必修38最小二乘法当堂检测题

1.8最小二乘估计同步练习北师大版高中数学必修三

一、单选题（本大题共16小题，共80.0分）

1. 已知x，y之间的一组数据如表所示，对于表中数据，现在给出如下拟合直线，则根据最小二乘法思想判断拟合程度最好的直线是   

A.  B.  C.  D.

2. 设某中学的高中女生体重单位：与身高单位：具有线性相关关系，根据一组样本数据3，，，用最小二乘法近似得到回归直线方程为，则下列结论中不正确的是

A. y与x具有正线性相关关系
B. 回归直线过样本的中心点
C. 若该中学某高中女生身高增加1cm，则其体重约增加
D. 若该中学某高中女生身高为160cm，则可断定其体重必为

3. 如表提供了某厂节能降耗改造后在生产A产品过程中记录的产量吨与相应的生产能耗吨的几组对应数据，
   根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为，则下列结论错误的是

A. 线性回归直线一定过点
B. 产品的生产能耗与产量呈正相关
C. t的取值必定是
D. A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加吨

4. 某家庭连续五年收入x与支出y如表：

画散点图知：y与x线性相关，且求得的回归方程是，其中，则据此预计该家庭2017年若收入15万元，支出为万元．

A.  B.  C.  D.

5. 银川市食品研究部门为了解一种酒品的储藏年份与芳香度之间的相关关系，在市场上收集了一部分不同储藏年份的该酒品，并测定了其芳香度如下表．

由最小二乘法得到回归方程，但不小心在检测后滴到表格上一滴检测液，污损了一个数据，请你推测该数据为

A.  B.  C.  D.

6. 已知变量x，y之间具有线性相关关系，其散点图如图所示，则其回归方程可能为

A.
B.
C.
D.

7. 最小二乘法的原理是

A. 使得最小 B. 使得最小
C. 使得最小 D. 使得最小

8. 某青少年成长关爱机构为了调查所在地区青少年的年龄与身高状况，随机抽取6岁，9岁，12岁，15岁，18岁的青少年身高数据各个，根据各年龄段平均身高作出如图所示的散点图和回归直线根据图中数据，下列对该样本描述错误的是

A. 据样本数据估计，该地区青少年身高与年龄成正相关
B. 所抽取数据中，5000名青少年平均身高约为
C. 直线l的斜率的值近似等于样本中青少年平均身高每年的增量
D. 从这5种年龄的青少年中各取一人的身高数据，由这5人的平均年龄和平均身高数据作出的点一定在直线l上

9. 已知回归直线的斜率的估计值是，样本点的中心为，则回归直线的方程是

A.  B.
C.  D.

10. 某店经营一批进价为每件4元的商品，在市场调查时发现，此商品的销售单价x与日销售量y之间有如下关系：

经计算得：x与y具有线性相关关系且，，，并据此估计日利润达到最大值时，销售单价约为
附：中，，

A. 6元 B. 7元 C. 8元 D. 9元

11. 下列关系中，属于相关关系的是

A. 正四面体的棱长与体积 B. 火龙果的产量与施肥量
C. 人的身高与视力 D. 匀速行驶车辆的行驶距离与时间

12. 为了解某商品销售量件与其单价元的关系，统计了的10组值，并画成散点图如图，则由其图得到的回归方程可能是

A.  B.
C.  D.

13. 已知回归直线方程中的，若根据数据，，，所求出的线性回归直线方程为，根据数据，，，所求出的线性回归直线方程为，则   

A.  B.  C.  D.

14. 已知的取值如下表画出散点图，若所有样本点都在曲线附近波动，则    

A. 1 B.  C.  D.

15. 对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下

根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为，据此模型预测当时，y的估计值为

A.  B. 106 C.  D. 107

16. 具有线性相关关系的变量x，y的一组数据如下：

其线性回归直线方程为，则回归直线经过 

A. 第一、二、三象限 B. 第二、三、四象限
C. 第一、二、四象限 D. 第一、三、四象限

二、解答题（本大题共3小题，共36.0分）

17. 某公司经营一种二手机械，对该型号机械的使用年数与再销售价格单位：百万元台进行统计整理，得到如下关系：

附：参考公式：   

求y关于x的回归直线方程；   

该机械每台的收购价格为百万元，根据中所求的回归方程，预测x为何值时，此公司销售一台该型号二手机械所获得的利润Q最大？   






 

