高中数学北师大版必修13.1指数函数的概念教学设计及反思

指数函数的概念

一、内容和内容解析

内容的本质：指数函数刻画了现实事物中增长率或衰减率为常数的变化规律，它的一般形式是，其中是自变量，定义域为.

思想和方法：抽象是概念形成的基本方法，通过运算发现代数规律，得到增长率或衰减率是常数，从而抽象出函数关系，归纳指数函数的概念.数形结合思想是函数研究的核心思想，借助幂函数的研究经验，通过观察指数函数的图象，从特殊到一般、具体到抽象，归纳得到指数函数的性质.

知识上下位：函数的一般概念和性质，是指数函数研究的上位.指数幂及其运算，是指数函数研究的基础.幂函数的研究方法，可类比迁移到指数函数的图象与性质，为指数函数图象性质的研究提供了活动经验.

育人价值：通过运算发现变量之间的关系，抽象出函数模型，在层层递进地精确化过程中，形成数学概念，发展学生数学抽象的素养.借助图象和运算，研究指数函数，学会用数学的方式，研究一类变化规律，用数学的语言表达规律.在丰富的生活实例中，感受数学的文化价值、科学价值与应用价值.

教学重点：指数函数的概念、图象与性质.

二、目标和目标解析

1.单元目标

（1）通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.

（2）能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.

2.目标解析

达成上述目标的标志是：

（1）学生经历对典型实例中蕴含的代数关系进行分析的过程，能通过运算，发现增长率或衰减率为常数这一特征，抽象出指数函数的概念，明确它的一般形式是，其中是自变量，定义域为，并能进行简单的应用.

（2）学生能画出典型函数的图象，观察指数函数的图象特征，得到指数函数的单调性等性质，并能初步应用．

三、教学问题诊断分析

1.学生在初中一次函数的学习中，已经有用函数来刻画事物变化规律的经验，但学生对“具体情境——发现问题——数学问题——数学表征——数学概念”这样的抽象过程仍然有困难，对“用运算来发现数学规律”的认识不足.学生不习惯从运算的角度去研究两个变量之间的关系，对于层层递进的代数化过程，有一定的困难.教学中应注重对利用运算来发现代数规律这一研究方法的引导.

2.学生在前一章已经经历了幂函数的研究，了解了研究一类函数的过程和方法.在此基础上，继续研究指数函数的图象和性质，只需要进行方法的类比迁移.有一些学生对于研究方法的认识不到位，在观察指数函数的特征，归纳性质的过程中，对于底数的分类，性质研究的一些角度（单调性，特殊点等），需要教师引导启发，并且通过合作探究活动，让学生自主.

教学难点：指数函数的抽象过程，指数函数性质的理解.

四、教学支持条件分析

1.本单元涉及的函数模型源于生活实际，数据较多，不易处理，借助图形计算器来计算，需要学生能够熟练地使用图形计算器的运算功能.

2.从几个特殊的指数函数图象到一般的指数函数图象，需要借助图形计算器来画图，需要学生能够熟练地使用图形计算器的作图功能.

3.本单元注重研究方法的形成过程，及时展示学生解决问题的切入点、思维过程、解答结果，暴露学生解题过程中的知识缺陷和思维漏洞，所以，需要借助黑板和多媒体投影及时有效地辅助教学.

五、课时教学设计

第一课时

（一）课时教学内容

指数函数的概念

（二）课时教学目标

1.通过游客和碳14两个实例，利用运算来刻画增长率和衰减率为常数这一变化规律，概括出指数函数的概念，从中体验抽象一类函数概念的方法，提升数学抽象素养；

2．通过巩固、应用，在问题解决的过程中，理解指数函数的概念，进一步深化对指数函数变化规律的认识.

（三）教学重点与难点

重点：指数函数概念的抽象过程，指数函数对应关系特征的理解．

难点：通过运算发现数的变化规律，利用增长率和衰减率抽象出指数函数的概念.

