高考数学一轮复习练习案34第五章数列第三讲等比数列及其前n项和含解析新人教版
展开一、单选题
1.在等比数列{an}中,a1=eq \f(1,2),q=eq \f(1,2),an=eq \f(1,32),则项数n为( C )
A.3 B.4
C.5 D.6
2.在等比数列{an}中,a2a6=16,a4+a8=8,则eq \f(a20,a10)等于( A )
A.1 B.-3
C.1或-3 D.-1或3
[解析] 由a2a6=16,得aeq \\al(2,4)=16⇒a4=±4.又a4+a8=8,可得a4(1+q4)=8,∵q4>0,∴a4=4.∴q2=1,eq \f(a20,a10)=q10=1.
3.(2021·陕西西安中学六模)已知数列{an}是各项均为正数的等比数列,Sn是它的前n项和.若a2a6=4,且a4+2a7=eq \f(5,2),则S5=( C )
A.29 B.30
C.31 D.32
[解析] 本题考查等比数列性质及基本量的运算.∵a2a6=aeq \\al(2,4)=4,且an>0,∴a4=2.又a4+2a7=eq \f(5,2),∴a7=eq \f(1,4).设{an}的公比为q,则eq \f(a7,a4)=q3=eq \f(1,8),q=eq \f(1,2),∴an=a4eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n-4)=25-n,∴S5=16+8+4+2+1=31.
4.在正项等比数列{an}中,已知a1a2a3=4,a4a5a6=12,an-1anan+1=324,则n等于( C )
A.12 B.13
C.14 D.15
[解析] 因为数列{an}是各项均为正数的等比数列,所以a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9,a10a11a12,…也成等比数列.不妨令b1=a1a2a3,b2=a4a5a6,
则公比q=eq \f(b2,b1)=eq \f(12,4)=3.所以bm=4×3m-1.
令bm=324,即4×3m-1=324,
解得m=5,所以b5=324,即a13a14a15=324.
所以n=14.
5.(2021·福建漳州质检)已知数列{an}为等比数列,且a2a10=4a6,Sn为等差数列{bn}的前n项和,且S6=S10,a6=b7,则b9=( B )
A.eq \f(4,3) B.-eq \f(4,3)
C.-eq \f(8,3) D.-4
[解析] 本题考查等比数列、等差数列的通项公式及性质.∵{an}为等比数列,且a2a10=4a6,∴aeq \\al(2,6)=4a6,解得a6=4.设等差数列{bn}的公差为d,∵S6=S10,∴b7+b8+b9+b10=0,则b7+b10=0.∵a6=b7=4,∴b10=-4,∴3d=b10-b7=-4-4=-8,∴d=-eq \f(8,3),∴b9=b7+2d=4+2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(8,3)))=-eq \f(4,3).故选B.
6.(2021·河南省信阳高中、商丘一中高三上学期第一次联考)设等比数列{an}的公比为q>0,且q≠1,Sn为数列{an}前n项和,记Tn=eq \f(an,Sn),则( D )
A.T3≤T6 B.T3
[解析] T6-T3=eq \f(a6(1-q),a1(1-q6))-eq \f(a3(1-q),a1(1-q3))=eq \f(q5(1-q),1-q6)-eq \f(q2(1-q),1-q3)=eq \f(-q2(1-q),1-q6),由于q>0且q≠1,所以1-q与1-q6同号,所以T6-T3<0,∴T6
7.(2021·辽宁大连八中模拟改编)记等比数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=6,则S4=( AC )
A.-10 B.-8
C.8 D.10
[解析] 设等比数列的公比为q,因为a1=2,S3=6,所以S3=2+2q+2q2=6,则q2+q-2=0,所以q=1或q=-2.当q=1时,S4=S3+2=8;当q=-2时,S4=S3+a1q3=6+2×(-2)3=-10,故选A、C.
8.(2020·山西大同期中改编)中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题:今有牛、马、羊食人苗.苗主责之粟五斗.羊主曰:“我羊食半马.”马主曰:“我马食半牛.”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟,羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半,”打算按此比例偿还,他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人应分别偿还a升,b升,c升,1斗为10升,则下列判断正确的是( BD )
A.a=eq \f(50,7)
B.c=eq \f(50,7)
C.a,b,c依次成公比为2的等比数列
D.a,b,c依次成公比为eq \f(1,2)的等比数列
[解析] 由题意得a,b,c依次成公比为eq \f(1,2)的等比数列,且c+2c+4c=50,即c=eq \f(50,7),故选B、D.
