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2018年湖北省武汉市华中师大一附中高中招生数学试卷
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这是一份2018年湖北省武汉市华中师大一附中高中招生数学试卷，共17页。试卷主要包含了a的值为 ，2018的值为 等内容，欢迎下载使用。
2018年湖北省武汉市华中师大一附中高中招生数学试卷
一．选择题（本大题共5小题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，有且只有-项是正确的。）
1．（7分）二次函数y＝x2+2x+c的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，点P（m，n）是图象上一点，那么下列判断正确的是（ ）
A．当n＞0时，m＜x1 B．当n＞0时，m＞x2
C．当n＜0时，m＜0 D．当n＜0时，x1＜m＜x2
2．（7分）已知实数a、b、c满足a＜b＜c，并且k＝++，则直线y＝﹣kx+k一定经过（ ）
A．第一、三、四象限 B．第一、二、四象限
C．第一、二、三象限 D．第二、三、四象限
3．（7分）下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a、b分别为16、22，则输出的a＝（a←a﹣b的含义：将a﹣b的结果赋给a）（ ）
A．0 B．2 C．4 D．14
4．（7分）直线l：kx﹣y﹣2k﹣1＝0被以A（1，0）为圆心，2为半径的⊙A所截得的最短弦长为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
5．（7分）如图，△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝4，BF⊥AC于F，D是AB的中点，E为AC上一点，且2EF＝AC，则tan∠DEF＝（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）
6．（7分）若a+b﹣2﹣4＝3﹣c﹣5，则（b﹣c）a的值为 ．
7．（7分）已知△ABC的一边长为4，另外两边长恰是方程2x2﹣12x+m+1＝0的两实根，则实数m的取值范围是 ．
8．（7分）点D是△ABC的边AB上的一点，使得AB＝3AD，P是△ABC外接圆上一点，使得∠ADP＝∠ACB，则的值为 ．
9．（7分）有十张正面分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，以卡片上的数字作为关于x的不等式5x﹣a≤5中的系数a，使得该不等式的正整数解只有1和2的概率为 ．
10．（7分）若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足（a2018﹣c2018）（a2018﹣d2018）＝2018，（b2018﹣c2018）（b2018﹣d2018）＝2018，则（ab）2018﹣（cd）2018的值为 ．
三、解答题（本大题共3小题，共50分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.）
11．（16分）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．
（1）求证：CE＝CF；
（2）图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE+GD成立吗？为什么？
（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝6，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝2，求DE的长．
12．（16分）如图1，在平面直角坐标系xOy内，已知点A（﹣1，0），B（﹣1，1），C（1，0），D（1，1），记线段AB为L1，线段CD为L2，点P是坐标系内一点，给出如下定义：若存在过点P的直线l与L1，L2都有公共点，则称点P是L1﹣L2相关点．例如，点P（0，1）是L1﹣L2相关点．
（1）以下各点中， 是L1﹣L2相关点（填出所有正确的序号）；
①（﹣1，2）；
②（﹣5，2）；
③（4，2）．
（2）直接在图1中画出所有L1﹣L2相关点所组成的区域，用阴影部分表示；
（3）已知点M在y轴上，以M为圆心，r为半径画圆，若⊙M上有且只有一个点为L1﹣L2相关点．
①当r＝1时，求点M的纵坐标；
②求r的取值范围．
13．（18分）定义：点P（x，y）为平面直角坐标系中的点，若满足x＝y时，则称该点为“平衡点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（，），…都是“平衡点”．
（1）当﹣1≤x≤3时，直线y＝2x+m上存在“平衡点”，则实数m的取值范围是 ；
（2）直线y＝3mx+n﹣1上存在“平衡点”吗？若存在，请求出“平衡点”的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若抛物线y＝ax2+bx+1（a＞0）上存在两个不同的“平衡点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足0＜x1＜2，|x2﹣x1|＝2，令＝b2﹣2b+，试求实数t的取值范围．
