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新教材2022版高考人教A版数学一轮复习学案：2.9 数学建模——函数模型及其应用
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这是一份新教材2022版高考人教A版数学一轮复习学案：2.9 数学建模——函数模型及其应用，共11页。
2.9 数学建模——函数模型及其应用
必备知识预案自诊
知识梳理
1.常见的函数模型
(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0);
(2)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);
(3)反比例函数模型:f(x)=kx(k为常数,k≠0);
(4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1);
(5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1);
(6)幂型函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0);
(7)分段函数模型:y=f1(x),x∈D1,f2(x),x∈D2,f3(x),x∈D3;
(8)对勾函数模型:y=x+ax(a为常数,a>0).
2.指数、对数、幂函数模型的性质比较
性质
函数
y=ax
(a>1)
y=logax
(a>1)
y=xα
(α>0)
在(0,+∞)
内的增减性
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大
逐渐表现为
与 平行
随x的增大逐
渐表现为与
平行
随α值变化
而各有不同
值的比较
存在一个x0,当x>x0时,有logax
3.数学建模的过程
形如f(x)=x+ax(a为常数,a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型:
(1)该函数在(-∞,-a]和[a,+∞)内单调递增,在[-a,0]和(0,a]上单调递减.
(2)当x>0时,x=a时取最小值2a,当x<0时,x=-a时取最大值-2a.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)幂函数增长比一次函数增长更快.( )
(2)在(0,+∞)内,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xα(α>0)的增长速度.( )
(3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题.( )
(4)f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,恒有h(x)
加油时间
加油量(升)
加油时的累计里程(千米)
2020年5月1日
12
35 000
2020年5月15日
48
35 600
注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.
在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为( )
A.6升 B.8升 C.10升 D.12升
3.(2020北京平谷二模,9)溶液酸碱度是通过pH计算的,pH的计算公式为pH=-lg [H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升,若人体胃酸中氢离子的浓度为2.5×10-2摩尔/升,则胃酸的pH是( )(参考数据:lg 2≈0.301 0)
A.1.398 B.1.204 C.1.602 D.2.602
4.在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据如下表:
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
-0.99
0.01
0.98
2.00
则对x,y最适合的拟合函数是( )
A.y=2x B.y=x2-1
C.y=2x-2 D.y=log2x
5.某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额x为8万元时,奖励1万元,销售额x为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y=alog4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为 万元.
关键能力学案突破
考点
利用函数图象刻画实际问题
【例1】(2020北京东城一模,10)
假设存在两个物种,前者有充足的食物和生存空间,而后者仅以前者为食物,则我们称前者为被捕食者,后者为捕食者.现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以x(t)表示,被捕食者的数量以y(t)表示.如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系,其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法正确的是( )
A.若在t1,t2时刻满足:y(t1)=y(t2),则x(t1)=x(t2)
B.如果y(t)数量是先上升后下降的,那么x(t)的数量一定也是先上升后下降
C.被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值
D.被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时,捕食者的数量也会达到最大值
解题心得用函数图象刻画实际问题的解题思路
将实际问题中两个变量间变化的规律(增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可.
对点训练1(2020北京顺义一模,14)某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y,观影人数记为x,其函数图象如图1所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图2、图3中的实线分别为调整后y与x的函数图象.
给出下列四种说法:
①图2对应的方案是:提高票价,并提高成本;
②图2对应的方案是:保持票价不变,并降低成本;
③图3对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;
④图3对应的方案是:提高票价,并降低成本.
其中,正确的说法是 .(填写所有正确说法的编号)
考点
已知函数模型解决实际问题
【例2】(1)(2020全国3,理4)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=K1+e-0.23(t-53),其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为( )(参考数据:ln 19≈3)
A.60 B.63 C.66 D.69
(2)(2020北京人大附中二模,15)对于某种类型的口服药,口服x小时后,由消化系统进入血液中药物浓度y(单位:单位)与时间x(单位:小时)的关系为y=k(e-at-e-bt),其中k>0,b>a>0为常数,对于某一种药物k=4,a=1,b=2.
