新高考数学一轮复习教师用书：第四章　2 第2讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式学案

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第2讲　同角三角函数的基本关系与诱导公式


1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1．
(2)商数关系：tan α＝．
[基本关系式变形]
sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，sin α＝tan αcos α，
cos α＝，(sin α±cos α)2＝1±2 sin αcos α.
2．六组诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
角
α＋2kπ
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
－α
＋α
正弦
sin α
－sin__α
－sin α
sin α
cos__α
cos α
余弦
cos α
－cos α
cos__α
－cos α
sin α
－sin__α
正切
tan α
tan α
－tan α
－tan__α


口诀
函数名不变
符号看象限
函数名改变
符号看象限
简记口诀：把角统一表示为±α(k∈Z)的形式，奇变偶不变，符号看象限．

[疑误辨析]
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)对任意的角α，β，都有sin2α＋cos2β＝1.(　　)
(2)若α∈R，则tan α＝恒成立．(　　)
(3)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．(　　)
(4)若cos(nπ－θ)＝(n∈Z)，则cos θ＝.(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×
[教材衍化]
1．(必修4P19例6改编)若sin α＝，<α<π，则tan α＝________．
解析：因为<α<π，所以cos α＝－＝－，
所以tan α＝＝－.
答案：－
2．(必修4P22B组T3改编)已知tan α＝2，则的值为________．
解析：原式＝＝＝3.
答案：3
3．(必修4P28练习T7改编)化简·sin(α－π)·cos(2π－α)的结果为________．
解析：原式＝·(－sin α)·cos α＝－sin2α.
答案：－sin2α
[易错纠偏]
(1)不会运用消元的思想；
(2)π±α的形式没有把k按奇数和偶数进行分类讨论导致出错．
1．已知tan x＝2，则1＋sin2x的值为________．
解析：1＋sin2x＝cos2x＋2sin2x
＝＝
＝.
答案：
2．已知A＝＋(k∈Z)，则A的值构成的集合是________．
解析：k＝2n(n∈Z)时，
A＝＋
＝＋＝2.
当k＝2n＋1(n∈Z)时，
A＝＋
＝＋
＝－1＋(－1)＝－2.
答案：{2，－2}


　　　　　　同角三角函数的基本关系式(高频考点)
同角三角函数的基本关系式的应用很广泛，也比较灵活．高考中常以选择题、填空题的形式出现．主要命题角度有：
(1)知弦求弦；
(2)知弦求切；
(3)知切求弦．
角度一　知弦求弦
(2020·丽水模拟)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，)，则sin θ－cos θ的值为(　　)
A.　　　B.　　　C．－　　　D．－
【解析】　(sin θ＋cos θ)2＝，所以1＋2sin θcos θ＝，所以2sin θcos θ＝，由(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－＝，可得sin θ－cos θ＝±.又因为θ∈(0，)，sin θ 【答案】　C
角度二　知弦求切
已知cos＝，且α∈，则tan α＝(　　)
A. B. C．－ D．±
【解析】　因为cos＝，所以sin α＝－，显然α在第三象限，所以cos α＝－，故tan α＝.
【答案】　B
角度三　知切求弦
若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝(　　)
A. B. C．1 D.
【解析】　法一：由tan α＝＝，cos2α＋sin2α＝1，得或则sin 2α＝2sin αcos α＝，则cos2α＋2sin 2α＝＋＝.
法二：cos2α＋2sin 2α＝＝＝＝.
【答案】　A

同角三角函数基本关系式的应用技巧
(1)知弦求弦：利用诱导公式及平方关系sin2α＋cos2α＝1求解．
(2)知弦求切：常通过平方关系sin2α＋cos2α＝1及商数关系tan α＝结合诱导公式进行求解．
(3)知切求弦：通常先利用商数关系转化为sin α＝tan α·cos α的形式，然后用平方关系求解．若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值，如＝；asin2α＋bcos2α＋csin αcos α＝
＝.　