2018年湖北省武汉市华中师大一附中高中招生数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共5小题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，有且只有-项是正确的。）
1．（7分）二次函数y＝x2+2x+c的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，点P（m，n）是图象上一点，那么下列判断正确的是（ ）
A．当n＞0时，m＜x1 B．当n＞0时，m＞x2
C．当n＜0时，m＜0 D．当n＜0时，x1＜m＜x2
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x+c，
∴该函数图象开口向上，
∵二次函数y＝x2+2x+c的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，点P（m，n）是图象上一点，
∴当n＞0时，m＜x1或m＞x2，故选项A、B错误；
当n＜0时，x1＜m＜x2，故选项C错误，选项D正确；
故选：D．
2．（7分）已知实数a、b、c满足a＜b＜c，并且k＝++，则直线y＝﹣kx+k一定经过（ ）
A．第一、三、四象限 B．第一、二、四象限
C．第一、二、三象限 D．第二、三、四象限
【分析】根据a＜b＜c，并且k＝++，可以得到k的正负情况，然后根据一次函数的性质，即可得到直线y＝﹣kx+k经过哪几个象限．
【解答】解：∵a＜b＜c，
∴c﹣a＞b﹣a＞0，
∴，
∵k＝++，
∴k＝++＜++＝＜0，
∴直线y＝﹣kx+k经过第一、三、四象限，
故选：A．
3．（7分）下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a、b分别为16、22，则输出的a＝（a←a﹣b的含义：将a﹣b的结果赋给a）（ ）
A．0 B．2 C．4 D．14
【分析】根据程序框图先判断，再执行，分别计算出当前的a、b的值，从而得到结论．
【解答】解：当a＝16、b＝22时，b＝22﹣16＝6，
当a＝16、b＝6时，a＝16﹣6＝10，
当a＝10、b＝6时，a＝10﹣6＝4，
当a＝4、b＝6时，b＝6﹣4＝2，
当a＝4、b＝2时，a＝4﹣2＝2＝b，
故输出的a＝2．
故选：B．
4．（7分）直线l：kx﹣y﹣2k﹣1＝0被以A（1，0）为圆心，2为半径的⊙A所截得的最短弦长为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
【分析】不论k取什么值，直线l一定经过定点，首先求得这个点的坐标，判断与圆的位置关系，然后利用垂径定理即可求．
【解答】解：kx﹣y﹣2k﹣1＝0，
∴y＝kx﹣2k﹣1＝k（x﹣2）﹣1，
∴直线l一定经过点B（2，﹣1），
∵A（1，0），
∴AB＝＜2，
∴点B在⊙A的内部，当直线l⊥AB时，直线l截⊙A所得的弦最短，
∴最短的弦长为：2，
故选：C．
5．（7分）如图，△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝4，BF⊥AC于F，D是AB的中点，E为AC上一点，且2EF＝AC，则tan∠DEF＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系、勾股定理，以及相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：过点A作AM⊥BC，垂足为M，过点D作DN⊥AC，垂足为N，
∵AB＝AC＝8，BC＝4，
∴BM＝MC＝BC＝2，
在Rt△AMC中，
AM＝＝＝2，
又∵BF⊥AC，
∴∠BFC＝∠AMC＝90°，
又∵∠C＝∠C，
∴△BFC∽△AMC，
∴＝＝＝＝，
∴FC＝1，BF＝，
又∵2EF＝AC＝8，
∴EF＝4，
∵D是AB的中点，DN∥BF，
∴DN＝BF＝，AN＝NF＝AF＝（8﹣1）＝，
∴EN＝EC﹣NC＝（4+1）﹣（+1）＝，
在Rt△DEN中，
tan∠DEN＝＝，
即tan∠DEF＝．
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）
6．（7分）若a+b﹣2﹣4＝3﹣c﹣5，则（b﹣c）a的值为 36 ．
【分析】将a+b﹣2﹣4＝3﹣c﹣5变形为a﹣1﹣2+1+b﹣2﹣4+（c﹣3﹣6+9）＝0，配方后根据非负数的性质可求a，b，c，再代入计算即可求解．
【解答】解：∵a+b﹣2﹣4＝3﹣c﹣5，
∴a﹣1﹣2+1+b﹣2﹣4+（c﹣3﹣6+9）＝0，
即（﹣1）2+（﹣2）2+（﹣3）2＝0，
∴﹣1＝0，﹣2＝0，﹣3＝0，
解得a＝2，b＝6，c＝12，
∴（b﹣c）a＝（6﹣12）2＝36．
故答案为：36．
7．（7分）已知△ABC的一边长为4，另外两边长恰是方程2x2﹣12x+m+1＝0的两实根，则实数m的取值范围是 9＜m≤17 ．
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系及三角形的三边关系可得到（x1﹣x2）2＜16，把两根之积与两根之和代入（x1﹣x2）2的变形中，可求得m的取值范围，再由根的判别式确定出m的最后取值范围．
【解答】解：由根与系数的关系可得：x1+x2＝6，x1•x2＝，
又有三角形的三边关系可得：|x1﹣x2|＜4，
则（x1﹣x2）2＜16，
即（x1+x2）2﹣4x1•x2＜16，