①口服药物后 小时血液中药物浓度最高;
②这种药物服药n(n∈N*)小时后血液中药物浓度如下表,
n
1
2
3
4
5
6
7
8
f(n)
0.954 5
0.930 4
0.693 2
0.468 0
0.301 0
0.189 2
0.116 3
0.072
一个病人上午8:00第一次服药,要使得病人血液中药物浓度保持在0.5个单位以上,第三次服药时间是 .(时间以整点为准)
解题心得利用已知函数模型解决实际问题的步骤
若题目给出了含参数的函数模型,或可确定其函数模型的图象,求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值,再用求得的函数解析式解决实际问题.
对点训练2(1)(2020北京房山区二模,9)把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是θ1℃,空气的温度是θ0℃,经过t分钟后物体的温度θ℃可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt求得,其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数.现有80 ℃的物体,放在20 ℃的空气中冷却,4分钟以后物体的温度是40 ℃,则k约等于(参考数据:ln 3≈1.099)( )
A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3
(2)对于一个声强为I(单位:W/m2)的声波,其声强级L(单位:dB)可由如下公式计算:L=10lgII0(其中I0是能引起听觉的最弱声强).设声强为I1时的声强级为70 dB,声强为I2时的声强级为60 dB,则I1是I2的 倍.
考点
构建函数模型解决实际问题(多考向探究)
考向1 二次函数模型
【例3】(2020山东省实验中学月考)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元,0.5万元.
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系;
(2)若该家庭有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎样分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?
解题心得在现实生活中,很多问题涉及的两个变量之间是二次函数关系,如面积问题、利润问题、产量问题等.构建二次函数模型,利用二次函数的图象与单调性解决.
对点训练3经市场调查,某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t(单位:天)的函数,且日销售量近似地满足g(t)=-13t+1123(1≤t≤100,t∈N).前40天价格为f(t)=14t+22(1≤t≤40,t∈N),后60天价格为f(t)=-12t+52(41≤t≤100,t∈N),试求该商品的日销售额S(t)的最大值和最小值.
考向2 分段函数模型
【例4】国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30人或30人以下,飞机票每张收费900元;若每团人数多于30人,则给予优惠:每多1人,机票每张减少10元,直到达到规定人数75人为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15 000元.
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数;
(2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?
解题心得1.在现实生活中,很多问题的两个变量之间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成分段函数.如出租车票价与路程之间的关系就是分段函数.
2.分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其作为几个不同问题,将各段的规律找出来,再将其合在一起.要注意各段变量的范围,特别是端点.
对点训练4已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万元,每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完,每万部的销售收入为R(x)万元,且R(x)=400-6x,040.
(1)写出年利润W(单位:万元)关于年产量x(单位:万部)的函数解析式;
(2)当年产量为多少万部时,该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.
考向3 指数型、对数型函数模型
【例5】某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答以下问题:
(1)写出该城市人口总数y(单位:万人)与年份x(单位:年)的函数关系式;
(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人);
(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人.(精确到1年)
(参数数据:1.01210≈1.127,1.01215≈1.196,1.01216≈1.210,log1.0121.2≈15.3)
解题心得1.在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为时间)的形式.解题时,往往用到对数运算,要注意与参考数据对应求解.
2.有关对数型函数的应用题,一般都会给出函数解析式,要求根据实际情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据值回答其实际意义.
对点训练5(1)(2020北京东城一模,9)已知某池塘中的荷花每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍,若荷叶20天可以完全长满池塘水面,则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时,荷叶已生长了( )
A.10天 B.15天 C.19天 D.2天
(2)(2020北京延庆一模,9)某企业生产A,B两种型号的产品,每年的产量分别为10万支和40万支,为了扩大再生产,决定对两种产品的生产线进行升级改造,预计改造后的A,B两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%,那么至少经过多少年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量(取lg 2≈0.301 0)( )
A.6年 B.7年 C.8年 D.9年
2.9 数学建模——函数模型及其应用
必备知识·预案自诊
知识梳理
2.单调递增 单调递增 单调递增 y轴
x轴
考点自诊
1.(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)×
2.B 因为第一次油箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,故耗油量V=48升.而这段时间内行驶的里程数S=35600-35000=600千米.所以这段时间内,该车每100千米平均耗油量为48600×100=8升,故选B.
