动能定理及应用（3）（有详解）教案

【知识诊断】

1．重力势能的变化与零势能参考面的选取无关(　　)  [答案]　√

2．被举到高处的物体重力势能一定不为零(　　)  [答案]　×

3．克服重力做功，物体的重力势能一定增加(　　)  [答案]　√

4．发生弹性形变的物体都具有弹性势能(　　)  [答案]　√

5．在弹性限度内同一弹簧无论拉伸还是压缩，只要形变量相同其弹性势能就相同(　　)[答案]　√

6．物体所受的合外力为零，物体的机械能一定守恒(　　)  [答案]　×

7．合外力做功为零，物体的机械能一定守恒(　　)    [答案]　×

8．物体除受重力或弹力外，还存在其他力作用，但其他力不做功，只有重力或弹力做功，物体的机械能一定守恒(　　)                                                        [答案]　√

【考点一】机械能守恒的理解与判断

【例题1】关于机械能是否守恒，下列说法正确的是(　　)

A．做匀速直线运动的物体机械能一定守恒；   B．做匀速圆周运动的物体机械能一定守恒

C．做变速运动的物体机械能可能守恒； D．合外力对物体做功不为零，机械能一定不守恒

[解析]　做匀速直线运动的物体与做匀速圆周运动的物体，如果是在竖直平面内则机械能不守恒，A、B错误；合外力做功不为零，机械能可能守恒，D错误、C正确．[答案]　C

【针对练习】(多选)(2016·杭州质检)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　　)

A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，A机械能守恒

B．乙图中，A置于光滑水平面，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒

C．丙图中，不计任何阻力时A加速下落、B加速上升过程中，A、B系统机械能守恒

D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒

[解析]　甲图中重力和弹力做功，物体A和弹簧组成的系统机械能守恒，但物体A机械能不守恒，A错误；乙图中物体B除受重力外，还受弹力，弹力对B做负功，机械能不守恒，但从能量特点看A、B组成的系统机械能守恒，B错误；丙图中绳子张力对A做负功，对B做正功，其代数和为零，A、B系统机械能守恒，C正确；丁图中小球的动能不变，势能不变，则其机械能守恒，D正确．[答案]　CD

【巩固提高】(多选)如图所示，用轻弹簧相连的物块A和B放在光滑的水平面上，物块A紧靠竖直墙壁，一颗子弹沿水平方向射入物块B后留在其中，由子弹、弹簧和A、B所组成的系统在下列依次进行的过程中，机械能守恒的是(　　)

A．子弹射入物块B的过程

B．物块B带着子弹向左运动，直到弹簧压缩量最大的过程

C．弹簧推着带子弹的物块B向右运动，直到弹簧恢复原长的过程

D．带着子弹的物块B因惯性继续向右运动，直到弹簧伸长量达最大的过程

【解析】　子弹射入物块B的过程中，子弹和物块B组成的系统，由于要克服子弹与物块之间的滑动摩擦力做功，一部分机械能转化成了内能，所以机械能不守恒．在子弹与物块B获得了共同速度后一起向左压缩弹簧的过程中，对于A、B、弹簧和子弹组成的系统，由于墙壁给A一个推力作用，系统的外力之和不为零，但这一过程中墙壁的弹力不做功，只有系统内的弹力做功，动能和弹性势能发生转化，系统机械能守恒，这一情形持续到弹簧恢复原长为止．当弹簧恢复原长后，整个系统将向右运动，墙壁不再有力作用在A上，这时物块的动能和弹簧的弹性势能相互转化，故系统的机械能守恒，故B、C、D正确．   [答案]　BCD