1．已知sin α＋cos α＝，那么角α的终边在(　　)
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第二或第四象限
解析：选D.因为sin α＋cos α＝，
所以两边平方得1＋2sin αcos α＝，
即2sin αcos α＝－，
所以sin αcos α<0，验证可知，角α是第二或第四象限角，故选D.
2．已知α是第二象限的角，tan α＝－，则cos α＝________．
解析：因为α是第二象限的角，
所以sin α＞0，cos α＜0，由tan α＝－，
得cos α＝－2sin α，代入sin2α＋cos2α＝1中，
得5sin2α＝1，所以sin α＝，cos α＝－.
答案：－

　　　　　　诱导公式的应用
(1)sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________．
(2)已知cos α是方程3x2－x－2＝0的根，且α是第三象限角，则等于________．
(3)已知cos(－α)＝，则sin(α－)＝________．
【解析】　(1)原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°·sin 1 050°＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)
＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°
＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)
＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°
＝×＋×＝1.
(2)因为方程3x2－x－2＝0的根为x1＝1，x2＝－，
由题知cos α＝－，
所以sin α＝－，tan α＝.
所以原式＝＝tan2α＝.
(3)因为＋＝－，所以α－＝－－，所以sin＝sin
＝－cos＝－.
【答案】　(1)1　(2)　(3)－

(1)诱导公式用法的一般思路
①化大角为小角．
②角中含有加减的整数倍时，用公式去掉的整数倍．
(2)常见的互余和互补的角
①常见的互余的角：－α与＋α；＋α与－α；＋α与－α等．
②常见的互补的角：＋θ与－θ；＋θ与－θ等．
(3)三角函数式化简的方向
①切化弦，统一名．
②用诱导公式，统一角．
③用因式分解将式子变形，化为最简．　

1．若sin(＋α)＝－，且α∈(，π)，则sin(π－2α)＝(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B.
C．－ D．－
解析：选D.由sin(＋α)＝cos α＝－，且α∈(，π)，得sin α＝，所以sin(π－2α)＝sin 2α＝2sin αcos α＝－，选项D正确．
2．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x－y＝0上，则＝________．
解析：由题意可知tan θ＝3，原式＝＝＝.
答案：
3．(2020·宁波高三模拟)已知cos(π＋α)＝－，求(n∈Z)．
解：因为cos(π＋α)＝－，
所以－cos α＝－，cos α＝.
＝
＝＝＝－＝－4.

[基础题组练]
1．计算：sin π＋cos π＝(　　)
A．－1　　　　　　　　　　 B．1
C．0 D.－
解析：选A.原式＝sin＋cos
＝－sin ＋cos＝－－cos
＝－－＝－1.
2．已知tan(α－π)＝，且α∈，则sin＝(　　)
A. B．－
C. D．－
解析：选B.由tan(α－π)＝⇒tan α＝.
又因为α∈，所以cos α＝－，
所以α为第三象限的角，sin＝cos α＝－.
3．已知sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，|θ|<，则θ等于(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：选D.因为sin(π＋θ)＝－cos(2π－θ)，
所以－sin θ＝－cos θ，所以tan θ＝.
因为|θ|<，所以θ＝.
4．已知sin(3π－α)＝－2sin(＋α)，则sin αcos α等于(　　)
A．－　　　　　　　　　　 B.
C.或－ D．－
解析：选A.因为sin(3π－α)＝sin(π－α)＝－2sin(＋α)，所以sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2，
当α在第二象限时，，
所以sin αcos α＝－；
当α在第四象限时，，
所以sin αcos α＝－，
综上，sin αcos α＝－，故选A.
5．已知＝5，则sin2α－sin αcos α的值为(　　)
A．－ B．－
C. D.
解析：选D.依题意得＝5，所以tan α＝2.
所以sin2α－sin αcos α＝
＝＝＝.
6．已知sin α＋3cos α＋1＝0，则tan α的值为(　　)
A.或 B．－或－
C.或－ D．－或不存在
解析：选D.由sin α＝－3cos α－1，可得(－3cos α－1)2＋cos2α＝1，即5cos2α＋3cos α＝0，解得cos α＝－或cos α＝0，当cos α＝0时，tan α的值不存在，当cos α＝－时，sin α＝－3cos α－1＝，tan α＝＝－，故选D.
7．化简＋＝________．
解析：原式＝＋＝－sin α＋sin α＝0.
答案：0
8．已知sin＝，则cos＝________．
解析：cos＝cos
＝cos＝－cos，
而sin＝sin
＝cos＝，
所以cos＝－.
答案：－
9．已知θ为第四象限角，sin θ＋3cos θ＝1，则tan θ＝________．
解析：由(sin θ＋3cos θ)2＝1＝sin2θ＋cos2θ，得6sin θcos θ＝－8cos2θ，又因为θ为第四象限角，所以cos θ≠0，所以6sin θ＝－8cos θ，所以tan θ＝－.
答案：－
10．(2020·杭州市富阳二中高三质检)若3sin α＋cos α＝，则tan α的值为________；的值为________．
解析：由3sin α＋cos α＝，得到cos α＝－3sin α，代入sin2α＋cos2α＝1得sin2α＋(－3sin α)2＝1，
得10sin2α－6sin α＋9＝0，即(sin α－3)2＝0，
解得sin α＝，cos α＝，
则tan α＝＝3；