3.C 依题意pH=-lg(2.5×10-2)=-lg2.5100=lg1002.5=lg40=lg(4×10)=lg4+lg10=2lg2+1≈2×0.3010+1=1.602.故选C.
4.D 根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,排除选项A;根据x=2.01,y=0.98,代入计算,排除选项B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意,故选D.
5.1 024 依题意得alog48+b=1,alog464+b=4,即32a+b=1,3a+b=4.解得a=2,b=-2.则y=2log4x-2,当y=8时,即2log4x-2=8,解得x=1024.
关键能力·学案突破
例1C 由图可知,曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等,故选项A不正确;在曲线上半段中观察到y(t)是先上升后下降,而x(t)是不断变小的,故选项B不正确;捕食者数量最大时是在图象最右端,最小值是在图象最左端,此时都不是被捕食者的数量的最值处,同样被捕食者的数量最大是在图象最上端,最小是在图象最下端,也不是捕食者数量取最值的时候,所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大值和最小值,故选项C正确;当捕食者数量最大时在图象最右端,x(t)∈(25,30),y(t)∈(0,50),此时二者总和x(t)+y(t)∈(25,80),由图象可知存在点x(t)=10,y(t)=100,x(t)+y(t)=110,所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时,捕食者数量也会达到最大值,故D错误.
对点训练1②③ 由图1可设盈利额y与观影人数x的函数为y=kx+b,k>0,b<0,即k为票价,当k=0时,y=b,则-b为固定成本,由图2知,直线向上平移,k不变,即票价不变,b变大,则-b变小,成本减小.故①错误,②正确;由图3知,直线与y轴的交点不变,直线斜率变大,k变大,即提高票价,b不变,则-b不变,成本不变.故③正确,④错误.
例2(1)C (2)①ln 2 ②15:00 (1)由K1+e-0.23(t*-53)=0.95K,得e-0.23(t*-53)=119,两边取以e为底的对数,得-0.23(t*-53)=-ln19≈-3,所以t*≈66.
(2)①将k=4,a=1,b=2代入可得y=4(e-t-e-2t)=-41e2t-1et=-41et-122+1,所以当1et=12时,即t=ln2时y取得最大值.
②病人上午8:00第一次服药3小时后血液中药物浓度将低于0.5个单位,则第二次服药时间在11:00;第一次服药后7个小时后药物残留为0.1163,第二次服药后4小时的药物残留为0.4680,而0.1163+0.4680=0.5843>0.5.
第一次服药后8小时的药物残留为0.072,第二次服药后5小时的药物残留为0.3010,而0.072+0.3010=0.3730<0.5.
综上可知,第三次服药时间为第一次服药后的7小时,即为15:00.
对点训练2(1)D (2)10 (1)由题知,80℃的物体,放在20℃的空气中冷却,4分钟以后物体的温度是40℃,则40=20+(80-20)e-4k,从而e-4k=13,则-4k=ln13=-ln3,得k=14ln3≈1.0094≈0.3.故选D.
(2)依题意,可知70=10lgI1I0,60=10lgI2I0,
所以70-60=10lgI1I0-10lgI2I0,则1=lgI1I2,所以I1I2=10.
例3解(1)设投资额为x(x≥0),则两类产品的收益与投资的函数关系分别为f(x)=k1x,g(x)=k2x.由已知得f(1)=18=k1,g(1)=12=k2,所以f(x)=18x(x≥0),g(x)=12x(x≥0).