三、填空题
9.(2021·四川南充一诊)数列{an}满足:lg2an+1=1+lg2an,若a3=10,则a8= 320 .
[解析] 由题意知lg2an+1=lg2(2an),∴an+1=2an,∴{an}是公比为2的等比数列,又a3=10,∴a8=a3·25=320.
10.(2021·北京东城区期末)已知{an}是各项均为正数的等比数列,Sn为其前n项和.若a1=6,a2+2a3=6,则公比q= eq \f(1,2) ,S4= eq \f(45,4) .
[解析] 本题考查等比数列的通项公式、前n项和公式.由题意,数列{an}是各项均为正数的等比数列,由a1=6,a2+2a3=6,可得a1q+2a1q2=6q+12q2=6,即2q2+q-1=0,解得q=eq \f(1,2)或q=-1(舍去).由等比数列的前n项和公式,可得S4=eq \f(6×\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1-\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(4))),1-\f(1,2))=eq \f(45,4).
11.等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn.已知S3=eq \f(7,4),S6=eq \f(63,4),则a8= 32 .
[解析] 由题意知S3=a1+a2+a3=eq \f(7,4),
a4+a5+a6=S6-S3=eq \f(63,4)-eq \f(7,4)=14=eq \f(7,4)·q3,∴q=2.
又a1+2a1+4a1=eq \f(7,4),∴a1=eq \f(1,4),∴a8=eq \f(1,4)×27=32.
12.(此题为更换后新题)(2021·长春市高三一检)等比数列{an}的首项为a1=-1,前n项和为Sn,若eq \f(S10,S5)=eq \f(242,243),则公比q= -eq \f(1,3) .
[解析] 由eq \f(S10,S5)=eq \f(242,243),a1=-1,知公比q≠1,eq \f(S10-S5,S5)=-eq \f(1,243).由等比数列前n项和的性质知S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,且公比为q5,故q5=-eq \f(1,243),所以q=-eq \f(1,3).
12.(此题为发现的重题,更换新题见上题)(2021·长春市高三一检)等比数列{an}的首项为a1=-1,前n项和为Sn,若eq \f(S10,S5)=eq \f(31,32),则公比q= -eq \f(1,2) .
[解析] 由eq \f(S10,S5)=eq \f(31,32),a1=-1,知公比q≠1,eq \f(S10-S5,S5)=-eq \f(1,32).由等比数列前n项和的性质知S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,且公比为q5,故q5=-eq \f(1,32),所以q=-eq \f(1,2).
四、解答题
13.(2021·安徽联考)已知Sn是数列{an}的前n项和,且满足Sn-2an=n-4.
(1)证明:{Sn-n+2}为等比数列;
(2)求数列{Sn}的前n项和Tn.
[解析] (1)证明:由题意知Sn-2(Sn-Sn-1)=n-4(n≥2),
即Sn=2Sn-1-n+4,
所以Sn-n+2=2[Sn-1-(n-1)+2],
又易知a1=3,所以S1-1+2=4,
所以{Sn-n+2}是首项为4,公比为2的等比数列.
(2)由(1)知Sn-n+2=2n+1,
所以Sn=2n+1+n-2,
于是Tn=(22+23+…+2n+1)+(1+2+…+n)-2n=eq \f(4(1-2n),1-2)+eq \f(n(n+1),2)-2n=eq \f(2n+3+n2-3n-8,2).
14.(2021·陕西榆林一模)已知数列{an},{bn}满足a1=1,b1=eq \f(1,2),2an+1=an+eq \f(1,2)bn,2bn+1=eq \f(1,2)an+bn.
(1)证明:数列{an+bn},{an-bn}为等比数列;
(2)记Sn为数列{an}的前n项和,证明:Sn
(1)证明:依题有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2an+1=an+\f(1,2)bn,,2bn+1=\f(1,2)an+bn,))两式相加得an+1+bn+1=eq \f(3,4)(an+bn),又a1+b1=eq \f(3,2),∴{an+bn}是首项为eq \f(3,2),公比为eq \f(3,4)的等比数列.
