数学必修46平面向量数量积的坐标表示一课一练

课时素养评价 二十一　平面向量数量积的坐标表示

　　　　　　　　　　　　　　　　 (20分钟　35分)

1.（2020·新高考全国Ⅰ卷）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则的取值范围是（    ）

A.（-2，6）B.（-6，2）C.（-2，4）D.（-4，6）

【解析】选A.设P(x,y)，建立如图所示的平面直角坐标系，

则A(0,0)，B(2,0)，=(2,0)，所以=2x，由题意可得点C的横坐标为3，点F的横坐标为－1，所以－1<x<3，所以

2.已知向量a=(m,1),b=(3,3),且(a-b)⊥b,则m= (　　)

A.3 B.4 C.5 D.6

【解析】选C.因为向量a=(m,1),b=(3,3),由向量减法的运算可得a-b=(m-3,-2),

又因为(a-b)⊥b,则(a-b)·b=0,

即3(m-3)+3×(-2)=0,解得m=5.

3.已知点A(1,-1),B(-2,3),则与向量方向相同的单位向量为 (　　)

A. B.

C. D.

【解析】选A.由题可得:=(-3,4),

设与向量方向相同的单位向量为a=λ(-3,4),其中λ>0,则|a|==1,解得:λ=或λ=-(舍去),所以与向量方向相同的单位向量为a=.

4.若向量a=(1,2),b=(1,-1),则2a+b与a-b的夹角等于 (　　)

A.- B. C. D.

【解析】选C.2a+b=2(1,2)+(1,-1)=(3,3),a-b=(1,2)-(1,-1)=(0,3),(2a+b)·

(a-b)=9,|2a+b|=3,|a-b|=3,设所求两向量夹角为α,则cos α==,所以α=.

5.(2019·全国卷Ⅲ)已知向量a=(2,2),b=(-8,6)的夹角为θ,

则cos θ=　　　　. 

【解析】cos θ===-.

答案:-

6.已知向量a=(-1,2),b=(4,0).

(1)求向量a与b夹角的余弦值.

(2)若2a+b与a+λb垂直,求λ的值.

【解析】(1)因为a=(-1,2),b=(4,0),

设a,b夹角为θ,所以cos θ===-.

(2)2a+b=(2,4),a+λb=(4λ-1,2),

因为(2a+b)⊥(a+λb),所以(2a+b)·(a+λb)=2(4λ-1)+8=0,解得λ=-.

　　　　　　　　　　　　　　　　 (30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共25分)

1.若向量a=(1,-2),b=(3,4),则a在b方向上的射影是 (　　)

A.1 B.-1 C. D.-

【解析】选B.由题意,得a在b方向上的射影是|a|cos θ===-1.

2.已知a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a= (　　)

A.-1 B.0 C.1 D.2

【解析】选C.由题意可得a2=2,a·b=-3,所以(2a+b)·a=2a2+a·b=4-3=1.

3.已知边长为2的正方形ABCD中,E为AD的中点,连接BE,则·= (　　)

A.-2 B.-1 C.1 D.2

【解析】选B.以A为原点,AB为x轴,AD为y轴,建立直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),E(0,1),

=(-2,1),=(0,-1),·=-1.

4.已知向量a=(1,0),b=(t,2t),t为实数,则|a-b|的最小值是 (　　)

A.1 B. C. D.

【解析】选B.依题意a-b=(1-t,-2t),

故|a-b|==,当t=-=时,取得最小值为.

5.设向量a=(k,2),b=(1,-1),则下列叙述错误的是 (　　)

A.若k<-2时,则a与b的夹角为钝角

B.|a|的最小值为2

C.与b共线的单位向量只有一个为

D.若|a|=2|b|,则k=2或-2

【解析】选C.对于A选项,若a与b的夹角为钝角,

则a·b<0且a与b不共线,则,

解得k<2且k≠-2,A选项正确;

对于B选项,|a|=≥=2,当且仅当k=0时,等号成立,B选项正确;

对于C选项,|b|=,与b共线的单位向量为±,即与b共线的单位向量为或,C选项错误;

对于D选项,因为|a|=2|b|=2,即=2,解得k=±2,D选项正确.

【误区警示】本题易因为审题原因误将A理解成求向量夹角为钝角的充要条件.

