2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：4.3 三角函数的图象与性质

这是一份2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：4.3 三角函数的图象与性质，共7页。学案主要包含了知识重温，小题热身等内容，欢迎下载使用。


【知识重温】
一、必记2个知识点
1．周期函数
(1)周期函数的定义
对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有①________________，那么函数f(x)就叫做周期函数．②________________叫做这个函数的周期．
(2)最小正周期，如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个③________________，那么这个④________________就叫做f(x)的最小正周期．
2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
二、必明2个易误点
1．三角函数存在多个单调区间时易错用“∪”联结．
2．研究三角函数单调性、对称中心、奇偶性及对称轴时易受基本函数影响，遗漏问题的多解，同时也可能忽视“k∈Z”这一条件．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)y＝sin x在第一、第四象限是增函数．( )
(2)余弦函数y＝cs x的对称轴是y轴．( )
(3)正切函数y＝tan x在定义域内是增函数．( )
(4)已知y＝ksin x＋1，x∈R，则y的最大值为k＋1.( )
(5)y＝sin|x|是偶函数．( )
(6)若sin x>eq \f(\r(2),2)，则x>eq \f(π,4).( )
二、教材改编
2．下列关于函数y＝4sin x，x∈[0,2π]的单调性的叙述，正确的是( )
A．在[0，π]上单调递增，在[π，2π]上单调递减
B．在[0，eq \f(π,2)]上单调递增，在[eq \f(3π,2)，2π]上单调递减
C．在[0，eq \f(π,2)]及[eq \f(3π,2)，2π]上单调递增，在[eq \f(π,2)，eq \f(3π,2)]上单调递减
D．在[eq \f(π,2)，eq \f(3π,2)]上单调递增，在[0，eq \f(π,2)]及[eq \f(3π,2)，2π]上单调递减
3．函数y＝－eq \f(3,2)cs(eq \f(1,2)x－eq \f(π,6))的最大值为________，此时x的集合为________．
三、易错易混
4．关于三角函数的图象，有下列说法：
①y＝sin|x|与y＝sin x的图象关于y轴对称；
②y＝cs(－x)与y＝cs|x|的图象相同；
③y＝|sin x|与y＝sin(－x)的图象关于x轴对称；
④y＝cs x与y＝cs(－x)的图象关于y轴对称．
其中正确的是________．(写出所有正确说法的序号)
5．函数y＝1＋2sin(eq \f(π,6)－x)的单调增区间是________．
四、走进高考
6．[2019·全国卷Ⅱ]下列函数中，以eq \f(π,2)为周期且在区间(eq \f(π,4)，eq \f(π,2))单调递增的是( )
A．f(x)＝|cs 2x| B．f(x)＝|sin 2x|
C．f(x)＝cs |x| D．f(x)＝sin |x|

eq \x(考点一) 三角函数的定义域[自主练透型]
1．y＝ eq \r(cs x－\f(1,2))的定义域为________．
2．函数y＝eq \f(1,tan x－1)的定义域为________．
3．函数y＝lg(sin x)＋ eq \r(cs x－\f(1,2))的定义域为________．

悟·技法
求与三角函数有关的函数定义域的基本方法是“数形结合”，也就是在求这类函数定义域时，往往需要解有关的三角不等式，而解三角不等式的方法是：要么利用正、余弦曲线，正切曲线，要么利用单位圆等图形的直观形象来解决问题.
考点二 三角函数的值域与最值[互动讲练型]
[例1] (1)[2019·全国卷Ⅰ]函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3π,2)))－3cs x的最小值为________．
(2)函数y＝sin x－cs x＋sin x·cs x，x∈[0，π]的值域为________．
悟·技法
三角函数最值或值域的三种求法
(1)直接法：利用sin x，cs x的值域．
(2)化一法：化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域．
(3)换元法：把sin x或cs x看作一个整体，转化为二次函数，求给定区间上的值域(最值)问题.