(2)设投资股票类产品为x(0≤x≤20)万元,则投资债券类产品为(20-x)万元.
依题意得
y=f(20-x)+g(x)
=20-x8+12x
=-x+4x+208
=-(x-2)2+248(0≤x≤20).
所以当x=2,即x=4时,收益最大,ymax=3万元.
故投资债券类产品16万元,投资股票类产品4万元时获得最大收益,为3万元.
对点训练3解由题意知,S(t)=g(t)f(t).
S(t)=
(-13t+1123)(14t+22),1≤t≤40,t∈N,(-12t+52)(-13t+1123),41≤t≤100,t∈N,
当1≤t≤40,t∈N时,S(t)=-112(t-12)2+25003,
则S(40)≤S(t)≤S(12),即768≤S(t)≤25003,
当41≤t≤100,t∈N时,S(t)=16(t-108)2-83,
则S(100)≤S(t)≤S(41),即8≤S(t)≤14912,
综上,当t=12时,S(t)取最大值为25003;
当t=100时S(t)取最小值为8.
例4解(1)设旅行团人数为x人,由题意得0
则S=900x-15000,0
故当x=30时,S取最大值12000.
又因为S=-10(x-60)2+21000的对称轴为x=60,
所以当x=60时,S在区间(30,75]上取最大值21000.
故每团人数为60时,旅行社可获得最大利润.
对点训练4解(1)当0
所以W=-6x2+384x-40,040.
(2)①当0
当且仅当40000x=16x,即x=50时,取等号,所以W取最大值为5760.
综合①②,当x=32时,W取最大值为6104万元.故当年产量为32万部时,该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大,最大利润为6104万元.
例5解(1)1年后该城市人口总数为y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%).
2年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2.
3年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2×1.2%=100×(1+1.2%)3.
……
x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x.
所以该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式是y=100×(1+1.2%)x(x∈N*).
(2)10年后该城市人口总数为100×(1+1.2%)10≈112.7(万).
所以10年后该城市人口总数约为112.7万.
(3)设x年后该城市人口将达到120万人,即100(1+1.2%)x≥120,1.012x≥120100,所以x≥log1.012120100=log1.0121.2≈15.3≈16(年).
即大约16年后该城市人口总数将达到120万人.
对点训练5(1)C (2)B (1)设荷叶覆盖水面的初始面积为a,则x天后荷叶覆盖水面的面积y=a·2x(x∈N*),根据题意,令a·2x=12a·220,解得x=19,故选C.
(2)设至少经过n年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量,则10×(1+50%)n>40×(1+20%)n,化简得54n>4,取对数可得n>2lg2lg5-2lg2≈2×0.30101-3×0.3010≈7.故至少经过7年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量.
2.9 数学建模——函数模型及其应用
必备知识预案自诊
知识梳理
1.常见的函数模型
(1)一次函数模型:f(x)=kx+b(k,b为常数,k≠0);
(2)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0);
(3)反比例函数模型:f(x)=kx(k为常数,k≠0);
(4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0,b>0,b≠1);
(5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数,m≠0,a>0,a≠1);
(6)幂型函数模型:f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0);
(7)分段函数模型:y=f1(x),x∈D1,f2(x),x∈D2,f3(x),x∈D3;
(8)对勾函数模型:y=x+ax(a为常数,a>0).
2.指数、对数、幂函数模型的性质比较
性质
函数
y=ax
(a>1)
y=logax
(a>1)
y=xα
(α>0)
在(0,+∞)
内的增减性
增长速度
越来越快
越来越慢
相对平稳
图象的变化
随x的增大
逐渐表现为
与 平行
随x的增大逐
渐表现为与
平行
随α值变化
而各有不同
值的比较
存在一个x0,当x>x0时,有logax
3.数学建模的过程
形如f(x)=x+ax(a为常数,a>0)的函数模型称为“对勾”函数模型:
(1)该函数在(-∞,-a]和[a,+∞)内单调递增,在[-a,0]和(0,a]上单调递减.
