北师大版高考数学一轮复习第十一章 §11.1　算法与算法框图

这是一份北师大版高考数学一轮复习第十一章 §11.1　算法与算法框图，共21页。试卷主要包含了了解算法的含义，了解算法的思想，故选B等内容，欢迎下载使用。


1．算法的含义
算法是解决某类问题的一系列步骤或程序，只要按照这些步骤执行，都能使问题得到解决．
2．算法框图
在算法设计中，算法框图(也叫程序框图)可以准确、清晰、直观地表达解决问题的思路和步骤，算法框图的三种基本结构：顺序结构、选择结构、循环结构．
3．三种基本逻辑结构
(1)顺序结构：按照步骤依次执行的一个算法，称为具有“顺序结构”的算法，或者称为算法的顺序结构．
其结构形式为
(2)选择结构：需要进行判断，判断的结果决定后面的步骤，像这样的结构通常称作选择结构．
其结构形式为
(3)循环结构：指从某处开始，按照一定条件反复执行某些步骤的情况．反复执行的处理步骤称为循环体．
其基本模式为
微思考
1．三种基本结构的共同点是什么？
提示 三种基本结构的共同点即只有一个入口和一个出口，每一个基本结构的每一部分都有机会被执行到，而且结构内不存在死循环．
2．选择结构能否同时执行“是”分支和“否”分支？
提示 不能．选择结构无论判断条件是否成立，只能执行“是”分支或“否”分支二者之一，不能同时执行，也不能都不执行．
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)算法只能解决一个问题，不能重复使用．( × )
(2)算法框图中的图形符号可以由个人来确定．( × )
(3)输入框只能紧接开始框，输出框只能紧接结束框．( × )
(4)选择结构中判断框的出口有两个，但在执行时，每次只有一个出口是有效的．( √ )
题组二 教材改编
2．执行如图所示的算法框图，则输出S的值为( )
A．－eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(3),2) C．－eq \f(1,2) D.eq \f(1,2)
答案 D
解析 按照算法框图依次循环运算，当k＝5时，停止循环，S＝sin eq \f(5π,6)＝eq \f(1,2).
3．执行如图所示的算法框图，若输出的S为4，则输入的x应为( )
A．－2 B．16 C．－2或8 D．－2或16
答案 D
解析 由算法框图知，算法的功能是求S＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x，x≤1，,lg2x，x>1))
的值．
当x≤1时，S＝4⇒2－x＝4⇒x＝－2，
当x>1时，S＝4⇒lg2x＝4⇒x＝16.
4．如图为计算y＝|x|的函数值的算法框图，则此算法框图中的判断框内应填__________．
答案 x<0
解析 输入x应判断x与0的大小关系，由题图知判断框内应填x<0.
题组三 易错自纠
5．执行如图所示的算法框图，若输出k的值为8，则判断框内可填入的条件是( )
A．s≤eq \f(3,4) B．s≤eq \f(5,6)
C．s≤eq \f(11,12) D．s≤eq \f(25,24)
答案 C
解析 由s＝0，k＝0满足条件，则k＝2，s＝eq \f(1,2)，满足条件；k＝4，s＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＝eq \f(3,4)，满足条件；k＝6，s＝eq \f(3,4)＋eq \f(1,6)＝eq \f(11,12)，满足条件；k＝8，s＝eq \f(11,12)＋eq \f(1,8)＝eq \f(25,24)，不满足条件，输出k＝8，所以判断框内可填“s≤eq \f(11,12)”．
6．执行如图所示的算法框图，若输入的a，b的值分别为0和9，则输出的i的值为________．
答案 3
解析 第1次循环：i＝1，a＝1，b＝8，a第2次循环：i＝2，a＝3，b＝6，a第3次循环：i＝3，a＝6，b＝3，a>b，输出i的值为3.
