人教版新课标A必修1第二章 基本初等函数（Ⅰ）2.3 幂函数达标测试

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2021年新高一数学人教A版新课预习《2.3幂函数》
一．选择题（共5小题）
1．（2021•日照模拟）已知幂函数y＝xa的图象经过点（2，4），则f（﹣3）＝（　　）
A．﹣9 B．9 C．3 D．﹣3
2．（2021•延庆区一模）已知定义在R上的幂函数f（x）＝xm（m为实数）过点A（2，8），记a＝f（log0.53），b＝f（log25），c＝f（m），则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a
3．（2021春•瑶海区月考）已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m+1）x2m﹣1在（0，+∞）上为增函数、则实数m的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．0或2
4．（2020秋•河南期末）已知幂函数的图象在（0，+∞）上单调递减，则实数a的值是（　　）
A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．
5．（2020秋•荆州期末）已知函数是幂函数，且在（0，+∞）上单调递减，则m＝（　　）
A．0 B．﹣1 C．2 D．2或﹣1
二．填空题（共5小题）
6．（2020秋•郴州期末）已知幂函数f（x）＝xα图象过点，则f（9）＝　 　．
7．（2020秋•平罗县校级期末）已知幂函数y＝f（x）的图象经过点，则f（64）＝　 　．
8．（2021春•安徽月考）已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）xm是偶函数，则f（2）＝　 　．
9．（2021春•朝阳区校级月考）若幂函数f（x）＝xα的图象经过点（2，8），则＝　 　．
10．（2020秋•南京期末）已知幂函数y＝xα的图象过点，则实数α的值是　 　．
三．解答题（共5小题）
11．（2020秋•兰州期末）已知幂函数g（x）＝（m2﹣3）xm（m∈R）在（0，+∞）为减函数，且对数函数f（x）满足f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）＝
（1）求g（x）、f（x）的解析式
（2）若实数a满足f（2a﹣1）＜f（5﹣a），求实数a的取值范围．
12．（2019秋•红岗区校级期末）已知幂函数，且在（0，+∞）上为增函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（a+1）＜f（3﹣2a），求a的取值范围．
13．（2020秋•重庆月考）已知幂函数f（x）＝（m2﹣4m+4）xm﹣2在（0，+∞）上单调递减．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若正数a，b满足2a+3b＝m，求的最小值．
14．（2019秋•拉萨期末）（Ⅰ）已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（3，9），求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）计算：．
15．（2020秋•深圳期中）已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点A（，）．
（1）求实数a的值；
（2）用定义法证明f（x）在区间（0，+∞）内是减函数．

2021年新高一数学人教A版新课预习《2.3幂函数》
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2021•日照模拟）已知幂函数y＝xa的图象经过点（2，4），则f（﹣3）＝（　　）
A．﹣9 B．9 C．3 D．﹣3
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．菁优网版权所有
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据幂函数的图象过点（2，4）求出函数解析式，再计算所求的函数值．
【解答】解：因为幂函数y＝xa的图象过点（2，4），
所以2a＝4，a＝2，
y＝f（x）＝x2，
所以f（﹣3）＝（﹣3）2＝9．
故选：B．
【点评】本题考查了利用待定系数法求幂函数的解析式与计算函数值的问题，是基础题．
2．（2021•延庆区一模）已知定义在R上的幂函数f（x）＝xm（m为实数）过点A（2，8），记a＝f（log0.53），b＝f（log25），c＝f（m），则a，b，c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．c＜a＜b D．c＜b＜a
【考点】幂函数的性质．菁优网版权所有
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】求出函数f（x）的解析式，根据函数的单调性求出a，b，c的大小关系即可．
【解答】解：将A（2，8）代入f（x），得：2m＝8，解得：m＝3，
故f（x）＝x3，f′（x）＝3x2≥0，f（x）在R单调递增，
而log0.53＜0，2＜log25＜3，m＝3，
故a＜b＜c，故选：A．
【点评】本题考查了幂函数的定义，考查函数的单调性问题，考查函数值的大小比较，是基础题．
3．（2021春•瑶海区月考）已知幂函数f（x）＝（m2﹣2m+1）x2m﹣1在（0，+∞）上为增函数、则实数m的值为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．0或2
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的性质．菁优网版权所有
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据幂函数的定义以及函数的单调性求出m的值即可．
【解答】解：由题意得：，
解得：m＝2，
故选：C．
【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查幂函数的性质，是基础题．
4．（2020秋•河南期末）已知幂函数的图象在（0，+∞）上单调递减，则实数a的值是（　　）
A．1 B．﹣2 C．1或﹣2 D．
【考点】幂函数的性质．菁优网版权所有
【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】由幂函数的定义与性质，列方程求出a的值，再确定是否满足题意．
【解答】解：由函数是幂函数，
所以a2+a﹣1＝1，解得a＝1或a＝﹣2；
当a＝1时，f（x）＝x﹣4在（0，+∞）上单调递减，满足题意；
