2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：11.2 数系的扩充与复数的引入

这是一份2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：11.2 数系的扩充与复数的引入，共5页。学案主要包含了知识重温，小题热身等内容，欢迎下载使用。


【知识重温】
一、必记7个知识点
1．复数的概念
形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中a，b分别是它的①________和②________.若③________，则a＋bi为实数，若④________，则a＋bi为虚数，若⑤______________，则a＋bi为纯虚数．
2．复数相等：a＋bi＝c＋di⇔⑥____________(a，b，c，d∈R)．
3．共轭复数：a＋bi与c＋di共轭⇔⑦________(a，b，c，d∈R)．
4．复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面．⑧________叫做实轴，⑨________________叫做虚轴．实轴上的点都表示eq \(○,\s\up1(10))________；虚轴上的点都表示⑪________；各象限内的点都表示⑫________________.
复数集C和复平面内的⑬________组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以⑭________为起点的向量组成的集合也是一一对应的．
5．复数的模
向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝⑮ ____________.
6．复数的加、减、乘、除运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝⑯____________.
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝⑰____________.
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝⑱____________.
(4)除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(a＋bic－di,c＋dic－di)＝
⑲__________________(c＋di≠0)．
7．复数加法的运算定律
复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1、z2、z3∈C，有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
二、必明2个易误点
1．判定复数是实数，仅注重虚部等于0是不够的，还需考虑它的实部是否有意义．
2．利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件．
【小题热身】
一、判断正误
1．判断下列说法是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．
(1)方程x2＋x＋1＝0没有解．( )
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)中，虚部为bi.( )
(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小，如4＋3i>3＋3i,3＋4i>3＋3i等．( )
(4)原点是实轴与虚轴的交点．( )
(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模．( )
(6)复数z＝－1＋2i的共轭复数对应点在第四象限．( )
二、教材改编
2．复数eq \f(5,i－2)的共轭复数是( )
A．i＋2 B．i－2
C．－2－i D．2－i
3．当eq \f(2,3)A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限

三、易错易混
4．z＝(3＋2i)(2－5i)，则复数z的虚部为( )
A．16 B．－11
C．－11i D．－16
5．[2021·宝鸡质检]若复数eq \f(a＋3i,1－2i)是纯虚数，则实数a＝( )
A．－2 B．4
C．－6 D．6
四、走进高考
6．[2020·天津卷]i是虚数单位，复数eq \f(8－i,2＋i)＝________.

eq \x(考点一) 复数的有关概念[自主练透型]
1．[2020·全国卷Ⅲ]复数eq \f(1,1－3i)的虚部是( )
A．－eq \f(3,10) B．－eq \f(1,10) C.eq \f(1,10) D.eq \f(3,10)
2．[2020·浙江卷]已知a∈R，若a－1＋(a－2)i(i为虚数单位)是实数，则a＝( )
A．1 B．－1 C．2 D．－2
3．[2021·郑州市第一次质量预测]若复数eq \f(1＋2ai,2－i)(a∈R)的实部和虚部相等，则实数a的值为( )
A．1 B．－1 C.eq \f(1,6) D．－eq \f(1,6)
4．[2021·安徽省考试试题]eq \(z,\s\up6(－))是z＝eq \f(1＋2i,1－i)的共轭复数，则eq \(z,\s\up6(－))的虚部为( )
A．－eq \f(1,2) B.eq \f(1,2) C．－eq \f(3,2) D.eq \f(3,2)
悟·技法