即：36﹣2m﹣2＜16，
解得：m＞9；
既然方程有两个实根，则△≥0，
解得m≤17．
故答案为：9＜m≤17．
8．（7分）点D是△ABC的边AB上的一点，使得AB＝3AD，P是△ABC外接圆上一点，使得∠ADP＝∠ACB，则的值为 ．
【分析】连接AP，由圆周角定理可得出∠APB＝∠ACB，进而可得出∠APB＝∠ACB＝∠ADP，由相似三角形的判定定理可得出△APB∽△ADP，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
【解答】解：连接AP，
∵∠APB与∠ACB是所对的圆周角，
∴∠APB＝∠ACB，
∵∠ADP＝∠ACB，
∴∠APB＝∠ACB＝∠ADP，
∵∠DAP＝∠DAP，
∴△APB∽△ADP，
∴＝＝，
∴AP2＝AD•AB＝AD•（3AD）＝3AD2，
∴＝＝＝．
故答案为：．
9．（7分）有十张正面分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，以卡片上的数字作为关于x的不等式5x﹣a≤5中的系数a，使得该不等式的正整数解只有1和2的概率为 ．
【分析】先解不等式得到x≤，再利用不等式的整数得到∴2≤＜3，解得5≤a＜10，然后根据概率公式求解．
【解答】解：解不等式5x﹣a≤5得x≤，
∵该不等式的正整数解只有1和2，
∴2≤＜3，解得5≤a＜10，
∵从10张中任取一张，取的数满足5≤a＜10有5个，
∴洗匀后从中任取一张，以卡片上的数字作为关于x的不等式5x﹣a≤5中的系数a，使得该不等式的正整数解只有1和2的概率＝＝．
故答案为．
10．（7分）若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足（a2018﹣c2018）（a2018﹣d2018）＝2018，（b2018﹣c2018）（b2018﹣d2018）＝2018，则（ab）2018﹣（cd）2018的值为 ﹣2018 ．
【分析】根据题意可将a2018与b2018看做方程（x﹣c2018）（x﹣d2028）＝2018的两个解，把所求的式子被减数利用积的乘方逆运算变形后换为x1x2，把方程整理后，利用根与系数的关系表示出x1x2，代入整理后的式子中，即可求出所求式子的值．
【解答】解：设a2018与b2018看做方程（x﹣c2018）（x﹣d2018）＝2018的两个解，
方程整理得：x2﹣（c2018+d2018）x+（cd）2018﹣2018＝0，
则（ab）2018﹣（cd）2018＝，
又x1x2＝（cd）2018﹣2018，
则（ab）2018﹣（cd）2018＝＝（cd）2018﹣2018﹣（cd）2018＝﹣2018．
故答案为：﹣2018．
三、解答题（本大题共3小题，共50分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.）
11．（16分）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．
（1）求证：CE＝CF；
（2）图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE+GD成立吗？为什么？
（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝6，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝2，求DE的长．
【分析】（1）根据正方形的性质可知：CB＝CD，DF＝BE，∠B＝∠CDA，于是证得△CEB≌△CFD，即可证出CE＝CF，
（2）首先证出∠ECF＝90°，故可知∠FCG＝45°，于是证得△CEG≌△CFG，即可证出GE＝GF＝DF+GD＝BE+GD，
（3）首先求出DE＝DF＝DG+BE＝DG+2＝AB﹣AD+2＝6﹣AD+2＝8﹣AD，然后根据勾股定理的知识求出AD的值，进而求出DE的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝CD，∠B＝∠CDA，
∵DF＝BE，
∴△CEB≌△CFD，
∴CE＝CF，
（2）解：成立．理由如下：
过C作CG⊥DF，
证得∠ECF＝90°，
∴∠FCG＝45°，
证得△CEG≌△CFG（SAS），
∴GE＝GF＝DF+GD＝BE+GD，
（3）解：延长AD到F，使得DF＝DE，过C作CG⊥DF，
同理得：DE＝DF＝DG+BE＝DG+2＝AB﹣AD+2＝6﹣AD+2＝8﹣AD，
又∵DE＝，
∴，
∴AD＝3，
∴DE＝5．
12．（16分）如图1，在平面直角坐标系xOy内，已知点A（﹣1，0），B（﹣1，1），C（1，0），D（1，1），记线段AB为L1，线段CD为L2，点P是坐标系内一点，给出如下定义：若存在过点P的直线l与L1，L2都有公共点，则称点P是L1﹣L2相关点．例如，点P（0，1）是L1﹣L2相关点．
（1）以下各点中， ②③ 是L1﹣L2相关点（填出所有正确的序号）；
①（﹣1，2）；
②（﹣5，2）；
③（4，2）．
（2）直接在图1中画出所有L1﹣L2相关点所组成的区域，用阴影部分表示；
（3）已知点M在y轴上，以M为圆心，r为半径画圆，若⊙M上有且只有一个点为L1﹣L2相关点．
①当r＝1时，求点M的纵坐标；
②求r的取值范围．
【分析】（1）画出图象，根据L1﹣L2相关点定义判断即可；
（2）连接BD、BC、AD，即可得到所有L1﹣L2相关点所组成的区域；
