课时过关检测（十） 对数与对数函数

课时过关检测（十）  对数与对数函数

A级——基础达标

1．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0，且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)

A．log2x   B.

C．logx  D．2x－2

解析：选A　f(x)＝logax，∵f(2)＝1，∴loga2＝1.

∴a＝2.∴f(x)＝log2x.

2．(2021·陕西汉中重点中学第一次联考)若log2x＋log4y＝1，则(　　)

A．x2y＝2  B．x2y＝4

C．xy2＝2  D．xy2＝4

解析：选B　log2x＋log4y＝log2x＋log2y＝log2x＋log2y＝log2(xy)＝1，所以xy＝2，两边平方得x2y＝4.故选B.

3．设0<a<1，在同一直角坐标系中，函数y＝a－x与y＝loga(－x)的大致图象是(　　)

解析：选B　因为0<a<1，所以y＝a－x为增函数，过点(0,1)；y＝loga(－x)为增函数，过点(－1,0)，综上可知，B选项符合题意，故选B.

4．若函数f(x)＝loga(a＞0，且a≠1)在区间内恒有f(x)＞0，则f(x)的单调递增区间为(　　)

A．(0，＋∞)  B．(2，＋∞)

C．(1，＋∞)  D．

解析：选A　令M＝x2＋x，当x∈时，M∈(1，＋∞)，恒有f(x)＞0，所以a＞1，所以函数y＝logaM为增函数，又M＝2－，

所以M的单调递增区间为.

又x2＋x＞0，所以x＞0或x＜－，

所以函数f(x)的单调递增区间为(0，＋∞)．

5．(多选)(2021·淄博模拟)设0<a<1，则(　　)

6．(多选)(2021·济南质检)在同一坐标系中，f(x)＝kx＋b与g(x)＝logbx的图象如图，则下列关系不正确的是(　　)

A．k＜0,0＜b＜1

B．k＞0，b＞1

C．fg(1)＞0(x＞0)

D．x＞1时，f(x)－g(x)＞0

解析：选ABC　由直线方程可知，k＞0,0＜b＜1，故A、B不正确；而g(1)＝0，故C不正确；当x＞1时，g(x)＜0，f(x)＞0，所以f(x)－g(x)＞0，故D正确．

7．计算：lg －lg 8＋lg 7＝________.

解析：原式＝lg 4＋lg 2－lg 7－lg 8＋lg 7＋ lg 5

＝2lg 2＋(lg 2＋lg 5)－2lg 2＝.

答案：

8．(2021·百校联盟联考)若函数f(x)＝loga(x＋2)＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点M，则点M的坐标为________．

解析：当x＋2＝1，即x＝－1时，f(－1)＝loga(－1＋2)＋2＝2，∴点M的坐标为(－1,2)．

答案：(－1,2)

9．已知函数f(x)＝loga(－x＋1)(a>0且a≠1)在[－2,0]上的值域是[－1,0]，则实数a＝________.

解析：函数f(x)＝loga(－x＋1)(a>0且a≠1)在[－2,0]上的值域是[－1,0]．当a>1时，f(x)＝loga(－x＋1)在[－2,0]上单调递减，

∴无解；当0<a<1时，f(x)＝loga(－x＋1)在[－2,0]上单调递增，

∴解得a＝.

答案：

10．已知函数f(x)＝－log2x，则下列四个结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．

①函数f(|x|)为偶函数；②若f(a)＝|f(b)|，其中a>0，b>0，a≠b，则ab＝1；③函数f(－x2＋2x)在(1,3)上单调递增．

解析：对于①，f(|x|)＝－log2|x|，f(|－x|)＝－log2|－x|＝－log2|x|＝f(|x|)，所以函数f(|x|)为偶函数，故①正确；对于②，若f(a)＝|f(b)|，其中a>0，b>0，a≠b，则f(a)＝|f(b)|＝－f(b)，即－log2a＝log2b，即log2a＋log2b＝log2ab＝0，得到ab＝1，故②正确；对于③，函数f(－x2＋2x)＝－log2(－x2＋2x)，由－x2＋2x>0，解得0<x<2，所以函数f(－x2＋2x)的定义域为(0,2)，因此在(1,3)上不具有单调性，故③错误．