题型一 算法框图
命题点1 由算法框图求输出结果
例1 (1)(2019·全国Ⅲ)执行如图所示的算法框图，如果输入的ε为0.01，则输出s的值等于( )
A．2－eq \f(1,24) B．2－eq \f(1,25)
C．2－eq \f(1,26) D．2－eq \f(1,27)
答案 C
解析 执行算法框图，x＝1，s＝0，
s＝0＋1＝1，x＝eq \f(1,2)，不满足x<ε＝eq \f(1,100)，
所以s＝1＋eq \f(1,2)＝2－eq \f(1,21)，x＝eq \f(1,4)，不满足x<ε＝eq \f(1,100)，
所以s＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＝2－eq \f(1,22)，x＝eq \f(1,8)，不满足x<ε＝eq \f(1,100)，
所以s＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,8)＝2－eq \f(1,23)，x＝eq \f(1,16)，不满足x<ε＝eq \f(1,100)，
所以s＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,8)＋eq \f(1,16)＝2－eq \f(1,24)，x＝eq \f(1,32)，不满足x<ε＝eq \f(1,100)，
所以s＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,8)＋eq \f(1,16)＋eq \f(1,32)＝2－eq \f(1,25)，x＝eq \f(1,64)，不满足x<ε＝eq \f(1,100)，
所以s＝1＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,8)＋…＋eq \f(1,64)＝2－eq \f(1,26)，x＝eq \f(1,128)，满足x<ε＝eq \f(1,100).
输出s＝2－eq \f(1,26).
(2)(2020·全国Ⅰ)执行如图所示的算法框图，则输出的n等于( )
A．17 B．19 C．21 D．23
答案 C
解析 由算法框图可知S＝1＋3＋5＋…＋(2m－1)
＝m2(m∈N＋)，
由S>100，得m>10(m∈N＋)，
故当m＝11时循环结束，输出的值为n＝2m－1＝21.
命题点2 完善算法框图
例2 (1)(2019·全国Ⅰ)如图是求eq \f(1,2＋\f(1,2＋\f(1,2)))的算法框图，图中空白框中应填入( )
A．A＝eq \f(1,2＋A) B．A＝2＋eq \f(1,A)
C．A＝eq \f(1,1＋2A) D．A＝1＋eq \f(1,2A)
答案 A
解析 A＝eq \f(1,2)，k＝1,1≤2成立，执行循环体；A＝eq \f(1,2＋\f(1,2))，k＝2,2≤2成立，执行循环体；A＝eq \f(1,2＋\f(1,2＋\f(1,2)))，k＝3,3≤2不成立，结束循环，输出A.故空白框中应填入A＝eq \f(1,2＋A).故选A.
(2)如图所示的算法框图是为了求出满足3n－2n>1 000的最小偶数n，那么在和两个空白框中，可以分别填入( )
A．A>1 000和n＝n＋1
B．A>1 000和n＝n＋2
C．A≤1 000和n＝n＋1
D．A≤1 000和n＝n＋2
答案 D
解析 因为题目要求的是“满足3n－2n>1 000的最小偶数n”，所以n的叠加值为2，所以内应填入“n＝n＋2”．由算法框图知，当不满足内的条件时，输出n，所以内应填入“A≤1 000”．故选D.
命题点3 由算法框图逆求参数
例3 (1)某算法框图如图所示，若该算法运行后输出的值是eq \f(13,7)，则整数a的值为( )
A．6 B．7 C．8 D．9
答案 A
解析 依题意，得
S＝1＋1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,k)－eq \f(1,k＋1)＝2－eq \f(1,k＋1)，
令2－eq \f(1,k＋1)＝eq \f(13,7)，得k＝6，∴a＝6.故选A.
(2)执行如图所示的算法框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为( )
A．5 B．4 C．3 D．2
答案 D
解析 假设N＝2，算法执行过程如下：
t＝1，M＝100，S＝0，
1≤2，S＝0＋100＝100，M＝－eq \f(100,10)＝－10，t＝2，
2≤2，S＝100－10＝90，M＝－eq \f(－10,10)＝1，t＝3，
3＞2，输出S＝90＜91，符合题意．
∴当N＝2时成立．显然2是最小值．
故选D.
思维升华 (1)已知算法框图，求输出的结果，可按算法框图的流程依次执行，最后得出结果．
(2)完善算法框图问题，结合初始条件和输出结果，分析控制循环的变量应满足的条件或累加、累乘的变量的表达式．
(3)把参数看成常数，运算算法直到输出已知的结果，列出含有参数的等式或不等式，解出参数的值(或范围)．
跟踪训练 (1)(2019·北京)执行如图所示的算法框图，输出的s值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 执行算法框图，k＝1，s＝eq \f(2×1,3×1－2)＝2；k＝2，s＝eq \f(2×4,3×2－2)＝2；k＝3，s＝eq \f(2×4,3×2－2)＝2，退出循环．输出的s＝2.故选B.