【考点二】　机械能守恒定律的应用

【例题2】长为L的均匀链条，放在光滑的水平桌面上，且使其长度的垂在桌边，如下图所示，松手后链条从静止开始沿桌边下滑，则链条滑至刚刚离开桌边时的速度大小为多大？

【解析】链条下滑时，因桌面光滑，没有摩擦力做功，整根链条总的机械能守恒，设整根链条质量为m，由机械能守恒定律得： ；  解得；  【答案】

【针对练习】(多选)如下图所示，倾角θ＝30°的光滑斜面固定在地面上，长为l、质量为m、粗细均匀、质量分布均匀的软绳置于斜面上，其上端与斜面顶端齐平．用细线将物块与软绳连接，物块由静止释放后向下运动，直到软绳刚好全部离开斜面(此时物块未到达地面)，在此过程中(　BD　)

A．物块的机械能逐渐增加；                      B．软绳的重力势能减少了mgl

C．物块重力势能的减少量等于软绳机械能的增加量  D．软绳重力势能减少量小于其动能的增加量

[解析]　细线对物块做负功，物块的机械能减少，细线对软绳做功，软绳的机械能增加，故软绳重力势能的减少量小于其动能增加量，A错误，D正确；物块重力势能的减少量一部分转化为软绳机械能，另一部分转化为物块的动能，故C错误；从开始运动到软绳刚好全部离开斜面，软绳的重心下移了，故其重力势能减少了mgl，B正确．   [答案]　BD

【巩固提高】如图甲所示abcdef为同一竖直平面上依次平滑连接的滑行轨道，其中ab段水平，H=3m，bc段均为斜直轨道，倾角，de段是一半径R=2.5m的四分之一圆弧轨道，O点为圆心其正上方的d点为圆弧的最高点，滑板及运动员总质量m=60kg，运动员滑经d点时轨道对滑板支持力用Nd表示，忽略摩擦阻力和空气阻力，取：。除下述问（3）中运动员做缓冲动作以外，均可把滑板及运动员视为质点。
（1）运动员从bc段紧靠b处无初速滑下，求的大小；
（2）运动员逐渐减小从bc上无初速下滑时距水平地面的高度h，请在图乙的坐标图上作出—h图象（只根据作出的图象评分，不要求写出计算过程和作图依据）；
（3）运动员改为从b点以的速度水平滑出，落在bc上时通过短暂的缓冲动作使他只保留沿斜面方向的速度继续滑行，则他是否会从d点滑离轨道？请通过计算得出结论。
【解析】（1）从开始滑下至d点，由机械能守恒定律得：

①，②；
由①②得：③
（2）所求的图象如图所示；
（3）当以从b点水平滑出时，运动员做平抛运动落在Q点，如图所示，设，则：
④；⑤；
由④⑤得：⑥；⑦；
在Q点缓冲后：⑧；
从：⑨
运动员恰从d点滑离轨道应满足：⑩；
则⑨⑩得：；即：。可见滑板运动员不会从圆弧最高点d滑离轨道。

【例3】(2015·山东邹平一中检测)如下图所示，半径为R的光滑半圆轨道ABC与倾角θ＝37°的粗糙斜面轨道DC相切于C，圆轨道的直径AC与斜面垂直．质量为m的小球从A点左上方距A高为h的斜上方P点以某一速度水平抛出，刚好与半圆轨道的A点相切进入半圆轨道内侧，之后经半圆轨道沿斜面刚好滑到与抛出点等高的D处．已知当地的重力加速度为g，取R＝h，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，不计空气阻力，求：

(1)小球被抛出时的速度v0；

(2)小球到达半圆轨道最低点B时，对轨道的压力大小；

(3)小球从C到D过程中克服摩擦力做的功W.

【解析】　(1)小球到达A点时，速度与水平方向的夹角为θ，如图所示．

设竖直方向的速度为vy，则有v＝2gh

由几何关系得v0＝vycotθ;   得v0＝＝.

(2)A、B间竖直高度H＝R(1＋cosθ)

设小球到达B点时的速度为v，则从抛出点到B过程中有mv＋mg(H＋h)＝mv2

在B点，有FN－mg＝m；  解得FN＝5.6mg

由牛顿第三定律知，小球在B点对轨道的压力大小是5.6mg.