答案：①②

11．已知函数f(x－3)＝loga(a>0，且a≠1)．

(1)求f(x)的解析式；

(2)判断f(x)的奇偶性，并说明理由．

解：(1)令x－3＝u，则x＝u＋3，于是f(u)＝loga(a>0，a≠1，－3<u<3)，

所以f(x)＝loga(a>0，a≠1，－3<x<3)．

(2)因为f(－x)＋f(x)＝loga＋loga＝loga1＝0，

所以f(－x)＝－f(x)，又定义域(－3,3)关于原点对称．

所以f(x)是奇函数．

12．设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0且a≠1)，且f(1)＝2.

(1)求实数a的值及f(x)的定义域；

(2)求f(x)在区间上的最大值．

解：(1)因为f(1)＝2，所以loga4＝2(a>0，a≠1)，

所以a＝2.

由得－1<x<3.

所以函数f(x)的定义域为(－1,3)．

(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)

＝log2[(1＋x)(3－x)]＝log2[－(x－1)2＋4]，

所以当x∈(－1,1]时，f(x)是增函数；

当x∈(1,3)时，f(x)是减函数，

故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.

B级——综合应用

13．(2020·全国卷Ⅱ)若2x－2y<3－x－3－y，则(　　)

A．ln(y－x＋1)>0  B．ln(y－x＋1)<0

C．ln|x－y|>0  D．ln|x－y|<0

解析：选A　由2x－2y<3－x－3－y，得2x－3－x<2y－3－y，即2x－x<2y－y.设f(x)＝2x－x，则f(x)<f(y)．因为函数y＝2x在R上为增函数，y＝－x在R上为增函数，所以f(x)＝2x－x在R上为增函数，则由f(x)<f(y)，得x<y，所以y－x>0，所以y－x＋1>1，所以ln(y－x＋1)>0，故选A.

14．(多选)(2021·济宁模拟)关于函数f(x)＝ln ，下列说法中正确的有(　　)

A．f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)

B．f(x)为奇函数

C．f(x)在定义域上是增函数

D．对任意x1，x2∈(－1,1)，都有f(x1)＋f(x2)＝f

解析：选BD　函数f(x)＝ln ＝ln，

其定义域满足(1－x)(1＋x)＞0，解得－1＜x＜1，

∴定义域为{x|－1＜x＜1}．∴A错误；

由f(－x)＝ln ＝ln－1＝－ln ＝－f(x)，是奇函数，∴B正确；

函数y＝－1在定义域内是减函数，根据复合函数的单调性同增异减，

∴f(x)在定义域内是减函数，∴C错误；

f(x1)＋f(x2)＝ln ＋ln

＝ln＝f，∴D正确．

15．已知函数f(x)＝log2.

(1)若函数f(x)是R上的奇函数，求a的值；

(2)若函数f(x)的定义域是一切实数，求a的取值范围；

(3)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2，求实数a的取值范围．

解：(1)若函数f(x)是R上的奇函数，则f(0)＝0，

所以log2(1＋a)＝0，所以a＝0.

当a＝0时，f(x)＝－x是R上的奇函数．

所以a＝0.

(2)若函数f(x)的定义域是一切实数，则＋a＞0恒成立．

即a＞－恒成立，由于－∈(－∞，0)，

故只要a≥0，则a的取值范围是[0，＋∞)．

(3)由已知得函数f(x)是减函数，故f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(0)＝log2(1＋a)，最小值是f(1)＝log2.

由题设得log2(1＋a)－log2≥2，

则log2(1＋a)≥log2(4a＋2)．

所以解得－＜a≤－.

故实数a的取值范围是.

C级——迁移创新

16．函数f(x)的定义域为D，若满足①f(x)在D内是单调函数；②存在[a，b]⊆D使f(x)在[a，b]上的值域为，那么就称y＝f(x)为“半保值函数”，若函数f(x)＝loga(ax＋t2)(a＞0且a≠1)是“半保值函数”，求t的取值范围．