求解与复数概念相关问题的技巧
复数的分类、复数的相等、复数的模，共轭复数的概念都与复数的实部与虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意列方程(组)求解.
考点二 复数的代数运算[自主练透型]
5．[2020·全国卷Ⅰ]若z＝1＋i，则|z2－2z|＝( )
A．0 B．1 C.eq \r(2) D．2
6．[2020·山东卷]eq \f(2－i,1＋2i)＝( )
A．1 B．－1 C．i D．－i
7. [2021·河南省豫北名校质量考评]复数eq \f(\r(3)－\r(2)i,\r(2)＋\r(3)i)＝( )
A.eq \f(2\r(6),5)－i B.eq \f(2\r(6),5)－eq \f(1,5)i C．－1 D．－i
8. [2021·太原市高三年级模拟试题]设复数z满足z·(2＋i)＝5，则|z－i|＝( )
A．2eq \r(2) B.eq \r(2) C．2 D．4
悟·技法
复数代数形式运算问题的解题策略
(1)复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作另一类同类项，分别合并即可．
(2)复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把i的幂写成最简形式.
考点三 复数的几何意义[互动讲练型]
[例1] (1)在复平面内，复数z对应的点的坐标是(1,2)，则i·z＝( )
A．1＋2i B．－2＋i
C．1－2i D．－2－i
(2)[2020·全国卷Ⅱ]设复数z1，z2 满足|z1|＝|z2|＝2，z1＋z2＝eq \r(3)＋i，则|z1－z2|＝________.
悟·技法
复数几何意义及应用
(1)复数z、复平面上的点Z及向量eq \(OZ,\s\up6(→))相互联系，即z＝a＋bi(a，b∈R)⇔Z(a，b)⇔eq \(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)．
(2)由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观．
提醒：|z|的几何意义：令z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|＝eq \r(x2＋y2)，由此可知表示复数z的点到原点的距离就是|z|的几何意义；|z1－z2|的几何意义是复平面内表示复数z1，z2的两点之间的距离.
[变式练]——(着眼于举一反三)
1．[2021·石家庄市高三年级阶段性训练题]已知i是虚数单位，且z＝eq \f(1－i,i)，则z的共轭复数eq \(z,\s\up6(－))在复平面内对应的点在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．[2021·石家庄市重点高中高三毕业班摸底考试]若复数z满足2z＋eq \(z,\s\up6(－))＝3－i，其中i为虚数单位，则|z|＝( )
A．2 B.eq \r(3) C.eq \r(2) D．3
第二节 数系的扩充与复数的引入
【知识重温】
①实部 ②虚部 ③b＝0 ④b≠0 ⑤a＝0且b≠0 ⑥a＝c且b＝d ⑦eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝c，,b＝－d)) ⑧x轴 ⑨y轴除去原点 ⑩实数 ⑪纯虚数 ⑫实部不为0的虚数 ⑬点 ⑭原点 ⑮eq \r(a2＋b2) ⑯(a＋c)＋(b＋d)i ⑰(a－c)＋(b－d)i ⑱(ac－bd)＋(ad＋bc)i
⑲eq \f(ac＋bd＋bc－adi,c2＋d2)
【小题热身】
1．答案：(1)× (2)× (3)× (4)×
(5)√ (6)×
2．解析：eq \f(5,i－2)＝eq \f(－52＋i,2－i2＋i)＝eq \f(－10－5i,5)
＝－2－i，其共轭复数为－2＋i，故选B.
答案：B
3．解析：m(3＋i)－(2＋i)＝(3m－2)＋(m－1)i，
∵eq \f(2,3)∴3m－2>0，m－1<0，
∴其对应的点在第四象限．
答案：D
4．解析：依题意，z＝(3＋2i)(2－5i)＝6－15i＋4i＋10＝16－11i，故复数z的虚部为－11.故选B.
答案：B
5．解析：∵eq \f(a＋3i,1－2i)＝eq \f(a＋3i1＋2i,1－2i1＋2i)＝eq \f(a－6,5)＋eq \f(2a＋3,5)i是纯虚数，∴eq \f(a－6,5)＝0且eq \f(2a＋3,5)≠0，∴a＝6，故选D.
