2022届高考数学一轮复习第九章计数原理与概率随机变量及其分布9.2排列与组合学案理含解析北师大版

第二节　排列与组合

授课提示：对应学生用书第205页

知识点一　排列与排列数

1．排列与排列数

（1）排列

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．

（2）排列数

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作A．

2．排列数公式及性质

（1）排列数公式

A＝n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）

＝（m、n∈N＋且m≤n）．

（2）性质：①A＝n！；

②0！＝1．

1．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（　　）

A．144　　　　　　　 B．120

C．72  D．24

解析：“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A＝4×3×2＝24．

答案：D

2．用数字1，2，3，4，5组成无重复数字的四位数，其中偶数的个数为（　　）

A．8  B．24

C．48  D．120

解析：末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，共有AA＝48种排法，所以偶数的个数为48．

答案：C

知识点二　组合与组合数

1．组合与组合数

（1）组合

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合Ｗ．

（2）组合数

从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作C．

2．组合数的公式及性质

（1）组合数公式

C＝

＝

＝（n、m∈N＋且m≤n）．

（2）组合数性质

①C＝1；

②C＝；

③C＋C＝C．

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二级结论

与组合数相关的几个公式

（1）C＋C＋…＋C＝2n（全组合公式）．

（2）C＋C＋…＋C＋C＝C．

（3）kC＝nC．

必明易错

易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题与顺序无关．

1．从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是（　　）

A．18  B．24

C．30  D．36

解析：选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有CC＝18（种），选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有CC＝12（种），故3名学生中男女生都有的选法有CC＋CC＝30（种）．

答案：C

2．（易错题）用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左、右两端，2，4，6三个偶数中有且只有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（　　）

A．423  B．288

C．216  D．144

解析：若2，4相邻，把2，4捆绑在一起，与另外四个数排列（相当于5个元素排列），1不在左、右两侧，则六位数的个数为2×C×A＝144，同理2，4与6相邻的有A×2×2×A＝48（个），所以只有2，4相邻的有144－48＝96（个），全部符合条件的六位数有96×3＝288（个）．

答案：B

3．从6台原装计算机和5台组装计算机中任意选取5台，其中至少有原装计算机和组装计算机各2台，则不同的取法有　　　　　种．

解析：分两类：第一类，取2台原装计算机与3台组装计算机，有CC种方法；第二类，取3台原装计算机与2台组装计算机，有CC种方法．所以满足条件的不同取法有CC＋CC＝350（种）．

答案：350

授课提示：对应学生用书第206页

题型一　排列应用问题　　

[例]　3名女生和5名男生排成一排．

（1）如果女生全排在一起，有多少种不同排法？

（2）如果女生都不相邻，有多少种排法？

（3）如果女生不站两端，有多少种排法？

（4）其中甲必须排在乙前面（可不相邻），有多少种排法？

（5）其中甲不站左端，乙不站右端，有多少种排法？

[解析]　（1）（捆绑法）由于女生排在一起，可把她们看成一个整体，这样同五个男生合在一起有6个元素，排成一排有A种排法，而其中每一种排法中，三个女生间又有A种排法，因此共有A·A＝4 320种不同排法．

（2）（插空法）先排5个男生，有A种排法，这5个男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有A种排法，因此共有A·A＝14 400种不同排法．

（3）法一：（位置分析法）因为两端不排女生，只能从5个男生中选2人排列，有A种排法，剩余的位置没有特殊要求，有A种排法，因此共有A·A＝14 400种不同排法．

法二：（元素分析法）从中间6个位置选3个安排女生，有A种排法，其余位置无限制，有A种排法，因此共有A·A＝14 400种不同排法．

（4）8名学生的所有排列共A种，其中甲在乙前面与乙在甲前面的各占其中，∴符合要求的排法种数为A＝20 160（种）．

（5）甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置．

法一：（特殊元素法）甲在最右边时，其他的可全排，有A种；甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有A种．而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有A种，其余人全排列，共有A·A·A种．由分类加法计数原理，共有A＋A·A·A＝30 960（种）．

法二：（特殊位置法）先排最左边，除去甲外，有A种，余下7个位置全排，有A种，但应剔除乙在最右边时的排法A·A种，因此共有A·A－A·A＝30 960（种）．

法三：（间接法）8个人全排，共A种，其中，不合条件的有甲在最左边时，有A种，乙在最右边时，有A种，其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有A种．因此共有A－2A＋A＝30 960（种）．

