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高中数学苏教版必修12.1.1 函数的概念和图象多媒体教学课件ppt
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这是一份高中数学苏教版必修12.1.1 函数的概念和图象多媒体教学课件ppt，共34页。PPT课件主要包含了从A到B的一个函数，定义域，函数的值域，分段函数，规律方法总结，错因分析，答题模板，状元笔记等内容，欢迎下载使用。
【命题预测】 1．对于函数三要素的考查以定义域为主．2．函数的值域常结合最值来考查．3．近几年高考趋势：映射的内容逐渐降低要求，出题的可能性不大．4．其题型一般以填空题为主，有时会在解答题中的应用题中设计成求函数解析式．
【应试对策】 1．表达式相同的两个函数不一定是同一个函数，由函数的表达式相同，只能知道它们的对应法则相同，但还是定义域是否相同的问题，例如f(x)＝3x＋1与g(x)＝3x＋1(x∈Z)，尽管f(x)和g(x)的表达式相同，但由于它们的定义域分别为R和Z，故它们是不同的两个函数，另外，定义域和值域分别相同的两个函数也不一定是同一函数，例如f(x)＝x，x∈{0,1}，g(x)＝(x－1)2，x∈{0,1}，这两个函数的定义域和值域分别相同，但由于f(0)≠g(0)，f(1)≠g(1)，即当自变量x取相同值x0时，f(x0)≠g(x0)，故f(x)≠g(x)．
2．定义域的表示常用区间与集合．区间是一种特殊的集合：它的左端点一定小于右端点，它的元素是数轴上的点，可以用数字表示．3．教材中指出：“设A，B是非空的数集，……”由此，不存在定义域为空集的函数，当函数存在(给定)时，其定义域一定不是空集；反之，当定义域为空集时，这样的函数不存在．4．两个表达式不同的函数，它们的同变量函数值不相等，这是一种比较常见的错误看法．例如，f(x)＝x，x∈{0,1}，g(x)＝x2，x∈{0,1}，尽管两个函数的表达式不同，但f(0)＝g(0)＝0，f(1)＝g(1)＝1.
5．该掌握的求函数值域的几种常用方法，如直接法、换元法．掌握求函数值域的基本方法，掌握二次函数值域(最值)或二次函数在某一给定区间上的值域(最值)的求法．求函数最大、最小值的问题历来是高考的热点，这类问题的出现率很高，因此，我们应注意总结最大、最小值问题的解题方法与技巧，以提高高考应变能力．因函数的最大、最小值求出来了，值域也就知道了，所以，若求出函数的值域为非开区间，函数的最大或最小值也就求出来了．
6．纠正“函数就是解析式”的片面认识，明确不仅函数受对应法则的制约，而且其定义域也包含着对函数关系的制约作用，并以此作为处理问题的指导．能根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系，求出它的解析式．
7．函数的常用表示方法，及各自的优点．(1)表示函数的记法是y＝f(x)，常用方法是解析式、列表法、图象法．(2)把函数的两个变量之间的函数关系，用一个等式来表示，这个等式就叫做这个函数的解析表达式，简称解析式．用解析法表示函数的优点是：①函数关系清楚；②给自变量一个值，可求它的函数值；③便于研究函数的性质．(3)列表法就是列出表格来表示两个变量的函数关系．其优点是不必计算，通过查表就可得到自变量与函数的对应值．(4)图象法就是用函数的图象表示两个变量之间的函数关系．其优点是直观、形象的表示出函数值随自变量的变化规律．8．理解分段函数是函数的一种表达形式，它表示一个函数，只是在定义区间上的不同区域其表达式不一样，其解决思路是分而治之．9．映射是一种特殊的对应，它可以是“一对一”也可以是“多对一”．
【知识拓展】 映射一般地，设f:A→B是集合A到集合B上的映射，如果在这个映射的作用下，对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的项，而且B中的每一个元素都有原象，那么这个映射就叫做A到B上的一一映射．
1．函数的概念 一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集 合A中的每一个元素x，在集合B中都有惟一的元素y和它对应，那么这 样的对应叫做 ，通常记为y＝f(x)，x∈A，其中，所 有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的 ．
2．函数的值域 若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x，都有一个输出 值y与之对应．我们将所有输出值y组成的集合称为 ． 思考：若两个函数的定义域与值域相同，这两个函数是否相同？ 提示：这两个函数不一定相同，如y＝x2与y＝x4的定义域与值域都相 同，但是这两个函数不同．