(2)当x>0时,x=a时取最小值2a,当x<0时,x=-a时取最大值-2a.
考点自诊
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)幂函数增长比一次函数增长更快.( )
(2)在(0,+∞)内,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xα(α>0)的增长速度.( )
(3)指数型函数模型,一般用于解决变化较快,短时间内变化量较大的实际问题.( )
(4)f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,恒有h(x)
加油时间
加油量(升)
加油时的累计里程(千米)
2020年5月1日
12
35 000
2020年5月15日
48
35 600
注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程.
在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为( )
A.6升 B.8升 C.10升 D.12升
3.(2020北京平谷二模,9)溶液酸碱度是通过pH计算的,pH的计算公式为pH=-lg [H+],其中[H+]表示溶液中氢离子的浓度,单位是摩尔/升,若人体胃酸中氢离子的浓度为2.5×10-2摩尔/升,则胃酸的pH是( )(参考数据:lg 2≈0.301 0)
A.1.398 B.1.204 C.1.602 D.2.602
4.在某个物理实验中,测量得变量x和变量y的几组数据如下表:
x
0.50
0.99
2.01
3.98
y
-0.99
0.01
0.98
2.00
则对x,y最适合的拟合函数是( )
A.y=2x B.y=x2-1
C.y=2x-2 D.y=log2x
5.某公司为了业务发展制定了一个激励销售人员的奖励方案,在销售额x为8万元时,奖励1万元,销售额x为64万元时,奖励4万元.若公司拟定的奖励模型为y=alog4x+b.某业务员要得到8万元奖励,则他的销售额应为 万元.
关键能力学案突破
考点
利用函数图象刻画实际问题
【例1】(2020北京东城一模,10)
假设存在两个物种,前者有充足的食物和生存空间,而后者仅以前者为食物,则我们称前者为被捕食者,后者为捕食者.现在我们来研究捕食者与被捕食者之间理想状态下的数学模型.假设捕食者的数量以x(t)表示,被捕食者的数量以y(t)表示.如图描述的是这两个物种随时间变化的数量关系,其中箭头方向为时间增加的方向.下列说法正确的是( )
A.若在t1,t2时刻满足:y(t1)=y(t2),则x(t1)=x(t2)
B.如果y(t)数量是先上升后下降的,那么x(t)的数量一定也是先上升后下降
C.被捕食者数量与捕食者数量不会同时到达最大值或最小值
D.被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时,捕食者的数量也会达到最大值
解题心得用函数图象刻画实际问题的解题思路
将实际问题中两个变量间变化的规律(增长的快慢、最大、最小等)与函数的性质(单调性、最值等)、图象(增加、减少的缓急等)相吻合即可.
对点训练1(2020北京顺义一模,14)某部影片的盈利额(即影片的票房收入与固定成本之差)记为y,观影人数记为x,其函数图象如图1所示.由于目前该片盈利未达到预期,相关人员提出了两种调整方案,图2、图3中的实线分别为调整后y与x的函数图象.
给出下列四种说法:
①图2对应的方案是:提高票价,并提高成本;
②图2对应的方案是:保持票价不变,并降低成本;
③图3对应的方案是:提高票价,并保持成本不变;
④图3对应的方案是:提高票价,并降低成本.
其中,正确的说法是 .(填写所有正确说法的编号)
考点
已知函数模型解决实际问题
【例2】(1)(2020全国3,理4)Logistic模型是常用数学模型之一,可应用于流行病学领域.有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位:天)的Logistic模型:I(t)=K1+e-0.23(t-53),其中K为最大确诊病例数.当I(t*)=0.95K时,标志着已初步遏制疫情,则t*约为( )(参考数据:ln 19≈3)
A.60 B.63 C.66 D.69
(2)(2020北京人大附中二模,15)对于某种类型的口服药,口服x小时后,由消化系统进入血液中药物浓度y(单位:单位)与时间x(单位:小时)的关系为y=k(e-at-e-bt),其中k>0,b>a>0为常数,对于某一种药物k=4,a=1,b=2.
