2020-2021学年广西壮族自治区桂林市高二（上）期中考试数学（理）试卷人教A版

展开

这是一份2020-2021学年广西壮族自治区桂林市高二（上）期中考试数学（理）试卷人教A版，共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知a>b>0，下列不等式中正确的是( )
A.ca>cbB.ab
2. 命题p: ∃x0∈R，x02+1<2x0”的否定¬p为（）
A.∀x∈R，x2+1≥2xB.∀x∈R，x2+1<2x
C.∃x0∈R，x02+1≥2x0D.∃x0∈R，x02+1>2x0

3. 在△ABC中，若∠A=60∘，∠B=45∘，BC=23，则AC=( )
A.43B.22C.3D.32

4. 已知椭圆C:x2a2+y24=1a>0，F1，F2分别为椭圆C的左、右焦点，P为椭圆C上任一点，若|PF1|+|PF2|=42，则|F1F2|=( )
A.4B.23C.2D.3

5. 设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1+a3+a5=3，则S5=( )
A.5B.7C.9D.11

6. x∈0,π2时，函数fx=sinx3+14sinx的最小值为( )
A.712B.36C.33D.32

7. 等比数列an的前n项和为Sn，若an>0，q>1，a3+a5=20，a2a6=64，则S5=( )
A.48B.36C.42D.31

8. 已知0A.lg2a>0B.2a−b<12
C.lg2a+lg2b<−2D.2(ab+ba)<12

9. 若变量x，y满足约束条件x+y−3≤0，x−y+1≥0，y≥1，则z=2x−y的最大值为( )
A.1B.5C.3D.4

10. 在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C所对的边，设向量m→=(b−c,c−a)，n→=(b,c+a)，若m→⊥n→，则角A的大小为( )
A.π6B.π3C.π2D.2π3

11. 如图，在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75∘，BC=4，则AB的取值范围是( )

A.6−22,6+22B.6−2,6+2C.6−2,6+2D.26−22,26+22

12. 已知函数f(x)=−x2+2x，x≥0，x2−2x，x<0，若关于x的不等式[f(x)]2+af(x)<0恰有1个整数解，则实数a的最大值是( )
A.2B.3C.5D.8
二、填空题

记Sn为数列an的前n项和，若Sn=2an−1，则a6等于________.

若 “x>3”是“x>m” 的必要不充分条件，则m的取值范围是________.

函数fx=13−2x+2x0
记min{a, b, c}为a，b，c中的最小值，若x，y为任意正实数，则M=min{x, 1y, y+1x}的最大值是________.
三、解答题

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcsA=2c−acsB.
(1)求角B的值；

(2)若a=4， △ABC的面积为3，求△ABC的周长.

已知等差数列 {an} 的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为 Tn，若a1=b1=3， a4=b2，S4−T2=12．
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；

(2)求数列{an+bn}的前n项和．

设命题p：实数x满足(x−a)(x−3a)<0，其中a>0，命题q：实数x满足(2x−8)(2x−4)≤0.
(1)若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；

(2)若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.

椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0，椭圆经过点2,0，离心率为12.
(1)求椭圆方程；

(2)若直线l过椭圆左焦点且倾斜角为π4，交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，求△AOB的面积．

已知函数fx=x2+bx+cb,c∈R，且fx≤0的解集为−1,2．
(1)求函数fx的解析式；

(2)解关于x的不等式mfx>2x−m−1m≥0；

(3)设gx=2f(x)+3x−1，若对于任意的x1，x2∈−2,1都有|gx1−gx2|≤M，求M的最小值．

如图，曲线y2=xy≥0上的点Pi与x轴的正半轴上的点Qi及原点O构成一系列正三角形，△OP1Q1，△Q1P2Q2，⋯，△Qn−1PnQn⋯，设正三角形Qn−1PnQn边长为an，n∈N∗（记Q0为O），QnSn,0．