两式相减得an+1-bn+1=eq \f(1,4)(an-bn),又a1-b1=eq \f(1,2),
∴{an-bn}是首项为eq \f(1,2),公比为eq \f(1,4)的等比数列.
(2)由(1)可得an+bn=eq \f(3,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(n-1)①,an-bn=eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(n-1)②,两式相加得an=eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)))eq \s\up12(n)+eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))eq \s\up12(n),故Sn=eq \f(\f(1,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1-\f(1,4n))),1-\f(1,4))+eq \f(\f(3,4)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1-\f(3n,4n))),1-\f(3,4))
1.(2021·安徽六安一中调研)已知1,a1,a2,4成等差数列,1,b1,b2,b3,4成等比数列,则eq \f(a1+a2,b2)的值是( C )
A.eq \f(5,2)或-eq \f(5,2) B.-eq \f(5,2)
C.eq \f(5,2) D.eq \f(1,2)
[解析] 由题意得a1+a2=5,beq \\al(2,2)=4,又b2与第一项的符号相同,所以b2=2.所以eq \f(a1+a2,b2)=eq \f(5,2).故选C.
2.(2021·湖北省部分重点中学高三调考)《九章算术》中有如下问题:“今有蒲生一日,长三尺,莞生一日,长一尺.蒲生日自半,莞生日自倍,问几何日而长等?”意思是:今有蒲第一天长高3尺,莞第一天长高1尺,以后蒲每天长高前一天的一半,莞每天长高前一天的2倍,若蒲、莞长度相等,则所需时间约为( C )
参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1,结果精确到0.1.
A.2.2天 B.2.4天
C.2.6天 D.2.8天
[解析] 设蒲每天的长度构成等比数列{an},其首项为a1=3,公比为eq \f(1,2),前n项和为An.设莞每天的长度构成等比数列{bn},其首项为b1=1,公比为2,前n项和为Bn.则An=eq \f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1-\f(1,2n))),1-\f(1,2)),Bn=eq \f(1-2n,1-2).设蒲、莞长度相等时所需时间为x天,则eq \f(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1-\f(1,2x))),1-\f(1,2))=eq \f(1-2x,1-2),化简得2x+eq \f(6,2x)=7,计算得出2x=6,2x=1(舍去).所以x=eq \f(lg 6,lg 2)=1+eq \f(lg 3,lg 2)≈2.6.则估计2.6天后蒲、莞长度相等.故选C.
3.(多选题)(2021·海南海口模拟)已知正项等比数列{an}满足a1=2,a4=2a2+a3.若设其公比为q,前n项和为Sn,则( ABD )
A.q=2 B.an=2n
C.S10=2 047 D.an+an+1
4.(多选题)设等比数列{an}的公比为q,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,并且满足条件a1>1,a9a10>1,eq \f(a9-1,a10-1)<0,则下列结论正确的是( AD )
A.0
1
C.Sn的最大值为S10 D.Tn的最大值为T9
[解析] 由题意得a9>1>a10>a11…,∴05.(2020·3月份北京市高考适应性测试)已知{an}是公比为q的无穷等比数列,其前n项和为Sn,满足a3=12, .是否存在正整数k,使得S k>2 020?若存在,求k的最小值;若不存在,说明理由.
从①q=2,②q=eq \f(1,2),③q=-2这三个条件中任选一个,补充在上面问题中并作答.
注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分。
[解析] 当q=2时,a1=3,an=3·2n-1,
Sn=eq \f(3-3·2n,1-2)=3·2n-3.
由3·2k-3>2 020得2k>674eq \f(1,3),
∵29=512,210=1 024,k∈N+,kmin=10.
当q=eq \f(1,2)时,a1=48,an=48·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n-1),
Sn=eq \f(48-48·\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))\s\up12(n),1-\f(1,2))=96-96·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(n).
由96-96·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(k)>2 020得-eq \f(481,24)>eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(k),不等式无解.此时不存在.
当q=-2时,a1=3,an=3·(-2)n-1,
Sn=eq \f(3-3·(-2)n,1-(-2))=1-(-2)n.
由1-(-2)k>2 020得(-2)k<-2 019,
∵(-2)9=-512,(-2)10=1 024,
(-2)11=-2 048,k∈N+,kmin=11.
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