(3)小球沿斜面上滑过程中克服摩擦力做的功等于小球做平抛运动的初动能，有:

W＝mv＝mgh＝mgR.

[答案]　(1)＝　(2)5.6mg　(3)mgh＝mgR

【针对练习】取水平地面为重力势能零点．一物块从某一高度水平抛出，在抛出点其动能与重力势能恰好相等．不计空气阻力．该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角为(　　)

A.       B.       C.      D.

【解析】　根据平抛运动的规律和机械能守恒定律解题．设物块水平抛出的初速度为v0，高度为h，由机械能守恒定律得mv＝mgh，即v0＝.物块在竖直方向上的运动是自由落体运动，故落地时的竖直分速度vy＝＝vx＝v0，则该物块落地时的速度方向与水平方向的夹角θ＝，故选项B正确，选项A、C、D错误．[答案]　B

【巩固提高】(2016·浙江五校期中)如图甲所示，竖直平面内的光滑轨道由倾斜直轨道AB和圆轨道BCD组成，AB和BCD相切于B点，CD连线是圆轨道竖直方向的直径(C、D为圆轨道的最低点和最高点)，已知∠BOC＝30°.可视为质点的小滑块从轨道AB上高H处的某点由静止滑下，用力传感器测出滑块经过圆轨道最高点D时对轨道的压力为F，并得到如图乙所示的压力F与高度H的关系图象，取g＝10 m/s2.求：

(1)滑块的质量和圆轨道的半径；

(2)是否存在某个H值，使得滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的点．若存在，请求出H值；若不存在，请说明理由．

【分析】　(1)由图乙知，当H＝0.5 m和1.0 m时，滑块在D点对轨道的压力分别为0和5 N.

(2)假设存在H，利用几何关系求竖直位移，再用机械能守恒定律和平抛运动规律求解．

【解析】(1)小滑块由A→D，根据机械能定恒定律有：mg(H－2R)＝mv

在D点，由牛顿第二定律得：F＋mg＝；   解得F＝－mg

取点(0.50 m,0)和(1.00 m,5.0 N)代入上式得：m＝0.1 kg，R＝0.2 m

 (2)假设滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的E点(如图所示)，OE＝ ；

滑块的水平位移：x＝OE＝vDPt；  滑块的竖直位移：R＝gt2；  解得：vDP＝2 m/s

而滑块过D点的临界速度：vDL＝＝ m/s

由于vDP>vDL，所以存在一个H值，使得滑块经过最高点D后能直接落到直轨道AB上与圆心等高的点．

此时，根据机械能守恒定律有：mg(H－2R)＝mv；  解得H＝0.6 m

【答案】　(1)0.1 kg　0.2 m　(2)存在　0.6 m

【考点三】　多物体机械能守恒问题

【例4】　(多选)(2015·新课标全国卷Ⅱ)如图，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上．a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动．不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g.则(　　)

A．a落地前，轻杆对b一直做正功

B．a落地时速度大小为

C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g

D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg

【解析】由题意知，系统机械能守恒．设某时刻a、b的速度分别为va、vb.此时刚性轻杆与竖直杆的夹角为θ，分别将va、vb分解，如下图．因为刚性杆不可伸长，所以沿杆的分速度v∥与v∥′是相等的，即vacosθ＝vbsinθ.当a滑至地面时θ＝90°，此时vb＝0，由系统机械能守恒得mgh＝mv，解得va＝，选项B正确．

同时由于b初、末速度均为零，运动过程中其动能先增大后减小，即杆对b先做正功后做负功，选项A错误．杆对b的作用先是推力后是拉力，对a则先是阻力后是动力，即a的加速度在受到杆的向下的拉力作用时大于g，选项C错误．b的动能最大时，杆对a、b的作用力为零，此时a的机械能最小，b只受重力和支持力，所以b对地面的压力大小为mg，选项D正确．正确选项为B、D；  [答案]　BD

