2022届高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语1.3简单的逻辑联结词全称量词与存在量词学案理含解析北师大版

第三节　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

授课提示：对应学生用书第8页

知识点一　简单的逻辑联结词

（1）命题中的且、或、非叫做逻辑联结词.

（2）命题p且q、p或q、非p的真假判断

• 温馨提醒 •

1.真值表中“p且q”全真才真，“p或q”全假才假.

2.“或”“且”联结词的否定形式：“p或q”的否定是“非p且非q”；“p且q”的否定是“非p或非q”.

1.已知p：2是偶数，q：2不是质数，则命题非p，非q，p或q，p且q中真命题的个数为（　　）

A.1　　　　　　　 B.2

C.3  D.4

解析：p真，q假，所以非q和p或q真.

答案：B

2.（2021·陆川模拟）已知命题p：若a＞|b|，则a2＞b2；命题q：若x2＝4，则x＝2.下列说法正确的是（　　）

A.“p或q”为真命题  B.“p且q”为真命题

C.“非p”为真命题  D.“非q”为假命题

解析：由a＞|b|≥0，得a2＞b2，∴命题p为真命题.∵x2＝4⇔x＝±2，∴命题q为假命题.∴“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，“非p”为假命题，“非q”为真命题.综上所述，应选A.

答案：A

知识点二　全称命题与特称命题

1.全称量词与存在量词

（1）全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，含有全称量词的命题叫做全称命题Ｗ.

（2）存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，含有存在量词的命题叫做特称命题Ｗ.

2.含有一个量词的命题的否定

• 温馨提醒 •

1.对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再写出命题的否定，否则易出错.

2.注意命题所含的量词，对于量词隐含的命题要结合命题的含义显现量词，再进行否定.

3.注意“或”“且”的否定，“或”的否定为“且”，“且”的否定为“或”.

1.命题“任意x∈R，x2＋x≥0”的否定是（　　）

A.存在x∈R，x2＋x≤0

B.存在x∈R，x2＋x＜0

C.任意x∈R，x2＋x≤0

D.任意x∈R，x2＋x＜0

解析：原命题是全称命题，“任意”的否定是“存在”，“≥”的否定是“＜”，因此该命题的否定是“存在x∈R，x2＋x＜0”.

答案：B

2.（2021·辽源模拟）下列命题中的假命题是（　　）

A.存在x∈R，使得log2x＝0

B.任意x∈R，x2＞0

C.存在x∈R，使得cos x＝1

D.任意x∈R，2x＞0

解析：由于log21＝0，因此存在x∈R，使得log2x＝0为真命题；当x＝0时，x2＝0，因此任意x∈R，x2＞0为假命题；当x＝2π时，cos x＝1，因此存在x∈R，使得cos x＝1为真命题；根据指数函数的性质，任意x∈R，2x＞0为真命题.

答案：B

3.（易错题）若p：任意x∈R，ax2＋4x＋1＞0是假命题，则实数a的取值范围为__________.

答案：（－∞，4]

授课提示：对应学生用书第9页

题型一　全称命题与特称命题的否定　　

1.（2021·西安模拟）命题“任意x＞0，＞0”的否定是（　　）

A.存在x＜0，≤0

B.存在x＞0，0≤x≤1

C.任意x＞0，≤0

D.任意x＜0，0≤x≤1

解析：因为＞0，所以x＜0或x＞1，所以＞0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是存在x＞0，0≤x≤1.

答案：B

2.已知命题p：存在m∈R，f（x）＝2x－mx是增函数，则非p为（　　）

A.存在m∈R，f（x）＝2x－mx是减函数

B.任意m∈R，f（x）＝2x－mx是减函数

C.存在m∈R，f（x）＝2x－mx不是增函数

D.任意m∈R，f（x）＝2x－mx不是增函数

解析：由特称命题的否定可得非p为“任意m∈R，f（x）＝2x－mx不是增函数”.

答案：D

3.已知集合A是奇函数集，B是偶函数集.若命题p：任意f（x）∈A，|f（x）|∈B，则非p为（　　）

A.任意f（x）∈A，|f（x）|∉B

B.任意f（x）∉A，|f（x）|∉B

C.存在f（x）∈A，|f（x）|∉B

D.存在f（x）∉A，|f（x）|∉B

解析：全称命题的否定为特称命题，一是要改写量词，二是要否定结论，所以由命题p：任意f（x）∈A，|f（x）|∈B，得非p为存在f（x）∈A，|f（x）|∉B.