　解决排列问题的主要方法

[题组突破]

1．（2021·合肥市第二次质量检测）某部队在一次军演中要先后执行A，B，C，D，E，F六项不同的任务，要求是：任务A必须排在前三项执行，且执行任务A之后需立即执行任务E，任务B，C不能相邻，则不同的执行方案共有（　　）

A．36种  B．44种

C．48种  D．54种

解析：由题意知任务A，E必须相邻，且只能安排为AE，由此分三类完成：（1）当AE排第一、二位置时，用○表示其他任务，则顺序为AE○○○○，余下四项任务，先全排D，F两项任务，然后将任务B，C插入D，F两项任务形成的三个空隙中，有AA种方法．（2）当AE排第二、三位置时，顺序为○AE○○○，余下四项任务又分为两类：①B，C两项任务中一项排第一位置，剩余三项任务排在后三个位置，有AA种方法；②D，F两项任务中一项排第一位置，剩余三项任务排在后三个位置，且任务B，C不相邻，有AA种方法．（3）当AE排第三、四位置时，顺序为○○AE○○，第一、二位置必须分别排来自B，C和D，F中的一个，余下两项任务排在后两个位置，有CCAA种方法，根据分类加法计数原理知不同的执行方案共有AA＋AA＋AA＋CCAA＝44（种）．

答案：B

2．（2021·昆明高三质检）数字“2015”中，各位数字相加和为8，称该数为“如意四位数”，则用数字0，1，2，3，4，5组成的无重复数字且大于2015的“如意四位数”的个数为_________．（用数字作答）

解析：由数字0，1，2，5组成的无重复数字且大于2015的“如意四位数”首位数字必为2或5，有2A－1＝11（个）；由数字0，1，3，4组成的无重复数字且大于2015的“如意四位数”首位数字必为3或4，有2A＝12（个）．故共有23个．

答案：23

题型二　组合应用问题　　

[例]　某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货．现从35种商品中选取3种．

（1）其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？

（2）其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？

（3）恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？

（4）至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？

（5）至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？

[解析]　（1）从余下的34种商品中，

选取2种有C＝561种取法，

所以某一种假货必须在内的不同取法有561种．

（2）从34种可选商品中，选取3种，有C种或者C－C＝C＝5 984种取法．

所以某一种假货不能在内的不同取法有5 984种．

（3）从20种真货中选取1种，从15种假货中选取2种有CC＝2 100种取法．

所以恰有2种假货在内的不同的取法有2 100种．

（4）选取2种假货有CC种，选取3种假货有C种，共有选取方式CC＋C＝2 100＋455＝2 555（种）．

所以至少有2种假货在内的不同的取法有2 555种．

（5）法一（间接法）：选取3种的总数为C，因此共有选取方式C－C＝6 545－455＝6 090（种）．

所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．

法二（直接法）：共有选取方式C＋CC＋CC＝6 090（种）．

所以至多有2种假货在内的不同的取法有6 090种．

1．“含有”或“不含有”某些元素的组合题型．“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．

2．“至少”或“最多”含有几个元素的题型．考虑逆向思维，用间接法处理更简捷．

[对点训练]

　甲、乙两人从4门课程中各选修2门，求：

（1）甲、乙所选的课程中恰有1门相同的选法有多少种？

（2）甲、乙所选的课程中至少有1门不相同的选法有多少种？

解析：（1）甲、乙两人从4门课程中各选修2门，且甲、乙所选课程中恰有1门相同的选法种数共有CCC＝24（种）．

（2）甲、乙两人从4门课程中各选2门不同的选法种数为CC，又甲、乙两人所选的2门课程都相同的选法种数为C种，因此满足条件的不同选法种数为CC－C＝30（种）．

题型三　排列与组合的综合应用　　

[例]　（2021·长春市高三二检）某班主任准备请2020届毕业生做报告，要从甲、乙等8人中选4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，若甲、乙同时参加，则他们发言中间需恰好间隔一人，那么不同的发言顺序共有　　　　　种．（用数字作答）

[解析]　若甲、乙同时参加，有2CAA＝120（种），若甲、乙有一人参加，有CCA＝960（种），从而不同的发言顺序有1 080种．

[答案]　1 080

求解排列与组合问题的要点

（1）解排列与组合综合题一般是先选后排，或充分利用元素的性质进行分类、分步，再利用两个原理做最后处理．

（2）解受条件限制的组合题，通常用直接法（合理分类）或间接法（排除法）来解决，分类标准应统一，避免出现重复或遗漏．

[题组突破]