(1)求a1，a2；

(2)求数列an的通项公式an；

(3)记数列bn=1anan+1，bn的前n项和为Tn，对∀n∈N∗，都有Tn>98lga23，求a的取值范围．
参考答案与试题解析
2020-2021学年广西壮族自治区桂林市高二（上）期中考试数学（理）试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
不等式的基本性质
【解析】
利用不等式的基本性质即可判断出结论．
【解答】
解：∵ a>b>0，
∴ c值未知，则ca与cb大小关系不确定，故A错误；
ab>b2，故B错误；
−a2<−ab，故C正确；
1a−1与1b−1大小关系不确定，故D错误.
故选C.
2.
【答案】
A
【考点】
命题的否定
全称命题与特称命题
【解析】
根据特称命题的否定是全称命题进行求解即可．
【解答】
解：命题是特称命题，则命题的否定是全称命题，
即¬p：∀x∈R，x2+1≥2x，
故选A．
3.
【答案】
B
【考点】
正弦定理
【解析】
由A与B的度数求出sinA与sinB的值，再由BC的长，利用正弦定理即可求出AC的长．
【解答】
解：∵ ∠A=60∘，∠B=45∘，BC=a=23，
∴ 由正弦定理asinA=bsinB得，
AC=b=asinBsinA=23×2232=22．
故选B.
4.
【答案】
A
【考点】
椭圆的定义
【解析】
由题意求出a，再利用a，b，c之间的关系求出c，即可求解.
【解答】
解：由题意可得：|PF1|+|PF2|=2a=42，
解得a=22.
又因为b=2，
所以c=a2−b2=2，
则|F1F2|=2c=4.
故选A.
5.
【答案】
A
【考点】
等差中项
等差数列的前n项和
【解析】
由已知结合等差数列的性质求得a3=1，再由S5=5a3得答案．
【解答】
解：∵ 数列{an}是等差数列，
且a1+a3+a5=3，
得3a3=3，即a3=1．
∴ S5=5a3=5．
故选A．
6.
【答案】
C
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
正弦函数的定义域和值域
【解析】
令t=sinx，利用基本不等式求解即可，注意一正二定三相等原则.
【解答】
解：令t=sinx，
∵ x∈0,π2，
∴ 0∵ fx=sinx3+14sinx，
∴ y=t3+14t0∵ t3>0，14t>0，
∴ y=t3+14t≥2t3⋅14t=2112=33，
当且仅当t3=14t>0，即t=32时，等号成立，
由t=sinx=32，x∈0,π2，可得x=π3.
∴ fx=sinx3+14sinx≥33，当且仅当x=π3时，等号成立，
即fx=sinx3+14sinx的最小值为33.
故选C．
7.
【答案】
D
【考点】
等比数列的性质
等比数列的前n项和
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：根据等比数列的性质可得a2a6=a3a5=64，
又a3+a5=20，
结合an>0，公比q>1，
解得a3=4，a5=16，
则q=2，a1=1，
故S5=a11−q51−q=31.
故选D．
8.
【答案】
C
【考点】
基本不等式及其应用
基本不等式在最值问题中的应用
对数值大小的比较
【解析】
利用基本不等式的性质依次判断即可．
【解答】
解：A，lg2a>0可得lg2a>lg21，
∵ 0B，2a−b<12可得：2a−b<2−1，
即a−b<−1，可得a+1C，lg2a+lg2b<−2可得：lg2ab<−2，即ab<14，
∵ 02ab，可得ab<14，故C正确；
D，2(ab+ba)<12，∵ 02，故D错误．
故选C.
9.
【答案】
C
【考点】
求线性目标函数的最值
【解析】
作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的平行直线，将直线平移，由图知过(2, 1)时，截距最小，此时z最大，从而求出z=2x−y的最大值．
【解答】
解：画出不等式表示的平面区域如图，将目标函数变形为y=2x−z，作出目标函数对应的平行直线，
将直线平移，由图知过B(2, 1)时，直线的纵截距最小，此时z最大，
最大值为zmax=4−1=3.
故选C.
10.
【答案】
B
【考点】
数量积判断两个平面向量的垂直关系
余弦定理
【解析】
直接向量m→⊥n→，计算m→⋅n→=0，求出三角形的三边的关系，利用余弦定理求出A的大小．
【解答】
解：因为m→⊥n→，
所以m→⋅n→=0，
即：b2−bc+c2−a2=0，
即：b2−bc+c2=a2，