答案：C

4.（2021·兰州四校联考）命题“任意x∈R，ex≥x＋1”的否定是（　　）

A.任意x∈R，ex<x＋1

B.存在x∈R，ex≥x＋1

C.任意x∉R，ex<x＋1

D.存在x∈R，ex<x＋1

解析：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“任意x∈R，ex≥x＋1”的否定是“存在x∈R，ex<x＋1”.

答案：D

1.写全（特）称命题的否定时，要注意两个方面：一是量词的改写；二是结论的否定.其中对结论的准确否定是解决问题的关键.

2.全称命题为真以及特称命题为假都需要给予严格的证明，其中常用的方法为反证法，反证法的思想源于原命题与逆否命题同真同假.

(题型二　与逻辑联结词有关的应用　　

考法（一）　含有逻辑联结词的真假判断

[例1]　（1）（2021·六安模拟）设命题p：存在x∈（0，＋∞），3x＋x＝；命题q：任意a，b∈（0，8），a＋，b＋中至少有一个不小于2，则下列命题为真命题的是（　　）

A.p且q　　　　　　　 B.（非p）且q

C.p且（非q）  D.（非p）且（非q）

（2）（2020·高考全国卷Ⅱ）设有下列四个命题：

p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.

p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.

p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.

p4：若直线l平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.

则下述命题中所有真命题的序号是__________.

①p1∧p4　②p1∧p2　③綈p2∨p3　④綈p3∨綈p4

[解析]　（1）因为f（x）＝3x＋x在（0，＋∞）上单调递增，所以f（x）＞f（0）＝1＞，所以p假；假设a＋，b＋都小于2，则a＋＋b＋＜4，又根据基本不等式可得a＋＋b＋≥4，矛盾，所以q真，所以（非p）且q为真命题.

（2）p1是真命题，两两相交且不过同一点的三条直线必定有三个交点，且这三个交点不在同一条直线上，由平面的基本性质“经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面”，可知p1为真命题；p2是假命题，因为空间中三点在一条直线上时，有无数个平面过这三个点；p3是假命题，因为空间两条直线不相交时，它们可能平行，也可能异面；p4是真命题，因为一条直线垂直于一个平面，那么它垂直于平面内的所有直线.由以上结论知非p2，非p3，非p4依次为真命题、真命题、假命题，从而①③④中命题是真命题，②中命题是假命题.

[答案]　（1）B　（2）①③④

“p或q”“p且q”“非p”形式命题真假的判断步骤

（1）确定命题构成形式.

（2）判断命题p，q的真假.

（3）根据真值表确定“p或q”“p且q”“非p”形式命题的真假.

考法（二）　已知命题真假求参数范围

[例2]　已知p：存在x∈R，mx2＋1≤0，q：任意x∈R，x2＋mx＋1＞0，若p或q为假命题，求实数m的取值范围.

[解析]　依题意知p，q均为假命题，当p为假命题时，mx2＋1＞0恒成立，则有m≥0；当q为真命题时，则有Δ＝m2－4＜0，解得－2＜m＜2.因此由p，q均为假命题得即m≥2.所以实数m的取值范围为[2，＋∞）.

[变式探究]　若本例中的条件q变为：存在x∈R，x2＋mx＋1＜0，其他条件不变，则实数m的取值范围为__________.

解析：依题意，当q是真命题时，Δ＝m2－4＞0，所以m＞2或m＜－2.由得0≤m≤2，所以m的取值范围是[0，2].

答案：[0，2]

　根据复合命题真假求参数的步骤

（1）根据题目条件，推出每一个命题的真假（有时不一定只有一种情况）.

（2）求出每个命题是真命题时参数的取值范围.

（3）根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围.

[题组突破]

1.（2021·惠州模拟）已知命题p，q，则“非p为假命题”是“p且q是真命题”的（　　）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

解析：充分性：若非p为假命题，则p为真命题，由于不知道q的真假性，所以推不出p且q是真命题.必要性：p且q是真命题，则p，q均为真命题，则非p为假命题.所以“非p为假命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件.