【针对练习】(多选)(2015·江西红色六校联考)如右图所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P连接，另一端与物体A相连，物体A置于光滑水平桌面上，A右端连接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与物体B相连．开始时托住B，让A处于静止且细线恰好伸直，然且由静止释放B，直至B获得最大速度．下列有关该过程的分析正确的是(　　)

A．B物体受到细线的拉力保持不变

B．A物体与B物体组成的系统机械能不守恒

C．B物体机械能的减少量小于弹簧弹性势能的增加量

D．当弹簧的拉力等于B物体的重力时，A物体的动能最大

【解析】　以A、B组成的系统为研究对象，有mBg－kx＝(mA＋mB)a.由于弹簧的伸长量x逐渐变大，从开始到B速度达到最大的过程中B加速度逐渐减小，由mBg－FT＝mBa可知，此过程中细线的拉力逐渐增大，是变力，A错误．A物体、弹簧与B物体组成的系统机械能守恒，而A物体与B物体组成的系统机械能不守恒，B正确．B物体机械能的减少量等于A、B物体机械能的增加量与弹簧弹性势能的增加量之和，故B物体机械能的减少量大于弹簧弹性势能的增加量，C错误．当弹簧的拉力等于B物体的重力时，B物体速度最大，A物体的动能最大，D正确． [答案]　BD

【巩固提高】如图所示，竖直平面内固定两根足够长的细杆、，两杆分离不接触，且两杆间的距离忽略不计。两个小球a 、b（视为质点）质量均为m，a球套在竖直杆上，b杆套在水平杆上，a、b通过铰链用长度为L的刚性轻杆连接，将a球从图示位置由静止释放（轻杆与杆夹角为450），不计一切摩擦，已知重力加速度为g。在此后的运动过程中，下列说法中正确的是（  ABC   ）

A、a球和b球所组成的系统机械能守恒
B、b球的速度为零时，a球的加速度大小一定等于g
C、b球的最大速度为
D、a球的最大速度为

【解析】a球和b球组成的系统没有外力做功，只有a球和b球的动能和重力势能相互转换，因此a球和b球的机械能守恒，A正确；
设轻杆L和水平杆的夹角为θ，

由运动关联可知：，

得：可知：

当b球的速度为零时，轻杆L处于水平位置和杆平行，

因此此时a球在竖直方向只受重力mg，因此a球的加速度大小为g，B正确；
当杆L和杆平行成竖直状态，球A运动到最下方，球b运动到和交点的位置的时候球b的速度达到最大。此时由运动的关联可知a球的速度为0。

因此由系统机械能守恒有：，
得：。C正确。
当轻杆L向下运动到杆和杆的交点的位置时，此时杆L和杆平行，

由运动的关联可知此时b球的速度为零，有系统机械能守恒有：，

得：，此时a球具有向下的加速度g。

因此此时a球的速度不是最大，a球将继续向下运动到加速度为0时速度达到最大，D错误。

【例题5】如图所示，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的两倍．当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高．将A由静止释放，B上升的最大高度是(　　)

A．2R   B．5R/3 C．4R/3   D．2R/3

【解析】　如图所示，以A、B两球为系统，以地面为零势能面，设A质量为2m，B质量为m，根据机械能守恒定律有：2mgR＝mgR＋×3mv2，

A落地后B将以v做竖直上抛运动，即有：mv2＝mgh，  解得：h＝R.

则B上升的高度为R＋R＝R，故选项C正确．[答案]　C

【针对练习】1、质量分别为m和2m的两个小球P和Q，中间用轻质杆固定连接，杆长为L，在离P球处有一个光滑固定轴O，如右图所示．现在把杆置于水平位置后自由释放，在Q球顺时针摆动到最低位置时，求：

(1)小球P的速度大小；  

(2)在此过程中，杆对小球P做的功．

【解析】　(1)两球和杆组成的系统机械能守恒，设小球Q摆到最低位置时P球的速度为v，由于P、Q两球的角速度相等，Q球运动半径是P球运动半径的两倍，故Q球的速度为2v.

由机械能守恒定律得:2mg·L－mg·L＝mv2＋·2m·(2v)2        解得v＝.