（四）教学过程设计

引言：前几节课，我们已经将整数指数幂拓展到实数指数幂，经历了幂函数的研究方法，认识了幂函数的概念、图象与性质.今天，我们继续研究一类与此相关的基本初等函数.

【设计意图】回顾旧知，建立新旧知识的联系.

（一）创设情境，探究模型

问题1游客人数增长模型

随着中国经济高速增长，人民生活水平不断提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式.由于旅游人数不断增加，A，B两地景区自2001年起采取了不同的应对措施，A地提高了景区门票价格，而B地则取消了景区门票.表格中给出了A，B两地景区2001年至2015年的游客人次.

探究1：比较两地景区游客人次的变化情况，你发现怎样的变化规律？

【学生回答】 随着年份的变化，游客人数随之增长，且B地人次比A地增长快.

【教师追问1】这是数据给我们的宏观印象，你能用什么数学方法来描述这种变化？

【学生回答】画出散点图.

【学生活动】学生机器作图，分别画出A，B两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图像，投影展示图象.

【教师追问2】为了便于观察，可以先根据表格中的数据描点，然后用光滑的曲线将离散的点连起来.观察图象，你发现了怎样的变化规律？

【学生回答】A地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长），B地景区的游客人次则是非线性增长.

【教师追问3】你能解释什么是线性增长吗？

【学生回答】图象近似于一条直线.

【教师追问4】以一次函数y=kx+b的形式增长，刻画均匀增长，也就是说在相同的时间间隔，增加的量相同.那我们再回到数据去，请同学们算一算两地人次的逐年增加量.

【教师追问5】你从增加量上发现规律了吗？

【学生回答】后一年与前一年人次作差.A地年增加量大致相等（约为10万次）

【教师追问6】A地景区年增长稳定在10万次左右，这个10是个常量，那么，我们可以通过后一年与前一年人次的差，用逐年增加量10来刻画他的增长规律.你能写出这个一次函数吗？

【学生回答】设自变量为年份，游客人次为因变量，

【教师追问7】在这里，我们更关注的是年份的增量，我们可以怎么表示？

【学生回答】不妨设经过的年数为，可得.

【教师追问8】我们可以通过作差运算，用逐年增加量来刻画A地的增长规律.但是，我们也发现B地年增加量越来越大.这依然是一种定性的刻画，能不能像A地一样，从定量的角度来表达它的变化规律？

【学生回答】能不能试试其他运算.

【设计意图】首先，学生直观感知表格中数据的变化规律，建立初步认识.教师在学生回答的基础上追问，引导学生观察图象，从形到数，回归数与数之间的运算.类比年增加量，迁移运算思路，从对给出的数据的认识，抽象到对数学运算的认识.

探究2：我们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的，能否通过对B地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试.

【学生活动】学生机器运算，并展示运算结果.允许学生尝试各种不同的运算，进行比较分析.

从2002年起，将B地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次.结果表明是一个常数，我们可以将1.11-1=0.11称之为年增长率.提出增长率的概念. 像这样，增长率为常数的变化方式，我们成为指数增长（指数部分的变化）. 因此，B地景区的游客人次近似于指数增长.

探究3：写出B地景区人数变化规律的函数解析式.

【学生活动】引导学生用增长率来描述每年的游客人次，得到游客人次的增长倍数与年数之间的关系.

显然，从2001年开始，B地景区游客人次的变化规律可以近似描述为：

1年后，游客人次是2001年的倍；

2年后，游客人次是2001年的倍；

3年后，游客人次是2001年的倍

……

年后，游客人次是2001年的倍

如果设经过年后的游客人次为2001年的倍，那么，这是一个函数，其中指数是自变量.

【设计意图】通过问题串，启发学生思维.引导学生经历从表格到图象，再到解析式的研究过程，分析游客人次的增长倍数与年份之间的关系，体验数学函数模型的抽象过程，体会函数模型的发生发展过程，体会学会研究问题的一类方法.