(2)(2020·西南大学附中月考)执行如图所示的算法框图，若输出的结果s＝132，则判断框中可以填( )
A．i≥10 B．i≥11 C．i≤11 D．i≥12
答案 B
解析 第一次循环s＝12，i＝11；
第二次循环s＝12×11＝132，i＝10；
结束循环，输出s＝132，所以判断框中应填“i≥11”．
(3)(2020·江苏)如图是一个算法框图，若输出y的值为－2，则输入x的值是________．
答案 －3
解析 由算法框图知该程序是求函数y＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x，x>0，,x＋1，x≤0))
的值．
当x>0时，令2x＝－2，无解；
当x≤0时，令x＋1＝－2，解得x＝－3.
故输入x的值是－3.
题型二 数学文化与算法框图
1．中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的算法框图．执行该算法框图，若输入的x＝2，n＝2，依次输入的a为2,2,5，则输出的s等于( )
A．7 B．12 C．17 D．34
答案 C
解析 由框图可知，输入x＝2，n＝2，a＝2，s＝2，k＝1，不满足条件；a＝2，s＝4＋2＝6，k＝2，不满足条件；a＝5，s＝12＋5＝17，k＝3，满足条件，输出s＝17.
2．(2020·华中师大附中月考)我国古代数学名著《九章算术》里有一道关于玉石的问题：“今有玉方一寸，重七两；石方一寸，重六两．今有石方三寸，中有玉，并重十一斤(176两)．问玉、石重各几何？”如图所示的算法框图反映了对此题的一个求解算法，运行该算法框图，则输出的x，y分别为( )
A．90,86 B．94,82
C．98,78 D．102,74
答案 C
解析 执行算法框图，x＝86，y＝90，S≠27；
x＝90，y＝86，S≠27；
x＝94，y＝82，S≠27；
x＝98，y＝78，S＝27，
结束循环，输出的x，y分别为98,78.
3．(2020·汉中模拟)1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于任意一个正整数，如果它是奇数，对它乘3加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1.有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域”．如图是根据考拉兹猜想设计的一个算法框图，则输出i的值为( )
A．8 B．7 C．6 D．5
答案 A
解析 a＝3，不满足a＝1，满足a是奇数，a＝10，i＝2；
a＝10，不满足a＝1，不满足a是奇数，a＝5，i＝3；
a＝5，不满足a＝1，满足a是奇数，a＝16，i＝4；
a＝16，不满足a＝1，不满足a是奇数，a＝8，i＝5；
a＝8，不满足a＝1，不满足a是奇数，a＝4，i＝6；
a＝4，不满足a＝1，不满足a是奇数，a＝2，i＝7；
a＝2，不满足a＝1，不满足a是奇数，a＝1，i＝8；
a＝1，满足a＝1，输出i＝8.
思维升华 中国古代数学长期领先于世界其他国家，有着丰富的数学文化，算法与中国古代数学文化的结合也是高考中的新宠儿！
课时精练
1．(2019·天津)阅读如图所示的算法框图，运行相应的程序，输出S的值为( )
A．5 B．8 C．24 D．29
答案 B
解析 执行算法框图，S＝1，i＝2，j＝1，S＝1＋4＝5，i＝3，S＝8，i＝4，满足i≥4，输出的S＝8.
2．(2020·合肥调研)执行如图所示的算法框图，若输入n＝3，x＝3，则输出y的值为( )
A．16 B．45 C．48 D．52
答案 C
解析 第一次循环：y＝5，i＝1，
第二次循环：y＝16，i＝0，
第三次循环：y＝48，i＝－1，
循环结束，输出y＝48.
3．(2020·全国Ⅱ)执行下面的算法框图，若输入的k＝0，a＝0，则输出的k为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 C
解析 算法框图运行如下：
a＝2×0＋1＝1<10，k＝1；
a＝2×1＋1＝3<10，k＝2；
a＝2×3＋1＝7<10，k＝3；
a＝2×7＋1＝15>10，k＝4.
