人教版A版高一（上）十月份月考数学试卷

这是一份人教版A版高一（上）十月份月考数学试卷，共8页。试卷主要包含了请将答案正确填写在答题卡上;等内容，欢迎下载使用。


注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;
2．请将答案正确填写在答题卡上;
卷I（选择题）
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ， ）

1. 已知集合U＝{−2, −1, 0, 1, 2}，A＝{0}，B＝{x|x2+x−2<0}，则(∁UA)∩B＝（ ）
A.{−1}B.{1}C.{−1, 1, 2}D.{−2, −1, 1}

2. 能正确表示图中阴影部分的选项为（ ）

A.∁U(M∪N)B.∁U(M∩N)
C.(M∪N)∩∁U(M∩N)D.(M∩N)∪∁U(M∪N)

3. 下列各组函数相等的是（ ）
A.f(x)=x2，g(x)=3x3B.f(x)=x,x≥0−x,x<0，g(x)=|x|
C.f(x)=1，g(x)=x0D.f(x)=x+1，g(x)=x2−1x−1

4. 已知 f(x)=2x ，则 f(f(f(…f(2)…)))⏟10个f的值为( )
A.28B.29C.210D.211

5. 已知函数f(x)=ln(a−3x)的定义域为A，若4∈A，5∉A，则实数a的取值范围是（ ）
A.(12,15)B.[12,15)C.(12,15]D.[12,15]

6. 函数y=lg2x−1+12−x 的定义域为( )
A. 1,2∪2,+∞ B. 1,+∞ C. 1,2 D. −∞,0∪1,2

7. 设集合M={x|x=k2×180∘+45∘，k∈Z}，N={x|x=k4×180∘+45∘，k∈Z}，那么( )
A.M=NB.N⊆MC.M⊆ND.M∩N=⌀

8. 函数f(x)=x+1x(x<0)的值域为（ ）
A.[2, +∞)B.(−∞, 2]∪[2, +∞)C.(−∞, −2]D.R

9. 已知A={x|y=x−2}，B={y|y=x2−2}，则A∩B=( )
A.[0, +∞)B.[−2, 2]C.[−2, +∞)D.[2, +∞)

10. 函数y=x3+x的增区间是( )
A.0, +∞B.−∞, +∞C.−∞, 1D.1, +∞

11. 设M={x|x∈Z}，N={x|x=n2, n∈Z}，P={x|x=n+12, n∈Z}，则下列关系正确的是( )
A.N⊆MB.N=M∪PC.N⊆PD.N=M∩P

12. 函数f(x)=x2−5x+6x−2的定义域是（ ）
A.{x|23}C.{x|x≤2或x≥3}D.{x|x<2或x≥3}
卷II（非选择题）
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ， ）

13. 设集合A={−1, a}，B={2, b}，若A=B，则a+b=________．

14. 定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2∈(−∞, 0)(x1≠x2)，有f(x2)−f(x1)x2−x1<0，且f(2)=0，则不等式2f(x)+f(−x)5x<0解集是_________.

15. 若函数f(x)=ax(ax−3a+2)(a>0，且a≠1)在(2,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是______.

16. 用mina,b表示a，b中的较小者，则fx=minlg2x,8xx>0的最大值是________.
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ， ）

17. （10分） 已知全集U=R，集合A=x|x+2x−2≤0,x∈R，B=x||x−1|<2,x∈R．求B∩∁UA．

18.(12分) 计算：
(1)0.027−13−(−17)−2+(279)12−(π−1)0+10012lg9+lg2;

(2)已知lg23=a，lg37=b，试用a，b表示lg1456．

19. （12分） 用定义证明函数fx=2x−1在[2,+∞)上是减函数．

20.(12分) 已知函数fx=sinx+2π3+3csx+2π3.
(1)判断函数fx的奇偶性；

(2)在△ABC中，角A，B，C的对边a，b，c， a=tanBtanA=f−π2，求△ABC面积的最大值．

21.(12分) 若非零函数f(x)对任意实数x，y均有f(x)⋅f(y)=f(x+y)，且当x<0时f(x)>1．
(1)求证：f(x)>0；

(1)求证：f(x)为R上的减函数；

(3)当f(4)=116时，对a∈[−1, 1]时恒有f(x2−2ax+2)≤14，求实数x的取值范围．

22.(12分) 已知函数f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)+g(x)＝2x+1．
(1)求函数f(x)，g(x)的解析式；