3．函数的表示法 (1)用 来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法． (2)用 来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法．这个等式通 常叫做函数的解析表达式，简称解析式． (3)用 表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法．
4．分段函数 在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数通 常叫做 ．5．映射的概念 设A，B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于A中的每一个 元素，在B中都有惟一的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做集 合B的 ，记作f→B.思考：函数与映射有什么区别？提示：函数是特殊的映射，映射不一定是函数．函数是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．映射是从一个非空集合到另一个非空集合(这两个集合不一定是数集)的对应．
1．已知函数y＝f(x)，x∈[a，b]，那么集合{(x，y)|y＝f(x)，x∈[a，b]}∩ {(x，y)|x＝x0}中所含元素的个数是________． 解析：垂直于x轴的直线与函数的图象最多只有一个交点． 答案：0或1
2．下列方程对应的图形，其中不是函数图象的是________． ①x2＋y2＝1；②y＝ ；③ ；④y2＝4x2＋1 答案：①③④3．函数y＝ 的定义域是________，值域是________． 答案：[－1,1] [0,1]
4．(2010·北京华夏女中)从集合A＝{1,2}到集合B＝{3,4}可以建立映射 的个数是________． 解析：可以建立2×2＝4个映射． 答案：4
5．函数y＝ 的值域是________． 解析：∵当x≥0时，x2＋1≥1，x＜0时，－x2＜0， ∴函数的值域为(－∞，0)∪[1，＋∞)． 答案：(－∞，0)∪[1，＋∞)
函数解析式的常用求法(1)待定系数法．若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法．(2)换元法．已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围．
(3)解方程组法．已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量，如f(－x)、f 等，必须根据已知等式再构造其他等式组成 方程组，通过解方程组求出f(x)．
【例1】 (1)已知f(x＋1)＝x2＋4x＋1，求f(x)； (2)已知f(x)为一次函数，且f{f[f(x)]}＝8x＋7，求f(x)； (3)已知f(x)＋2f ＝2x＋1，求f(x)． 思路点拨：(1)换元法，令x＋1＝t，求出f(t)，即求得了f(x)； (2)待定系数法；(3)解方程组法．
解：(1)解法一：设x＋1＝t，则x＝t－1，代入f(x＋1)的解析式，得f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1＝t2＋2t－2，∴f(x)＝x2＋2x－2.解法二：∵f(x＋1)＝x2＋4x＋1＝(x2＋2x＋1)＋2(x＋1)－2＝(x＋1)2＋2(x＋1)－2.用x替代x＋1，得f(x)＝x2＋2x－2.
(3)由已知得 消去f ，得f(x)＝
(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，所以f{f[f(x)]}＝f[f(ax＋b)]＝f[a(ax＋b)＋b]＝a[a(ax＋b)＋b]＋b＝a3x＋a2b＋ab＋b＝8x＋7，所以 解得 所以f(x)＝2x＋1.
变式1：若f(x)＝ ，则方程f(4x)＝x的根是________． 解析：f(4x)＝ ，依题意 ＝x，解得x＝ . 答案：
变式2：已知f ，则f(x)的解析式可以为________． 解析：令t＝ ，则x＝ ，∴f(t)＝ . ∴f(x)＝ A. 答案：f(x)＝
1．确定函数定义域的原则(1)当函数y＝f(x)用列表法给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合；(2)当函数y＝f(x) 用图象法给出时，函数的定义域是指图象在x轴上的投影所覆盖的实数的集合；(3)当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合；(4)当函数y＝f(x)由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定．