问题2碳14衰减模型

    1936年，良渚遗址第一次被发现.2007年，考古专家根据古城墙边的碎陶片，作出判断：良渚古城的年代下限是公元前2300年.2011年，浙江省考古研究所与北京大学碳14实验室合作，对从良渚古城发掘出的一系列样本进行碳14测年.十几组数据显示，良渚古城城墙的年代大致在距今4300年至4500年之间.

思考1：当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），若年衰减率为，你能刻画死亡生物体内碳14含量与死亡年数之间的关系吗？

【学生活动】自主尝试建立模型.

如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，设生物死亡年数为，生物体内碳14含量为，

死亡1年后，生物体内碳14含量为；

死亡2年后，生物体内碳14含量为；

死亡3年后，生物体内碳14含量为；

……

死亡年后，生物体内碳14含量为.

思考2：科学家发现，大约每经过5730年衰减为原来的一半，这是时间称为“半衰期”.你能求出吗？

，从而，所以，

可得.

这也是一个函数，指数是自变量.死亡生物体内碳14含量每年都以的衰减率衰减.像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减.因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减.

【设计意图】从已有的科学结果出发，引导学生进行数学表达，在数学化的过程中，归纳推理出指数函数模型.两个实例侧重点不同，实例1重在体验函数模型的形成发生过程，实例2重在数学化过程，所以教师在处理方法上也应有所区别，体现层次性.

（二）抽象特征，形成概念

思考1：你还能举出其他类似的函数模型吗？

思考2：这些函数有什么共同特征？

思考3：推广到一般，底数有什么要求？

【设计意图】通过几个不同的函数模型，抽象出指数函数的概念，经历从特殊到一般，具体到抽象的过程，从中体验抽象一类函数概念的方法，提升数学抽象素养.教师引导分析结构特征，理解概念，并通过追问，引发学生思考，完善底数的取值范围.抓住自变量在指数位置这一基本特征，理解底数取值的合理性．

（三）概念应用，加深理解

例1已知指数函数，且，求的值.

【设计意图】对函数概念的理解和应用

例2（1）在问题1中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，A地景区的门票价格为150元，比较这15年间A，B两地旅游收入变化情况.

【学生活动】同桌合作完成，借助机器计算作图，分享交流.

（2）在问题2中，某生物死亡10000年后，它体内碳14的含量衰减为原来的百分之几？

思考：连续两个半衰期是否就是一个“全衰期”？（阅读材料）

从特殊到一般，得到一般地指数增长模型：设原有量为，每次的增长率为，经过次增长，该量增长到，则.

形如的函数是刻画指数增长或指数衰减变化规律的非常有用的函数模型.

【设计意图】进一步加深理解，例1是数学内部的指数函数概念应用，例2是实例中的指数函数概念应用，解答中要使用大量的符号语言，文字语言，引导学生恰当得描述结果.（1）中引导学生体会增长模型的增长速度.（2）中引导学生体会衰减模型的衰减速度，从而对指数函数的图象形成初步的认识，为下一课作铺垫.

（四）课堂总结，提炼升华

从实际问题到数学问题，经历数学抽象的过程，认识、表达、理解指数函数的概念，体会通过运算来发现不变关系，用函数来刻画规律的基本方法.

【设计意图】总结提炼，内化概念，明晰研究方法.

（五）目标检测，练习巩固

1.下列图象中，有可能表示指数函数的是（ ）

1. B.              C.              D.

2.已知函数，且

，求函数的一个解析式.

3.在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以6.25%的增长率呈指数增长，那么经过30天，该湖泊的蓝藻会变为原来的多少倍？

【设计意图】3个目标检测练习，巩固提升，3个问题的检测目标不同，第1题，在于对指数函数图象的认识.第2题，是对指数函数概念的理解.第3题，指数函数概念在简单情境中的运用，是联系实际的应用.

研究性问题：

类比研究幂函数性质的过程和方法，进一步研究指数函数的图像和性质.

【设计意图】承上启下，为下一课作铺垫.