（3）①画出图形，由M在y轴上，⊙M上只有一个点为L1﹣L2相关点，知⊙M与AC相切或⊙M与BD相切，即可得到M的坐标为（0，﹣1）或（0，2）；
②画出图形，不妨设M位于阴影部分下方，则⊙M与AC相切于O（0，0），且⊙M与直线AD相离，过M作ME⊥AD于E，设AD与BC交于F，在Rt△AOF中，可得sin∠AFO＝＝，在Rt△FEM中，ME＝（+r）•，根据（+r）•＞r，即可得r＜2+，故r的取值范围是0＜r＜2+．
【解答】解：（1）如图：
由图可知，过（﹣5，2）、（4，2）都存在直线，与L1，L2都有公共点，而过（﹣1，2）不能作直线，使直线和L1，L2都有公共点，根据L1﹣L2相关点的定义，（﹣5，2）、（4，2）是L1﹣L2相关点，（﹣1，2）不是L1﹣L2相关点，
故答案为：②③；
（2）所有L1﹣L2相关点所组成的区域，用阴影部分表示如下（含边界）：
（3）①如图：
∵M在y轴上，⊙M上只有一个点为L1﹣L2相关点，
∴⊙M与AC相切或⊙M与BD相切，
∵⊙M的半径r＝1，
∴M（0，﹣1）或M'（0，2），
即⊙M上有且只有一个点为L1﹣L2相关点，M的坐标为（0，﹣1）或（0，2）；
②阴影部分关于直线y＝对称，故不妨设M位于阴影部分下方，如图：
∵点M在y轴上，⊙M上有且只有一个点为L1﹣L2相关点，阴影部分关于y轴对称，
∴⊙M与AC相切于O（0，0），且⊙M与直线AD相离，
过M作ME⊥AD于E，设AD与BC交于F，
∴MO＝r，ME＞r，F（0，），
在Rt△AOF中，∠AOF＝90°，OA＝1，OF＝，
∴AF＝＝，
∴sin∠AFO＝＝，
在Rt△FEM中，FM＝OF+OM＝+r，
∴ME＝FM•sin∠EFM＝FM•sin∠AFO＝（+r）•，
∴（+r）•＞r，
解得r＜2+，
∴r的取值范围是0＜r＜2+．
13．（18分）定义：点P（x，y）为平面直角坐标系中的点，若满足x＝y时，则称该点为“平衡点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（，），…都是“平衡点”．
（1）当﹣1≤x≤3时，直线y＝2x+m上存在“平衡点”，则实数m的取值范围是 ﹣3≤m≤1 ；
（2）直线y＝3mx+n﹣1上存在“平衡点”吗？若存在，请求出“平衡点”的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若抛物线y＝ax2+bx+1（a＞0）上存在两个不同的“平衡点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足0＜x1＜2，|x2﹣x1|＝2，令＝b2﹣2b+，试求实数t的取值范围．
【分析】（1）根据x＝y，﹣1≤x≤3可得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可；
（2）联立方程，分三种情况讨论；
（3）先将A（x1，x1），B（x2，x2）代入y＝ax2+bx+1，得到ax12+（b﹣1）x1+1＝0，ax22+（b﹣1）x2+1＝0，根据方程的解的定义可知x1，x2是一元二次方程ax2+（b﹣1）x+1＝0的两个根，由根与系数的关系可得x1+x2＝，x1•x2＝，则（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝＝4，整理得出b2﹣2b＝（2a+1）2﹣2，则t＝b2﹣2b+＝（2a+1）2+．再由﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|＝2，得出﹣4＜x2＜4，﹣8＜x1•x2＜8，即﹣8＜＜8，又a＞0，解不等式组得出a＞，进而求出t的取值范围．
【解答】解：（1）∵x＝y，
∴x＝2x+m，即x＝﹣m．
∵﹣1≤x≤3，
∴﹣1≤﹣m≤3，
∴﹣3≤m≤1，
故答案为：﹣3≤m≤1；
（2）若直线y＝3mx+n﹣1上存在“平衡点”，
∴3mx+n﹣1＝x，
∴（3m﹣1）x＝1﹣n，
当3m﹣1＝0，1﹣n＝0，即m＝，n＝1，此时方程有无数个解，此时直线y＝3mx+n﹣1上所有点都是“平衡点”，坐标为（x，x），x为任意实数；
当3m﹣1＝0，1﹣n≠0，即m＝，n≠1，此时方程无解，此时直线上不存在“平衡点”；
当3m﹣1≠0，即m≠，此时方程有唯一解为x＝，此时直线上只有一个“平衡点”，坐标为（，）；
（3）联立方程组可得：，
可得ax2+（b﹣1）x+1＝0，
∵抛物线上存在两个不同的“平衡点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足0＜x1＜2，
∴x1+x2＝，x1•x2＝，△＝（b﹣1）2﹣4a＞0，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝（）2﹣4•＝＝4，
∴b2﹣2b＝4a2+4a﹣1＝（2a+1）2﹣2，
∴t＝b2﹣2b+＝（2a+1）2﹣2+＝（2a+1）2+．
∵﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|＝2，
∴﹣4＜x2＜0或0＜x2＜4，
∴﹣4＜x2＜4，
∴﹣8＜x1•x2＜8，
∴﹣8＜＜8，
∵a＞0，
∴a＞，
∴（2a+1）2+＞+＝2，
∴t＞2．
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日期：2021/8/10 22:53:06；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
