人教B版 (2019)必修 第一册3.1.2 函数的单调性第1课时综合训练题

课后素养落实(二十一)　单调性的定义与证明

(建议用时：40分钟)

一、选择题

1．下列命题中真命题的个数为(　　)

①定义在(a，b)上的函数f(x)，如果∃x1，x2∈(a，b)，当x1<x2时，有f(x1)<f(x2)，那么f(x)在(a，b)上单调递增；

②如果函数f(x)在区间I1上单调递减，在区间I2上也单调递减，那么f(x)在区间I1和I2上就一定是减函数；

③∀x1，x2∈(a，b)且x1≠x2，当<0时，f(x)在(a，b)上单调递减；

④∀x1，x2∈(a，b)，且x1≠x2，当(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0时，f(x)在(a，b)上单调递增．

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

B　[①是假命题，“存在”“无穷多个”不能代表“所有”“任意”；

由f(x)＝，可知②是假命题；

∵<0等价于[f(x1)－f(x2)]·(x1－x2)<0，而此式又等价于

或即

或∴f(x)在(a，b)上单调递减，③是真命题，同理可得④也是真命题．]

2．如图是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)，则下列关于函数f(x)的说法错误的是(　　)

A．函数在区间[－5，－3]上单调递增

B．函数在区间[1,4]上单调递增

C．函数在区间[－3,1]∪[4,5]上单调递减

D．函数在区间[－5,5]上没有单调性

C　[由题图可知，f(x)在区间[－3,1]，[4,5]上单调递减，单调区间不可以用并集“∪”连接，故选C．]

3．如果函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b的取值范围为(　　)

A．b＝3 B．b≥3

C．b≤3 D．b≠3

C　[函数f(x)＝x2－2bx＋2的图像是开口向上，且以直线x＝b为对称轴的抛物线，若函数f(x)＝x2－2bx＋2在区间[3，＋∞)上是增函数，则b≤3，故选C．]

4．设函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，a，b∈R且a＋b≤0，则下列选项正确的是(　　)

A．f(a)＋f(b)≤－[f(a)＋f(b)]

B．f(a)＋f(b)≤f(－a)＋f(－b)

C．f(a)＋f(b)≥－[f(a)＋f(b)]

D．f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)

D　[因为a＋b≤0，所以a≤－b或b≤－a，

又函数f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，

所以f(a)≥f(－b)，f(b)≥f(－a)，

所以f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．故选D．]

5．已知f(x)＝－，则(　　)

A．f(x)max＝，f(x)无最小值

B．f(x)min＝1，f(x)无最大值

C．f(x)max＝1，f(x)min＝－1

D．f(x)max＝1，f(x)min＝0

C　[f(x)＝－的定义域为[0,1]，因为f(x)在[0,1]上单调递增，所以f(x)max＝1，f(x)min＝－1．]

二、填空题

6．函数f(x)＝在[1，b](b>1)上的最小值是，则b＝________.

4　[因为f(x)＝在[1，b]上是减函数，所以f(x)在[1，b]上的最小值为f(b)＝＝，所以b＝4.]

7．若函数f(x)＝在(a，＋∞)上单调递减，则a的取值范围是________．

[－1，＋∞)　[函数f(x)＝的单调递减区间为(－∞，－1)，(－1，＋∞)，又f(x)在(a，＋∞)上单调递减，所以a≥－1．]

8．已知f(x)在定义域内是减函数，且f(x)>0，在其定义域内下列函数为单调增函数的是________．

①y＝a＋f(x)(a为常数)；②y＝a－f(x)(a为常数)；

③y＝；④y＝[f(x)]2.

②③　[f(x)在定义域内是减函数，且f(x)>0时，－f(x)，均为递增函数，故选②③.]

三、解答题

9．判断函数f(x)＝在区间(1，＋∞)上的单调性，并用单调性定义证明．

[解]　函数f(x)＝在区间(1，＋∞)上单调递减．

证明如下：任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1＜x2，

则f(x1)－f(x2)＝－＝

＝.

∵x1＜x2，∴x2－x1＞0.

又x1，x2∈(1，＋∞)，

∴x2＋x1＞0，x－1＞0，x－1＞0.

∴＞0，即f(x1)＞f(x2)．

∴f(x)在区间(1，＋∞)上单调递减．

10．求函数f(x)＝x＋在[1,4]上的最值．

[解]　设1≤x1<x2<2，则f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－＝x1－x2＋＝(x1－x2)·＝(x1－x2)＝.

∵1≤x1<x2<2，∴x1－x2<0，x1x2－4<0，x1x2>0，

∴f(x1)>f(x2)，∴f(x)在[1,2)上是减函数．

同理f(x)在[2,4]上是增函数．

∴当x＝2时，f(x)取得最小值4；当x＝1或x＝4时，f(x)取得最大值5.

1．(多选题)关于函数y＝的单调区间以下说法正确的为(　　)

A．单调递减区间为(－∞，－3]

B．单调递减区间为(－∞，－1]

C．单调递增区间为[1，＋∞)

D．单调递增区间为(－3，－1]

AC　[该函数的定义域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)，函数g(x)＝x2＋2x－3的对称轴为x＝－1，由复合函数的单调性可知该函数在区间(－∞，－3]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．]

2．已知函数f(x)＝是R上的减函数，则实数a的取值范围是(　　)

A．(0,3) B．(0,3]

C．(0,2) D．(0,2]

D　[由题意知实数a满足解得0＜a≤2，故实数a的取值范围为(0,2]．]

3．函数f(x)＝－＋1的单调增区间是__________；单调减区间是________．

(－∞，0)和[1，＋∞)　(0,1]　[f(x)＝－＋1＝2，这是由y＝(u－1)2与u＝复合而成的函数，前一个函数的单调区间由u＝1分开，后一个函数的单调区间由x＝0分开，所以复合函数分成三段区间，其相应的区间和单调性如下表所示：

所以，函数的单调增区间是(－∞，0)和[1，＋∞)，减区间是(0,1]．]

4．用min{a，b}表示a，b两个数中的最小值．设f(x)＝min{x＋2,10－x}(x≥0)，则f(x)的最大值为________．

6　[在同一个平面直角坐标系内画出函数y＝x＋2和y＝10－x的图像．

根据min{x＋2,10－x}(x≥0)的含义可知，f(x)的图像应为图中的实线部分．

解方程x＋2＝10－x，得x＝4，此时y＝6，故两图像的交点为(4,6)．

所以f(x)＝其最大值为交点的纵坐标，所以f(x)的最大值为6.]

已知一次函数f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)(x＋m)，且f(f(x))＝16x＋5.

(1)求f(x)的解析式；

(2)若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，求实数m的取值范围．

[解]　(1)由题意设f(x)＝ax＋b(a>0)．

从而f(f(x))＝a(ax＋b)＋b＝a2x＋ab＋b＝16x＋5，

所以

解得或(不合题意，舍去)．

所以f(x)的解析式为f(x)＝4x＋1．

(2)g(x)＝f(x)(x＋m)＝(4x＋1)(x＋m)＝4x2＋(4m＋1)x＋m，g(x)图像的开口向上，对称轴为直线x＝－.

若g(x)在(1，＋∞)上单调递增，则－≤1，解得m≥－，所以实数m的取值范围为.