高中人教版新课标A2.3 直线、平面垂直的判定及其性质教案设计

3．2　直线的方程

3.2.1　直线的点斜式和斜截式方程

Q

斜拉桥又称斜张桥，桥身简约刚毅，力感十足．若以桥面所在直线为x轴，桥塔所在直线为y轴建立平面直角坐标系，那么斜拉索可看成过桥塔上同一点的直线．怎样表示直线的方程呢？

X

1．直线的点斜式方程

(1)定义：如下图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程__y－y0＝k(x－x0)__叫做直线l的点斜式方程．

(2)说明：如下图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为__x＝x0__．

2．直线的斜截式方程

(1)定义：如下图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程__y＝kx＋b__叫做直线l的斜截式方程．

(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的__截距__.倾斜角是__90°__的直线没有斜截式方程．

强调：(1)截距是坐标，它可能是正数，也可能是负数，还可能是0，不能将其理解为“距离”．

(2)并不是每条直线都有横截距和纵截距，如直线x＝1没有纵截距，直线y＝2没有横截距．

Y

1．直线l的点斜式方程是y－2＝3(x＋1)，则直线l的斜率是(　C　)

A．2　 　  B．－1　

C．3　 　  D．－3

[解析]　由直线的点斜式的定义可知，直线的斜率k＝3．

2．直线y＝(x－)的斜率与y轴上的截距分别是(　B　)

A．，  B．，－3

C．，3  D．－，－3

[解析]　y＝(x－)＝x－3，

∴直线的斜率k＝，在y轴上的截距b＝－3，故选B．

3．直线y＝－2x＋3的斜率是__－2__，在y轴上的截距是__3__，在x轴上的截距是____.

[解析]　斜率是－2；在y轴上的截距是3；令y＝0得x＝，即在x轴上的截距是．

4．写出下列直线的点斜式方程并化成斜截式：

(1)经过点A(2，5)，斜率是4；

(2)经过点B(2，3)，倾斜角为45°．

[解析]　(1)y－5＝4(x－2)，y＝4x－3．

(2)k＝tan45°＝1，所以y－3＝x－2.即y＝x＋1．

H

命题方向1　⇨直线的点斜式方程

典例1 求满足下列条件的直线的点斜式方程：

(1)过点P(－4，3)，斜率k＝－3；

(2)过点P(3，－4)，且与x轴平行；

(3)过P(－2，3)，Q(5，－4)两点．

[解析]　(1)∵直线过点P(－4，3)，斜率k＝－3，

由直线方程的点斜式得直线方程为y－3＝－3(x＋4)．

(2)与x轴平行的直线，其斜率k＝0，由直线方程的点斜式可得直线方程为y－(－4)＝0×(x－3)，

即y＋4＝0．

(3)过点P(－2，3)，Q(5，－4)的直线的斜率k PQ＝＝＝－1．

又∵直线过点P(－2，3)，

∴直线的点斜式方程为y－3＝－(x＋2)．

『规律方法』　求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)．

点斜式方程y－y0＝k·(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．

〔跟踪练习1〕 

你能写出下列直线的点斜式方程吗？没有点斜式方程的直线和斜率为0的直线如何表示？

(1)经过点A(－2，5)，斜率是3；

(2)经过点B(2，－3)，倾斜角是135°；

(3)经过点C(－1，－1)，与x轴平行；

(4)经过点D(1，1)，与x轴垂直．

[解析]　(1)y－5＝3(x＋2)．

(2)k＝tan135°＝－1，∴y＋3＝－(x－2)．

(3)y＝－1．

(4)x＝1.