此时输出k＝4，程序结束．
4．(2020·广州模拟)已知算法框图如图所示，该程序运行后，若输出的a的值为16，则循环体的判断框内①处应填( )
A．2 B．3 C．4 D．5
答案 B
解析 模拟执行程序，可得，
i＝1时进入循环，此时a＝21＝2，
i＝2时进入循环，此时a＝22＝4，
i＝3时进入循环，此时a＝24＝16，
根据题意，i＝4时应退出循环，
可得循环满足的条件为i≤3.
5．(2020·百校联盟)某算法框图如图所示，若输出的k的值为3，则输入的x的取值范围为( )
A．[15,60) B．(15,60]
C．[12,48) D．(12,48]
答案 B
解析 根据算法框图的要求逐步分析每次循环后的结果，可得不等式组
eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x>3，,\f(x,3)－2>3，,\f(1,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x,3)－2))－3≤3，))解得156．(2020·成都模拟)执行如图所示的算法框图，则输出的m的值为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
答案 B
解析
输出的m的值为6.
7．(2020·长沙雅礼中学模拟)《九章算术》中的“两鼠穿墙”问题为“今有垣厚五尺，两鼠对穿，大鼠日一尺，小鼠也日一尺，大鼠日自倍，小鼠日自半，问何日相逢？”可用如图所示的算法框图解决此类问题．现执行该算法框图，输入的d的值为33，则输出的i的值为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
答案 C
解析 i＝0，S＝0，x＝1，y＝1，开始执行算法框图，
i＝1，S＝1＋1，x＝2，y＝eq \f(1,2)；
i＝2，S＝1＋2＋1＋eq \f(1,2)，x＝4，y＝eq \f(1,4)；
…；
i＝5，S＝(1＋2＋4＋8＋16)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1＋\f(1,2)＋\f(1,4)＋\f(1,8)＋\f(1,16)))<33，x＝32，y＝eq \f(1,32)，
再执行一次，S>d退出循环，输出i＝6.
8．(2018·全国Ⅱ)为计算S＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,99)－eq \f(1,100)，设计了如图所示的算法框图，则在空白框中应填入( )
A．i＝i＋1 B．i＝i＋2
C．i＝i＋3 D．i＝i＋4
答案 B
解析 把各循环变量在各次循环中的值用表格表示如下．
当i≥100时，退出循环，
S＝N－T＝0＋eq \f(1,1)＋eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,99)－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0＋\f(1,2)＋\f(1,4)＋…＋\f(1,100)))
＝1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,3)－eq \f(1,4)＋…＋eq \f(1,99)－eq \f(1,100).
因为N＝N＋eq \f(1,i)，由上表知i是从1到3再到5，一直到101，所以i＝i＋2.故选B.
9．如图是一个算法框图，则输出的S的值是________．
答案 5
解析 执行算法框图，x＝1，S＝eq \f(1,2)，不满足条件；x＝2，S＝eq \f(3,2)，不满足条件；x＝3，S＝3，不满足条件；x＝4，S＝5，满足条件，结束循环，故输出的S的值是5.
10．如图是一个算法的算法框图，则输出的n的值是________．
答案 4
解析 计算如下：n＝1，S＝0，不满足条件，
S＝eq \f(1,2)，n＝2，不满足条件；
S＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)，n＝3，不满足条件；
S＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)＋1，n＝4，满足条件，
故输出n＝4.
11．(2020·临沂模拟)某算法框图如图所示，若判断框内是k≥n？，且n∈N时，输出的S＝57，则判断框内的n应为________．
答案 5
解析 程序在运行过程中各值变化如下表，
故退出循环的条件应为k≥5.则输出的S＝57时，判断框内的n应为5.
12．(2020·广东七校联考)263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”，利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个算法框图，则输出的n值为________．(参考数据：eq \r(3)≈1.732，
sin 15°≈0.258 8，sin 7.5°≈0.130 5)
答案 24
解析 n＝6，S＝eq \f(3\r(3),2)≈2.598<3.10；n＝12，S＝3<3.10；n＝24，S≈3.106≥3.10，满足条件，退出循环．故输出的n的值为24.