2．确定函数定义域的依据(1)若f(x)是整式，则定义域为全体实数；(2)若f(x)是分式，则定义域为使分式的分母不为零的x取值的集合；(3)当f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负的x取值的集合；(4)当f(x)是非正数指数幂时，定义域是使幂的底数不为0的x取值的集合．(5)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出． (6)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
【例2】 (2010·湖南师大附中月考)(1)求函数f(x)＝ ＋(x－4)0的定义域． (2)若函数y＝f(x)的定义域为[－1,1)，求y＝f(x2－3)的定义域． 思路点拨：(1)求f(x)的定义域，只需使解析式有意义，列不等式 组求解． (2)可看作复合函数求定义域，只需－1≤x2－3＜1，求x的范围．
解：(1)要使函数有意义需 ，∴x≥1且x≠2，x≠4或x≤－1且x≠－2.∴函数的定义域为{x|x≥1且x≠2，x≠4}∪{x|x≤－1且x≠－2}．(2)由题知 ， .即x∈(－2， ]∪[ ，2) 为所求函数的定义域．
变式3：求下列函数的定义域： (1) ；(2)y＝lga(ax－1)(a＞0且a≠1)． 解：(1)由 解得 ∴所求函数定义域为 (2)由ax－1＞0得ax＞1，当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0. ∴a＞1时所求函数定义域为(0，＋∞)；0＜a＜1时所求函数定义域为(－∞，0)．
1．解决分段函数的基本原则是分段进行．2．对于实际应用题应根据题意确定好分段点，在每一段上分析出其解析式．3．对于分段函数的最值问题，一般是将每一段上的最值分别求出，其中的最大者就是整个函数的最大值，其中的最小者就是整个函数的最小值．
【例3】 (2009·湖北联考题)已知函数f(x＋2)＝ 求f ·f(－2)的值． 思路点拨：分别求出f 及f(－2) 代入后求得要求的值． 解：∵f ＝tan ＝1.而f(－2)＝f(－4＋2) ＝lg2[－(－4)]＝lg24＝2. ∴f ·f(－2)＝2.
变式4：(2010·北京东城质检题)设函数f(x)＝ 若f(－4)＝f(0)， f(－2)＝－2，则f(x)的解析式为f(x)＝_____，关于x的方程f(x)＝x的解 的个数为_____． 解析：由f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2可知，b＝4，c＝2，故x≤0时，f(x)＝ x2＋4x＋2，当x＞0时，f(x)＝x＝2，当x＜0，f(x)＝x，即x2＋3x＋2＝0， x＝－2或x＝－1，故f(x)＝x有3个根． 答案： 3
1．映射是由集合A、B以及从A到B的对应法则f所确定的．2．在映射中，f具有方向性，从集合A到集合B的对应关系，与从集合B到集 合A的对应关系一般是不同的．3．在一个映射中，集合A、B可以是数集，也可以是点集或其他集合；集合A、B也可以是同一集合．但在确定的映射中，集合A、B的地位一般是不要求对等的．
【例4】 判断下列对应是否是集合A到集合B的映射． (1) 设A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6,7,8,9},对应法则f：x→2x＋1； (2)设A＝N*，B＝{0,1},对应法则f：x→x除以2得到的余数； (3)设A＝{1,2,3,4}，B＝ , f：x→x取倒数； (4)A＝{(x，y)||x|＜2，x＋y＜3，x、y∈N}，B＝{0,1,2}，f：（x，y）→x＋y； (5)A＝{x|x＜2，x∈N}，B＝N，f：x→小于x的最大质数； (6)A＝N，B={0,1,2}, f：x→x被3除所得余数．
思路点拨：判定A中的每一个元素在B中是否都有惟一确定的元素与之对应．解：(1)(2)(3)(4)(5)(6)都是A到B的映射．
考点5.（2010·河北衡水模拟题)已知映射f：x→B，其中A＝B＝R，对应关系 f：x→y＝－x2＋2x，对于实数k∈B，在集合A中存在不同的两个原象(若A 中的元素a与B中的元素b对应，则b叫a的象，a叫b的原象)，则k的取值范 围是________． 解析：由k＝－x2＋2x，x2－2x＋k＝0有两个不等实根，得Δ＝4－4k＞0， ∴k＜1. 答案：k＜1
1．函数的定义中最重要的是定义域和对应法则，值域是由定义域和对应法则确定的．在求f[f(x)]类型的值时，应遵循先内后外的原则．2．建立简单实际问题的函数式，首先要选定变量，而后寻找等量关系，求得函数解析式，但要注意定义域．3．判断对应是否为映射，即看A中元素是否满足“每元有象”和“且象唯一”；但要注意：①A中不同元素可有相同的象，即允许多对一，但不允许一对多；②B中元素可无原象，即B中元素可有剩余．
5．求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用．6．若f是从集合A到集合B的一个映射，当A，B为非空的数集时，f为 A到B的一个函数.
