人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换导学案及答案
展开5.2.2同角三角函数的基本关系
知识点1：同角三角函数的基本关系
1.同角三角函数的基本关系
| 基本关系 | 语言描述 |
平方关系 | 同一个角的正弦、余弦的平方和等于1 | |
商数关系 | 同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切 |
2.基本关系式的变形公式
例1-1：已知是第二象限角，，则（ ）
A. B. C. D.
答案：A
例1-2：下列四个结论中可能成立的是（ ）.
A. B.
C. D.是第二象限角时，
答案：B
例1-3：已知是第二象限角，且，则的值是（ ）.
A. B. C. D.
答案：D
例1-4：化简下列各式：
（1） ； （2）
答案：（1） （2）
重难拓展
知识点2：同角三角函数的基本关系的三类八式
设是任意角，，角的顶点与坐标原点O重合，始边与轴的非负半轴重合.设点P是角终边上任一点（角的顶点除外），点P与坐标原点O（交点顶点）的距离，即，即，
（1）倒数关系：；
（2）商数关系：
（3）平方关系：.
例2-5：化简：
答案：原式=
例2-6：证明：
证明略
题型与方法
题型1：根据同角三角函数的基本关系求值
1.已知某个三角函数值，求其余三角函数值
例7：已知，求的值.
答案：
变式训练1：若，则（ ）
A. B. 2 C. D.-2
答案：B
2.其次式求值问题
例8：已知，则：
（1） .
（2） .
（3） .
答案：（1）-1 （2） （3）1
变式训练2：已知，则（ ）
- B. C. D.
答案：D
变式训练3：设，且，则的值是（ ）
A. B.2 C.或2 D.不存在
答案：C
3.利用与之间的关系求值
例9：从已知条件，且可以得到以下结论：
（1）
（2）
（3）
答案：①；②；③；④；等等
变式训练4：已知，求的值.
答案：
题型2：三角函数式的化简
例10：化简：
（1）
（2）
答案：（1） （2）.
题型3：三角恒等式的证明
1.一般恒等式的证明
例11：求证：
答案：
变式训练5：求证：.
答案：
2.条件恒成立问题
例12：已知，求证：.
答案：
易错提醒
易错1：忽略分类讨论致错
例13：若，则的值为 .
答案：6或
易错2：忽略隐含条件致错
例14：已知，则的值为 .
答案：
高考链接
考向1：已知某个三角函数值，求其余三角函数值.
例15：若，且为第四象限角，则的值等于（ ）
A. B. C. D.
答案：D
考向2：利用同角三角函数的基本关系求值
例16：已知，则=（ ）
A.-1 B. C. D.1
答案：A
基础巩固
1.已知，并且是第二象限，那么的值等于（ ）
A. B. C. D.
2.已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
3.已知，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知，那么= .
5.已知，则的值为 .
6.已知，且，则 .
7.已知，化简：.
8.已知，求：
（1）的值.
（2）的值.
能力提升
9.如果，那么（ ）
A. B. C. D.
10.已知，，若是第二象限角，则的值为（ ）
A. B.-2 C. D.
11.已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边在直线上，则（ ）
A.-2 B. -1 C. 1 D.2
12.已知，则的值为（ ）
A. B. C. D.
13.若，则的值是（ ）
A.0 B. 1 C. -1 D.
14.已知是关于的方程的两个实数根，且，则（ ）
A. B. C.- D.-
15.已知，则（ ）
A. B.- C. D.-
16.计算： .
17.化简： .
18.已知，且是方程两个根，求和的值.
19.证明：.
参考答案
- A
- A
- C
- 0
- （1）因为
- B
- C
- A
- B
- B
- D
- B
- 1
19.
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