1．将标号为1，2，3，4的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号1，2的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为（　　）

A．15　　　　　　　　 B．20

C．30  D．42

解析：四个篮球中两个分到一组有C种分法，三个篮球进行全排列有A种分法，标号1，2的两个篮球分给同一个小朋友有A种分法，所以有CA－A＝36－6＝30种分法．

答案：C

2．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（　　）

A．24  B．18

C．12  D．6

解析：从0，2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1，3，5中选两个数字排在个位与百位，共有A＝6种；从0，2中选一个数字2，则2排在十位（或百位），从1，3，5中选两个数字排在百位（或十位）、个位，共有A·A＝12（种），故共有A＋AA＝18（种）．

答案：B

　排列、组合应用中的核心素养

数学运算——分组分配问题

计数问题中的分组分配问题一直是排列、组合中的一个重点与难点，是计数原理中的典型问题之一，也是排列、组合综合运用的充分体现．由于分组分配问题的种类繁多、条件各异，涉及完全非均匀分组、整体均匀分组、部分均匀分组以及编号分组等情况，同时又涉及分组后的元素是否有序等问题，因此在解答实际问题时非常容易混淆，导致错误．

1．完全非均匀分组

所谓“完全非均匀分组”，就是将问题中的所有元素分成彼此元素个数互不相等的组，解决此类问题时只需直接分组即可达到目的．

[例1]　7人参加志愿者活动，按下列不同方法分组各有多少种不同的分法？

（1）分成3组，各组人数分别为1人、2人、4人；

（2）选出5个人分成2组，其中一组2人，另一组3人．

[解析]　（1）先从7人中选出1人，有C种，再由剩下的6人中选出2人，有C种，最后由剩下的4人为一组，有C种．

由分步乘法计数原理得分组方法共有CCC＝105（种）．

（2）可“选分同步”：先从7人中选出2人，有C种，再由剩下的5人中选出3人，有C种，分组方法共有CC＝210（种）．

也可“先选后分”：先选出5人，再分为两组，由分步乘法计数原理得分组方法共有CCC＝210（种）．

2．均匀分配

[例2]　将9名大学生志愿者安排在星期五、星期六、星期日3天参加社区公益活动，每天分别安排3人，每人参加一次，则不同的安排方案共有　　　　　种．（用数字作答）

[解析]　先选出3人，有C种，再由剩下的6人中选出3人，有C种，最后由剩下的3人为一组，有C种．

由分步乘法计数原理以及每A中只能算一种不同的分组方法，可得不同的安排方案共有·A＝1 680（种），故填1 680．

[答案]　1 680

3．部分均分问题

[例3]　小明有中国古代四大名著：《三国演义》《西游记》《水浒传》《红楼梦》各一本，他要将这四本书全部借给三位同学，每位同学至少一本，但《西游记》《红楼梦》这两本书不能借给同一人，则不同的借法有　　　　种．

[解析]　根据题意，分两步进行分析：①将四本书分成3组，其中1组两本，其他2组各一本，有＝6（种）分组方法，但《西游记》《红楼梦》这两本书不能借给同一人，即这两本书不能分在同一组，《西游记》《红楼梦》分在同一组的情况有1种，故四本书分成3组，符合题意的分法有6－1＝5（种）；②将分好的3组全排列，对应三位同学，有A＝6（种）情况．则不同的借法有5×6＝30（种）．

[答案]　30

分组分配问题的三种类型及求解策略

[题组突破]

1．将并排的有不同编号的5个房间安排给5个工作人员临时休息，假定每个人可以选择任一房间，且选择各个房间是等可能的，则恰有2个房间无人选择且这2个房间不相邻的安排方式的种数为_________．

解析：先将5人分成三组（1，1，3或2，2，1两种形式），再将这三组人安排到3个房间，然后将2个房间插入前面住了人的3个房间形成的空档中即可，故安排方式共有·A·C＝900（种）．

答案：900

2．将6本不同的书分给甲、乙、丙3名学生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，则有　　　　　种不同的分法．

解析：先把书分成三组，把这三组分给甲、乙、丙3名学生．先选1本，有C种选法；再从余下的5本中选2本，有C种选法；最后余下3本全选，有C种选法．故共有C·C·C＝60种选法．由于甲、乙、丙是不同的3人，还应考虑再分配，故共有60A＝360种分配方法．

答案：360