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．函数y＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(πx,6)－\f(π,3)))(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为( )
A．2－eq \r(3) B．0
C．－1 D．－1－eq \r(3)
2．函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))上的最小值为________．
考点三 三角函数的性质[互动讲练型]
考向一：三角函数的周期性
[例2] 函数f(x)＝(eq \r(3)sin x＋cs x)(eq \r(3)cs x－sin x)的最小正周期是( )
A.eq \f(π,2) B．π
C.eq \f(3π,2) D．2π
考向二：三角函数的对称性
[例3] 已知函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))(ω>0)的最小正周期为π，则函数f(x)的图象( )
A．关于直线x＝eq \f(π,4)对称 B．关于直线x＝eq \f(π,8)对称
C．关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，0))对称 D．关于点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)，0))对称
考向三：三角函数的单调性
[例4] 已知f(x)＝eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(π,4)))，x∈[0，π]，则f(x)的单调递增区间为________．
悟·技法
1.奇偶性与周期性的判断方法
(1)奇偶性：由正、余弦函数的奇偶性可判断y＝Asin ωx和y＝Acs ωx分别为奇函数和偶函数．
(2)周期性：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)，y＝Acs(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为eq \f(2π,ω)，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的周期为eq \f(π,ω)求解．
2．求三角函数单调区间的两种方法
(1)代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解．
(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求它的单调区间.
[变式练]——(着眼于举一反三)
3．[2021·贵阳市监测考试]已知函数f(x)＝cs 2x＋eq \r(3)sin 2x，则f(x)的单调递增区间是( )
A．[kπ－eq \f(π,3)，kπ＋eq \f(π,6)](k∈Z) B．[kπ，kπ＋eq \f(π,2)](k∈Z)
C．[kπ＋eq \f(π,6)，kπ＋eq \f(2π,3)](k∈Z) D．[kπ－eq \f(π,2)，kπ](k∈Z)
4．关于函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))，下列说法正确的是( )
A．是奇函数
B．在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上单调递减
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，0))为其图象的一个对称中心
D．最小正周期为π
5．若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上单调递增，在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,3)，\f(π,2)))上单调递减，则ω＝________.
第三节 三角函数的图象与性质
【知识重温】
①f(x＋T)＝f(x) ②T ③最小正数 ④最小正数 ⑤{y|－1≤y≤1} ⑥{y|－1≤y≤1} ⑦R ⑧eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋2kπ，\f(π,2)＋2kπ))
⑨eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋2kπ，\f(3π,2)＋2kπ)) ⑩[(2k－1)π，2kπ]
⑪[2kπ，(2k＋1)π] ⑫eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)＋kπ，\f(π,2)＋kπ))
⑬eq \f(π,2)＋2kπ ⑭－eq \f(π,2)＋2kπ ⑮2kπ ⑯π＋2kπ ⑰奇函数 ⑱偶函数 ⑲奇函数 ⑳(kπ，0)，k∈Z eq \(○,\s\up1(21))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kπ＋\f(π,2)，0))，k∈Z eq \(○,\s\up1(22))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,2)，0))，k∈Z eq \(○,\s\up1(23))x＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z
eq \(○,\s\up1(24))x＝kπ，k∈Z eq \(○,\s\up1(25))2π eq \(○,\s\up1(26))2π eq \(○,\s\up1(27))π
【小题热身】
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√ (6)×
2．解析：结合正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]的图象可知C正确．
答案：C
3．解析：当cs(eq \f(1,2)x－eq \f(π,6))＝－1，即eq \f(1,2)x－eq \f(π,6)＝π＋2kπ，k∈Z，即x＝4kπ＋eq \f(7π,3)，k∈Z时，函数y有最大值eq \f(3,2).
答案：eq \f(3,2) {x|x＝4kπ＋eq \f(7π,3)，k∈Z}
4．解析：对于②，y＝cs(－x)＝cs x，y＝cs|x|＝cs x，故其图象相同；对于④，y＝cs(－x)＝cs x，故其图象关于y轴对称；由图象(图略)可知①③均不正确．故正确的说法是②④.
