高中3.4 数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点课时练习

3.3　函数的应用(一)

3.4　数学建模活动:决定苹果的最佳出售时间点

课后篇巩固提升

合格考达标练

1.(多选题)甲同学家到乙同学家的途中有一座公园,甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.下图表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(单位:km)与时间x(单位:min)的关系,下列结论正确的是              (　　)

A.甲同学从家出发到乙同学家走了60 min

B.甲从家到公园的时间是30 min

C.甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快

D.当0≤x≤30时,y与x的关系式为y=x

答案BD

解析在A中,甲在公园休息的时间是10min,所以只走了50min,A错误;由题中图像知,B正确;甲从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长,而距离相等,所以甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢,C错误;当0≤x≤30时,设y=kx(k≠0),则2=30k,解得k=,D正确.故选BD.

2.某种生物增长的数量y(单位:个)与时间x(单位:小时)的关系如下表:

下面函数解析式中,能表达这种关系的是(　　)

A.y=x2-1 B.y=2x+1

C.y=2x-1 D.y=1.5x2-2.5x+2

答案D

3.商店某种货物的进价下降了8%,但销售价不变,于是这种货物的销售利润率由原来的r%增加到(r+10)%,则r的值等于(　　)

A.12 B.15 

C.25 D.50

答案B

解析设原销售价为a,原进价为x,可以列出方程组:解这个方程组,消去a,x,可得r=15.

4.某单位为鼓励职工节约用水,作出了如下规定:每位职工每月用水不超过10立方米的,按每立方米m元收费;用水超过10立方米的,超过部分按每立方米2m元收费.某职工某月缴水费16m元,则该职工这个月实际用水为(　　)

A.13立方米 B.14立方米

C.18立方米 D.26立方米

答案A

解析设职工的用水量为x立方米,需要交纳的水费为f(x),当0≤x≤10时,f(x)=mx,当x>10时,f(x)=10×m+(x-10)×2m=2mx-10m,即函数的解析式为f(x)=故当0≤x≤10时,mx=16m,解得x=16,不合题意,舍去;当x>10时,2mx-10m=16m,解得x=13,符合题意.故该职工这个月实际用水为13立方米.

5.国家规定个人稿费纳税办法:不超过800元的不纳税;超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税;超过4 000元的按全部稿酬的11.2%纳税,已知某人出版一本书,共纳税420元,则这个人应得稿费(扣税前)为(　　)

A.2 800元 B.3 000元 

C.3 800元 D.3 818元

答案C

解析由题意,知纳税额y(单位:元)与稿费(扣税前)x(单位:元)之间的函数关系式为y=

由于此人纳税420元,所以当800<x≤4000时,令(x-800)×0.14=420,解得x=3800;

当x>4000时,令0.112x=420,解得x=3750(舍去),故这个人应得稿费(扣税前)为3800元.故选C.

6.在股票买卖过程中,经常用两种曲线来描述价格变化情况:一种是即时价格曲线y=f(x),另一种是平均价格曲线y=g(x),如,f(2)=3表示股票开始买卖后2小时的即时价格为3元;g(2)=3表示2小时内的平均价格为3元.下面给出了四个图像,实线表示y=f(x),虚线表示y=g(x),其中可能正确的是(　　)

答案C

解析根据即时价格与平均价格的相互依赖关系,可知,当即时价格升高时,对应平均价格也升高;反之,当即时价格降低时,对应平均价格也降低,故选项C中的图像可能正确.

7.经市场调查,某商品的日销售量(单位:件)和价格(单位:元/件)均为时间t(单位:天)的函数.日销售量为f(t)=2t+100,价格为g(t)=t+4,则该种商品的日销售额S(单位:元)与时间t的函数解析式为S(t)=　　　　　. 

答案2t2+108t+400,t∈N

解析日销售额=日销售量×价格,故S=f(t)×g(t)=(2t+100)×(t+4)=2t2+108t+400,t∈N.

8.(2020山西古县第一中学高一期中)国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数不超过30,游客需付给旅行社飞机票每张900元;若每团人数多于30,则给予优惠:每多1人,每张机票减少10元,直到达到规定人数75为止.旅行社需付给航空公司包机费每团15 000元.

(1)写出飞机票的价格y(单位:元)关于人数x(单位:人)的函数关系式;

(2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?

解(1)由题意,得y=

即y=

(2)设旅行社获利S(x)元,则

S(x)=

即S(x)=

因为S(x)=900x-15000在区间(0,30]上为增函数,所以当x=30时,S(x)取最大值12000元,

又S(x)=-10(x-60)2+21000在区间(30,75]上不单调,

故当x=60时,S(x)取得最大值21000元.