13．(2020·湖北“荆、荆、襄、宜”四地七校联考)设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数．将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a)，按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a＝815，则I(a)＝158，D(a)＝851)．阅读如图所示的算法框图，运行相应的程序，任意输入一个a，输出的结果b等于( )
A．693 B．594 C．495 D．792
答案 C
解析 取a1＝792，则b1＝972－279＝693≠792，
则a2＝693；
由a2＝693知b2＝963－369＝594≠693，则a3＝594；
由a3＝594知b3＝954－459＝495≠594，则a4＝495；
由a4＝495知b4＝954－459＝495＝a4，则输出b＝495.
14．(2020·太原模拟)关于函数f(x)＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(－x，1答案 [0,1]
解析 由算法框图的第一个判断条件为f(x)>0，当f(x)＝cs x，x∈[－1,1]时满足．然后进入第二个判断框，需要解不等式f′(x)＝－sin x≤0，即0≤x≤1.故输出区间为[0,1]．
15．我国南北朝时期的数学家张丘建是世界数学史上解决不定方程的第一人，他在《张丘建算经》中给出一个解不定方程的百鸡问题，问题如下：鸡翁一，值钱五，鸡母一，值钱三，鸡雏三，值钱一．百钱买百鸡，问鸡翁母雏各几何？用代数方法表述为：设鸡翁、鸡母、鸡雏的数量分别为x，y，z，则鸡翁、鸡母、鸡雏的数量即为方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5x＋3y＋\f(z,3)＝100，,x＋y＋z＝100))的解．其解题过程可用算法框图表示，如图所示，则算法框图中正整数m的值为________．
答案 4
解析 由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(5x＋3y＋\f(z,3)＝100，,x＋y＋z＝100，))得y＝25－eq \f(7,4)x，
故x必为4的倍数，
当x＝4t时，y＝25－7t，
由y＝25－7t>0，得t的最大值为3，
故判断框应填入的是“t<4？”，即m＝4.
16．已知函数f(x)＝ax3＋eq \f(1,2)x2在x＝－1处取得极大值，记g(x)＝eq \f(1,f′x).算法框图如图所示，若输出的结果S>eq \f(2 020,2 021)，则判断框中可以填入的关于n的判断条件是________．(填序号)
①n≤2 021 ②n≤2 020
③n>2 021 ④n>2 020
答案 ①
解析 由题意得f′(x)＝3ax2＋x，由f′(－1)＝0，
得a＝eq \f(1,3)，∴f′(x)＝x2＋x，
即g(x)＝eq \f(1,x2＋x)＝eq \f(1,xx＋1)＝eq \f(1,x)－eq \f(1,x＋1).
由算法框图可知S＝0＋g(1)＋g(2)＋…＋g(n)
＝0＋1－eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)－eq \f(1,3)＋…＋eq \f(1,n)－eq \f(1,n＋1)＝1－eq \f(1,n＋1)，
由1－eq \f(1,n＋1)>eq \f(2 020,2 021)，得n>2 020，
所以判断条件是“n≤2 021”．
故可填入①.
开始
S＝0
m＝1
①
S＝1×21＝2<100
m＝2
②
S＝1×21＋2×22＝10<100
m＝3
③
S＝1×21＋2×22＋3×23＝34<100
m＝4
④
S＝1×21＋2×22＋3×23＋4×24＝98<100
m＝5
⑤
S＝1×21＋2×22＋3×23＋4×24＋5×25＝258>100
m＝6
循环次数
①
②
③
…
eq \(○,\s\up1(50))
N
0＋eq \f(1,1)
0＋eq \f(1,1)＋eq \f(1,3)
0＋eq \f(1,1)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,5)
…
0＋eq \f(1,1)＋eq \f(1,3)＋eq \f(1,5)＋…＋eq \f(1,99)
T
0＋eq \f(1,2)
0＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)
0＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,6)
…
0＋eq \f(1,2)＋eq \f(1,4)＋eq \f(1,6)＋…＋eq \f(1,100)
k
S
是否继续循环
循环前
1
1
第一次循环
2
4
是
第二次循环
3
11
是
第三次循环
4
26
是
第四次循环
5
57
否