答案：②④
5．解析：y＝1＋2sin(eq \f(π,6)－x)＝1－2sin(x－eq \f(π,6))．令u＝x－eq \f(π,6)，根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是y＝sin u的单调递减区间，解eq \f(π,2)＋2kπ≤x－eq \f(π,6)≤eq \f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，得eq \f(2π,3)＋2kπ≤x≤eq \f(5π,3)＋2kπ(k∈Z)，故函数y＝1＋2sin(eq \f(π,6)－x)的单调递增区间是[eq \f(2π,3)＋2kπ，eq \f(5π,3)＋2kπ](k∈Z)．
答案：[eq \f(2π,3)＋2kπ，eq \f(5π,3)＋2kπ](k∈Z)
6．解析：当x∈(eq \f(π,4)，eq \f(π,2))时，2x∈(eq \f(π,2)，π)，由于f1(x)＝cs 2x在x∈(eq \f(π,4)，eq \f(π,2))上单调递减，且cs 2x<0，故f(x)＝|cs 2x|在(eq \f(π,4)，eq \f(π,2))上单调递增．f1(x)＝cs 2x的周期为π，f(x)＝|cs 2x|的周期为eq \f(π,2)，故A符合题意．而f(x)＝|sin 2x|以eq \f(π,2)为周期，在(eq \f(π,4)，eq \f(π,2))上单调递减；f(x)＝cs|x|＝cs x的周期为2π；f(x)＝sin|x|不是周期函数，故选A.
答案：A
课堂考点突破
考点一
1．解析：要使函数有意义，则cs x≥eq \f(1,2)，由三角函数图象可得：－eq \f(π,3)＋2kπ≤x≤eq \f(π,3)＋2kπ，k∈Z.故函数y的定义域为{x|－eq \f(π,3)＋2kπ≤x≤eq \f(π,3)＋2kπ，k∈Z}．
答案：{x|－eq \f(π,3)＋2kπ≤x≤eq \f(π,3)＋2kπ，k∈Z}
2．解析：要使函数有意义，必须有eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(tan x－1≠0，,x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x≠\f(π,4)＋kπ，k∈Z，,x≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))故函数的定义域为{x|x≠eq \f(π,4)＋kπ，且x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z}．
答案：{x|x≠eq \f(π,4)＋kπ且x≠eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z}
3．解析：要使函数有意义，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x>0，,cs x－\f(1,2)≥0，))
即eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(sin x>0，,cs x≥\f(1,2)，))
解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2kπ所以2kπ所以函数的定义域为{x|2kπ答案：{x|2kπ考点二
例1 解析：(1)f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(3π,2)))－3cs x＝－cs 2x－3cs x＝－2cs2x－3cs x＋1，
令cs x＝t，则t∈[－1,1]．
f(t)＝－2t2－3t＋1＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(3,4)))2＋eq \f(17,8)，
易知当t＝1时，f(t)min＝－2×12－3×1＋1＝－4.
故f(x)的最小值为－4.
(2)设t＝sin x－cs x，则t2＝sin2x＋cs2x－2sin xcs x，
sin xcs x＝eq \f(1－t2,2)，且－1≤t≤ eq \r(2).
∴y＝－eq \f(t2,2)＋t＋eq \f(1,2)＝－eq \f(1,2)(t－1)2＋1.
当t＝1时，ymax＝1；当t＝－1时ymin＝－1
∴函数的值域为[－1,1]．
答案：(1)－4 (2)[－1,1]
变式练
1．解析：∵0≤x≤9，∴－eq \f(π,3)≤eq \f(π,6)x－eq \f(π,3)≤eq \f(7π,6)，
∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)x－\f(π,3)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)，1)).
∴y∈[－eq \r(3)，2]，∴ymax＋ymin＝2－eq \r(3).
答案：A
2．解析：由已知x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，得2x－eq \f(π,4)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(π,4)，\f(3π,4)))，
所以sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2)，1))，故函数f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))在区间eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))上的最小值为－eq \f(\r(2),2).