2018年湖北省武汉市华中师大一附中高中招生数学试卷
一．选择题（本大题共5小题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，有且只有-项是正确的。）
1．（7分）二次函数y＝x2+2x+c的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，点P（m，n）是图象上一点，那么下列判断正确的是（ ）
A．当n＞0时，m＜x1 B．当n＞0时，m＞x2
C．当n＜0时，m＜0 D．当n＜0时，x1＜m＜x2
2．（7分）已知实数a、b、c满足a＜b＜c，并且k＝++，则直线y＝﹣kx+k一定经过（ ）
A．第一、三、四象限 B．第一、二、四象限
C．第一、二、三象限 D．第二、三、四象限
3．（7分）下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a、b分别为16、22，则输出的a＝（a←a﹣b的含义：将a﹣b的结果赋给a）（ ）
A．0 B．2 C．4 D．14
4．（7分）直线l：kx﹣y﹣2k﹣1＝0被以A（1，0）为圆心，2为半径的⊙A所截得的最短弦长为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
5．（7分）如图，△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝4，BF⊥AC于F，D是AB的中点，E为AC上一点，且2EF＝AC，则tan∠DEF＝（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）
6．（7分）若a+b﹣2﹣4＝3﹣c﹣5，则（b﹣c）a的值为 ．
7．（7分）已知△ABC的一边长为4，另外两边长恰是方程2x2﹣12x+m+1＝0的两实根，则实数m的取值范围是 ．
8．（7分）点D是△ABC的边AB上的一点，使得AB＝3AD，P是△ABC外接圆上一点，使得∠ADP＝∠ACB，则的值为 ．
9．（7分）有十张正面分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，以卡片上的数字作为关于x的不等式5x﹣a≤5中的系数a，使得该不等式的正整数解只有1和2的概率为 ．
10．（7分）若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足（a2018﹣c2018）（a2018﹣d2018）＝2018，（b2018﹣c2018）（b2018﹣d2018）＝2018，则（ab）2018﹣（cd）2018的值为 ．
三、解答题（本大题共3小题，共50分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.）
11．（16分）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．
（1）求证：CE＝CF；
（2）图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE+GD成立吗？为什么？
（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝6，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝2，求DE的长．
12．（16分）如图1，在平面直角坐标系xOy内，已知点A（﹣1，0），B（﹣1，1），C（1，0），D（1，1），记线段AB为L1，线段CD为L2，点P是坐标系内一点，给出如下定义：若存在过点P的直线l与L1，L2都有公共点，则称点P是L1﹣L2相关点．例如，点P（0，1）是L1﹣L2相关点．
（1）以下各点中， 是L1﹣L2相关点（填出所有正确的序号）；
①（﹣1，2）；
②（﹣5，2）；
③（4，2）．
（2）直接在图1中画出所有L1﹣L2相关点所组成的区域，用阴影部分表示；
（3）已知点M在y轴上，以M为圆心，r为半径画圆，若⊙M上有且只有一个点为L1﹣L2相关点．
①当r＝1时，求点M的纵坐标；
②求r的取值范围．
13．（18分）定义：点P（x，y）为平面直角坐标系中的点，若满足x＝y时，则称该点为“平衡点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（，），…都是“平衡点”．
（1）当﹣1≤x≤3时，直线y＝2x+m上存在“平衡点”，则实数m的取值范围是 ；
（2）直线y＝3mx+n﹣1上存在“平衡点”吗？若存在，请求出“平衡点”的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若抛物线y＝ax2+bx+1（a＞0）上存在两个不同的“平衡点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足0＜x1＜2，|x2﹣x1|＝2，令＝b2﹣2b+，试求实数t的取值范围．
2018年湖北省武汉市华中师大一附中高中招生数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（本大题共5小题，每小题7分，共35分。在每小题给出的四个选项中，有且只有-项是正确的。）
1．（7分）二次函数y＝x2+2x+c的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，点P（m，n）是图象上一点，那么下列判断正确的是（ ）