二、填空题(每小题5分,共15分)

6.在OA为边,OB为对角线的矩形中,=(-3,1),=(-2,k),则实数k=　　　　. 

【解析】根据数量积的几何意义知·=||2=9+1=10,又·=6+k,所以6+k=10.解得k=4.

答案:4

　【补偿训练】

　　在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,2),

B(1,1),C(-3,1),若(t+)∥,则t=　　　　　. 

【解析】因为C(-3,1),所以t+=(1-3t,1+t).因为(t+)∥,

所以2(1+t)-(-1)(1-3t)=3-t=0,所以t=3.

答案:3

7.已知向量a=(2,1),b=(1-x,x),c=(-3x,3x),满足a∥b,则b,c夹角的余弦值为　　　　　. 

【解析】由a∥b,得2·x-(1-x)=0,

解得x=,则b=,c=(-1,1),

所以cos?b,c?=

=-.

答案:-

8.已知a=(2,1),b=(m,6),向量a与向量b的夹角是锐角,则实数m的取值范围是　　　　. 

【解题指南】由夹角为锐角可知cos?a,b?>0,然后排除同向的情况即可.

【解析】因为向量a与向量b的夹角θ是锐角,所以cos θ=>0,所以a·b=2m+6>0,得m>-3,又当a与b同向时,=,所以m=12.所以m>-3且m≠12.

答案:m>-3且m≠12

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.设向量a=(,-1),b=,k,t是两个不同时为零的实数.若向量x=a+(t-3)b与y=-ka+tb垂直.

(1)求k关于t的函数关系式.

(2)求函数k=f(t)的最小值.

【解析】(1)因为a=(,-1),b=,所以a·b=0,且|a|=2,|b|=1.又x⊥y,所以x·y=0,

即[a+(t-3)b]·(-ka+tb)=0,

所以-ka2-k(t-3)a·b+ta·b+t(t-3)b2=0,

因为|a|=2,|b|=1,a·b=0,所以-4k+t2-3t=0,即k=(t2-3t).

(2)由(1)知,k=(t2-3t)=-,即函数的最小值为-.

10.已知平面向量a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且a∥b,a⊥c.

(1)求b和c.

(2)若m=2a-b,n=a+c,求向量m与向量n的夹角的大小.

【解析】(1)因为a=(3,4),b=(9,x),c=(4,y),且a∥b,a⊥c,所以,解得,

因此,b=(9,12),c=(4,-3).

(2)因为m=2a-b=2×(3,4)-(9,12)=(-3,-4),n=a+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1),

则m·n=-3×7-4×1=-25,

所以|m|==5,|n|==5,

设m与n的夹角为θ,

所以cos θ===-,

因为0≤θ≤π,则θ=.

因此,向量m与向量n的夹角为.

1.已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k等于 (　　)

A.-12　 　　B.-6　 　　C.6　　 　D.12

【解析】选D.2a-b=(5,2-k).a·(2a-b)=10+2-k=0.解得k=12.

2.已知点A(1,0),B(0,1),C(2sin θ,cos θ).

(1)若||=||,求tan θ的值.

(2)若(+2)·=1,其中O为坐标原点,求sin θ+cos θ的值.

【解析】(1)因为A(1,0),B(0,1),C(2sin θ,cos θ),

所以=(2sin θ-1,cos θ),=(2sin θ,cos θ-1),

因为||=||,所以

=,化简得2sin θ=cos θ,

因为cos θ≠0(若cos θ=0,则sin θ=±1,上式不成立),所以tan θ=.

(2)因为=(1,0),=(0,1),=(2sin θ,cos θ),

所以+2=(1,2),

因为(+2)·=1,所以2sin θ+2cos θ=1,

所以sin θ+cos θ=.

【补偿训练】

　　在平面直角坐标系xOy中,点A(-1,-2),

B(2,3),C(-2,-1).

(1)设实数t满足(-t)⊥,求t的值.

(2)若以线段AB,AC为邻边作平行四边形ABDC,求向量与所夹角的余弦值.

【解析】(1)由题设知=(-2,-1),=(3,5),

-t=(3+2t,5+t),

由(-t)⊥得(-t)·=0,

即(3+2t,5+t)·(-2,-1)=0,所以t=-.

(2)由题设知=(-1,1),

则=+=(2,6),=-=(4,4),

故||=2,||=4,

设向量与所夹角为θ,

故所求余弦值cos θ===.