(2)若对任意x∈[1, +∞)，不等式f(2x)≥mg(x)−2恒成立，求实数m的最大值.
参考答案与试题解析
人教版A版高一（上）十月份月考数学试卷
一、 选择题 （本题共计 12 小题 ，每题 5 分 ，共计60分 ）
1.
【答案】
A
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
2.
【答案】
D
【考点】
Venn图表达集合的关系及运算
【解析】
根据Venn图确定阴影部分的集合即可得到结论．
【解答】
解：由Venn图可知，阴影部分对应的集合由M，N并集的补集部分以及M，N交集部分构成，
对应的集合为(M∩N)∪∁U(M∪N)，
故选：D
3.
【答案】
B
【考点】
判断两个函数是否为同一函数
【解析】
根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断两个函数是相等的函数．
【解答】
解：对于A，f(x)=x2=|x|的定义域是R，g(x)=3x3=x的定义域是R，
定义域不同，对应关系不同，不是相等函数；
对于B，f(x)=x,x≥0,−x,x<0的定义域是R，g(x)=|x|=x,x≥0,−x,x<0的定义域是R，
定义域相同，对应关系也相同，是相等函数；
对于C，f(x)=1(x∈R)，g(x)=x0=1(x≠0)的定义域不同，不是相等函数；
对于D，f(x)=x+1的定义域是R，g(x)=x2−1x−1=x+1的定义域是{x|x≠1}，
定义域不同，不是相等函数．
故选B．
4.
【答案】
D
【考点】
函数的求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：f(2)=2×2=22，
f(f(2))=2×2×2=23，
⋯
∴ f(f(f(…f(2)…)))⏟10个f=211.
故选D.
5.
【答案】
C
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由题意可知，A={x|a−3x>0}，
∵ 4∈A，5∉A，
∴ a−3×4>0，
且a−3×5≤0，
∴ 12故选C.
6.
【答案】
A
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
本题考查函数的定义域及其求法，由已知条件可得x-1>0且2−x≠0，解之即可求解本题.
【解答】
解：由题意得，x−1>0且2−x≠0，
解得：x>1且x≠2.
∴ 函数y=lg2(x−1)+12−x的定义域为1,2∪2,+∞.
故选A.
7.
【答案】
C
【考点】
集合的包含关系判断及应用
【解析】
变形表达式为相同的形式，比较可得．
【解答】
解：由题意可得M={x|x=k2×180∘+45∘, k∈Z}
={x|x=(2k+1)×45∘, k∈Z}，
即45∘的奇数倍构成的集合.
又N={x|x=k4×180∘+45∘, k∈Z}
={x|x=(k+1)×45∘, k∈Z}，
即45∘的整数倍构成的集合，
∴ M⊆N.
故选C．
8.
【答案】
C
【考点】
函数的值域及其求法
【解析】
根据双勾函数f(x)的单调性得到最值即可．
【解答】
由f(x)=x+1x(x<0)，知
f(x)在(−∞, −1)上单调递增，在(−1, 0)上单调递减，
∴ f(x)max＝f(−1)＝−2，∴ f(x)≤−2，
∴ f(x)的值域为(−∞, −2]．
9.
【答案】
D
【考点】
函数的值域及其求法
函数的定义域及其求法
交集及其运算
【解析】
利用函数的定义域与值域求出集合A，B，然后求出它们的交集．
【解答】
解：A={x|y=x−2}={x|x≥2}=[2, +∞)，
B={y|y=x2−2}={y|y≥−2}=[−2, +∞)，
所以A∩B=[2, +∞)．
故选D．
10.
【答案】
B
【考点】
函数的单调性及单调区间
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：在R内取值x1，x2且x1>x2，
∴ x13>x23，
∴ x1−x2>0，x13−x23>0，
由fx1−fx2=x13−x23+x1−x2，
∴ fx1>fx2，
∴ 函数y=x3+x在定义域R内为单调增函数.
故选B．
11.
【答案】
B
【考点】
并集及其运算
集合的包含关系判断及应用
【解析】
N={x|x=n2, n∈Z}，分类讨论，可得结论．
【解答】
解：N={x|x=n2, n∈Z}，当n=2k，k∈Z时，N={x|x=k, k∈Z}
当n=2k+1，k∈Z时，N={x|x=k+12, k∈Z}
∴ N=M∪P．
故选B．
12.
【答案】
D
【考点】
函数的定义域及其求法
【解析】