4．若函数是由一些基本初等函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是各基本 初等函数定义域的交集．对于含有字母的函数求定义域，或已知其定义域求字母参 数的取值范围，必须对字母的取值情况进行讨论．求给定函数解析式的定义域往往 归结为解不等式组的问题，在解不等式组时要细心，取交集时可借助于数轴，并且 要注意端点值或边界值的取舍．
【例5】 (1)求函数f(x)＝ 的定义域；(2)已知函数f(x) 的 定义域是(a，b)，求函数F(x)＝f(3x－1)＋f(3x＋1)的定义域．
(1)忘记了0的0次方无意义，导致在定义域中多了x＝1； (2)理解错f(x)的定义域与f(3x－1)，f(3x＋1)的定义域之间的关 系，致使函数f(3x－1) 的定义域为3a－1＜x＜3b－1，函数f(3x＋1)的定义域为 3a＋1＜x＜3b＋1，这样得到的定义域就是(3a＋1，3b－1)．
解：(1)由函数解析式有意义，得 ⇒0＜x＜1或1＜x≤2或x≥3，故函数的定义域是(0,1)∪(1,2]∪[3，＋∞)．(2)由 解得∵函数的定义域不可能为空集，∴必有 ，即b－a＞2.此时，函数的定义域为 .
函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，因此要求定义域就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数的定义域．在求一般函数定义域时要注意下面几点：(1)分母不为0；(2)偶次被开方式非负；(3)真数大于0；(4)0的0次幂没有意义．函数的定义域是非空的数集，在解决有关函数定义域问题时不要忘记了这点.
1．已知n∈N＋， 求f(5)和f(0)的值． 分析：∵5<10,0<10，∴应分别将5和0代入f[f(n＋5)]求解． 解：f(5)＝f[f(10)]＝f(10－2)＝f(8)＝f[f(13)]＝f(11)＝9，∴f(5)＝9； f(0)＝f [f(5)]＝f[f(10)]＝f(8)＝f[f(13)]＝f(11)＝9，∴f(0)＝9.
【命题预测】 1．对于函数三要素的考查以定义域为主．2．函数的值域常结合最值来考查．3．近几年高考趋势：映射的内容逐渐降低要求，出题的可能性不大．4．其题型一般以填空题为主，有时会在解答题中的应用题中设计成求函数解析式．
【应试对策】 1．表达式相同的两个函数不一定是同一个函数，由函数的表达式相同，只能知道它们的对应法则相同，但还是定义域是否相同的问题，例如f(x)＝3x＋1与g(x)＝3x＋1(x∈Z)，尽管f(x)和g(x)的表达式相同，但由于它们的定义域分别为R和Z，故它们是不同的两个函数，另外，定义域和值域分别相同的两个函数也不一定是同一函数，例如f(x)＝x，x∈{0,1}，g(x)＝(x－1)2，x∈{0,1}，这两个函数的定义域和值域分别相同，但由于f(0)≠g(0)，f(1)≠g(1)，即当自变量x取相同值x0时，f(x0)≠g(x0)，故f(x)≠g(x)．
2．定义域的表示常用区间与集合．区间是一种特殊的集合：它的左端点一定小于右端点，它的元素是数轴上的点，可以用数字表示．3．教材中指出：“设A，B是非空的数集，……”由此，不存在定义域为空集的函数，当函数存在(给定)时，其定义域一定不是空集；反之，当定义域为空集时，这样的函数不存在．4．两个表达式不同的函数，它们的同变量函数值不相等，这是一种比较常见的错误看法．例如，f(x)＝x，x∈{0,1}，g(x)＝x2，x∈{0,1}，尽管两个函数的表达式不同，但f(0)＝g(0)＝0，f(1)＝g(1)＝1.