由余弦定理可得csA=12，
所以A=π3.
故选B．
11.
【答案】
D
【考点】
正弦定理
【解析】
延长BA 、CD交于点E，平移AD，找到AB最长及最短时各点的位置，即可求解．
【解答】
解：如图所示，延长BA ，CD交于点E，平移AD，
∵ sin75∘= sin (30∘+45∘ ) =12×22 + 32×22 = 2+64，
①当A，D点与E点重合时，AB最长，
∵ ∠A=∠B=∠C=75∘，
∴ ∠E=30∘，
∴ 4sin30∘=BEsin75∘，
∴ BE=26+22，
则AB<26+22；
②当D点与C点重合时，AB最短，
∵ ∠A=∠B=∠C=75∘，
∴ ∠FCB=30∘，
∴ BFsin30∘=4sin75∘，
∴ BF=26−22，
则AB>26−22，
∴ AB∈26−22,26+22，
故选D．
12.
【答案】
D
【考点】
其他不等式的解法
由函数零点求参数取值范围问题
【解析】
画出函数f(x)的图象，利用一元二次不等式解法可得解集，再利用数形结合即可得出．
【解答】
解：作出函数f(x)的图象如图实现部分所示，
∵关于x的不等式[f(x)]2+af(x)<0恰有1个整数解，
∴−a∴其整数解为3.
又f(3)=−9+6=−3，
∴ −a<−3<0，−a≥f(4)=−8，
则3故选D.
二、填空题
【答案】
32
【考点】
数列递推式
等比关系的确定
等比数列的通项公式
【解析】
先根据a1=S1，an=Sn−Sn−1求出数列an的通项公式，再将n=3代入可求出所求．
【解答】
解：当n=1时，a1=S1=2a1−1，∴a1=1，
当n>1时，Sn=2an−1，Sn−1=2an−1−1，
∴ an=Sn−Sn−1=2an−2an−1，即an=2an−1，
∴ anan−1=2，
∴ an是首项为1，公比为2的等比数列，
∴ an=2n−1，n∈N∗，
∴ a6=26−1=32.
故答案为：32．
【答案】
m>3
【考点】
根据充分必要条件求参数取值问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：因为“x>3”是“x>m” 的必要不充分条件，
所以(m,+∞)是(3,+∞)的真子集，
所以m>3.
故答案为：m>3.
【答案】
3
【考点】
基本不等式在最值问题中的应用
【解析】
f(x)=13[5+2x3−2x+4(3−2x)2x]，利用基本不等式性质，即可求得答案．
【解答】
解：fx=13−2x+2x
=1313−2x+42x[3−2x+2x]
=13[5+2x3−2x+43−2x2x]
≥13×9=3，
当且仅当x=1时，取得最小值3.
故答案为：3.
【答案】
2
【考点】
不等式的概念与应用
【解析】
设a＝2x，b=1y，c＝y+1x=1b+2a，都大0，不妨设a≤b，可得2−b2b≤c−a≤3−a2a，对a与3的大小分类讨论即可得出
【解答】
解：设a=x，b=1y，c=y+1x=1b+1a，都大于0，
不妨设a≤b，则1a≥1b，
则1b+1b−b≤c−a=1a+1b−a≤1a+1a−a，
∴ 2−b2b≤c−a≤2−a2a，
当a≥2时，c≤a，此时c最小；
当0综上可得，M的最大值为2.
故答案为：2.
三、解答题
【答案】
解：(1)由已知bcsA=2c−acsB及余弦定理可得：
b⋅b2+c2−a22bc=2c−a⋅a2+c2−b22ac，
化简得a2+c2−b2=ac，
余弦定理可得2accsB=ac.
因为ac≠0，
所以csB=12.
因为0所以B=π3.
(2)由S△ABC=12acsinB
得3=12×4×c×32，所以c=1.
又由余弦定理：b2=a2+c2−2accsB，
b2=42+12−2×4×1×12=13，
得b=13，
故△ABC的周长为5+13.
【考点】
余弦定理
正弦定理
【解析】
无
无
【解答】
解：(1)由已知bcsA=2c−acsB及余弦定理可得：
b⋅b2+c2−a22bc=2c−a⋅a2+c2−b22ac，
化简得a2+c2−b2=ac，
余弦定理可得2accsB=ac.
因为ac≠0，
所以csB=12.
因为0所以B=π3.
(2)由S△ABC=12acsinB
得3=12×4×c×32，所以c=1.
又由余弦定理：b2=a2+c2−2accsB，
b2=42+12−2×4×1×12=13，
得b=13，
故△ABC的周长为5+13.
【答案】
解：(1)由a1=b1，a4=b2，
则S4−T2=(a1+a2+a3+a4)−(b1+b2)=a2+a3=12，
设等差数列{an}的公差为d，则a2+a3=2a1+3d=6+3d=12，