＝
＝＝＝.
答案：3　
11．已知π＜α＜2π，cos(α－7π)＝－，求sin(3π＋α)·tan的值．
解：因为cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cos α
＝－，所以cos α＝.
所以sin(3π＋α)·tan
＝sin(π＋α)·
＝sin α·tan＝sin α·
＝sin α·＝cos α＝.
12．已知α为第三象限角，
f(α)＝.
(1)化简f(α)；
(2)若cos(α－)＝，求f(α)的值．
解：(1)f(α)＝
＝＝－cos α.
(2)因为cos(α－)＝，
所以－sin α＝，
从而sin α＝－.
又α为第三象限角，
所以cos α＝－＝－，
所以f(α)＝－cos α＝.
[综合题组练]
1．(2020·台州市高三期末评估)已知cos α＝1，则sin＝(　　)
A.　　　　　　　　　　　 B.
C．－ D．－
解析：选C.因为cos α＝1⇒α＝2kπ，所以sin＝sin＝sin＝－sin ＝－，故选C.
2．(2020·金华十校联考)已知sin αcos α＝，且<α<，则cos α－sin α的值为(　　)
A．－ B.
C．－ D.
解析：选B.因为<α<，
所以cos α<0，sin α<0且|cos α|<|sin α|，
所以cos α－sin α>0.
又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，
所以cos α－sin α＝.
3．sin π·cos π·tan的值是________．
解析：原式＝sin·cos·tan
＝··
＝××(－)＝－.
答案：－
4．若sin α＝2sin β，tan α＝3tan β，则cos α＝________．
解析：因为sin α＝2sin β，①
tan α＝3tan β，
tan2α＝9tan2β.②
由①2÷②得：9cos2α＝4cos2β.③
由①2＋③得sin2α＋9cos2α＝4.
又sin2α＋cos2α＝1，
所以cos2α＝，
所以cos α＝±.
答案：±
5．已知f(x)＝(n∈Z)．
(1)化简f(x)的表达式；
(2)求f＋f的值．
解：(1)当n为偶数，即n＝2k(k∈Z)时，
f(x)＝
＝
＝
＝sin2x(n＝2k，k∈Z)；
当n为奇数，即n＝2k＋1(k∈Z)时，
f(x)＝
＝
＝
＝
＝sin2x(n＝2k＋1，k∈Z)．
综上得f(x)＝sin2x.
(2)由(1)得
f＋f＝sin2＋sin2
＝sin2＋sin2
＝sin2＋cos2＝1.