A．当n＞0时，m＜x1 B．当n＞0时，m＞x2
C．当n＜0时，m＜0 D．当n＜0时，x1＜m＜x2
【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x+c，
∴该函数图象开口向上，
∵二次函数y＝x2+2x+c的图象与x轴的两个交点为A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，点P（m，n）是图象上一点，
∴当n＞0时，m＜x1或m＞x2，故选项A、B错误；
当n＜0时，x1＜m＜x2，故选项C错误，选项D正确；
故选：D．
2．（7分）已知实数a、b、c满足a＜b＜c，并且k＝++，则直线y＝﹣kx+k一定经过（ ）
A．第一、三、四象限 B．第一、二、四象限
C．第一、二、三象限 D．第二、三、四象限
【分析】根据a＜b＜c，并且k＝++，可以得到k的正负情况，然后根据一次函数的性质，即可得到直线y＝﹣kx+k经过哪几个象限．
【解答】解：∵a＜b＜c，
∴c﹣a＞b﹣a＞0，
∴，
∵k＝++，
∴k＝++＜++＝＜0，
∴直线y＝﹣kx+k经过第一、三、四象限，
故选：A．
3．（7分）下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中“更相减损术”．执行该程序框图，若输入的a、b分别为16、22，则输出的a＝（a←a﹣b的含义：将a﹣b的结果赋给a）（ ）
A．0 B．2 C．4 D．14
【分析】根据程序框图先判断，再执行，分别计算出当前的a、b的值，从而得到结论．
【解答】解：当a＝16、b＝22时，b＝22﹣16＝6，
当a＝16、b＝6时，a＝16﹣6＝10，
当a＝10、b＝6时，a＝10﹣6＝4，
当a＝4、b＝6时，b＝6﹣4＝2，
当a＝4、b＝2时，a＝4﹣2＝2＝b，
故输出的a＝2．
故选：B．
4．（7分）直线l：kx﹣y﹣2k﹣1＝0被以A（1，0）为圆心，2为半径的⊙A所截得的最短弦长为（ ）
A． B．2 C．2 D．4
【分析】不论k取什么值，直线l一定经过定点，首先求得这个点的坐标，判断与圆的位置关系，然后利用垂径定理即可求．
【解答】解：kx﹣y﹣2k﹣1＝0，
∴y＝kx﹣2k﹣1＝k（x﹣2）﹣1，
∴直线l一定经过点B（2，﹣1），
∵A（1，0），
∴AB＝＜2，
∴点B在⊙A的内部，当直线l⊥AB时，直线l截⊙A所得的弦最短，
∴最短的弦长为：2，
故选：C．
5．（7分）如图，△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝4，BF⊥AC于F，D是AB的中点，E为AC上一点，且2EF＝AC，则tan∠DEF＝（ ）
A． B． C． D．
【分析】通过作垂线，构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系、勾股定理，以及相似三角形的性质求解即可．
【解答】解：过点A作AM⊥BC，垂足为M，过点D作DN⊥AC，垂足为N，
∵AB＝AC＝8，BC＝4，
∴BM＝MC＝BC＝2，
在Rt△AMC中，
AM＝＝＝2，
又∵BF⊥AC，
∴∠BFC＝∠AMC＝90°，
又∵∠C＝∠C，
∴△BFC∽△AMC，
∴＝＝＝＝，
∴FC＝1，BF＝，
又∵2EF＝AC＝8，
∴EF＝4，
∵D是AB的中点，DN∥BF，
∴DN＝BF＝，AN＝NF＝AF＝（8﹣1）＝，
∴EN＝EC﹣NC＝（4+1）﹣（+1）＝，
在Rt△DEN中，
tan∠DEN＝＝，
即tan∠DEF＝．
故选：C．
二、填空题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）
6．（7分）若a+b﹣2﹣4＝3﹣c﹣5，则（b﹣c）a的值为 36 ．
【分析】将a+b﹣2﹣4＝3﹣c﹣5变形为a﹣1﹣2+1+b﹣2﹣4+（c﹣3﹣6+9）＝0，配方后根据非负数的性质可求a，b，c，再代入计算即可求解．
【解答】解：∵a+b﹣2﹣4＝3﹣c﹣5，
∴a﹣1﹣2+1+b﹣2﹣4+（c﹣3﹣6+9）＝0，
即（﹣1）2+（﹣2）2+（﹣3）2＝0，
∴﹣1＝0，﹣2＝0，﹣3＝0，
解得a＝2，b＝6，c＝12，
∴（b﹣c）a＝（6﹣12）2＝36．
故答案为：36．
7．（7分）已知△ABC的一边长为4，另外两边长恰是方程2x2﹣12x+m+1＝0的两实根，则实数m的取值范围是 9＜m≤17 ．
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系及三角形的三边关系可得到（x1﹣x2）2＜16，把两根之积与两根之和代入（x1﹣x2）2的变形中，可求得m的取值范围，再由根的判别式确定出m的最后取值范围．
【解答】解：由根与系数的关系可得：x1+x2＝6，x1•x2＝，
又有三角形的三边关系可得：|x1﹣x2|＜4，
则（x1﹣x2）2＜16，
即（x1+x2）2﹣4x1•x2＜16，
即：36﹣2m﹣2＜16，
解得：m＞9；
既然方程有两个实根，则△≥0，
解得m≤17．
故答案为：9＜m≤17．
8．（7分）点D是△ABC的边AB上的一点，使得AB＝3AD，P是△ABC外接圆上一点，使得∠ADP＝∠ACB，则的值为 ．
【分析】连接AP，由圆周角定理可得出∠APB＝∠ACB，进而可得出∠APB＝∠ACB＝∠ADP，由相似三角形的判定定理可得出△APB∽△ADP，再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