18. 用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因，测得n个数据，，，．
    证明：用n个数据的平均值表示这个物体的长度，能使这n个数据的方差最小，
    思考：这个结果说明了什么？通过这个问题，你能说明最小二乘法的基本原理吗？
    
    
    
    
    
    
     
19. 为了解某高校学生中午午休时间玩手机情况，随机抽取了100名大学生进行调查．下面是根据调查结果绘制的学生日均午休时间的频率分布直方图：将日均午休时玩手机不低于40分钟的学生称为“手机控”．
    

补全列联表中空白处的值；
能否在犯错误的概率不超过的前提下，认为“手机控”与性别有关？

     注：

答案和解析

1.【答案】C
 

【解析】

【分析】

本题考查了线性回归方程，属于简单题．
根据最小二乘法的思想得变量x与y之间的线性回归直线方程必过样本中心点，求出中心点的坐标代入选项验证即可．

【解答】

解：根据最小二乘法的思想得变量x与y之间的线性回归直线方程必过样本中心点，

又，

代入选项可得：，
其他选项都不过样本中心点，

故选C．

2.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查了回归直线方程的应用问题，属于基础题．
根据回归直线方程的意义，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．
【解答】
解：由于线性回归方程中x的系数为，因此y与x具有正的线性相关关系，A正确；
由线性回归方程必过样本中心点，因此B正确；
由线性回归方程中系数的意义知，x每增加1cm，其体重约增加，C正确；
当某女生的身高为160cm时，其体重估计值是，而不是确定值，因此D错误．
故选D．  

3.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题根据回归直线的性质的应用，比较基础．
根据回归直线的性质分别进行判断即可．
【解答】
解：，
则，
即线性回归直线一定过点，故A正确；
，产品的生产能耗与产量呈正相关，故B正确；
当时得，
此时t只是预报变量，不是必定，故C错误；
A产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加吨，故D正确．
故选：C．  

4.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查了线性回归方程与平均值的计算问题，属于基础题．
由表中数据计算平均数、，代入回归方程求出，写出回归方程，把代入回归方程计算即可求解．
【解答】
解：由表中数据，计算，
，
代入回归方程可得，
回归方程为，
把代入回归方程计算．
故选B．  

5.【答案】D
 

【解析】

【分析】本题考查回归直线方程，属于基础题．
由题意求出，代入回归直线方程求出，即可求出污损处的数据．
【解答】解：由表中数据，得，
又回归方程，所以．
设污损的数据为a，则，
解得，
故选D．  

6.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题主要考查散点图判断回归直线方程，属于基础题．
根据散点图，判断回归直线单调递减，以及直线在y轴上的预估值进行判断即可．
【解答】
解：由散点图知对应回归直线单调递减，排除A，C，
当时，，排除D，
故有可能是B，
故选B．  

7.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查最小二乘法原理的应用，是基础题．
最小二乘法通过最小化误差的平方找到一组数据的最佳函数匹配，使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小，即可得解． 
【解答】
解：最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方找到一组数据的最佳函数匹配．
利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小，
最小二乘法的原理是使得最小．
故选C．  

8.【答案】D
 

【解析】

【试题解析】

【分析】
本题考查了利用散点图判断两个变量的相关关系和回归直线方程．
根据散点图与线性回归方程的意义，对选项进行分析，判断正误即可．
【解答】
解：在给定范围内，年龄越大身高越高，故该地区青少年身高与年龄成正相关，故A正确；
用样本数据估计总体，可得5000名青少年平均身高约为
，故B正确；
根据直线斜率的意义可知，斜率的值近似等于样本中青少年平均身高每年的增量，故C正确；
各取1人具有随机性且直线表示的是预估情况，根据数据作出的点只能在直线附近，不一定在直线上，故D错误．
故选D．