所以d=2，
所以an=3+2(n−1)=2n+1.
设等比数列{bn}的公比为q，
因为b2=a4=9，即b2=b1q=3q=9，
所以q=3，
所以bn=3n.
(2)由(1)知an+bn=(2n+1)+3n，
所以{an+bn}的前n项和为
(a1+a2+⋯+an)+(b1+b2+⋯+bn)
=(3+5+⋯+2n+1)+(3+32+⋯+3n)
=(3+2n+1)n2+3(1−3n)1−3
=n(n+2)+3(3n−1)2．
【考点】
数列的求和
等比数列的前n项和
等比数列的通项公式
等差数列的前n项和
等差数列的通项公式
【解析】
(1)先由题中条件得到S4−T2=a2+a3=12，再设等差数列{an}的公差为d，结合题中数据求出公差，进而可得{an}的通项公式；设等比数列{bn}的公比为q，求出公比，即可得出{bn}通项公式．
(2)先由(1)的结果，得到an+bn=(2n+1)+3n，再由分组求和法，结合等差数列与等比数列前n项和公式，即可得出结果．
【解答】
解：(1)由a1=b1，a4=b2，
则S4−T2=(a1+a2+a3+a4)−(b1+b2)=a2+a3=12，
设等差数列{an}的公差为d，则a2+a3=2a1+3d=6+3d=12，
所以d=2，
所以an=3+2(n−1)=2n+1.
设等比数列{bn}的公比为q，
因为b2=a4=9，即b2=b1q=3q=9，
所以q=3，
所以bn=3n.
(2)由(1)知an+bn=(2n+1)+3n，
所以{an+bn}的前n项和为
(a1+a2+⋯+an)+(b1+b2+⋯+bn)
=(3+5+⋯+2n+1)+(3+32+⋯+3n)
=(3+2n+1)n2+3(1−3n)1−3
=n(n+2)+3(3n−1)2．
【答案】
解：(1)当a=1时，由(x−1)(x−3)<0，
得P={x|1由(2x−8)(2x−4)≤0，
得4≤2x≤8，
∴ Q={2≤x≤3}.
由p∧q为真，即p，q均为真命题，
因此x的取值范围是[2,3).
(2)若¬p是¬q的充分不必要条件，
可得q是p的充分不必要条件，
由题意可得P={x|aQ={x|2≤x≤3}，
∴ Q⊂P，
因此a<2且3<3a，
解得1【考点】
逻辑联结词“或”“且”“非”
根据充分必要条件求参数取值问题
指、对数不等式的解法
一元二次不等式的解法
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)当a=1时，由(x−1)(x−3)<0，
得P={x|1由(2x−8)(2x−4)≤0，
得4≤2x≤8，
∴ Q={2≤x≤3}.
由p∧q为真，即p，q均为真命题，
因此x的取值范围是[2,3).
(2)若¬p是¬q的充分不必要条件，
可得q是p的充分不必要条件，
由题意可得P={x|aQ={x|2≤x≤3}，
∴ Q⊂P，
因此a<2且3<3a，
解得1【答案】
解：(1)由题可知 ca=12，a=2，a2=b2+c2，
解得a=2，b=3，c=1，
∴椭圆方程为x24+y23=1．
(2)由(1)知椭圆左焦点F1−1,0，
直线l的斜率k=tanπ4=1，∴ 直线l的方程为x−y+1=0．
设Ax1,y1，Bx2,y2，
联立椭圆和直线方程 x24+y23=1，x−y+1=0，
消去y，整理得7x2+8x−8=0，
∴ x1+x2=−87，x1x2=−87，
则|AB|=1+k2|x1−x2|=2⋅x1+x22−4x1x2=247，
点O到直线l的距离为ℎ=12=22，
∴ △AOB的面积S△AOB=12|AB|⋅ℎ=12×247×22=627．
【考点】
椭圆的标准方程
点到直线的距离公式
直线与椭圆结合的最值问题
【解析】
暂无
暂无
【解答】
解：(1)由题可知 ca=12，a=2，a2=b2+c2，
解得a=2，b=3，c=1，
∴椭圆方程为x24+y23=1．
(2)由(1)知椭圆左焦点F1−1,0，
直线l的斜率k=tanπ4=1，∴ 直线l的方程为x−y+1=0．
设Ax1,y1，Bx2,y2，
联立椭圆和直线方程 x24+y23=1，x−y+1=0，
消去y，整理得7x2+8x−8=0，
∴ x1+x2=−87，x1x2=−87，
则|AB|=1+k2|x1−x2|=2⋅x1+x22−4x1x2=247，
点O到直线l的距离为ℎ=12=22，
∴ △AOB的面积S△AOB=12|AB|⋅ℎ=12×247×22=627．
【答案】
解：(1)因为fx≤0的解集为−1,2，
所以x2+bx+c=0的根为−1，2，
所以−b=1，c=−2，
即b=−1，c=−2.
所以fx=x2−x−2.