5．该掌握的求函数值域的几种常用方法，如直接法、换元法．掌握求函数值域的基本方法，掌握二次函数值域(最值)或二次函数在某一给定区间上的值域(最值)的求法．求函数最大、最小值的问题历来是高考的热点，这类问题的出现率很高，因此，我们应注意总结最大、最小值问题的解题方法与技巧，以提高高考应变能力．因函数的最大、最小值求出来了，值域也就知道了，所以，若求出函数的值域为非开区间，函数的最大或最小值也就求出来了．
6．纠正“函数就是解析式”的片面认识，明确不仅函数受对应法则的制约，而且其定义域也包含着对函数关系的制约作用，并以此作为处理问题的指导．能根据函数所具有的某些性质或它所满足的一些关系，求出它的解析式．
7．函数的常用表示方法，及各自的优点．(1)表示函数的记法是y＝f(x)，常用方法是解析式、列表法、图象法．(2)把函数的两个变量之间的函数关系，用一个等式来表示，这个等式就叫做这个函数的解析表达式，简称解析式．用解析法表示函数的优点是：①函数关系清楚；②给自变量一个值，可求它的函数值；③便于研究函数的性质．(3)列表法就是列出表格来表示两个变量的函数关系．其优点是不必计算，通过查表就可得到自变量与函数的对应值．(4)图象法就是用函数的图象表示两个变量之间的函数关系．其优点是直观、形象的表示出函数值随自变量的变化规律．8．理解分段函数是函数的一种表达形式，它表示一个函数，只是在定义区间上的不同区域其表达式不一样，其解决思路是分而治之．9．映射是一种特殊的对应，它可以是“一对一”也可以是“多对一”．
【知识拓展】 映射一般地，设f:A→B是集合A到集合B上的映射，如果在这个映射的作用下，对于集合A中的不同元素，在集合B中有不同的项，而且B中的每一个元素都有原象，那么这个映射就叫做A到B上的一一映射．
1．函数的概念 一般地，设A，B是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f，对于集 合A中的每一个元素x，在集合B中都有惟一的元素y和它对应，那么这 样的对应叫做 ，通常记为y＝f(x)，x∈A，其中，所 有的输入值x组成的集合A叫做函数y＝f(x)的 ．
2．函数的值域 若A是函数y＝f(x)的定义域，则对于A中的每一个x，都有一个输出 值y与之对应．我们将所有输出值y组成的集合称为 ． 思考：若两个函数的定义域与值域相同，这两个函数是否相同？ 提示：这两个函数不一定相同，如y＝x2与y＝x4的定义域与值域都相 同，但是这两个函数不同．
3．函数的表示法 (1)用 来表示两个变量之间函数关系的方法称为列表法． (2)用 来表示两个变量之间函数关系的方法称为解析法．这个等式通 常叫做函数的解析表达式，简称解析式． (3)用 表示两个变量之间函数关系的方法称为图象法．
4．分段函数 在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式，像这样的函数通 常叫做 ．5．映射的概念 设A，B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于A中的每一个 元素，在B中都有惟一的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做集 合B的 ，记作f→B.思考：函数与映射有什么区别？提示：函数是特殊的映射，映射不一定是函数．函数是从一个非空数集到另一个非空数集的映射．映射是从一个非空集合到另一个非空集合(这两个集合不一定是数集)的对应．
1．已知函数y＝f(x)，x∈[a，b]，那么集合{(x，y)|y＝f(x)，x∈[a，b]}∩ {(x，y)|x＝x0}中所含元素的个数是________． 解析：垂直于x轴的直线与函数的图象最多只有一个交点． 答案：0或1
2．下列方程对应的图形，其中不是函数图象的是________． ①x2＋y2＝1；②y＝ ；③ ；④y2＝4x2＋1 答案：①③④3．函数y＝ 的定义域是________，值域是________． 答案：[－1,1] [0,1]
4．(2010·北京华夏女中)从集合A＝{1,2}到集合B＝{3,4}可以建立映射 的个数是________． 解析：可以建立2×2＝4个映射． 答案：4
5．函数y＝ 的值域是________． 解析：∵当x≥0时，x2＋1≥1，x＜0时，－x2＜0， ∴函数的值域为(－∞，0)∪[1，＋∞)． 答案：(－∞，0)∪[1，＋∞)
函数解析式的常用求法(1)待定系数法．若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法．(2)换元法．已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意变量的取值范围．
(3)解方程组法．已知f(x)满足某个等式，这个等式除f(x)是未知量外，还出现其他未知量，如f(－x)、f 等，必须根据已知等式再构造其他等式组成 方程组，通过解方程组求出f(x)．
【例1】 (1)已知f(x＋1)＝x2＋4x＋1，求f(x)； (2)已知f(x)为一次函数，且f{f[f(x)]}＝8x＋7，求f(x)； (3)已知f(x)＋2f ＝2x＋1，求f(x)． 思路点拨：(1)换元法，令x＋1＝t，求出f(t)，即求得了f(x)； (2)待定系数法；(3)解方程组法．
解：(1)解法一：设x＋1＝t，则x＝t－1，代入f(x＋1)的解析式，得f(t)＝(t－1)2＋4(t－1)＋1＝t2＋2t－2，∴f(x)＝x2＋2x－2.解法二：∵f(x＋1)＝x2＋4x＋1＝(x2＋2x＋1)＋2(x＋1)－2＝(x＋1)2＋2(x＋1)－2.用x替代x＋1，得f(x)＝x2＋2x－2.