(2)杆对P球做的功等于小球P机械能的增加量ΔE，则：W＝ΔE＝mg·L＋mv2＝mgL.

[答案]　(1)　(2)mgL

2、(2015·济南质检)两个底面积都是S的圆桶，放在同一水平面上，桶内装水，水面高度分别为h1和h2，如图所示．已知水的密度为ρ.现把连接两桶的阀门打开，不计摩擦阻力，当两桶水面第一次高度相等时，液面的速度为多大(连接两桶的阀门之间水质量不计)?

【分析】(1)不计摩擦阻力，液体的机械能守恒．

(2)采用等效法分析液体重力势能的减少量．

【解析】对于容器中的液体，在运动过程中只有重力做功，系统机械能守恒，第一次液面高度相等时，重力势能的减少量等于动能的增加量．容器中水的总质量为：m＝ρS(h1＋h2)，

水面相平时，相当于质量为m′＝ρS的液体下降了，

所以由机械能守恒定律可得，减少的重力势能：ΔEp＝ΔEk，

即：ρgS·＝ρS(h1＋h2)v2，

解得：v＝(h1－h2).         [答案]　(h1－h2)

分析非质点系统重力势能变化时的注意问题

【巩固提高】如图所示，光滑的竖直杆上套有一个质量m=0.4kg的小物块A,不可伸长的轻质细绳通过固定在墙壁上，大小可忽略的定滑轮D，连接小物块A和小物块B,虚线CD水平，间距d=1.2m，此时连接小物块A的细绳与竖直杆的夹角为370，小物块A恰能保持静止，现在在小物块B的下端挂一个小物块Q（未画出），小物块A可从图示位置上升并恰好能到达C处，不计摩擦和空气阻力，cos370=0.8,sin370=0.6.重力加速度g取10m/s2,求：⑴小物块A到达C处时的加速度大小；
⑵小物块B的质量；⑶小物块Q的质量。
【解析】⑴对A物体的整个运动过程进行分析可知：当A到达C点时，在竖直方向的受力情况是：只有重力作用，所以，此时的加速度应是重力加速度，即：a=g=10m/s2;
⑵当A、B组成的系统处于平衡状态时，系统里的每个物体均处于合力为零的状态。即：
对A：；    对B：
联立两式，代入数据并化简，得：
⑶加物块Q以后，设Q物的质量为Δm，对系统应用动能定理：

而：；    ；
联立化简并代入数据得：
 

【巩固提升】如图所示，一足够长的水平传送带以速度v=v0匀速运动，质量均为m的小物块P和Q由通过滑轮组的轻绳连接，轻绳足够长且不可伸长，某时刻物块P从传送带左端以速度冲上传送带，P与定滑轮间的绳子水平，已知物块P与传送带间的动摩擦因数，运动过程中小物块P、Q的加速度大小之比始终为2：1；重力加速度用g表示，不计滑轮的质量与摩擦。求：
（1）物块P刚冲上传送带时，所受滑动摩擦力的大小和方向；
（2）物块P刚冲上传送带到右方最远处的过程中，PQ系统机械能的改变量；
（3）物块P刚冲上传送带到右方最远处的过程中，P与传送带间的摩擦力产生的热量是多少？

【解析】（1）物块P刚冲上传送带时，所受滑动摩擦力的大小为：ƒ=μmg=0.25mg,方向向左；
（2）对P有：，  对Q有：；
得：；
P先减速到与传送带速度相同，设位移为：；
共速后，由于，P不可能随传送带一起匀速运动，继续向右减速；
设此时P加速度为，Q的加速度为：；
对P有：，     对Q有：，

解得：，
设减速到0位移为，，
PQ系统机械能的改变量等于摩擦力对P做的功，；
（3）P先减速到与传送带速度相同时传送带的位移：，
此过程中产生的热量：;

P与传送带共速后继续减速到0的过程中，传送带的位移：；

此过程中产生的热量：
共产生的热量：。