答案：D
6．解析：解法一 依题意得eq \f(8－i,2＋i)＝eq \f(8－i2－i,2＋i2－i)＝eq \f(15－10i,5)＝3－2i.
解法二 设eq \f(8－i,2＋i)＝x＋yi，其中x，y∈R，则(2＋i)(x＋yi)＝8－i，即(2x－y)＋(2y＋x)i＝8－i，因此eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y＝8，,2y＋x＝－1，))解得x＝3，y＝－2，即eq \f(8－i,2＋i)＝3－2i.
答案：3－2i
课堂考点突破
考点一
1．解析：利用复数除法法则得eq \f(1,1－3i)＝eq \f(1＋3i,1－3i1＋3i)＝eq \f(1＋3i,10)，所以虚部为eq \f(3,10)，选D.
答案：D
2．解析：因为a－1＋(a－2)i是实数，所以a－2＝0，所以a＝2.故选C.
答案：C
3．解析：因为eq \f(1＋2ai,2－i)＝eq \f(1＋2ai2＋i,2－i2＋i)＝eq \f(2－2a,5)＋eq \f(1＋4a,5)i，所以由题意，得eq \f(2－2a,5)＝eq \f(1＋4a,5)，解得a＝eq \f(1,6)，故选C.
答案：C
4．解析：z＝eq \f(1＋2i,1－i)＝eq \f(1＋2i1＋i,1－i1＋i)＝eq \f(－1＋3i,2)＝－eq \f(1,2)＋eq \f(3,2)i，则eq \(z,\s\up6(－))＝－eq \f(1,2)－eq \f(3,2)i，所以eq \(z,\s\up6(－))的虚部为－eq \f(3,2)，故选C.
答案：C
考点二
5．解析：∵z＝1＋i，
∴z2－2z＝(1＋i)2－2(1＋i)＝1＋2i＋i2－2－2i＝－2，
∴|z2－2z|＝|－2|＝2.故选D.
答案：D
6．解析：解法一 eq \f(2－i,1＋2i)＝eq \f(2－i1－2i,1＋2i1－2i)＝eq \f(2－2－5i,5)＝－i，选D.
解法二 利用i2＝－1进行替换，则eq \f(2－i,1＋2i)＝eq \f(－2×－1－i,1＋2i)＝eq \f(－2i2－i,1＋2i)＝eq \f(－i1＋2i,1＋2i)＝－i，选D.
答案：D
7．解析：由题意可知，eq \f(\r(3)－\r(2)i,\r(2)＋\r(3)i)＝eq \f(\r(3)－\r(2)i\r(2)－\r(3)i,\r(2)＋\r(3)i\r(2)－\r(3)i)＝eq \f(－5i,5)＝－i，故选D.
答案：D
8．解析：z＝eq \f(5,2＋i)＝eq \f(52－i,2＋i2－i)＝eq \f(52－i,5)＝2－i，所以z－i＝2－2i，则|z－i|＝eq \r(22＋－22)＝2eq \r(2)，故选A.
答案：A
考点三
例1 解析：(1)由题意知，z＝1＋2i，所以i·z＝i·(1＋2i)＝－2＋i，故选B.
(2)设复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则a2＋b2＝4，c2＋d2＝4，又z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i＝eq \r(3)＋i，∴a＋c＝eq \r(3)，b＋d＝1，则(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋c2＋b2＋d2＋2ac＋2bd＝4，∴8＋2ac＋2bd＝4，即2ac＋2bd＝－4，∴|z1－z2|＝eq \r(a－c2＋b－d2)＝eq \r(a2＋b2＋c2＋d2－2ac＋2bd)＝eq \r(8－－4)＝2eq \r(3).
答案：(1)B (2)2eq \r(3)
变式练
1．解析：z＝eq \f(1－i,i)＝eq \f(1－i－i,i－i)＝－1－i，所以eq \(z,\s\up6(－))＝－1＋i，则eq \(z,\s\up6(－))在复平面内对应的点为(－1,1)，所以eq \(z,\s\up6(－))在复平面内对应的点在第二象限，故选B.
答案：B
2．解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，∵2z＋eq \(z,\s\up6(－))＝3－i，∴2(a＋bi)＋a－bi＝3a＋bi＝3－i，∴a＝1，b＝－1，z＝1－i，∴|z|＝eq \r(2)，故选C.
答案：C