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高中物理粤教版 (2019)必修 第一册第二节 匀变速直线运动的规律第1课时学案
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这是一份高中物理粤教版 (2019)必修 第一册第二节 匀变速直线运动的规律第1课时学案，共10页。
[学习目标] 1.掌握匀变速直线运动的速度公式，会用此公式解决简单的匀变速直线运动的问题.2.理解匀变速直线运动的位移公式，并会用此公式解决匀变速直线运动的问题.
一、速度与时间的关系
1.匀变速直线运动的速度公式：vt＝v0＋at.
2.匀变速直线运动的v－t图像(如图1所示)
图1
直线与纵轴的交点即为物体的初速度，直线的斜率就是物体运动的加速度.
二、位移与时间的关系
1.利用v－t图像求位移(如图2所示)
图2
时间t内的位移s对应v－t图像中阴影梯形面积，即s＝eq \f(1,2)(v0＋vt)t.
2.匀变速直线运动的位移公式：
s＝v0t＋eq \f(1,2)at2.
1.判断下列说法的正误.
(1)公式vt＝v0＋at适用于任何做直线运动的物体.( × )
(2)公式s＝v0t＋eq \f(1,2)at2既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动.( √ )
(3)匀加速直线运动的v－t图像的斜率逐渐增大.( × )
(4)在v－t图像中，图线与时间轴所包围的“面积”表示位移.( √ )
(5)在初速度、时间一定的情况下，加速度越大，匀变速直线运动的物体的末速度和位移一定越大.( × )
2.汽车沿平直公路做匀加速运动，初速度为10 m/s，加速度为2 m/s2,5 s末汽车的速度为 ，5 s内汽车的位移为 ，在汽车速度从10 m/s达到30 m/s运动的时间为 .
答案 20 m/s 75 m 10 s
一、速度与时间的关系
导学探究 设一个物体做匀变速直线运动，运动开始时刻(t＝0)的速度为v0，加速度为a，请根据加速度定义式求t时刻物体的瞬时速度.
答案 由加速度的定义式a＝eq \f(vt－v0,t)，整理得t时刻物体的瞬时速度vt＝v0＋at.
知识深化
1.公式vt＝v0＋at中各物理量的含义：v0、vt分别表示物体的初、末速度，a为物体的加速度，且a为恒量，at就是物体运动过程中速度的变化量.
2.公式的适用条件：公式vt＝v0＋at只适用于匀变速直线运动.
3.公式的矢量性
公式vt＝v0＋at中的vt、v0、a均为矢量，应用公式解题时，应选取正方向，一般以v0的方向为正方向.
(1)若加速度方向与正方向相同，则加速度取正值，若加速度方向与正方向相反，则加速度取负值.
(2)若计算出vt为正值，则表示末速度方向与初速度的方向相同，若vt为负值，则表示末速度方向与初速度的方向相反.
4.两种特殊情况
(1)当v0＝0时，vt＝at.
由于匀变速直线运动的加速度恒定不变，表明由静止开始的匀加速直线运动的速度大小与其运动时间成正比.
(2)当a＝0时，vt＝v0.
加速度为零的运动是匀速直线运动，也表明匀速直线运动是匀变速直线运动的特例.
(1)一个物体以10 m/s的速度在水平面上运动，某时刻起获得一个与初速度方向相同、大小为2.5 m/s2的加速度，求6 s末物体的速度；
(2)若加速度方向与初速度方向相反，求1 s末和6 s末物体的速度.
答案 (1)25 m/s (2)7.5 m/s －5 m/s，负号表示速度方向与初速度方向相反
解析 以初速度方向为正方向，v0＝10 m/s，
(1)当a与v0同向时，a＝2.5 m/s2，
由v6＝v0＋at6得v6＝25 m/s.
(2)当a与v0反向时，a＝－2.5 m/s2.
由v1＝v0＋at1，得v1＝7.5 m/s，
由v6＝v0＋at6，得v6＝－5 m/s，负号表示速度方向与初速度方向相反.
针对训练1 (多选)一个物体做匀变速直线运动，当t＝0时，物体的速度大小为12 m/s，方向向东；当t＝2 s时，物体的速度大小为8 m/s，方向仍向东.当t为多少时，物体的速度大小变为2 m/s( )
A.3 s B.5 s C.7 s D.9 s
答案 BC
解析 取向东为正方向，物体的加速度a＝eq \f(vt－v0,t)＝eq \f(8－12,2) m/s2＝－2 m/s2.物体的速度大小为2 m/s时，方向可能向东，也可能向西.由vt＝v0＋at得，当速度方向向东时t1＝eq \f(2－12,－2) s＝5 s；当速度方向向西时t2＝eq \f(－2－12,－2) s＝7 s，故B、C正确.