根据负数不能开偶次方根和分母不能为零求解，然后，两者结果取交集．
【解答】
解：由题意得：x2−5x+6≥0，x−2≠0，
解得：x<2或x≥3，
∴ 定义域为：{x|x<2或x≥3}.
故选D.
二、 填空题 （本题共计 4 小题 ，每题 5 分 ，共计20分 ）
13.
【答案】
1
【考点】
集合的相等
【解析】
根据已知条件便得，a=2，b=−1，所以a+b=1．
【解答】
解：根据已知条件得：a=2，b=−1，∴ a+b=1；
故答案为：1．
14.
【答案】
(−∞, −2)∪(0, 2)
【考点】
函数奇偶性的性质
函数单调性的性质
【解析】
根据函数奇偶性和单调性之间的关系解不等式即可．
【解答】
解：∵ 对任意的x1，x2∈(−∞, 0)(x1≠x2)，有f(x2)−f(x1)x2−x1<0，
∴ 此时函数f(x)为减函数，
∵ f(x)是偶函数，
∴ 当x≥0时，函数为增函数，
则不等式2f(x)+f(−x)5x<0等价为3f(x)5x<0，即xf(x)<0，
∵ f(−2)=f(2)=0，
∴ 作出函数f(x)的草图：
则xf(x)<0等价为x>0，f(x)<0或x<0，f(x)>0，
即x<−2或0故不等式的解集为(−∞, −2)∪(0, 2)．
故答案为：(−∞, −2)∪(0, 2)．
15.
【答案】
a>1
【考点】
函数的单调性及单调区间
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为函数f(x)=(ax)2+(2−3a)ax，令t=ax.
当a>1时，t∈[a2，+∞)，t=ax在R单调递增.
y=t2+(2−3a)t， 3a−22≤a2，
即2a2−3a+2≥0恒成立，a>1 .
当03a2−22≥a2，即2a2−3a+2≤0不成立.
综上a>0满足题意.
故答案为：a>1.
16.
【答案】
2
【考点】
函数的最值及其几何意义
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：作出y=lg2x和y=8x的图象，
根据mina,b表示a，b中的较小者，
可得f x 的图象如图所示，
结合图象，可得f(x)最大值为2.
故答案为：2．
三、 解答题 （本题共计 6 小题 ，共计70分 ）
17.
【答案】
解：∵ A=x|x+2x−2≤0,x∈R=x|−2≤x<2，
B=x||x−1|<2,x∈R=x|−1∴ ∁UA={x|x<−2或x≥2}，
∴ B∩∁UA=x|2≤x<3．
【考点】
交、并、补集的混合运算
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：∵ A=x|x+2x−2≤0,x∈R=x|−2≤x<2，
B=x||x−1|<2,x∈R=x|−1∴ ∁UA={x|x<−2或x≥2}，
∴ B∩∁UA=x|2≤x<3．
18.
【答案】
【考点】
有理数指数幂的化简求值
【解析】
此题暂无解析
【解答】
此题暂无解答
19.
【答案】
证明：在[2,+∞) 上任取x1则fx1−fx2=2x1−1−2x2−1
=2x2−x1x1−1x2−1.
∵ 2≤x1∴ x2−x1>0，x1−1x2−1>0，
∴ fx1−fx2>0，
∴ fx1>fx2，
∴ 函数fx=2x−1在[2,+∞) 上是减函数．
【考点】
函数单调性的判断与证明
【解析】
利用函数单调性证明方法进行证明即可.
【解答】
证明：在[2,+∞) 上任取x1则fx1−fx2=2x1−1−2x2−1
=2x2−x1x1−1x2−1.
∵ 2≤x1∴ x2−x1>0，x1−1x2−1>0，
∴ fx1−fx2>0，
∴ fx1>fx2，
∴ 函数fx=2x−1在[2,+∞) 上是减函数．
20.
【答案】
解：(1)∵ fx=2sinx+2π3+π3=−2sinx，
定义域为R， f−x=−2sin−x=2sinx=−fx,
所以fx是奇函数.
(2)a=tanBtanA=f−π2=2，
∴ csAsinB=2sinAcsB，
ba=sinBsinA,b=2sinBsinA，
sinC=sinA+B=sinAcsB+csAsinB=3sinAcsB，
S△ABC=12absinC
=12×2×2sinBsinA×3sinAcsB
=6sinBcsB=3sin2B，
故当B=π4时，△ABC的面积最大值为3．
【考点】
函数奇偶性的判断
两角和与差的正弦公式
正弦定理
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)∵ fx=2sinx+2π3+π3=−2sinx，
定义域为R， f−x=−2sin−x=2sinx=−fx,
所以fx是奇函数.
(2)a=tanBtanA=f−π2=2，
