝eq \f(\r(3),3)，
∴eq \f(3,a)＝eq \f(\r(3),3)，∴a＝3eq \r(3).
5．已知点P(sin α－cs α，2)在第二象限，则α的一个变化区间是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4)，\f(π,4))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))
答案 C
解析 ∵P(sin α－cs α，2)在第二象限，∴sin α∴α的一个变化区间是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3π,4)，\f(π,4))).
6．已知角α＝2kπ－eq \f(π,5)(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝eq \f(sin θ,|sin θ|)＋eq \f(cs θ,|cs θ|)＋eq \f(tan θ,|tan θ|)的值为( )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
答案 B
解析 由α＝2kπ－eq \f(π,5)(k∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cs θ>0，tan θ<0.所以y＝－1＋1－1＝－1.
7．在直角坐标系中，O是原点，A(eq \r(3)，1)，将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为__________．
答案 (－1，eq \r(3))
解析 依题意知OA＝OB＝2，∠AOx＝30°，∠BOx＝120°，设点B坐标为(x，y)，所以x＝2cs 120°＝－1，y＝2sin 120°＝eq \r(3)，即B(－1，eq \r(3))．
8．已知扇形的圆心角为eq \f(π,6)，面积为eq \f(π,3)，则扇形的弧长等于________．
答案 eq \f(π,3)
解析 设扇形半径为r，弧长为l，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(l,r)＝\f(π,6)，,\f(1,2)lr＝\f(π,3)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(l＝\f(π,3)，,r＝2.))
9．设θ是第三象限角，且eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(θ,2)))＝－cs eq \f(θ,2)，则eq \f(θ,2)是第________象限角．
答案 二
解析 由θ是第三象限角，知eq \f(θ,2)为第二或第四象限角，
∵eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(cs \f(θ,2)))＝－cs eq \f(θ,2)，
∴cs eq \f(θ,2)≤0，
综上知eq \f(θ,2)为第二象限角．
10．在(0,2π)内，使sin x>cs x成立的x的取值范围为________．
答案 (eq \f(π,4)，eq \f(5π,4))
解析 如图所示，找出在(0,2π)内，使sin x＝cs x的x值，sin eq \f(π,4)＝cs eq \f(π,4)＝eq \f(\r(2),2)，sin eq \f(5π,4)＝cs eq \f(5π,4)＝－eq \f(\r(2),2).根据三角函数线的变化规律标出满足题中条件的角x∈(eq \f(π,4)，eq \f(5π,4))．
11．一个扇形OAB的面积是1 cm2，它的周长是4 cm，求圆心角的弧度数和弦长AB.
解 设扇形的半径为r cm，弧长为l cm，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(1,2)lr＝1，,l＋2r＝4，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(r＝1，,l＝2.))
∴圆心角α＝eq \f(l,r)＝2(rad)．
如图，过O作OH⊥AB于H，则∠AOH＝1 rad.
∴AH＝1·sin 1＝sin 1(cm)，
∴AB＝2sin 1(cm)．
∴圆心角的弧度数为2 rad，弦长AB为2sin 1 cm.
12．已知角α终边上一点P，P到x轴的距离与到y轴的距离之比为3∶4，且sin α<0，求cs α＋2tan α的值．
解 设P(x，y)，则根据题意，可得eq \f(|y|,|x|)＝eq \f(3,4).
又∵sin α<0，
∴α的终边只可能在第三、第四象限．
①若点P位于第三象限，可设P(－4k，－3k)(k>0)，
则r＝eq \r(x2＋y2)＝5k，
从而cs α＝eq \f(x,r)＝－eq \f(4,5)，tan α＝eq \f(y,x)＝eq \f(3,4)，
∴cs α＋2tan α＝eq \f(7,10).
②若点P位于第四象限，可设P(4k，－3k)(k>0)，
则r＝eq \r(x2＋y2)＝5k，
从而cs α＝eq \f(x,r)＝eq \f(4,5)，tan α＝eq \f(y,x)＝－eq \f(3,4)，
∴cs α＋2tan α＝－eq \f(7,10).
综上所述，若点P位于第三象限，则cs α＋2tan α＝eq \f(7,10)；
若点P位于第四象限，则cs α＋2tan α＝－eq \f(7,10).
13.已知sin α<0，tan α>0.
(1)求角α的集合；
(2)求eq \f(α,2)终边所在的象限；
(3)试判断tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)的符号．
解 (1)由sin α<0，知α在第三、四象限或y轴的负半轴上；
由tan α>0，知α在第一、三象限，故角α在第三象限，
其集合为{α|2kπ＋π<α<2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z}．
(2)由2kπ＋π<α<2kπ＋eq \f(3π,2)，k∈Z，
得kπ＋eq \f(π,2)故eq \f(α,2)终边在第二、四象限．
(3)当eq \f(α,2)在第二象限时，tan eq \f(α,2)<0，
sin eq \f(α,2)>0，cs eq \f(α,2)<0，
所以tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)取正号；
当eq \f(α,2)在第四象限时，tan eq \f(α,2)<0，
sin eq \f(α,2)<0，cs eq \f(α,2)>0，
所以tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)也取正号．
因此，tan eq \f(α,2)sin eq \f(α,2)cs eq \f(α,2)取正号．
思导总结
作业布置
1．角－870°的终边所在的象限是( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
答案 C
解析 由－870°＝－1 080°＋210°，知－870°角和210°角终边相同，在第三象限．
2．(教材改编)已知角α的终边与单位圆的交点为M(eq \f(1,2)，y)，则sin α等于( )
A.eq \f(\r(3),2) B．±eq \f(\r(3),2)
C.eq \f(\r(2),2) D．±eq \f(\r(2),2)
答案 B
解析 由题意知|r|2＝(eq \f(1,2))2＋y2＝1，
所以y＝±eq \f(\r(3),2).
由三角函数定义知sin α＝y＝±eq \f(\r(3),2).
3．(2016·宁波二模)集合{α|kπ＋eq \f(π,4)≤α≤kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z}中的角所表示的范围(阴影部分)是( )
答案 C
解析 当k＝2n(n∈Z)时，2nπ＋eq \f(π,4)≤α≤2nπ＋eq \f(π,2)，此时α表示的范围与eq \f(π,4)≤α≤eq \f(π,2)表示的范围一样；当k＝2n＋1 (n∈Z)时，2nπ＋π＋eq \f(π,4)≤α≤2nπ＋π＋eq \f(π,2)，此时α表示的范围与π＋eq \f(π,4)≤α≤π＋eq \f(π,2)表示的范围一样，故选C.
4．函数y＝eq \r(2cs x－1)的定义域为________．
答案 eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)
解析 ∵2cs x－1≥0，
∴cs x≥eq \f(1,2).
由三角函数线画出x满足条件的终边范围(如图阴影所示)．
∴x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,3)，2kπ＋\f(π,3)))(k∈Z)．
三角函数
定义域
第一象
限符号
第二象
限符号
第三象
限符号
第四象
限符号
sin α
R
＋
＋
－
－
cs α
R
＋
－
－
＋
tan α
{α|α≠kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z}
＋
－
＋
－
三角函
数线
有向线段MP为正弦线；有向线段OM为余弦线；有向线段AT为正切线.