(3)由已知得 消去f ，得f(x)＝
(2)设f(x)＝ax＋b(a≠0)，所以f{f[f(x)]}＝f[f(ax＋b)]＝f[a(ax＋b)＋b]＝a[a(ax＋b)＋b]＋b＝a3x＋a2b＋ab＋b＝8x＋7，所以 解得 所以f(x)＝2x＋1.
变式1：若f(x)＝ ，则方程f(4x)＝x的根是________． 解析：f(4x)＝ ，依题意 ＝x，解得x＝ . 答案：
变式2：已知f ，则f(x)的解析式可以为________． 解析：令t＝ ，则x＝ ，∴f(t)＝ . ∴f(x)＝ A. 答案：f(x)＝
1．确定函数定义域的原则(1)当函数y＝f(x)用列表法给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合；(2)当函数y＝f(x) 用图象法给出时，函数的定义域是指图象在x轴上的投影所覆盖的实数的集合；(3)当函数y＝f(x)用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的实数x的集合；(4)当函数y＝f(x)由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定．
2．确定函数定义域的依据(1)若f(x)是整式，则定义域为全体实数；(2)若f(x)是分式，则定义域为使分式的分母不为零的x取值的集合；(3)当f(x)是偶次根式时，定义域是使被开方式取非负的x取值的集合；(4)当f(x)是非正数指数幂时，定义域是使幂的底数不为0的x取值的集合．(5)若已知函数f(x)的定义域为[a，b]，其复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b解出． (6)若已知函数f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
【例2】 (2010·湖南师大附中月考)(1)求函数f(x)＝ ＋(x－4)0的定义域． (2)若函数y＝f(x)的定义域为[－1,1)，求y＝f(x2－3)的定义域． 思路点拨：(1)求f(x)的定义域，只需使解析式有意义，列不等式 组求解． (2)可看作复合函数求定义域，只需－1≤x2－3＜1，求x的范围．
解：(1)要使函数有意义需 ，∴x≥1且x≠2，x≠4或x≤－1且x≠－2.∴函数的定义域为{x|x≥1且x≠2，x≠4}∪{x|x≤－1且x≠－2}．(2)由题知 ， .即x∈(－2， ]∪[ ，2) 为所求函数的定义域．
变式3：求下列函数的定义域： (1) ；(2)y＝lga(ax－1)(a＞0且a≠1)． 解：(1)由 解得 ∴所求函数定义域为 (2)由ax－1＞0得ax＞1，当a＞1时，x＞0；当0＜a＜1时，x＜0. ∴a＞1时所求函数定义域为(0，＋∞)；0＜a＜1时所求函数定义域为(－∞，0)．
1．解决分段函数的基本原则是分段进行．2．对于实际应用题应根据题意确定好分段点，在每一段上分析出其解析式．3．对于分段函数的最值问题，一般是将每一段上的最值分别求出，其中的最大者就是整个函数的最大值，其中的最小者就是整个函数的最小值．
【例3】 (2009·湖北联考题)已知函数f(x＋2)＝ 求f ·f(－2)的值． 思路点拨：分别求出f 及f(－2) 代入后求得要求的值． 解：∵f ＝tan ＝1.而f(－2)＝f(－4＋2) ＝lg2[－(－4)]＝lg24＝2. ∴f ·f(－2)＝2.