∴ csAsinB=2sinAcsB，
ba=sinBsinA,b=2sinBsinA，
sinC=sinA+B=sinAcsB+csAsinB=3sinAcsB，
S△ABC=12absinC
=12×2×2sinBsinA×3sinAcsB
=6sinBcsB=3sin2B，
故当B=π4时，△ABC的面积最大值为3．
21.
【答案】
(1)证明：法①f(0)⋅f(x)=f(x)，
即f(x)[f(0)−1]=0，
又f(x)≠0，
∴ f(0)=1.
当x<0时，f(x)>1，
则−x>0，
∴ f(x)⋅f(−x)=f(0)=1，
则f(−x)=1f(x)∈(0,1)．
故对于x∈R恒有f(x)>0．
法②f(x)=f(x2+x2)=[f(x2)]2≥0，
∵ f(x)为非零函数，
∴ f(x)>0.
(2)证明：令x1>x2且x1，x2∈R，
有f(x1)⋅f(x2−x1)=f(x2)，
又x2−x1<0，
即f(x2−x1)>1，
故f(x2)f(x1)=f(x2−x1)>1，
又f(x)>0，
∴ f(x2)>f(x1)，
故f(x)为R上的减函数．
(3)解：f(4)=116=f(2+2)=f2(2)⇒故f(2)=14，
则原不等式可变形为f(x2−2ax+2)≤f(2)，
依题意有 x2−2ax≥0对a∈[−1, 1]恒成立，
∴ 当x>0时，x≥2a，
当x<0时，x≤2a，
当x=0时，符合题意.
故实数x的取值范围为(−∞, −2]∪{0}∪[2, +∞)．
【考点】
函数的概念
函数的单调性及单调区间
函数的值域及其求法
【解析】
（1）根据抽象函数，利用赋值法证明f(x)>0；
（2）根据函数单调性的定义证明f(x)为R上的减函数；
（3）利用函数单调性的性质，解不等式即可．
【解答】
(1)证明：法①f(0)⋅f(x)=f(x)，
即f(x)[f(0)−1]=0，
又f(x)≠0，
∴ f(0)=1.
当x<0时，f(x)>1，
则−x>0，
∴ f(x)⋅f(−x)=f(0)=1，
则f(−x)=1f(x)∈(0,1)．
故对于x∈R恒有f(x)>0．
法②f(x)=f(x2+x2)=[f(x2)]2≥0，
∵ f(x)为非零函数，
∴ f(x)>0.
(2)证明：令x1>x2且x1，x2∈R，
有f(x1)⋅f(x2−x1)=f(x2)，
又x2−x1<0，
即f(x2−x1)>1，
故f(x2)f(x1)=f(x2−x1)>1，
又f(x)>0，
∴ f(x2)>f(x1)，
故f(x)为R上的减函数．
(3)解：f(4)=116=f(2+2)=f2(2)⇒故f(2)=14，
则原不等式可变形为f(x2−2ax+2)≤f(2)，
依题意有 x2−2ax≥0对a∈[−1, 1]恒成立，
∴ 当x>0时，x≥2a，
当x<0时，x≤2a，
当x=0时，符合题意.
故实数x的取值范围为(−∞, −2]∪{0}∪[2, +∞)．
22.
【答案】
解：(1)∵ f(x)+g(x)=2⋅2x，用−x代替x得f(−x)+g(−x)=2⋅2−x，
则f(x)+g(x)=2⋅2x,f(x)−g(x)=2⋅2−x, 解方程得：f(x)=2x+2−x，g(x)=2x−2−x；
(2)由题意可得f(2x)=22x+2−2x=(2x−2−x)2+2≥m(2x−2−x)−2对任意x∈[1, +∞)恒成立，
令t=2x−2−x，x∈[1, +∞)，因为t=2x−2−x在x∈[1, +∞)单调递增，故t≥32，
则m≤t2+4t=t+4t对t∈[32,+∞)恒成立.
因为t+4t≥2t⋅4t=4，当且仅当t=2时，等号成立．
故m≤4，即实数m的最大值为4．
【考点】
函数解析式的求解及常用方法
函数恒成立问题
【解析】
（1）由奇偶性的定义，将x换为−x，解方程可得所求；
（2）求得f(2x)的解析式，令t＝2x−2−x，应用参数分离和对勾函数的单调性，可得所求最大值；
（3）由题意可得(a−3)⋅22x+(4−a)⋅2x−1＝0有且只有一个根，令k＝2x，应用指数函数的单调性，以及二次方程实根的分布，对a讨论，可得所求范围．
【解答】
解：(1)∵ f(x)+g(x)=2⋅2x，用−x代替x得f(−x)+g(−x)=2⋅2−x，
则f(x)+g(x)=2⋅2x,f(x)−g(x)=2⋅2−x, 解方程得：f(x)=2x+2−x，g(x)=2x−2−x；
(2)由题意可得f(2x)=22x+2−2x=(2x−2−x)2+2≥m(2x−2−x)−2对任意x∈[1, +∞)恒成立，
令t=2x−2−x，x∈[1, +∞)，因为t=2x−2−x在x∈[1, +∞)单调递增，故t≥32，
则m≤t2+4t=t+4t对t∈[32,+∞)恒成立.
因为t+4t≥2t⋅4t=4，当且仅当t=2时，等号成立．
故m≤4，即实数m的最大值为4．