必修51.1不等关系学案及答案

§1　不等关系

1.1　不等关系

1.2　不等关系与不等式

1．不等式中的数字符号

阅读教材P69～P71“练习”以上部分，完成下列问题．

两个数或代数式常用以下数学符号连接：“＝”，“≠”，“＞”，“＜”，“≥”，“≤”．

思考：(1)限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，用不等式如何表示？

[提示]　v≤40 km/h.

(2)如何用不等式表示“a与b的差是非负数”？

[提示]　a－b≥0.

2．比较大小

阅读教材P72～P73“练习”以上部分，完成下列问题．

(1)作差法比较两实数大小

(2)不等式的性质

①对称性：若a＞b，则b＜a；若b＜a，则a＞b．

②传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c．

③同向可加性：若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d．

④同向的可乘性：若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd．

⑤乘方法则：若a＞b＞0，则an＞bn(n∈N＋，且n≥2)．

⑥开方法则：若a＞b＞0，则＞(n∈N＋，且n≥2)．

⑦同号取倒数反序性：若a＞b，ab＞0，则＜.

思考：(1)“若a＞b，c＞d，那么ac＞bd”成立吗？

[提示]　不成立，如a＝－2，b＝－3，c＝1，d＝0，则ac＜bd．

(2)“若an＞bn，(n∈N＋，且n≥2)，则a＞b”一定成立吗？

[提示]　不一定，如(－4)2＞(－2)2，但－4＜－2.

1．如果a＜0，b＞0，那么，下列不等式中正确的是(　　)

A．＜　　　　　　 B．＜

C．a2＜b2 D．|a|＞|b|

A　[A正确，B、C、D可举反例排除，如对B、C，设a＝－9，b＝1，对D，设a＝－1，b＝2即可．]

2．当x＞2时，x2与2x的大小关系为________．

x2＞2x　[x2－2x＝x(x－2)，因为x＞2，故x(x－2)＞0，即x2＞2x.]

3．已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，则b2－4ac的值的符号为________．

正　[因为a＋b＋c＝0，

所以b＝－(a＋c)，

所以b2＝a2＋c2＋2ac．

所以b2－4ac＝a2＋c2－2ac＝(a－c)2.

因为a>c，所以(a－c)2>0.

所以b2－4ac>0，

即b2－4ac的符号为正．]

4．已知a>b>c，则＋＋的值为________(填“正数”“非正数”“非负数”)．

正数　[因为a>b>c，所以a－b>0，b－c>0，a－c>b－c>0.所以>0，>0，<，所以＋－>0，所以＋＋为正数．]

【例1】　配制A，B两种药剂，需要甲，乙两种原料．已知配一剂A种药需甲料3克，乙料5克；配一剂B种药需甲料5克，乙料4克．今有甲料20克，乙料25克，若A，B两种药至少各配一剂，设A，B两种药分别配x，y剂(x，y∈N＋)，请写出x，y所满足的不等关系．

[解]　根据题意可得

(1)将不等关系表示成不等式(组)的思路

①读懂题意，找准不等关系所联系的量；

②用适当的不等号连接；

③若有多个不等关系，根据情况用不等式组表示．

(2)用不等式(组)表示不等关系时应注意的问题

在用不等式(组)表示不等关系时，应注意必须是具有相同性质，可以进行比较时，才可用，没有可比性的两个(或几个)量之间不能用不等式(组)来表示．

1．雷电的温度大约是28 000 ℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高．设太阳表面温度为t ℃，那么t应满足的关系式是________．

4．5 t<28 000.　[由题意得，太阳表面温度的4.5倍小于雷电的温度，即4.5 t<28 000.]

【例2】　比较下列各式的大小：

(1)当x≤1时，比较3x3与3x2－x＋1的大小．

(2)当x，y，z∈R时，比较5x2＋y2＋z2与2xy＋4x＋2z－2的大小．

[解]　(1)3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1)＝3x2(x－1)＋(x－1)＝(3x2＋1)(x－1)．

因为x≤1，所以x－1≤0，而3x2＋1>0.所以(3x2＋1)(x－1)≤0，所以3x3≤3x2－x＋1.