当a＝﹣2时，f（x）＝x5在（0，+∞）上单调递增，不满足题意；
所以a＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了幂函数的定义与性质应用问题，是基础题．
5．（2020秋•荆州期末）已知函数是幂函数，且在（0，+∞）上单调递减，则m＝（　　）
A．0 B．﹣1 C．2 D．2或﹣1
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．菁优网版权所有
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据幂函数的定义以及函数的单调性求出m的值即可．
【解答】解：由函数f（x）是幂函数，
则m2﹣m﹣1＝1，解得m＝2或m＝﹣1，
又函数f（x）在（0，+∞）上单调递减，
则m3﹣1＜0，即m＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查了幂函数的定义，考查函数的单调性问题，是基础题．
二．填空题（共5小题）
6．（2020秋•郴州期末）已知幂函数f（x）＝xα图象过点，则f（9）＝　　．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．菁优网版权所有
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】由幂函数f（x）＝xα图象过点，推导出f（x）＝x﹣1，由此能求出f（9）．
【解答】解：∵幂函数f（x）＝xα图象过点，
∴f（2）＝2α＝，解得α＝﹣1，
∴f（x）＝x﹣1，
∴f（9）＝9﹣1＝．
故答案为：．
【点评】本题考查函数值的求法，考查幂函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7．（2020秋•平罗县校级期末）已知幂函数y＝f（x）的图象经过点，则f（64）＝　8　．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．菁优网版权所有
【专题】函数思想；待定系数法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】利用待定系数法求出幂函数y＝f（x）的解析式，再计算f（64）的值．
【解答】解：设幂函数y＝f（x）＝xα，
由f（x）的图象过点，所以2α＝，
解得α＝，所以f（x）＝，
所以f（64）＝＝8．
故答案为：8．
【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．
8．（2021春•安徽月考）已知幂函数f（x）＝（m2﹣3m+3）xm是偶函数，则f（2）＝　4　．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．菁优网版权所有
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据幂函数的定义以及函数的奇偶性，求出函数的解析式，求出f（2）的值即可．
【解答】解：由题意得：f（x）是幂函数，
则m2﹣3m+3＝1，解得：m＝1或m＝2，
当m＝1时，f（x）＝x，为奇函数，不合题意，
当m＝2时，f（x）＝x2，为偶函数，符合题意，
故f（x）＝x2，故f（2）＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了幂函数的定义以及函数的奇偶性问题，是基础题．
9．（2021春•朝阳区校级月考）若幂函数f（x）＝xα的图象经过点（2，8），则＝　　．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．菁优网版权所有
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】利用待定系数法求出幂函数f（x）的解析式，再计算f（）的值．
【解答】解：幂函数y＝f（x）＝xα，
其图象经过点（2，8），
∴2α＝8，解得α＝3；
∴f（x）＝x3，
∴f（）＝，
故答案为：．
【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．
10．（2020秋•南京期末）已知幂函数y＝xα的图象过点，则实数α的值是　　．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．菁优网版权所有
【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用．
【分析】把点的坐标代入幂函数解析式中求得α的值．
【解答】解：幂函数y＝xα的图象过点，
则2α＝，α＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了幂函数的图象与性质的应用问题，是基础题．
三．解答题（共5小题）
11．（2020秋•兰州期末）已知幂函数g（x）＝（m2﹣3）xm（m∈R）在（0，+∞）为减函数，且对数函数f（x）满足f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）＝
（1）求g（x）、f（x）的解析式
（2）若实数a满足f（2a﹣1）＜f（5﹣a），求实数a的取值范围．
【考点】幂函数的性质．菁优网版权所有
【专题】转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
【分析】（1）根据幂函数的定义与性质，列出不等式组，求出m的值，得g（x）解析式；由f（x）是对数函数，且f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）＝，利用m的值求出f（x）的解析式；
（2）根据f（x）的单调性，把f（2a﹣1）＜f（5﹣a）转化，求出解集即可．
【解答】解：（1）幂函数g（x）＝（m2﹣3）xm（m∈R）在（0，+∞）为减函数，
∴，
解得m＝﹣2，
∴g（x）＝x﹣2；
又∵f（x）是对数函数，且f（﹣m+1）+f（﹣m﹣1）＝，
∴设f（x）＝logax（a＞0且a≠1），
∴loga（﹣m+1）+loga（﹣m﹣1）＝，
即loga（m2﹣1）＝loga3＝，
解得a＝9，
∴f（x）＝log9x；
（2）∵实数a满足f（2a﹣1）＜f（5﹣a），
且f（x）＝log9x在（0，+∞）上单调递增，
∴，
解得；
即＜a＜2，
∴实数a的取值范围是（，2）．
【点评】本题考查了函数的性质与应用的问题，也考查了不等式的解法与应用问题，考查了转化思想的应用问题，是基础题．
12．（2019秋•红岗区校级期末）已知幂函数，且在（0，+∞）上为增函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若f（a+1）＜f（3﹣2a），求a的取值范围．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域；幂函数的性质．菁优网版权所有