【解答】解：连接AP，
∵∠APB与∠ACB是所对的圆周角，
∴∠APB＝∠ACB，
∵∠ADP＝∠ACB，
∴∠APB＝∠ACB＝∠ADP，
∵∠DAP＝∠DAP，
∴△APB∽△ADP，
∴＝＝，
∴AP2＝AD•AB＝AD•（3AD）＝3AD2，
∴＝＝＝．
故答案为：．
9．（7分）有十张正面分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9，10的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同，将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，以卡片上的数字作为关于x的不等式5x﹣a≤5中的系数a，使得该不等式的正整数解只有1和2的概率为 ．
【分析】先解不等式得到x≤，再利用不等式的整数得到∴2≤＜3，解得5≤a＜10，然后根据概率公式求解．
【解答】解：解不等式5x﹣a≤5得x≤，
∵该不等式的正整数解只有1和2，
∴2≤＜3，解得5≤a＜10，
∵从10张中任取一张，取的数满足5≤a＜10有5个，
∴洗匀后从中任取一张，以卡片上的数字作为关于x的不等式5x﹣a≤5中的系数a，使得该不等式的正整数解只有1和2的概率＝＝．
故答案为．
10．（7分）若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足（a2018﹣c2018）（a2018﹣d2018）＝2018，（b2018﹣c2018）（b2018﹣d2018）＝2018，则（ab）2018﹣（cd）2018的值为 ﹣2018 ．
【分析】根据题意可将a2018与b2018看做方程（x﹣c2018）（x﹣d2028）＝2018的两个解，把所求的式子被减数利用积的乘方逆运算变形后换为x1x2，把方程整理后，利用根与系数的关系表示出x1x2，代入整理后的式子中，即可求出所求式子的值．
【解答】解：设a2018与b2018看做方程（x﹣c2018）（x﹣d2018）＝2018的两个解，
方程整理得：x2﹣（c2018+d2018）x+（cd）2018﹣2018＝0，
则（ab）2018﹣（cd）2018＝，
又x1x2＝（cd）2018﹣2018，
则（ab）2018﹣（cd）2018＝＝（cd）2018﹣2018﹣（cd）2018＝﹣2018．
故答案为：﹣2018．
三、解答题（本大题共3小题，共50分解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.）
11．（16分）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．
（1）求证：CE＝CF；
（2）图1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，则GE＝BE+GD成立吗？为什么？
（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图2，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC＝6，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝2，求DE的长．
【分析】（1）根据正方形的性质可知：CB＝CD，DF＝BE，∠B＝∠CDA，于是证得△CEB≌△CFD，即可证出CE＝CF，
（2）首先证出∠ECF＝90°，故可知∠FCG＝45°，于是证得△CEG≌△CFG，即可证出GE＝GF＝DF+GD＝BE+GD，
（3）首先求出DE＝DF＝DG+BE＝DG+2＝AB﹣AD+2＝6﹣AD+2＝8﹣AD，然后根据勾股定理的知识求出AD的值，进而求出DE的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴CB＝CD，∠B＝∠CDA，
∵DF＝BE，
∴△CEB≌△CFD，
∴CE＝CF，
（2）解：成立．理由如下：
过C作CG⊥DF，
证得∠ECF＝90°，
∴∠FCG＝45°，
证得△CEG≌△CFG（SAS），
∴GE＝GF＝DF+GD＝BE+GD，
（3）解：延长AD到F，使得DF＝DE，过C作CG⊥DF，
同理得：DE＝DF＝DG+BE＝DG+2＝AB﹣AD+2＝6﹣AD+2＝8﹣AD，
又∵DE＝，
∴，
∴AD＝3，
∴DE＝5．
12．（16分）如图1，在平面直角坐标系xOy内，已知点A（﹣1，0），B（﹣1，1），C（1，0），D（1，1），记线段AB为L1，线段CD为L2，点P是坐标系内一点，给出如下定义：若存在过点P的直线l与L1，L2都有公共点，则称点P是L1﹣L2相关点．例如，点P（0，1）是L1﹣L2相关点．
（1）以下各点中， ②③ 是L1﹣L2相关点（填出所有正确的序号）；
①（﹣1，2）；
②（﹣5，2）；
③（4，2）．
（2）直接在图1中画出所有L1﹣L2相关点所组成的区域，用阴影部分表示；
（3）已知点M在y轴上，以M为圆心，r为半径画圆，若⊙M上有且只有一个点为L1﹣L2相关点．
①当r＝1时，求点M的纵坐标；
②求r的取值范围．
【分析】（1）画出图象，根据L1﹣L2相关点定义判断即可；
（2）连接BD、BC、AD，即可得到所有L1﹣L2相关点所组成的区域；
（3）①画出图形，由M在y轴上，⊙M上只有一个点为L1﹣L2相关点，知⊙M与AC相切或⊙M与BD相切，即可得到M的坐标为（0，﹣1）或（0，2）；