9.【答案】C
 

【解析】

【分析】本题考查回归直线方程的求解，属于基础题．
根据题意，可知，，设回归直线方程为，求出a，即可得解．
【解答】解：由题意知，，，
设回归直线方程为，则．
所以回归直线的方程是，
故选C．  

10.【答案】B
 

【解析】

【分析】
本题考查回归直线方程及二次函数的性质，属于中档题．
根据题意可得回归直线方程，然后可得销售单价为x时的利润为，进而利用二次函数的性质即可求得结果．
【解答】
解：由题知，，
结合数表可得，，
所以，
销售单价为x时的利润为，
故当时，日利润最大．
故选B．  

11.【答案】B
 

【解析】

【分析】 本题考查两变量相关关系的判断，属于基础题．
根据题意可知，A、D都是函数关系，C既不是函数关系也不是相关关系．
【解答】解：正四面体的棱长与体积是函数关系，不是相关关系，故排除
火龙果的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系，所以B正确
人的身高与视力之间的关系既不是函数关系也不是相关关系，故排除
匀速行驶车辆的行驶距离与时间是函数关系，故排除D．
故选B．  

12.【答案】A
 

【解析】

【分析】

本题考查回归直线方程，属于基础题．
由散点图可以看出x越大，y越小，且，所以选A．

【解答】

解：由散点图可以看出x越大，y越小，
设回顾直线方程为，

所以，

又，

所以A正确．

故选A．

13.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题主要考查的是回归直线方程的求法，属于基础题．
可结合所给公式通过变形即可得出．
【解答】
解：因为
，即，
故选C．  

14.【答案】A
 

【解析】

【分析】
本题主要考查了回归直线方程的应用，属于中档题．
令，得到y与t线性相关且，再根据过回归直线即可得解．

【解答】
解：由，令，
则t的值为0，1，4，9，16，
与t线性相关且回归直线方程为，
，，
将代入回归方程求得．
故选A．

15.【答案】C
 

【解析】

【分析】
本题考查了线性回归方程的应用问题，是基础题．
根据表中数据计算、，代入回归直线方程求出，写出回归直线方程，利用方程计算时的值即可．
【解答】
解：根据表中数据，计算，
，
将样本中心点代入回归直线方程中，
计算，
回归直线方程为；
当时，y的估计值为．
故选：C．  

16.【答案】D
 

【解析】

【分析】
本题考查线性回归直线方程的应用，属于较易题．
根据表格可知，x，y正相关，，求出样本中心点，即可判断经过的象限．
【解答】
解：由表格可知：变量x，y呈正相关，所以，
，，
所以样本中心点，
又样本中心点位于第四象限，且回归直线过样本的中心点，
所以回归直线经过第一、三、四象限．
故选D．  

17.【答案】解：由已知：，
则，所以回归直线的方程为．
由题可知，，故预测当时，销售利润Q取得最大值 ．
 

【解析】本题考查线性回归方程的求解及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题．
结合所给的数据计算线性回归方程即可；
结合中的线性回归方程求得利润函数，利用二次函数的性质即可确定利润最大时x的值．
 

18.【答案】证明：由于，
所以，令可得，
易得，当表示为函数的唯一极值点且是极小值点，所以也是最小值点，
从而有用n个数据的平均值表示这个物体的长度，能使这n个数据的方差最小，
这个结论说明，用n个数据的平均值表示物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的原理．
 

【解析】结合方差公式及导数与极值及最值的关系可求解．
本题主要考查了最小二乘法的基本思想的应用及利用导数求解函数的单调性，极值及最值，属于中档试题．
 

19.【答案】解：由频率分布直方图可知，补全图如下：

假设：“手机控”与性别没有关系． 

将列联表中的数据代入公式，计算得：， 
当H0成立时， 
，所以没有把握认为“手机控”与性别有关．

【解析】本题考查独立性检验的应用，考查学生的计算能力，是中档题．
由频率分布直方图能求出在抽取的100人中，“手机控”的人数．
求出列联表，假设：“手机控”与性别没有关系，求出，从而得到没有把握认为“手机控”与性别有关．