答案：B

2.（2021·安徽江淮十校第三次联考）已知命题p：关于x的方程x2－ax＋4＝0有实根；命题q：关于x的函数y＝2x2＋ax＋4在[3，＋∞）上是增函数.若p或q是真命题，p且q是假命题，则实数a的取值范围是__________.

解析：命题p等价于Δ＝a2－16≥0，即a≤－4或a≥4；命题q等价于－≤3，即a≥－12.由p或q是真命题，p且q是假命题知，命题p和q一真一假.若p真q假，则a＜－12；若p假q真，则－4＜a＜4.故a的取值范围是（－∞，－12）∪（－4，4）.

答案：（－∞，－12）∪（－4，4）

　与命题有关的核心素养

（一）逻辑推理——复合命题的真假判断

[例1]　（2021·泰安模拟）在一次跳高比赛前，甲、乙两名运动员各试跳了一次.设命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”，则命题p或q表示（　　）

A.甲、乙两人中恰有一人的试跳成绩没有超过2米

B.甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩没有超过2米

C.甲、乙两人中两人的试跳成绩都没有超过2米

D.甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩超过2米

[解析]　∵命题p表示“甲的试跳成绩超过2米”，命题q表示“乙的试跳成绩超过2米”，∴命题p或q表示“甲、乙两人中至少有一人的试跳成绩超过2米”.

[答案]　D

复合命题真假判断主要通过p、q的真假判断来考查逻辑推理能力，其关键是p、q真假的准确判断.

（二）创新应用——“交汇型”命题真假的判断

[例2]　（2019·高考全国卷Ⅲ）记不等式组表示的平面区域为D.命题p：∃（x，y）∈D，2x＋y≥9；命题q：∀（x，y）∈D，2x＋y≤12.下面给出了四个命题

①p∨q　②綈p∨q　③p∧綈q　④綈p∧綈q

这四个命题中，所有真命题的编号是（　　）

A.①③　　　　　　 B.①②

C.②③  D.③④

[解析]　法一：画出可行域如图中阴影部分所示.

目标函数z＝2x＋y是一条平行移动的直线，且z的几何意义是直线z＝2x＋y的纵截距.显然，直线过点A（2，4）时，zmin＝2×2＋4＝8，即z＝2x＋y≥8.

∴2x＋y∈[8，＋∞）.由此得命题p：存在（x，y）∈D，2x＋y≥9正确；

命题q，任意（x，y）∈D，2x＋y≤12不正确.∴①③真，②④假.

法二：取x＝4，y＝5，满足不等式组且满足2x＋y≥9，不满足2x＋y≤12，故p真，q假.

∴①③真，②④假.

[答案]　A

解决此类问题的关键是抓住交汇点，判断p，q命题的真假.

[题组突破]

1.（2021·芮城模拟）在一次数学测试中，成绩在区间[125，150]内视为优秀，有甲、乙两名同学，设命题p是“甲测试成绩优秀”，q是“乙测试成绩优秀”，则命题“甲、乙中至少有一名同学成绩不是优秀”可表示为（　　）

A.（非p）或（非q）　　　　 B.p或（非q）

C.（非p）且（非q）  D.p或q

解析：“甲测试成绩不优秀”可表示为非p，“乙测试成绩不优秀”可表示为非q，“甲、乙中至少有一名同学成绩不是优秀”即“甲测试成绩不优秀”或“乙测试成绩不优秀”，表示形式为（非p）或（非q）.

答案：A

2.（2021·漳州模拟）已知命题p：椭圆25x2＋9y2＝225与双曲线x2－3y2＝12有相同的焦点；命题q：函数f（x）＝的最小值为.则下列命题为真命题的是（　　）

A.p且q  B.（非p）且q

C.非（p或q）  D.p且（非q）

解析：p中椭圆＋＝1的焦点坐标分别为（0，4），（0，－4），双曲线－＝1的焦点坐标分别为（4，0），（－4，0），故p为假命题；q中f（x）＝＝＝＋，设t＝≥2（当且仅当x＝0时，等号成立），则f（t）＝t＋在区间[2，＋∞）上单调递增，故f（x）min＝，故q为真命题.所以（非p）且q为真命题.

答案：B