(2)因为5x2＋y2＋z2－(2xy＋4x＋2z－2)＝4x2－4x＋1＋x2－2xy＋y2＋z2－2z＋1＝(2x－1)2＋(x－y)2＋(z－1)2≥0，所以5x2＋y2＋z2≥2xy＋4x＋2z－2，当且仅当x＝y＝且z＝1时取到等号．

比较大小的方法

(1)作差法：比较两个代数式的大小，可以根据它们的差的符号进行判断，一方面注意题目本身提供的字母的取值范围，另一方面通常将两代数式的差进行因式分解转化为多个因式相乘，或通过配方转化为几个非负实数之和，然后判断正负．

作差法的一般步骤：

作差——变形——判号——定论．

(2)作商法：作商比较通常适用于两代数式同号的情形，然后比较它们的商与1的大小．

作商法的一般步骤：

作商——变形——与1比较大小——定论．

(3)单调性法：利用函数单调性比较大小，通常先构造一个函数，再利用单调性进行判断．

2．已知a>b>0，试比较aabb与abba的大小．

[解]　因为＝aa－b·bb－a＝a－b，

因为a>b>0，所以a－b>0，>1，

所以a－b>1，故aabb>abba．

[探究问题]

1．“若a＞0，b＞0，则ab＞0，a＋b＞0”成立吗？反之成立吗？

[提示]　成立，反之也成立，即“若ab＞0，a＋b＞0，则a＞0，b＞0”．

2．“若a＞1，b＞1，则ab＞1，a＋b＞2”成立吗？反之成立吗？

[提示]　成立，但反之不成立，即“若ab＞1，a＋b＞2，则a＞1，b＞1”不成立，反例：a＝4，b＝，满足ab＞1，a＋b＞2，但不满足a＞1，b＞1.

3．如何用a＋b和a－b表示2a－3b?

[提示]　设2a－3b＝x(a＋b)＋y(a－b)，

即2a－3b＝(x＋y)a＋(x－y)b，所以，

解得故2a－3b＝－(a＋b)＋(a－b)．

【例3】　设f(x)＝ax2＋bx,1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，求f(－2)的取值范围．

思路探究：用f(－1)，f(1)表示f(－2)，再利用f(－1)，f(1)的取值范围求f(－2)的取值范围．

[解]　由f(x)＝ax2＋bx得，

f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，f(－2)＝4a－2b，

设f(－2)＝mf(－1)＋nf(1)，

则4a－2b＝m(a－b)＋n(a＋b)，

即4a－2b＝(m＋n)a＋(n－m)b，

于是有解得

∴f(－2)＝3f(－1)＋f(1)．

又∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，

∴5≤3f(－1)＋f(1)≤10，

即5≤f(－2)≤10，

∴f(－2)的取值范围是[5,10]．

(变结论)例3的条件不变，求f(2)的取值范围．

[解]　由例3的解答可知f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b，

又f(2)＝4a＋2b，设4a＋2b＝x(a－b)＋y(a＋b)，

即4a＋2b＝(x＋y)a＋(y－x)b，则

解得

则4a＋2b＝(a－b)＋3(a＋b)，

即f(2)＝f(－1)＋3f(1)，

由1≤f(－1)≤2,6≤3f(1)≤12，

两式相加得7≤f(－1)＋3f(1)≤14.

即f(2)的取值范围是[7,14]．

利用性质求范围问题的基本要求

(1)利用不等式性质时，要特别注意性质成立的条件，如同向不等式相加，不等号方向不变，两边都是正数的同向不等式才能相乘等．

(2)要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意变形的等价性．

[提醒]　本例中如果由1≤a－b≤2,2≤a＋b≤4得到a，b的取值范围，再求f(－2)的取值范围，那么得到的结果不是正确答案．这是因为求得的a，b的取值范围与已知条件不是等价关系．

1．比较两个实数的大小，只要研究它们的差就可以了．a－b>0⇔a>b；a－b＝0⇔a＝b；a－b<0⇔a<b．

2．不等式的性质

(1)不等式的性质有很多是不可逆的，特别对同向不等式，只有同向不等式才可以相加，但不能相减，而且性质不可逆．只有同向且是正项的不等式才能相乘，且性质不可逆．

(2)不等式的性质是解(证)不等式的基础，要依据不等式的性质进行推导，不能自己“制造”性质运算．

1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若a＞b，则ac＞bc．(　　)

(2)a2一定大于a．(　　)

(3)若a＞b，则＜.(　　)

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×

[提示]　(1)错误，当c＝0时，ac＝bc；当c＜0时，ac＜bc；

(2)错误，当0≤a≤1时，a2≤a；

(3)错误，反例2＞－1，但＞－1.

2．已知a，b，c，d∈R且ab>0，－>－，则(　　)

A．bc<ad　　 B．bc>ad

C．＞ D．<

A　[∵ab>0，∴在－＞－两侧乘ab不变号，即－bc>－ad，即bc<ad．]

3．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系为________．

M＞N　[M－N＝x2－(－x－1)＝x2＋x＋1＝2＋＞0，故M＞N.]

4．已知2＜a＜4,3＜b＜8，求a－b，的取值范围．

[解]　∵3＜b＜8，∴－8＜－b＜－3.又2＜a＜4，

∴－6＜a－b＜1.

∵3＜b＜8，∴＜＜.又2<a<4，∴<<.综上，－6<a－b<1，<<.