因为12000<21000,

故当每团人数为60时,旅行社可获得最大利润.

9.(2020四川仁寿高一检测)某厂推出品牌为“玉兔”的新产品,生产“玉兔”的固定成本为20 000元,每生产一件“玉兔”需要增加投入100元,根据统计数据,总收益P(单位:元)与月产量x(单位:件)满足P=(注:总收益=总成本+利润)

(1)请将利润y(单位:元)表示成关于月产量x(单位:件)的函数;

(2)当月产量为多少时,利润最大?最大利润是多少?

解(1)依题意,总成本是(20000+100x)元,

所以y=P-(20000+100x),

即y=

(2)由(1)知,当x∈(0,400]时,y=-(x-300)2+25000,

所以当x=300时,ymax=25000;

当x>400时,y=60000-100x<20000.

综上可知,当月产量为300件时,利润最大,最大利润为25000元.

等级考提升练

10.某游乐场每天的盈利额y(单位:元)与售出的门票数x(单位:张)之间的函数关系如图所示,试分析图像,要使该游乐场每天的盈利额超过1 000元,那么每天至少应售出　　　　　张门票. 

答案234

解析由题图知,盈利额每天要超过1000元时,x∈(200,300]这一区间,设y=kx+b(k≠0),将(200,500),(300,2000)代入得即y=15x-2500.由15x-2500>1000,得x>,故至少要售出234张门票,才能使游乐场每天的盈利额超过1000元.

11.在某种金属材料的耐高温实验中,温度y(单位:℃)随时间t(单位:min)的变化情况如图所示,给出下面四种说法:

①前5分钟温度增加的速度越来越快;

②前5分钟温度增加的速度越来越慢;

③5分钟以后的温度保持匀速增加;

④5分钟以后温度保持不变.

其中正确的说法是　　　　　.(只填序号) 

答案②④

解析前5分钟温度增加的速度应越来越慢,因为此段内曲线越来越“缓”,故②正确;5分钟后,对应曲线是水平的,说明温度不变了,故④正确.

12.(2020山东潍坊高一检测)某工厂生产某种产品的固定成本为200万元,并且生产量每增加1单位,成本增加1万元,又知总收入R是生产数量Q的函数R(Q)=4Q-Q2,则总利润L(Q)的最大值是　　　万元,这时产品的生产数量为　　　　.(总利润=总收入-成本) 

答案250　300

解析由题可得L(Q)=4Q-Q2-(200+Q)=-(Q-300)2+250,则当Q=300时,总利润L(Q)取得最大值250万元.

13.某厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为0.5万元,但每生产100台,需要加可变成本(即另增加投入)0.25万元.市场对此产品的年需求量为500台.销售的收入函数为R(x)=5x-(万元)(0≤x≤5),其中x是产品售出的数量(单位:百台).

(1)把利润表示为年产量的函数;

(2)年产量是多少时,工厂所得利润最大?

(3)年产量是多少时,工厂才不亏本?

解(1)设利润为L(x),成本为C(x).当x≤5时,产品能全部售出;当x>5时,只能售出500台,故利润函数为

L(x)=R(x)-C(x)

=

=

(2)当0≤x≤5时,L(x)=4.75x--0.5,

当x=4.75时,L(x)max=10.78125(万元);

当x>5时,L(x)<12-1.25=10.75(万元).

∴年产量475台时利润最大.

(3)由

得5≥x≥4.75-≈0.11或5<x≤48,

∴产品年产量在11台到4800台时,工厂不亏本.

新情境创新练

14.某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超过6元,则每提高1元,租不出去的自行车就增加3辆.

旅游点规定:每辆自行车的日租金不低于3元并且不超过20元,每辆自行车的日租金x元只取整数,用y表示出租所有自行车的日净收入.(日净收入即一日中出租的所有自行车的总收入减去管理费用后的所得)

(1)求函数y=f(x)的解析式;

(2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元?日净收入最多为多少元?

解(1)由题知,当x≤6时,f(x)=50x-115,

令50x-115>0,解得x>2.3.

因为x∈N,所以3≤x≤6,且x∈N;

当6<x≤20,且x∈N时,f(x)=[50-3(x-6)]x-115=-3x2+68x-115.

所以y=f(x)=

(2)当3≤x≤6,且x∈N时,f(x)=50x-115为增函数,

所以当x=6时,f(x)max=185元.

当6<x≤20,且x∈N时,f(x)=-3x2+68x-115=-3x-2+,

所以当x=11时,f(x)max=270元.

综上所述,当每日自行车日租金定为11元时,日净收入最多,为270元.