答案：－eq \f(\r(2),2)
考点三
例2 解析：∵f(x)＝(eq \r(3)sin x＋cs x)(eq \r(3)cs x－sin x)
＝3sin xcs x＋eq \r(3)cs2x－eq \r(3)sin2x－sin xcs x
＝sin 2x＋eq \r(3)cs 2x
＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,3)))，
∴T＝eq \f(2π,2)＝π.故选B.
答案：B
例3 解析：∵f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋\f(π,4)))的最小正周期为π，
∴eq \f(2π,ω)＝π，ω＝2，
∴f(x)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4))).当x＝eq \f(π,4)时，2x＋eq \f(π,4)＝eq \f(3π,4)，
∴A、C两项错误；当x＝eq \f(π,8)时，2x＋eq \f(π,4)＝eq \f(π,2)，
∴B项正确，D项错误．
答案：B
例4 解析：由－eq \f(π,2)＋2kπ≤x＋eq \f(π,4)≤eq \f(π,2)＋2kπ，k∈Z，
得－eq \f(3π,4)＋2kπ≤x≤eq \f(π,4)＋2kπ，k∈Z.
又x∈[0，π]，所以f(x)的单调递增区间为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))).
答案：eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4)))
变式练
3．解析：f(x)＝cs 2x＋eq \r(3) sin 2x＝2sin(2x＋eq \f(π,6))，则由－eq \f(π,2)＋2kπ≤2x＋eq \f(π,6)≤eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，得－eq \f(π,3)＋kπ≤x≤eq \f(π,6)＋kπ(k∈Z)，即函数f(x)的单调递增区间是[kπ－eq \f(π,3)，kπ＋eq \f(π,6)](k∈Z)，故选A.
答案：A
4．解析：y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))是非奇非偶函数，A错误；y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))在区间eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))上单调递增，B错误；由2x－eq \f(π,3)＝eq \f(kπ,2)得x＝eq \f(kπ,4)＋eq \f(π,6)(k∈Z)，得函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的对称中心为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(kπ,4)＋\f(π,6)，0))，k∈Z，故C正确；函数y＝taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,3)))的最小正周期为eq \f(π,2)，D错误．
答案：C
5．解析：解法一 由于函数f(x)＝sin ωx(ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，eq \f(π,3)为函数f(x)的eq \f(1,4)周期，故eq \f(2π,ω)＝eq \f(4π,3)，解得ω＝eq \f(3,2).
解法二 由题意，得f(x)max＝feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝sin eq \f(π,3)ω＝1.
由已知并结合正弦函数图象可知，eq \f(π,3)ω＝eq \f(π,2)＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝eq \f(3,2)＋6k(k∈Z)，所以当k＝0时，ω＝eq \f(3,2).
答案： eq \f(3,2)函数
y＝sin x
y＝cs x
y＝tan x
图
象
定义
域
x∈R
x∈R
{x|x∈R且x≠
eq \f(π,2)＋kπ，k∈Z}
值域
⑤____________
⑥____________
⑦__________
单调
性
⑧______________上递增，k∈Z；
⑨______________上递减，k∈Z
⑩______________上递增，k∈Z；
⑪______________上递减，k∈Z
⑫____________上递增，k∈Z
最
值
x＝ ⑬__________时，ymax＝1(k∈Z)；
x＝⑭__________时，ymin＝－1(k∈Z)
x＝⑮________时，
ymax＝1(k∈Z)；
x＝⑯________时，ymin＝－1(k∈Z)
无最值
奇偶性
⑰________
⑱________
⑲________
对称
性
对称中心：
⑳______________
对称中心：
eq \(○,\s\up1(21))____________
对称中心：
eq \(○,\s\up1(22))__________
对称轴l：
eq \(○,\s\up1(23))______________
对称轴l：
eq \(○,\s\up1(24))____________
无
周期性
eq \(○,\s\up1(25))____________
eq \(○,\s\up1(26))____________
eq \(○,\s\up1(27))____________