(2021·德阳市高一检测)在平直公路上，一辆汽车以108 km/h的速度行驶，司机发现前方有危险立即刹车，刹车时加速度大小为6 m/s2.
(1)求刹车后3 s末汽车的速度大小；
(2)求刹车后6 s末汽车的速度大小.
答案 (1)12 m/s (2)0
解析 v0＝108 km/h＝30 m/s，规定v0的方向为正方向，则a＝－6 m/s2，汽车刹车所用的总时间t＝eq \f(0－v0,a)＝eq \f(0－30,－6) s＝5 s.
(1)t1＝3 s时的速度v1＝v0＋at1＝30 m/s－6×3 m/s＝12 m/s.
(2)由于t＝5 s应用vt＝v0＋at的一般思路
1.选取一个过程为研究过程，以初速度方向为正方向.判断各物理量的正负，利用vt＝v0＋at由已知量求未知量.
2.实际交通工具刹车后可认为是做匀减速直线运动，当速度减小到零时，车辆就会停止运动.解答此类问题的思路是：
(1)先求出它从刹车到停止运动的刹车时间t刹＝eq \f(v0,a)；
(2)比较所给时间与刹车时间的关系确定运动时间，最后再利用运动学公式求解.若t>t刹，不能盲目把时间代入；若t二、位移与时间的关系
导学探究
1.如图3为匀速直线运动的v－t图像，图中阴影部分的面积与物体在0～t1时间内的位移在数值上是否相等？
图3
答案 相等
2.如图4所示，某质点做匀变速直线运动，已知初速度为v0，在t时刻的速度为vt，加速度为a，利用位移大小等于v－t图线下面梯形的面积推导匀变速直线运动的位移与时间关系.
图4
答案 如题图所示，v－t图线下面梯形的面积s＝eq \f(1,2)(v0＋vt)t①
又因为vt＝v0＋at②
由①②式可得s＝v0t＋eq \f(1,2)at2.
知识深化
1.在v－t图像中，图线与t轴所围的面积对应物体在这段时间内的位移，t轴上方面积表示位移为正，t轴下方面积表示位移为负.
2.位移公式s＝v0t＋eq \f(1,2)at2只适用于匀变速直线运动.
3.公式中s、v0、a都是矢量，应用时必须先选取正方向.一般选v0的方向为正方向.当物体做匀减速直线运动时，a取负值，计算结果中，位移s的正负表示其方向.
4.当v0＝0时，s＝eq \f(1,2)at2，即为由静止开始的匀加速直线运动的位移公式，位移s与t2成正比.
(2020·成都市高一检测)一辆卡车初速度为v0＝10 m/s，以a＝2 m/s2的加速度行驶，求：
(1)卡车在6 s内的位移大小s6.
(2)卡车在第6 s内的位移大小sⅥ.
答案 (1)96 m (2)21 m
解析 (1)卡车在6 s内的位移为s6＝v0t6＋eq \f(1,2)at62＝(10×6＋eq \f(1,2)×2×62) m＝96 m.
(2)解法一：基本公式法
卡车在第6 s内的位移为
sⅥ＝s6－s5＝s6－(v0t5＋eq \f(1,2)at52)＝96 m－(10×5＋eq \f(1,2)×2×52)m＝21 m.
解法二：图像法
卡车在第6 s末的速度v6＝v0＋at6＝(10＋2×6) m/s＝22 m/s
第5 s末的速度v5＝v0＋at5＝(10＋2×5) m/s＝20 m/s
其运动的v－t图像如图所示，
v－t图线与t轴所围的阴影梯形面积等于第6 s内的位移
sⅥ＝eq \f(20＋22×1,2) m＝21 m.
位移公式的应用步骤：
1确定一个方向为正方向一般以初速度的方向为正方向.
2根据规定的正方向确定已知量的正、负，并用带有正、负号的数值表示.
3根据位移公式或其变形式列式、求解.
4根据计算结果说明所求量的大小和方向.