①口服药物后 小时血液中药物浓度最高;
②这种药物服药n(n∈N*)小时后血液中药物浓度如下表,
n
1
2
3
4
5
6
7
8
f(n)
0.954 5
0.930 4
0.693 2
0.468 0
0.301 0
0.189 2
0.116 3
0.072
一个病人上午8:00第一次服药,要使得病人血液中药物浓度保持在0.5个单位以上,第三次服药时间是 .(时间以整点为准)
解题心得利用已知函数模型解决实际问题的步骤
若题目给出了含参数的函数模型,或可确定其函数模型的图象,求解时先用待定系数法求出函数解析式中相关参数的值,再用求得的函数解析式解决实际问题.
对点训练2(1)(2020北京房山区二模,9)把物体放在冷空气中冷却,如果物体原来的温度是θ1℃,空气的温度是θ0℃,经过t分钟后物体的温度θ℃可由公式θ=θ0+(θ1-θ0)e-kt求得,其中k是一个随着物体与空气的接触状况而定的大于0的常数.现有80 ℃的物体,放在20 ℃的空气中冷却,4分钟以后物体的温度是40 ℃,则k约等于(参考数据:ln 3≈1.099)( )
A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3
(2)对于一个声强为I(单位:W/m2)的声波,其声强级L(单位:dB)可由如下公式计算:L=10lgII0(其中I0是能引起听觉的最弱声强).设声强为I1时的声强级为70 dB,声强为I2时的声强级为60 dB,则I1是I2的 倍.
考点
构建函数模型解决实际问题(多考向探究)
考向1 二次函数模型
【例3】(2020山东省实验中学月考)某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场预测,投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比,投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比.已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元,0.5万元.
(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系;
(2)若该家庭有20万元资金,全部用于理财投资,问:怎样分配资金能使投资获得最大收益,其最大收益是多少万元?
解题心得在现实生活中,很多问题涉及的两个变量之间是二次函数关系,如面积问题、利润问题、产量问题等.构建二次函数模型,利用二次函数的图象与单调性解决.
对点训练3经市场调查,某商品在过去100天内的销售量和价格均为时间t(单位:天)的函数,且日销售量近似地满足g(t)=-13t+1123(1≤t≤100,t∈N).前40天价格为f(t)=14t+22(1≤t≤40,t∈N),后60天价格为f(t)=-12t+52(41≤t≤100,t∈N),试求该商品的日销售额S(t)的最大值和最小值.
考向2 分段函数模型
【例4】国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若每团人数在30人或30人以下,飞机票每张收费900元;若每团人数多于30人,则给予优惠:每多1人,机票每张减少10元,直到达到规定人数75人为止.每团乘飞机,旅行社需付给航空公司包机费15 000元.
(1)写出飞机票的价格关于人数的函数;
(2)每团人数为多少时,旅行社可获得最大利润?
解题心得1.在现实生活中,很多问题的两个变量之间的关系不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关系式构成分段函数.如出租车票价与路程之间的关系就是分段函数.
2.分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其作为几个不同问题,将各段的规律找出来,再将其合在一起.要注意各段变量的范围,特别是端点.
对点训练4已知某公司生产某款手机的年固定成本为40万元,每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款手机x万部并全部销售完,每万部的销售收入为R(x)万元,且R(x)=400-6x,0
(1)写出年利润W(单位:万元)关于年产量x(单位:万部)的函数解析式;
(2)当年产量为多少万部时,该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大?并求出最大利润.
考向3 指数型、对数型函数模型
【例5】某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长率为1.2%,试解答以下问题:
(1)写出该城市人口总数y(单位:万人)与年份x(单位:年)的函数关系式;
(2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人);
(3)计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人.(精确到1年)
(参数数据:1.01210≈1.127,1.01215≈1.196,1.01216≈1.210,log1.0121.2≈15.3)
解题心得1.在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长率问题常用指数函数模型表示.通常可以表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数,p为增长率,x为时间)的形式.解题时,往往用到对数运算,要注意与参考数据对应求解.
