第四章 4.3三角函数图像及性质-2021届高三数学一轮基础复习讲义（学生版+教师版）【机构专用】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数．(　　)

(2)常数函数f(x)＝a是周期函数，它没有最小正周期．(　　)

(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．(　　)

(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.(　　)

(5)y＝sin |x|是偶函数．(　　)

(6)若sin x>，则x>.(　　)

1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图

正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,0)，(，1)，(π，0)，(，－1)，(2π，0)．

余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(，0)，(π，－1)，(，0)，(2π，1)．

2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质

题型一　三角函数的定义域和值域

例1　(1)函数f(x)＝－2tan(2x＋)的定义域是____________．

(2)已知函数f(x)＝sin(x＋)，其中x∈[－，a]，若f(x)的值域是[－，1]，则实数a的取值范围是________．

　(1)函数y＝lg sin x＋ 的定义域为　.

(2)函数y＝2sin(－) (0≤x≤9)的最大值与最小值的和为__________．

题型二　三角函数的单调性

例2　(1)函数f(x)＝tan的单调递增区间是(　　)

A.(k∈Z)

B.(k∈Z)

C.(k∈Z)

D.(k∈Z)

(2)已知ω＞0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是________．

引申探究

本例(2)中，若已知ω>0，函数f(x)＝cos(ωx＋)在(，π)上单调递增，则ω的取值范围是____________．

　(1)函数f(x)＝sin的单调减区间为________．

(2)若函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)在区间[0，]上单调递增，在区间[，]上单调递减，则ω等于(　　)

A.   B.

C．2   D．3

题型三　三角函数的周期性、对称性

命题点1　周期性

例3　(1)在函数①y＝cos|2x|，②y＝|cos x|，③y＝cos，④y＝tan中，最小正周期为π的所有函数为(　　)

A．①②③   B．①③④

C．②④   D．①③

(2)若函数f(x)＝2tan(kx＋)的最小正周期T满足1<T<2，则自然数k的值为________．

命题点2　对称性

例4　当x＝时，函数f(x)＝sin(x＋φ)取得最小值，则函数y＝f(－x)(　　)

A．是奇函数且图象关于点(，0)对称

B．是偶函数且图象关于点(π，0)对称

C．是奇函数且图象关于直线x＝对称

D．是偶函数且图象关于直线x＝π对称

命题点3　对称性的应用

例5　(1)已知函数y＝2sin的图象关于点P(x0,0)对称，若x0∈，则x0＝________.

(2)若函数y＝cos(ωx＋) (ω∈N*)图象的一个对称中心是(，0)，则ω的最小值为(　　)

A．1   B．2

C．4   D．8

　(1)已知函数f(x)＝2sin(x＋)，若对任意的实数x，总有f(x1)≤f(x)≤f(x2)，则|x1－x2|的最小值是(　　)

A．2   B．4

C．π   D．2π

(2)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点(，0)中心对称，那么|φ|的最小值为(　　)

A.   B.

C.   D.

4．三角函数的性质

考点分析　纵观近年高考中三角函数的试题，其有关性质几乎每年必考，题目较为简单，综合性的知识多数为三角函数本章内的知识，通过有效地复习完全可以对此类题型及解法有效攻破，并在高考中拿全分．

典例　(1)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为(　　)

A.，k∈Z

B.，k∈Z

C.，k∈Z

D.，k∈Z

(2)已知函数f(x)＝2cos(ωx＋φ)＋b对任意实数x都有f(x＋)＝f(－x)成立，且f()＝1，则实数b的值为(　　)

A．－1   B．3

C．－1或3   D．－3

(3)已知函数f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在区间上的最小值是－2，则ω的最小值等于________．

1．对称与周期

(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期．

(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期．

2．奇偶性

若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则

(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；

(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．

1．已知函数f(x)＝sin(ωx＋) (ω>0)的最小正周期为π，则f()等于(　　)

A．1   B.

C．－1   D．－

2．若函数f(x)＝－cos 2x，则f(x)的一个递增区间为(　　)

A．(－，0)   B．(0，)

C．(，)   D．(，π)

3．关于函数y＝tan(2x－)，下列说法正确的是(　　)

A．是奇函数

B．在区间(0，)上单调递减

C．(，0)为其图象的一个对称中心

D．最小正周期为π

4．已知函数f(x)＝2sin(ωx－)＋1(x∈R)的图象的一条对称轴为x＝π，其中ω为常数，且ω∈(1,2)，则函数f(x)的最小正周期为(　　)

A.  B.

C.  D.

5．已知函数f(x)＝－2sin(2x＋φ)(|φ|<π)，若f()＝－2，则f(x)的一个单调递减区间是(　　)

A．[－，]   B．[，]

C．[－，]   D．[，]

6．若函数f(x)＝sin(ωx＋φ) (ω>0且|φ|<)在区间[，]上是单调减函数，且函数值从1减少到－1，则f()等于(　　)

A.   B.

C.   D．1

7．函数f(x)＝4sin xcos x＋2cos2x－1的最小正周期为________，最大值为________．

8．函数y＝cos2x＋sin x(|x|≤)的最小值为_______________________________________．

9．若f(x)＝2sin ωx＋1 (ω>0)在区间[－，]上是增函数，则ω的取值范围是__________．

10．设函数f(x)＝2sin(ωx＋)(ω>0，x∈R)，最小正周期T＝π，则实数ω＝________，函数f(x)的图象的对称中心为______________，单调递增区间是___________．

11．已知函数f(x)＝sin x－2sin2.

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)在区间上的最小值．

12．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(0<φ<)的最小正周期为π.

(1)求当f(x)为偶函数时φ的值；

(2)若f(x)的图象过点(，)，求f(x)的单调递增区间．

1．函数f(x)＝3sin(2x－)在区间[0，]上的值域为(　　)

A．[－，]   B．[－，3]

C．[－，]   D．[－，3]

2．函数y＝tan 2x的定义域是(　　)

A.   B.

C.   D.

3．(2016·绍兴期末)函数f(x)＝2cos(4x＋)－1的最小正周期为________，f()＝________.

4．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，对于任意x都有f＝f，则f的值为________．