②画出图形，不妨设M位于阴影部分下方，则⊙M与AC相切于O（0，0），且⊙M与直线AD相离，过M作ME⊥AD于E，设AD与BC交于F，在Rt△AOF中，可得sin∠AFO＝＝，在Rt△FEM中，ME＝（+r）•，根据（+r）•＞r，即可得r＜2+，故r的取值范围是0＜r＜2+．
【解答】解：（1）如图：
由图可知，过（﹣5，2）、（4，2）都存在直线，与L1，L2都有公共点，而过（﹣1，2）不能作直线，使直线和L1，L2都有公共点，根据L1﹣L2相关点的定义，（﹣5，2）、（4，2）是L1﹣L2相关点，（﹣1，2）不是L1﹣L2相关点，
故答案为：②③；
（2）所有L1﹣L2相关点所组成的区域，用阴影部分表示如下（含边界）：
（3）①如图：
∵M在y轴上，⊙M上只有一个点为L1﹣L2相关点，
∴⊙M与AC相切或⊙M与BD相切，
∵⊙M的半径r＝1，
∴M（0，﹣1）或M'（0，2），
即⊙M上有且只有一个点为L1﹣L2相关点，M的坐标为（0，﹣1）或（0，2）；
②阴影部分关于直线y＝对称，故不妨设M位于阴影部分下方，如图：
∵点M在y轴上，⊙M上有且只有一个点为L1﹣L2相关点，阴影部分关于y轴对称，
∴⊙M与AC相切于O（0，0），且⊙M与直线AD相离，
过M作ME⊥AD于E，设AD与BC交于F，
∴MO＝r，ME＞r，F（0，），
在Rt△AOF中，∠AOF＝90°，OA＝1，OF＝，
∴AF＝＝，
∴sin∠AFO＝＝，
在Rt△FEM中，FM＝OF+OM＝+r，
∴ME＝FM•sin∠EFM＝FM•sin∠AFO＝（+r）•，
∴（+r）•＞r，
解得r＜2+，
∴r的取值范围是0＜r＜2+．
13．（18分）定义：点P（x，y）为平面直角坐标系中的点，若满足x＝y时，则称该点为“平衡点”，例如点（﹣1，﹣1），（0，0），（，），…都是“平衡点”．
（1）当﹣1≤x≤3时，直线y＝2x+m上存在“平衡点”，则实数m的取值范围是 ﹣3≤m≤1 ；
（2）直线y＝3mx+n﹣1上存在“平衡点”吗？若存在，请求出“平衡点”的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若抛物线y＝ax2+bx+1（a＞0）上存在两个不同的“平衡点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足0＜x1＜2，|x2﹣x1|＝2，令＝b2﹣2b+，试求实数t的取值范围．
【分析】（1）根据x＝y，﹣1≤x≤3可得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可；
（2）联立方程，分三种情况讨论；
（3）先将A（x1，x1），B（x2，x2）代入y＝ax2+bx+1，得到ax12+（b﹣1）x1+1＝0，ax22+（b﹣1）x2+1＝0，根据方程的解的定义可知x1，x2是一元二次方程ax2+（b﹣1）x+1＝0的两个根，由根与系数的关系可得x1+x2＝，x1•x2＝，则（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝＝4，整理得出b2﹣2b＝（2a+1）2﹣2，则t＝b2﹣2b+＝（2a+1）2+．再由﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|＝2，得出﹣4＜x2＜4，﹣8＜x1•x2＜8，即﹣8＜＜8，又a＞0，解不等式组得出a＞，进而求出t的取值范围．
【解答】解：（1）∵x＝y，
∴x＝2x+m，即x＝﹣m．
∵﹣1≤x≤3，
∴﹣1≤﹣m≤3，
∴﹣3≤m≤1，
故答案为：﹣3≤m≤1；
（2）若直线y＝3mx+n﹣1上存在“平衡点”，
∴3mx+n﹣1＝x，
∴（3m﹣1）x＝1﹣n，
当3m﹣1＝0，1﹣n＝0，即m＝，n＝1，此时方程有无数个解，此时直线y＝3mx+n﹣1上所有点都是“平衡点”，坐标为（x，x），x为任意实数；
当3m﹣1＝0，1﹣n≠0，即m＝，n≠1，此时方程无解，此时直线上不存在“平衡点”；
当3m﹣1≠0，即m≠，此时方程有唯一解为x＝，此时直线上只有一个“平衡点”，坐标为（，）；
（3）联立方程组可得：，
可得ax2+（b﹣1）x+1＝0，
∵抛物线上存在两个不同的“平衡点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足0＜x1＜2，
∴x1+x2＝，x1•x2＝，△＝（b﹣1）2﹣4a＞0，
∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1•x2＝（）2﹣4•＝＝4，
∴b2﹣2b＝4a2+4a﹣1＝（2a+1）2﹣2，
∴t＝b2﹣2b+＝（2a+1）2﹣2+＝（2a+1）2+．
∵﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|＝2，
∴﹣4＜x2＜0或0＜x2＜4，
∴﹣4＜x2＜4，
∴﹣8＜x1•x2＜8，
∴﹣8＜＜8，
∵a＞0，
∴a＞，
∴（2a+1）2+＞+＝2，
∴t＞2．
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日期：2021/8/10 22:53:06；用户：节节高5；邮箱：5jiejg@xyh.com；学号：37675298
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