变式4：(2010·北京东城质检题)设函数f(x)＝ 若f(－4)＝f(0)， f(－2)＝－2，则f(x)的解析式为f(x)＝_____，关于x的方程f(x)＝x的解 的个数为_____． 解析：由f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2可知，b＝4，c＝2，故x≤0时，f(x)＝ x2＋4x＋2，当x＞0时，f(x)＝x＝2，当x＜0，f(x)＝x，即x2＋3x＋2＝0， x＝－2或x＝－1，故f(x)＝x有3个根． 答案： 3
1．映射是由集合A、B以及从A到B的对应法则f所确定的．2．在映射中，f具有方向性，从集合A到集合B的对应关系，与从集合B到集 合A的对应关系一般是不同的．3．在一个映射中，集合A、B可以是数集，也可以是点集或其他集合；集合A、B也可以是同一集合．但在确定的映射中，集合A、B的地位一般是不要求对等的．
【例4】 判断下列对应是否是集合A到集合B的映射． (1) 设A＝{1,2,3,4}，B＝{3,4,5,6,7,8,9},对应法则f：x→2x＋1； (2)设A＝N*，B＝{0,1},对应法则f：x→x除以2得到的余数； (3)设A＝{1,2,3,4}，B＝ , f：x→x取倒数； (4)A＝{(x，y)||x|＜2，x＋y＜3，x、y∈N}，B＝{0,1,2}，f：（x，y）→x＋y； (5)A＝{x|x＜2，x∈N}，B＝N，f：x→小于x的最大质数； (6)A＝N，B={0,1,2}, f：x→x被3除所得余数．
思路点拨：判定A中的每一个元素在B中是否都有惟一确定的元素与之对应．解：(1)(2)(3)(4)(5)(6)都是A到B的映射．
考点5.（2010·河北衡水模拟题)已知映射f：x→B，其中A＝B＝R，对应关系 f：x→y＝－x2＋2x，对于实数k∈B，在集合A中存在不同的两个原象(若A 中的元素a与B中的元素b对应，则b叫a的象，a叫b的原象)，则k的取值范 围是________． 解析：由k＝－x2＋2x，x2－2x＋k＝0有两个不等实根，得Δ＝4－4k＞0， ∴k＜1. 答案：k＜1
1．函数的定义中最重要的是定义域和对应法则，值域是由定义域和对应法则确定的．在求f[f(x)]类型的值时，应遵循先内后外的原则．2．建立简单实际问题的函数式，首先要选定变量，而后寻找等量关系，求得函数解析式，但要注意定义域．3．判断对应是否为映射，即看A中元素是否满足“每元有象”和“且象唯一”；但要注意：①A中不同元素可有相同的象，即允许多对一，但不允许一对多；②B中元素可无原象，即B中元素可有剩余．
5．求函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且要特别注意定义域对值域的制约作用．6．若f是从集合A到集合B的一个映射，当A，B为非空的数集时，f为 A到B的一个函数.
4．若函数是由一些基本初等函数通过四则运算结合而成的，那么它的定义域是各基本 初等函数定义域的交集．对于含有字母的函数求定义域，或已知其定义域求字母参 数的取值范围，必须对字母的取值情况进行讨论．求给定函数解析式的定义域往往 归结为解不等式组的问题，在解不等式组时要细心，取交集时可借助于数轴，并且 要注意端点值或边界值的取舍．
【例5】 (1)求函数f(x)＝ 的定义域；(2)已知函数f(x) 的 定义域是(a，b)，求函数F(x)＝f(3x－1)＋f(3x＋1)的定义域．
(1)忘记了0的0次方无意义，导致在定义域中多了x＝1； (2)理解错f(x)的定义域与f(3x－1)，f(3x＋1)的定义域之间的关 系，致使函数f(3x－1) 的定义域为3a－1＜x＜3b－1，函数f(3x＋1)的定义域为 3a＋1＜x＜3b＋1，这样得到的定义域就是(3a＋1，3b－1)．
解：(1)由函数解析式有意义，得 ⇒0＜x＜1或1＜x≤2或x≥3，故函数的定义域是(0,1)∪(1,2]∪[3，＋∞)．(2)由 解得∵函数的定义域不可能为空集，∴必有 ，即b－a＞2.此时，函数的定义域为 .
函数的定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，因此要求定义域就要根据函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的解集就是该函数的定义域．在求一般函数定义域时要注意下面几点：(1)分母不为0；(2)偶次被开方式非负；(3)真数大于0；(4)0的0次幂没有意义．函数的定义域是非空的数集，在解决有关函数定义域问题时不要忘记了这点.
1．已知n∈N＋， 求f(5)和f(0)的值． 分析：∵5<10,0<10，∴应分别将5和0代入f[f(n＋5)]求解． 解：f(5)＝f[f(10)]＝f(10－2)＝f(8)＝f[f(13)]＝f(11)＝9，∴f(5)＝9； f(0)＝f [f(5)]＝f[f(10)]＝f(8)＝f[f(13)]＝f(11)＝9，∴f(0)＝9.
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