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理．
【分析】（1）由幂函数的定义及性质得求出m的值，进而求出函数的解析式；
（2）由题意函数的单调性求出0＜a+1＜3﹣2a，求出a的取值范围．
【解答】解：（1）m2﹣3m+3＝1，即m2﹣3m+2＝0，则（m﹣1）（m﹣2）＝0，解得m＝1或m＝2，
当m＝1时，，
当m＝2时，，
∵f（x）在（0，+∞）上为增函数，∴；
（2）由（1）得f（x）定义域为[0，+∞）且f（x）在（0，+∞）上为增函数∴，解得：，
所以a的取值范围为：．
【点评】考查幂函数的定义及性质，属于基础题．
13．（2020秋•重庆月考）已知幂函数f（x）＝（m2﹣4m+4）xm﹣2在（0，+∞）上单调递减．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若正数a，b满足2a+3b＝m，求的最小值．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．菁优网版权所有
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】（1）利用幂函数的定义和单调性列出方程，能求出f（x）．
（2）由2a+3b＝1，a，b都是正数，利用基本不等式的性质能求出的最小值．
【解答】解：（1）∵幂函数f（x）＝（m2﹣4m+4）xm﹣2在（0，+∞）上单调递减．
∴，
解得m＝1，
∴f（x）＝x﹣1．
（2）∵m＝1，正数a，b满足2a+3b＝m，
∴2a+3b＝1，
∵a，b都是正数，
∴＝（）（2a+3b）＝++12≥+12＝24，
当且仅当时，取等号，
∴的最小值为24．
【点评】本题考查函数的解析式、代数式的最小值的求法，考查幂函数的性质、基本不等式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14．（2019秋•拉萨期末）（Ⅰ）已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（3，9），求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）计算：．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．菁优网版权所有
【专题】应用题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】（I）设出f（x）的解析式，把（3，9）点代入求出a，即可得出结论；
（II）运用指数与对数的运算求出即可．
【解答】解：（I）设幂函数为y＝xa，幂函数y＝f（x）的图象经过点（3，9），
所以9＝3a，a＝2，所以f（x）＝x2；
（II）＝25+lg10
＝32+1
＝33．
【点评】考查求幂函数的解析式，指数与 对数简单运算，基础题．
15．（2020秋•深圳期中）已知幂函数f（x）＝xa的图象经过点A（，）．
（1）求实数a的值；
（2）用定义法证明f（x）在区间（0，+∞）内是减函数．
【考点】函数单调性的性质与判断；幂函数的概念、解析式、定义域、值域．菁优网版权所有
【专题】函数思想；待定系数法；函数的性质及应用．
【分析】（1）把点的坐标代入幂函数解析式求出α的值；
（2）根据取值、作差、判正负、得结论，证明f（x）的单调性即可．
【解答】解：（1）∵f（x）＝xα的图象经过点A（，），
∴（）α＝，即2﹣α＝，
解得α＝﹣；
（2）任取x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则
f（x2）﹣f（x1）＝﹣＝﹣＝＝；
∵x2＞x1＞0，∴x1﹣x2＜0，且（+）＞0，
∴f（x2）﹣f（x1）＜0，
即f（x2）＜f（x1）；
所以f（x）＝在区间（0，+∞）内是减函数．
【点评】本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题．

考点卡片
1．函数单调性的性质与判断
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
【命题方向】
从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
2．幂函数的概念、解析式、定义域、值域
【知识点归纳】
幂函数的定义：一般地，函数y＝xa叫做幂函数，其中x是自变量，a是常数．
解析式：y＝xa＝
定义域：当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：
1．如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；
2．如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数．
当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：
1．在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数．
2．在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数．
而只有a为正数，0才进入函数的值域．
由于x大于0是对a的任意取值都有意义的．
3．幂函数的性质
【知识点归纳】
所有的幂函数在（0，+∞）上都有各自的定义，并且图象都过点（1，1）．
（1）当a＞0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、图象都通过点（1，1）（0，0）；
b、在第一象限内，函数值随x的增大而增大；
c、在第一象限内，a＞1时，图象开口向上；0＜a＜1时，图象开口向右；
d、函数的图象通过原点，并且在区间[0，+∞）上是增函数．
（2）当a＜0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、图象都通过点（1，1）；
b、在第一象限内，函数值随x的增大而减小，图象开口向上；
c、在第一象限内，当x从右趋于原点时，图象在y轴上方趋向于原点时，图象在y轴右方无限逼近y轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴．
（3）当a＝0时，幂函数y＝xa有下列性质：
a、y＝x0是直线y＝1去掉一点（0，1），它的图象不是直线．
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日期：2021/7/1 17:42:12；用户：周晓丽；邮箱：17788760824；学号：25289867