(2)mfx>2x−m−1，化简有mx2−x−2>2x−m−1.
整理得mx−2x−1>0，
所以当m=0时，不等式的解集为−∞,1；
当0当m=2时，不等式的解集为−∞,1∪1,+∞；
当m>2时，不等式的解集为−∞,2m∪1,+∞.
(3)因为x∈−2,1时fx+3x−1=x2+2x−3，
根据二次函数的图像性质，有fx+3x−1=x2+2x−3∈−4,0，
则有gx=2f(x)+3x−1=2x2+2x−3，
所以gx∈116,1.
因为对于任意的x1，x2∈−2,1都有|gx1−gx2|≤M，
即求|gx1−gx2|max≤M，
转化为|gxmax−gxmin|≤M，
而gxmax=g1=1，gxmin=g−1=116，
所以，M≥1516.
【考点】
一元二次不等式的解法
函数解析式的求解及常用方法
不等式恒成立问题
函数恒成立问题
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)因为fx≤0的解集为−1,2，
所以x2+bx+c=0的根为−1，2，
所以−b=1，c=−2，
即b=−1，c=−2.
所以fx=x2−x−2.
(2)mfx>2x−m−1，化简有mx2−x−2>2x−m−1.
整理得mx−2x−1>0，
所以当m=0时，不等式的解集为−∞,1；
当0当m=2时，不等式的解集为−∞,1∪1,+∞；
当m>2时，不等式的解集为−∞,2m∪1,+∞.
(3)因为x∈−2,1时fx+3x−1=x2+2x−3，
根据二次函数的图像性质，有fx+3x−1=x2+2x−3∈−4,0，
则有gx=2f(x)+3x−1=2x2+2x−3，
所以gx∈116,1，
因为对于任意的x1，x2∈−2,1都有|gx1−gx2|≤M，
即求|gx1−gx2|max≤M，
转化为|gxmax−gxmin|≤M，
而gxmax=g1=1，gxmin=g−1=116，
所以，M≥1516.
【答案】
解：(1)由条件可得△P1OQ1为正三角形，且边长为a1，
∴P112a1,32a1.
∵P1在曲线上，代入y2=xy≥0中，
得34a12=12a1，a1>0,
解得 a1=23；
根据图象可得，P2a1+12a2,32a2，
同理解得a2=43.
(2)根据题意得点Pn+1Sn+12an+1,32an+1，
代入曲线y2=xy≥0整理，得Sn=34an+12−12an+1，
当n≥2，n∈N∗时，an=Sn−Sn−1=34an+12−12an+1−34an2−12an，
即12an+1+an=34an+1+an⋅an+1−an.
∵an+1>an>0，
∴ an+1−an=23，
当n=1时， S1=34a22−12a2，
∴ a2=43，
∴ a2−a1=23，故an+1−an=23，
∴ 数列an是首项为23，公差为23的等差数列，
∴ an=2n3.
(3)∵bn=941n−1n+1，
∴Tn=941−1n+1，
∴Tn递增，
Tn最小值为T1=98，
∴lga23<1，
当a>1，lga23即a>23，
即a>1；
当0即0综上，a的取值范围为0,23∪1,+∞.
【考点】
等差数列的通项公式
数列的求和
数列的函数特性
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：(1)由条件可得△P1OQ1为正三角形，且边长为a1，
∴P112a1,32a1.
∵P1在曲线上，代入y2=xy≥0中，
得34a12=12a1，a1>0,
解得 a1=23；
根据图象可得，P2a1+12a2,32a2，
同理解得a2=43.
(2)根据题意得点Pn+1Sn+12an+1,32an+1，
代入曲线y2=xy≥0整理，得Sn=34an+12−12an+1，
当n≥2，n∈N∗时，an=Sn−Sn−1=34an+12−12an+1−34an2−12an，
即12an+1+an=34an+1+an⋅an+1−an.
∵an+1>an>0，
∴ an+1−an=23，
当n=1时， S1=34a22−12a2，
∴ a2=43，
∴ a2−a1=23，故an+1−an=23，
∴ 数列an是首项为23，公差为23的等差数列，
∴ an=2n3.
(3)∵bn=941n−1n+1，
∴Tn=941−1n+1，
∴Tn递增，
Tn最小值为T1=98，
∴lga23<1，
当a>1，lga23即a>23，
即a>1；
当0即0综上，a的取值范围为0,23∪1,+∞.

2020-2021学年广西壮族自治区桂林市高二（上）期中考试数学（理）试卷人教A版

更专业

更丰富

更便捷

真低价

欢迎来到教习网