命题方向2　⇨直线的斜截式方程

典例2 写出下列直线的斜截式方程：

(1)斜率是3，在y轴上的截距是－3；

(2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；

(3)倾斜角是150°，在y轴上的截距是0．

[解析]　(1)y＝3x－3．

(2)∵k＝tan60°＝，∴y＝x＋5．

(3)∵k＝tan150°＝－，∴y＝－x．

『规律方法』　斜截式是点斜式的特例，应用斜截式方程时，应注意斜率不存在的情形．当k≠0时，斜截式方程y＝kx＋b是一次函数的形式；而一次函数y＝kx＋b中，k是直线的斜率，常数b是直线在y轴上的截距．

〔跟踪练习2〕 

写出满足下列条件的直线的方程．

(1)斜率为5，在y轴上截距为－1，__5x－y－1＝0__；

(2)倾斜角30°，在y轴上截距为，__x－y＋3＝0__．

[解析]　(1)方程为y＝5x－1，即5x－y－1＝0．

(2)方程为y＝xtan30°＋，即x－y＋3＝0．

Y 　忽视两条直线平行的条件

典例3 当a为何值时，直线l1：y＝－x＋2a与直线l2：y＝(a2－2)x＋2平行？

[错解]　由题意，得a2－2＝－1，∴a＝±1．

[错因分析]　该解法只注意到两直线平行时斜率相等，而忽视了斜率相等的两直线还可能重合．

[思路分析]　要解决两直线平行的问题，一定要注意检验，看看两直线是否重合．

[正解]　∵l1∥l2，∴a2－2＝－1且2a≠2，解得a＝－1．

[警示]　(1)由斜率相等，解得参数a的值后要注意检验，排除两直线重合的情形；

(2)已知直线l1：y＝k1x＋b1与直线l2：y＝k2x＋b2，l1∥l2⇔.

〔跟踪练习3〕 

a取何值时，直线y＝(a2－2a)x＋2与直线y＝(2a－3)x＋a＋1平行．

[解析]　由a2－2a＝2a－3得a＝1或3．

当a＝1时，两方程表示同一条直线，应舍去．

a＝3时，两直线方程为y＝3x＋2与y＝3x＋4，此时平行．

∴a＝3．

X 　直线(曲线)过定点问题——分离参数法与赋值法

(1)当k取任意实数时，方程y－y0＝k(x－x0)表示恒过定点(x0，y0)的无数条直线．

(2)方程y－y0＝k(x－x0)与方程k＝不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉P0(x0，y0)的一条直线．

典例4 无论a取何值，直线y＝3a(x－1)＋4＋a恒过定点__　__.

[思路分析]　(1)联想直线方程的点斜式，可将参数a分离求解．

(2)注意到a的任意性，可给a赋值求解．

[解析]　解法1：将直线方程变形为y＝a(3x－2)＋4，则当3x－2＝0时，y＝4.∴，即直线过定点．

解法2：当a＝0时，y＝4；当a＝1时，y＝3x＋2.由得　

将x，y值代入直线方程中检验知，点在此直线上，因此，直线过定点．

K

1．过点P(－2，0)，斜率为3的直线的方程是(　D　)

A．y＝3x－2　　　　　 B．y＝3x＋2

C．y＝3(x－2)  D．y＝3(x＋2)

[解析]　由点斜式方程可知，直线的方程为y－0＝3(x＋2)，即y＝3(x＋2)，故选D．

2．已知两条直线y＝ax－2和y＝(2－a)x＋1互相平行，则a等于(　B　)

A．2　　　 B．1　　　

C．0　　　 D．－1

[解析]　由题意，得a＝2－a，∴a＝1．

3．经过点P(－2，1)，且斜率为－1的直线方程为__x＋y＋1＝0__.

[解析]　由题意知，直线方程为y－1＝－(x＋2)，即x＋y＋1＝0．

4．已知直线l与直线y＝x＋4互相垂直，直线l的截距与直线y＝x＋6的截距相同，求直线l的方程.

[解析]　∵直线l与直线y＝x＋4垂直，∴直线l的斜率k＝－2．

又∵直线l的截距b＝6，∴直线l的方程为y＝－2x＋6．