2022届新高考数学人教版一轮课件：第二章 第十节　导数的应用第3课时

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题型一　单变量不等式的证明　　多维探究考法(一)　利用移项构造法证明不等式[例1]　已知函数f(x)＝aex＋2x－1，其中e＝2.718 28…是自然对数的底数．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)证明：对任意的a≥1，当x＞0时，f(x)≥(x＋ae)x.
　待证不等式的两边含有同一个变量时，一般地，可以直接构造“左减右”的函数，利用导数研究其单调性，借助所构造函数的单调性即可得证．
考法(二)　利用隔离分析最值法证明不等式[例2]　(2021·福州模拟)已知函数f(x)＝eln x－ax(a∈R)．(1)讨论f(x)的单调性；(2)当a＝e时，证明：xf(x)－ex＋2ex≤0.
　若直接求导比较复杂或无从下手时，可将待证式进行变形，构造两个都便于求导的函数，从而找到可以传递的中间量，达到证明的目标．
[对点训练]已知函数f(x)＝ln x－ax(x＞0)，a为常数，若函数f(x)有两个零点x1，x2(x1≠x2)．求证：x1x2＞e2.
　当x1，x2是函数f(x)的两个不等的极值点时，x1，x2是方程f′(x)＝0的两个不等实根，也即满足f′(x1)＝f′(x2)＝0.利用这种关系可以把双变量不等式化为单变量不等式进行证明．