高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.1.1 向量数量积的概念学案设计

这是一份高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.1.1 向量数量积的概念学案设计，共9页。学案主要包含了学习重点，学习难点，对点快练，变式练习1，变式练习2，变式练习3等内容，欢迎下载使用。


【学习重点】
平面向量数量积的概念和物理意义、几何意义、应用
【学习难点】
平面向量数量积的几何意义理解
答：
问题1：向量的夹角
新知新学（一）：向量夹角的定义
给定两个非零向量，在平面内任选一点O，作eq \(OA,\s\up6(→))＝，eq \(OB,\s\up6(→))＝，则称 内的∠AOB为向量与向量的夹角，记作．
如图，向量与的夹角为，即 ；向量与的夹角为 ，即 ；向量与的夹角为 ，即 ；向量与的夹角为 ，即 。
新知新学（二）：向量夹角的性质
（1）根据向量夹角的定义可知，两个非零向量的夹角是唯一确定的，而且
；
（2）当时，称向量与向量 ，记作 ，由于零向量方向是不确定的，在讨论垂直问题时，规定零向量与任意向量垂直．
【对点快练】
1．在等边三角形ABC中，向量eq \(AB,\s\up6(→))与eq \(AC,\s\up6(→))的夹角为( )
A．60° B．120°
C．90° D．30°
2．若向量a与b的夹角为60°，则向量a与－b的夹角是( )
A．60° B．120°
C．30° D．150°
问题2：向量数量积的性质
新知新学（三）：向量数量积的定义
数量积的定义：一般地，当都是非零向量时，称为向量的数量积(也称为内积)，记作，即＝
新知新学（四）：数量积的性质
(1)| ；
(2) ，即 ;
(3) ,即向量垂直的 条件为；
(4)
例1.（1）已知，求；
（2）已知，求.
【变式练习1】
在正三角形ABC中，边长为4，求(1)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(AC,\s\up6(→))；(2)eq \(AB,\s\up6(→))·eq \(BC,\s\up6(→)).
【变式练习2】
已知|a|＝2，|b|＝1，a·b＝－eq \r(3)，求〈a，b〉．
【变式练习3】
若非零向量a，b满足|a|＝|b|,2a·b＋b2＝0，则a与b的夹角为( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
问题3：向量的投影与向量数量积的几何意义
新知新学（五）向量在直线上的投影、向量在向量上的投影
如图所示，设非零向量过分别作直线l的垂线，垂足分别为，则称向量为向量在直线l上的 。
类似地，给定平面上的一个非零向量，设所在的直线为，则在直线上的投影称为在向量上的投影。
如图所示，向量在向量上的投影为，可以看出，一个向量在一个非零向量上的投影，一定与这个非零向量共线，但它们的方向既有可能 ，也有可能 。
如图所示，
当时，的方向与的方向 ，而且 ；
当时，为 ，即
当时，的方向与的方向相反，而且
新知新学（六）向量投影的数量及数量积的几何意义
（1）一般地，如果都是非零向量，则称为向量在向量上的投影的 。投影的数量与投影的长度有关，但是投影的数量既可能是 ，也可能是 。
（2）因为
所以两个非零向量的数量积，等于在向量上的投影的 与 的乘积，这就是两个向量数量积的几何意义。
（3）特别的，当为单位向量时，因为，所以 ，即任意向量与单位向量的数量积，等于这个向量在单位向量上的投影的数量。
【对点快练】
1．已知|b|＝3，向量a在向量b上的投影向量为2b，则a·b＝____________.
2．已知|b|＝3，a·b＝12，则向量a在向量b上的投影向量的数量为____________．
例2.如图所示，求出一下向量的数量积
（1） （2） （3）
【变式练习1】
已知|a|＝4，e为单位向量，它们的夹角为eq \f(2π,3)，则向量a在向量e上的投影向量是________________；向量e在向量a上的投影向量是________________．
考点
学习目标
平面向量数量积的概念和物理意义
理解平面数量积的概念及物理意义，会计算平面向量的数量积
数量积的几何意义
通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义
数量积的简单应用
掌握数量积的简单应用，会利用数量积判断两个平面向量的垂直关系