数学必修53.2等比数列的前n项和课后复习题
展开课时分层作业(九)
(建议用时:60分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1.数列{an},{bn}满足anbn=1,an=n2+3n+2,则{bn}的前10项和为( )
A. B.
C. D.
B [依题意bn====-,所以{bn}的前10项和为S10=+++…+=-=,故选B.]
2.若数列{an}的通项公式an=2n+2n-1,则数列{an}的前n项和Sn为( )
A.2n+n2-1 B.2n+1+n2-1
C.2n+1+n2-2 D.2n+n2-2
C [Sn=(2+22+23+…+2n)+[1+3+5+…+(2n-1)]=+=2n+1-2+n2.]
3.数列{an}中,an=,其前n项和为,则在平面直角坐标系中,直线(n+1)x+y+n=0在y轴上的截距为( )
A.-10 B.-9
C.10 D.9
B [数列{an}的前n项和为++…+=1-+-+…+-=1-==,所以n=9,于是直线(n+1)x+y+n=0,即为10x+y+9=0.所以其在y轴上的截距为-9.]
4.数列{an}的前n项和为Sn,已知Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,则S17=( )
A.9 B.8
C.17 D.16
A [S17=1-2+3-4+5-6+…+15-16+17=1+(-2+3)+(-4+5)+(-6+7)+…+(-14+15)+(-16+17)=1+1+1+…+1=9.]
5.已知数列{an}满足a1=1,an+1·an=2n(n∈N+),则S2 018=( )
A.22 018-1 B.3·21 009-3
C.3·21 009-1 D.3·21 008-2
B [a1=1,a2==2,又==2.
∴a1,a3,a5,…成等比数列,
a2,a4,a6,…成等比数列,∴S2 018=a1+a2+a3+a4+a5+a6+…+a2 017+a2 018
=(a1+a3+a5+…+a2 017)+(a2+a4+a6+…+a2 018)
=+=3·21 009-3.故选B.]
二、填空题
6.有穷数列1,1+2,1+2+4,…,1+2+4+…+2n-1所有项的和为________.
2n+1-2-n [由题意知所求数列的通项为=2n-1,故由分组求和法及等比数列的求和公式可得和为-n=2n+1-2-n.]
7.已知数列{an}的通项公式an=,其前n项和Sn=,则项数n等于________.
6 [an==1-,
所以Sn=n-=n-1+==5+,
所以n=6.]
8.数列{an}满足a1=1,且an+1-an=n+1(n∈N+),则数列的前10项的和为________.
[an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=n+(n-1)+(n-2)+…+2+1=,
所以=,
所以的前10项和+++…+
=2=.]
三、解答题
9.已知等比数列{an}的各项均为正数,a1=1,公比为q,等差数列{bn}中,b1=3,且{bn}的前n项和为Sn,a3+S3=27,q=.
(1)求{an}与{bn}的通项公式;
(2)设数列{cn}满足cn=,求{cn}的前n项和Tn.
[解] (1)设数列{bn}的公差为d,∵a3+S3=27,q=,
∴q2+3d=18,6+d=q2,联立方程可求得q=3,d=3,
∴an=3n-1,bn=3n.
(2)由题意得:Sn=,cn==××=-.
∴Tn=1-+-+-+…+-=1-=.
10.设等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,等比数列{bn}的公比为q.已知b1=a1,b2=2,q=d,S10=100.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)当d>1时,记cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
[解] (1)由题意有,
即
解得或
故或
(2)由d>1,知an=2n-1,bn=2n-1,故cn=,
于是Tn=1+++++…+, ①
Tn=++++…++. ②
①-②可得
Tn=2+++…+-=3-,
故Tn=6-.
[能力提升练]
1.对于数列{an},定义数列{an+1-an}为数列{an}的“差数列”,若a1=2,数列{an}的“差数列”的通项为2n,则数列{an}的前n项和Sn=( )
A.2 B.2n
C.2n+1-2 D.2n-1-2
C [∵an+1-an=2n,∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=
2n-1+2n-2+…+22+2+2=+2=2n-2+2=2n,∴Sn==2n+1-2.故选C.]
2.已知数列5,6,1,-5,…,该数列的特点是从第二项起,每一项都等于它的前后两项之和,则这个数列的前16项之和S16等于( )
A.5 B.6
C.7 D.16
C [根据题意这个数列的前7项分别为5,6,1,-5,-6,-1,5,6,发现从第7项起,数字重复出现,所以此数列为周期数列,且周期为6,前6项和为5+6+1+(-5)+(-6)+(-1)=0.
又因为16=2×6+4,所以这个数列的前16项之和S16=2×0+7=7.故选C.]
3.数列{an}满足an+an+1=(n∈N+),且a1=1,Sn是数列{an}的前n项和,则S21=________.
6 [由an+an+1==an+1+an+2,∴an+2=an,
则a1=a3=a5=…=a21,a2=a4=a6=…=a20,
∴S21=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(a20+a21)=1+10×=6.]
4.已知数列{an}的通项公式为an=2n-30,Sn是{|an|}的前n项和,则S10=________.
190 [由an=2n-30,令an<0,得n<15,即在数列{an}中,前14项均为负数,
所以S10=-(a1+a2+a3+…+a10)
=-(a1+a10)=-5[(-28)+(-10)]=190.]
5.已知数列{an}的各项均为正数,前n项和为Sn,
且Sn=,n∈N+;
(1)求证:数列{an}是等差数列;
(2)设bn=,Tn=b1+b2+…+bn,求Tn.
[解] (1)证明:因为Sn=,n∈N+,
所以当n=1时,a1=S1=,
所以a1=1.
当n≥2时,由
得2an=a+an-a-an-1.
即(an+an-1)(an-an-1-1)=0,
因为an+an-1>0,
所以an-an-1=1(n≥2).
所以数列{an}是以1为首项,以1为公差的等差数列.
(2)由(1)可得an=n,
Sn=,
bn===-.
所以Tn=b1+b2+b3+…+bn
=1-+-+…+-
=1-=.
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