2021高三数学第一轮复习 导学案 第45讲直线、平面垂直的判定及其性质

第四十五讲：直线、平面垂直的判定及其性质

【学习目标】

1. 以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质与判定定理；
2. 能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题。

【重点、难点】

重点：掌握线面垂直的有关性质与判定定理；

难点：运用性质与判定定理证明。

【知识梳理】 

1、直线于平面垂直

（1）定义：如果直线与平面内的               直线都垂直，则直线与平面垂直.

（2）判定定理与性质定理

2、直线和平面所成的角

（1）平面的一条斜线和它在                      所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角.

（2）当直线与平面垂直和平行（或直线在平面内）时，规定直线和平面所成的角分别为       

      和        .

（3）范围：.

3、二面角的有关概念

（1）二面角：从一条直线出发的                   所组成的图形叫做二面角.

（2）二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作          的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.

（3）范围：.

4、平面与平面垂直

（1）定义：如果两个平面所成的二面角是             ，就说这两个平面互相垂直.

（2）判定定理与性质定理

【常用结论】

直线与平面垂直的五个结论

（1）若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.

（2）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行.

（4）一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直.

（5）两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面.

【典题分析】  

题型1：直线与平面垂直的判定与性质

例1如图所示，在四棱锥中，底面，,，,，是的中点.

证明：（1）；

（2）平面.

【方法规律】 判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想；另外，在解题中要重视平面几何知识，特别是正余弦定理及勾股定理的应用 .

【题组练习】

1、如图所示，已知平面，，则图中直角三角形的个数为        .

2、如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，是上的一点，。

证明：平面；

3、如图1，矩形中，，，、分别为、边上的点，且，，将沿折起至位置（如图2所示）连结、，其中.

(1)求证：平面；(2)求二面角的余弦值.

题型2：平面与平面垂直的判定与性质

例2 如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，，，.

（1）证明：平面平面；

（2）求四棱锥的体积.

【方法规律】 三种垂直关系的转化：

【题组练习】

1、若平面，直线，则（  ）

 A、        B、

 C、与相交    D、以上都有可能

2、为不同平面，为不同直线，给出下列条件：

①；②；

③；④。

其中能使成立的条件的个数是（   ）

  A、1     B、2     C、3      D、4

3、已知为不重合的两个平面，直线，那么“”是“”的（  ）

A、充分不必要条件    B、必要不充分条件

C、充要条件     D、既不充分也不必要条件

4、如图，是的直径，是圆周上不同于的任意一点，平面平面。

求证：。

5、如图，四边形为菱形，为与的交点，平面.

（1）证明：平面平面；

（2）若，，三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.

6、如图，四棱锥中，底面，且底面为平行四边形，若，，.

（1）求证：面面；

（2）若，求点到平面的距离.

7、如图，在四棱锥中，，，，是线段上的点，且，平面平面.

（1）证明：平面；

（2）求三棱锥的体积.