2.有关对数型函数的应用题,一般都会给出函数解析式,要求根据实际情况求出函数解析式中的参数,或给出具体情境,从中提炼出数据,代入解析式求值,然后根据值回答其实际意义.
对点训练5(1)(2020北京东城一模,9)已知某池塘中的荷花每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍,若荷叶20天可以完全长满池塘水面,则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时,荷叶已生长了( )
A.10天 B.15天 C.19天 D.2天
(2)(2020北京延庆一模,9)某企业生产A,B两种型号的产品,每年的产量分别为10万支和40万支,为了扩大再生产,决定对两种产品的生产线进行升级改造,预计改造后的A,B两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%,那么至少经过多少年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量(取lg 2≈0.301 0)( )
A.6年 B.7年 C.8年 D.9年
2.9 数学建模——函数模型及其应用
必备知识·预案自诊
知识梳理
2.单调递增 单调递增 单调递增 y轴
x轴
考点自诊
1.(1)× (2)√ (3)√ (4)√ (5)×
2.B 因为第一次油箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,故耗油量V=48升.而这段时间内行驶的里程数S=35600-35000=600千米.所以这段时间内,该车每100千米平均耗油量为48600×100=8升,故选B.
3.C 依题意pH=-lg(2.5×10-2)=-lg2.5100=lg1002.5=lg40=lg(4×10)=lg4+lg10=2lg2+1≈2×0.3010+1=1.602.故选C.
4.D 根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,排除选项A;根据x=2.01,y=0.98,代入计算,排除选项B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意,故选D.
5.1 024 依题意得alog48+b=1,alog464+b=4,即32a+b=1,3a+b=4.解得a=2,b=-2.则y=2log4x-2,当y=8时,即2log4x-2=8,解得x=1024.
关键能力·学案突破
例1C 由图可知,曲线中纵坐标相等时横坐标未必相等,故选项A不正确;在曲线上半段中观察到y(t)是先上升后下降,而x(t)是不断变小的,故选项B不正确;捕食者数量最大时是在图象最右端,最小值是在图象最左端,此时都不是被捕食者的数量的最值处,同样被捕食者的数量最大是在图象最上端,最小是在图象最下端,也不是捕食者数量取最值的时候,所以被捕食者数量和捕食者数量不会同时达到最大值和最小值,故选项C正确;当捕食者数量最大时在图象最右端,x(t)∈(25,30),y(t)∈(0,50),此时二者总和x(t)+y(t)∈(25,80),由图象可知存在点x(t)=10,y(t)=100,x(t)+y(t)=110,所以并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时,捕食者数量也会达到最大值,故D错误.
对点训练1②③ 由图1可设盈利额y与观影人数x的函数为y=kx+b,k>0,b<0,即k为票价,当k=0时,y=b,则-b为固定成本,由图2知,直线向上平移,k不变,即票价不变,b变大,则-b变小,成本减小.故①错误,②正确;由图3知,直线与y轴的交点不变,直线斜率变大,k变大,即提高票价,b不变,则-b不变,成本不变.故③正确,④错误.
例2(1)C (2)①ln 2 ②15:00 (1)由K1+e-0.23(t*-53)=0.95K,得e-0.23(t*-53)=119,两边取以e为底的对数,得-0.23(t*-53)=-ln19≈-3,所以t*≈66.
(2)①将k=4,a=1,b=2代入可得y=4(e-t-e-2t)=-41e2t-1et=-41et-122+1,所以当1et=12时,即t=ln2时y取得最大值.
②病人上午8:00第一次服药3小时后血液中药物浓度将低于0.5个单位,则第二次服药时间在11:00;第一次服药后7个小时后药物残留为0.1163,第二次服药后4小时的药物残留为0.4680,而0.1163+0.4680=0.5843>0.5.
