高中数学3.2 函数与方程、不等式之间的关系一课一练

十四　函数与方程、不等式之间的关系

 (25分钟　50分)

一、选择题(每小题5分，共20分，多选题全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)

1．设函数y＝f(x)对一切实数x均满足f(5＋x)＝f(5－x)，且方程f(x)＝0恰好有六个不同的实根，则这六个实根的和为(　　)

A．10    B．12    C．18    D．30

【解析】选D.由f(5＋x)＝f(5－x)可得函数y＝f(x)的图像关于直线x＝5对称，

所以方程f(x)＝0的六个不同的实根，也关于直线x＝5两两对称，其和为3×10＝30.

2．(2021·厦门高一检测)一元二次方程x2－5x＋1－m＝0的两根均大于2，则实数m的取值范围是(　　)

A．      B．(－∞，－5)

C．      D．

【解析】选C.关于x的一元二次方程x2－5x＋1－m＝0的两根均大于2，

则

解得－≤m<－5.

3．对实数a和b，定义运算“⊗”：a⊗b＝设函数f＝⊗，x∈R，若函数y＝f－c的图像与x轴恰有两个公共点，则实数c的取值范围是(　　)

A．∪

B．∪

C．∪

D．∪

【解析】选B.令f－c＝0得f＝c，将问题转化为直线y＝c与函数y＝f的图像有两个交点，

若x2－2－≤1，

即2x2－x－3≤0，

解得－1≤x≤，

若x2－2－>1，

即2x2－x－3>0，

解得x<－1或x>，

所以，f＝

作出函数y＝f的图像如图所示：

当c≤－2或－1<c<－时，直线y＝c与函数y＝f的图像有两个交点，因此，实数c的取值范围是∪.

4．(多选题)狄利克雷函数f(x)满足：当x取有理数时，f(x)＝1；当x取无理数时，f(x)＝0.则下列选项成立的是(　　)

A．f(x)≥0

B．f(x)≤1

C．f(x)－x3＝0有1个实数根

D．f(x)－x3＝0有2个实数根

【解析】选ABC.因为f(x)的值域为，故AB成立，f(x)－x3＝0只有一个根1，故C成立．

二、填空题(每小题5分，共10分)

5．已知关于x的不等式x2－4x＋3>0对一切实数x恒成立，则实数m的取值范围为________．

【解析】当m2＋4m－5＝0时，

可得m＝1或m＝－5.

①当m＝1时，可得3>0，满足题意；②当m＝－5时，可得24x＋3>0，

解得x>－，不满足题意；

当m2＋4m－5≠0时，

由题意可得

解得1<m<19.

综上所述，实数m的取值范围是.

答案：

6．(2021·扬州高一检测)已知λ∈R，函数f(x)＝当λ＝2时，不等式f(x)<0的解集是________．若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是________．

【解析】由题意得当λ＝2时，

或

所以2≤x<4或1<x<2，

即1<x<4，

不等式f(x)<0的解集是(1，4).

当λ>4时，f(x)＝x－4>0，

此时f(x)＝x2－4x＋3＝0，x＝1，3，

即在(－∞，λ)上有两个零点；

当λ≤4时，f(x)＝x－4＝0，x＝4，

由f(x)＝x2－4x＋3在(－∞，λ)上只能有一个零点，得1<λ≤3.

综上，λ的取值范围为(1，3]∪(4，＋∞).

答案：(1，4)　(1，3]∪(4，＋∞)

三、解答题(每小题10分，共20分)

7．已知函数f(x)＝x2－2x－3，x∈[－1，4].

(1)画出函数y＝f(x)的图像，并写出其值域．

(2)当m为何值时，函数g(x)＝f(x)＋m在[－1，4]上有两个零点？

【解析】(1)依题意得f(x)＝(x－1)2－4，x∈[－1，4]，其图像如图所示．

由图可知，函数f(x)的值域为[－4，5].

(2)因为函数g(x)＝f(x)＋m在[－1，4]上有两个零点，所以方程f(x)＝－m在x∈[－1，4]上有两个相异的实数根，

即函数f(x)与y＝－m的图像有两个交点．由(1)所作图像可知，－4<－m≤0，

所以0≤m<4.

所以当0≤m<4时，

函数y＝f(x)与y＝－m的图像有两个交点，

即函数g(x)＝f(x)＋m在[－1，4]上有两个零点．

8．(2021·无锡高一检测)已知函数f＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，且f≤0的解集为.

(1)求函数f的解析式；

(2)解关于x的不等式mf>2，其中m≥0.

【解析】(1)因为f≤0的解集为，

所以－1，2是方程x2＋bx＋c＝0的两个根，

所以

解得b＝－1，c＝－2，

所以f＝x2－x－2.

(2)由(1)可得m(x2－x－2)>2，

即mx2－(m＋2)x＋2>0，

当m＝0时，－2x＋2>0，

解得x<1；当m≠0时，不等式mx2－(m＋2)x＋2>0可化为(x－1)(mx－2)>0，

①当>1，

即0<m<2时，

解得x<1或x>.

②当＝1，即m＝2时，

解得x≠1，

③当<1，

即m>2时，

解得x<或x>1，

综上，m＝0时，不等式的解集为；0<m<2时，不等式的解集为∪；m＝2时，不等式的解集为∪；m>2时，

不等式的解集为∪.