2022届高三统考数学（文科）人教版一轮复习学案：微专题（十八） 数学运算——巧用平面向量的坐标运算

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数学运算包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．
[例] 如图，在边长为4的正方形ABCD中，动圆Q的半径为1，圆心Q在线段BC(含端点)上运动，P是圆Q上及内部的动点，设向量eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AD,\s\up6(→))(m，n为实数)，则m＋n的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(2),4)，2＋\f(\r(2),4))) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，2＋\f(\r(2),4)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，\f(9,4))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(2),4)，\f(9,4)))
解析：如图建立平面直角坐标系，则eq \(AB,\s\up6(→))＝(4,0)，eq \(AD,\s\up6(→))＝(0,4)，eq \(AP,\s\up6(→))＝meq \(AB,\s\up6(→))＋neq \(AD,\s\up6(→))＝(4m,4n)，设Q(4，t)，t∈[0,4]则P在圆(x－4)2＋(y－t)2＝1上，设P(4＋cs θ，t＋sin θ)，则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4＋cs θ＝4m，,t＋sin θ＝4n，))4m＋4n＝4＋t＋eq \r(2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(θ＋\f(π,4)))，当t＝0，θ＝eq \f(5π,4)时，m＋n取得最小值1－eq \f(\r(2),4)，当t＝4，θ＝eq \f(π,4)时，m＋n取得最大值2＋eq \f(\r(2),4)，所以m＋n的取值范围是eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1－\f(\r(2),4)，2＋\f(\r(2),4))).
答案：A
名师点评
(1)利用图形中现成的垂直关系
若图形中有明显互相垂直且相交于一点的两条直线(如矩形、直角梯形等)，可以利用这两条直线建立坐标系；
(2)利用图形中的对称关系
图形中虽没有明显互相垂直交于一点的两条直线，但有一定对称关系(如：等腰三角形、等腰梯形等)，可利用自身对称性建系．建立平面直角坐标系的基本原则是尽可能地使顶点在坐标轴上，或在同一象限．
[变式练] 如图2，“六芒星”是由两个全等正三角形组成，中心重合于点O且三组对边分别平行．点A，B是“六芒星”(如图1)的两个顶点．动点P在“六芒星”上(内部以及边界)，若eq \(OP,\s\up6(→))＝xeq \(OA,\s\up6(→))＋yeq \(OB,\s\up6(→))，则x＋y的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－4，4)) B.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\r(21)，\r(21)))
C.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－5，5)) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－6，6))
微专题(十八)
变式练

解析：如图建立平面直角坐标系，令正三角形边长为3，i为x轴正方向的单位向量，j为y轴正方向的单位向量，则eq \(OB,\s\up6(→))＝i，eq \(OA,\s\up6(→))＝－eq \f(3,2)i＋eq \f(\r(3),2)j，可得i＝eq \(OB,\s\up6(→))，j＝eq \f(2\r(3),3)eq \(OA,\s\up6(→))＋eq \r(3)eq \(OB,\s\up6(→))，由图知当P在C点时有，eq \(OP,\s\up6(→))＝eq \r(3)j＝2eq \(OA,\s\up6(→))＋3eq \(OB,\s\up6(→))，此时x＋y有最大值5，同理点P在与C相对的下顶点时有eq \(OP,\s\up6(→))＝－eq \r(3)j＝－2eq \(OA,\s\up6(→))－3eq \(OB,\s\up6(→))，此时x＋y有最小值－5.
答案：C