2022高三数学（理科）（全国版）一轮复习课件：第12章第3讲 离散型随机变量及其分布列、均值与方差

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考点1 离散型随机变量的分布列
考点2 离散型随机变量的概率分布模型
考点3 离散型随机变量的均值与方差
考法1 求离散型随机变量的分布列、期望与方差
考法2 超几何分布的求解
考法3 利用期望与方差进行决策
考点1 离散型随机变量的分布列考点2 常见的离散型随机变量的概率分布模型考点3 离散型随机变量的均值与方差
考点1 离散型随机变量的分布列
1.离散型随机变量的分布列(1)随着试验结果变化而变化的变量叫作随机变量.所有取值可以一一列出的随机变量叫作离散型随机变量.(2)一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,以表格形式表示如下:
则上表称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列.为了简单起见,也可以用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n表示X的分布列.
2.离散型随机变量的分布列的性质(1)pi≥0,i=1,2,…,n;(2)p1+p2+…+pi+…+pn=1;(3)P(xi≤X≤xj)=pi+pi+1+…+pj(i 考点2 常见的离散型随机变量的概率分布模型
1.两点分布若随机变量X的分布列为其中0为超几何分布列,如果随机变量X的分布列为超几何分布列,则称随机变量X服从超几何分布,记作X~H(N,M,n).
考点3 离散型随机变量的均值与方差
1.离散型随机变量的均值与方差一般地,若离散型随机变量X的概率分布列为
注意 (1)期望是算术平均值概念的推广,是概率意义下的平均;(2)E(X)是一个实数,由X的分布列唯一确定,即作为随机变量,X是可变的,可取不同值,而E(X)是不变的,它描述X取值的平均状态;(3)随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度.D(X)越大,表明平均偏离程度越大,X的取值越分散.反之,D(X)越小,X的取值越集中在E(X)附近.
2.均值与方差的性质若Y=aX+b,其中a,b是常数,X是随机变量,则(1)E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数;(2)E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X);(3)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2);(4)D(X)=E(X2)-[E(X)]2 ;
考法1 求离散型随机变量的分布列、期望与方差 考法2 超几何分布的求解考法3 利用期望与方差进行决策
考法1 求离散型随机变量的分布列、期望与方差
方法技巧1.求离散型随机变量X的分布列的步骤
注意 ①求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所有取值对应的概率,在求解时,注意计数原理、排列组合等知识的应用或利用概率和为1从反面入手.②对于抽样问题,要特别注意放回与不放回的区别,一般地,不放回抽样由组合数公式求随机变量对应的概率,放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量对应的概率.
2.期望与方差的一般计算步骤(1)理解X的意义,写出X的所有可能取的值;(2)求X取各个值的概率,写出分布列;(3)根据分布列,正确运用期望与方差的定义或公式进行计算.注意 求出分布列后,注意运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确.
考法2 超几何分布的求解
示例2 [2018天津,16,13分][理]已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;(ii)设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.
思维导引 (1)先求出三个部门的人数之比,然后利用分层抽样的定义求出应抽取三个部门的员工人数;(2)(i)先根据超几何分布的定义列出X的分布列,然后求其数学期望;(ii)先将“既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”分解为简单互斥事件的和,然后结合(i)求其概率值.解析 (1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取7人,因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人.
方法技巧1.超几何分布的特点和应用条件(1)超几何分布的两个特点:①超几何分布是不放回抽样问题;②随机变量表示抽到的某类个体的个数.(2)超几何分布的应用条件:①两类不同的对象(物品、人或事);②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体.2.超几何分布实质是古典概型.3.求超几何分布的分布列的步骤
考法3 利用期望与方差进行决策
示例3 [2016全国卷Ⅰ,19,12分][理]某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得如图12-3-1所示的柱状图:
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.(1)求X的分布列;(2)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值;(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个?
思维导引 (1)由柱状图得频率,分别求出随机变量每个取值所对应的概率,进而可得分布列;(2)由(1)即可求解n的最小值;(3)分别求解n=19与n=20时购买易损零件所需费用的期望值,再比较选择哪一个较好.解析 (1)由柱状图并以频率代替概率可得,1台机器在三年内需更换的易损零件数为8,9,10,11的概率分别为0.2,0.4,0.2,0.2,从而P(X=16)=0.2×0.2=0.04;P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16;P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24;P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24;
P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2;P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;P(X=22)=0.2×0.2=0.04.所以X的分布列为
(2)由(1)知P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68,故n的最小值为19.(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元).当n=19时,E(Y)=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4 040.当n=20时,E(Y)=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4 080.可知当n=19时所需费用的期望值小于当n=20时所需费用的期望值,故应选n=19.