第一次服药后8小时的药物残留为0.072,第二次服药后5小时的药物残留为0.3010,而0.072+0.3010=0.3730<0.5.
综上可知,第三次服药时间为第一次服药后的7小时,即为15:00.
对点训练2(1)D (2)10 (1)由题知,80℃的物体,放在20℃的空气中冷却,4分钟以后物体的温度是40℃,则40=20+(80-20)e-4k,从而e-4k=13,则-4k=ln13=-ln3,得k=14ln3≈1.0094≈0.3.故选D.
(2)依题意,可知70=10lgI1I0,60=10lgI2I0,
所以70-60=10lgI1I0-10lgI2I0,则1=lgI1I2,所以I1I2=10.
例3解(1)设投资额为x(x≥0),则两类产品的收益与投资的函数关系分别为f(x)=k1x,g(x)=k2x.由已知得f(1)=18=k1,g(1)=12=k2,所以f(x)=18x(x≥0),g(x)=12x(x≥0).
(2)设投资股票类产品为x(0≤x≤20)万元,则投资债券类产品为(20-x)万元.
依题意得
y=f(20-x)+g(x)
=20-x8+12x
=-x+4x+208
=-(x-2)2+248(0≤x≤20).
所以当x=2,即x=4时,收益最大,ymax=3万元.
故投资债券类产品16万元,投资股票类产品4万元时获得最大收益,为3万元.
对点训练3解由题意知,S(t)=g(t)f(t).
S(t)=
(-13t+1123)(14t+22),1≤t≤40,t∈N,(-12t+52)(-13t+1123),41≤t≤100,t∈N,
当1≤t≤40,t∈N时,S(t)=-112(t-12)2+25003,
则S(40)≤S(t)≤S(12),即768≤S(t)≤25003,
当41≤t≤100,t∈N时,S(t)=16(t-108)2-83,
则S(100)≤S(t)≤S(41),即8≤S(t)≤14912,
综上,当t=12时,S(t)取最大值为25003;
当t=100时S(t)取最小值为8.
例4解(1)设旅行团人数为x人,由题意得0
则S=900x-15000,0
故当x=30时,S取最大值12000.
又因为S=-10(x-60)2+21000的对称轴为x=60,
所以当x=60时,S在区间(30,75]上取最大值21000.
故每团人数为60时,旅行社可获得最大利润.
对点训练4解(1)当0
所以W=-6x2+384x-40,0
(2)①当0
当且仅当40000x=16x,即x=50时,取等号,所以W取最大值为5760.
综合①②,当x=32时,W取最大值为6104万元.故当年产量为32万部时,该公司在该款手机的生产中所获得的利润最大,最大利润为6104万元.
例5解(1)1年后该城市人口总数为y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%).
2年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2%=100×(1+1.2%)2.
3年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)2+100×(1+1.2%)2×1.2%=100×(1+1.2%)3.
……
x年后该城市人口总数为y=100×(1+1.2%)x.
所以该城市人口总数y(万人)与年份x(年)的函数关系式是y=100×(1+1.2%)x(x∈N*).
(2)10年后该城市人口总数为100×(1+1.2%)10≈112.7(万).
所以10年后该城市人口总数约为112.7万.
(3)设x年后该城市人口将达到120万人,即100(1+1.2%)x≥120,1.012x≥120100,所以x≥log1.012120100=log1.0121.2≈15.3≈16(年).
即大约16年后该城市人口总数将达到120万人.
对点训练5(1)C (2)B (1)设荷叶覆盖水面的初始面积为a,则x天后荷叶覆盖水面的面积y=a·2x(x∈N*),根据题意,令a·2x=12a·220,解得x=19,故选C.
(2)设至少经过n年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量,则10×(1+50%)n>40×(1+20%)n,化简得54n>4,取对数可得n>2lg2lg5-2lg2≈2×0.30101-3×0.3010≈7.故至少经过7年后,A产品的年产量会超过B产品的年产量.
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