针对训练2 某辆赛车在一段直道上做初速度为零的匀加速直线运动，前2 s内位移是8 m，则( )
A.赛车的加速度是2 m/s2
B.赛车的加速度是3 m/s2
C.赛车第4 s内的位移是32 m
D.赛车第4 s内的位移是14 m
答案 D
解析 赛车做初速度为零的匀加速直线运动，根据s＝eq \f(1,2)at2，解得a＝4 m/s2，故A、B错误；赛车第4 s内的位移为前4 s内的位移减去前3 s内的位移，由Δs＝eq \f(1,2)at42－eq \f(1,2)at32解得赛车第4 s内的位移为14 m，故C错误，D正确.
一物体做匀减速直线运动，初速度为10 m/s，加速度大小为1 m/s2，求物体在停止运动前1 s内的位移大小.
答案 0.5 m
解析 解法一：基本公式法
由速度公式vt＝v0＋at，可得物体运动的总时间t＝eq \f(vt－v0,a)＝eq \f(0－10,－1) s＝10 s
总位移s1＝v0t＋eq \f(1,2)at2＝[10×10＋eq \f(1,2)×(－1)×102] m＝50 m
前9 s的位移s2＝v0t′＋eq \f(1,2)at′2＝[10×9＋eq \f(1,2)×(－1)×92] m＝49.5 m
则停止运动前1 s内的位移s＝s1－s2＝50 m－49.5 m＝0.5 m.
解法二：逆向思维法
该匀减速直线运动的逆运动为初速度为零、加速度为a′＝1 m/s2的匀加速直线运动，则原运动物体停止运动前1 s内的位移与逆运动第1 s内的位移大小相等.由s＝eq \f(1,2)a′t12＝eq \f(1,2)×1×12 m＝0.5 m.
逆向思维法
在处理末速度为零的匀减速直线运动时，为了方便解题，可以采用逆向思维法，将该运动对称地看成逆向的加速度大小相等的初速度为零的匀加速直线运动.
速度公式和位移公式变为vt＝at，s＝eq \f(1,2)at2，计算更简捷.
考点一 速度公式vt＝v0＋at
1.(多选)在运用公式vt＝v0＋at时，关于各个物理量的符号，下列说法正确的是( )
A.必须规定正方向，公式中的vt、v0、a才能取正、负号
B.在任何情况下，a>0表示物体做匀加速运动，a<0表示物体做匀减速运动
C.习惯上总是规定物体开始运动的方向为正方向，a>0表示做匀加速运动，a<0表示做匀减速运动
D.vt的方向总是与v0的方向相同
答案 AC
解析 在运用公式vt＝v0＋at时，必须规定正方向，公式中的vt、v0、a才能取正、负号，故A正确；当加速度方向与速度方向相同时，物体做加速运动，当加速度方向与速度方向相反时，物体做减速运动，当a>0，vt<0时，物体做匀减速运动，故B错误，C正确；vt的方向可能与v0的方向相反，故D错误.
2.(多选)(2021·济南一中高一上期末)做匀加速直线运动的某物体的加速度为3 m/s2，下列说法正确的是( )
A.某1 s末的速度比该1 s初的速度总是大3 m/s
B.某1 s末的速度比该1 s初的速度总是大3倍
C.某1 s末的速度比前1 s末的速度大3 m/s
D.某1 s末的速度比前1 s初的速度大6 m/s
答案 ACD
解析 加速度为3 m/s2，由Δv＝aΔt可知，任意1 s时间内，末速度一定比初速度大3 m/s，故A正确；加速度为3 m/s2，任意1 s时间内，物体的末速度不一定比初速度大3倍，故B错误；某1 s末的前1 s末即为该1 s初，故某1 s末的速度比前1 s末的速度大3 m/s，故C正确；某1 s末与前1 s初的时间间隔是2 s，由Δv＝aΔt可知，Δv＝6 m/s，即某1 s末的速度比前1 s初的速度大6 m/s，故D正确.
3.(多选)一物体做匀加速直线运动，已知第1 s末的速度是6 m/s，第2 s末的速度是8 m/s，则下列结论正确的是( )
A.物体零时刻的速度是3 m/s
B.物体的加速度是2 m/s2
C.任何1 s内的速度变化量都是2 m/s
D.第2 s初的瞬时速度是6 m/s
答案 BCD
解析 物体的加速度a＝eq \f(v2－v1,t1)＝eq \f(8－6,1) m/s2＝2 m/s2，物体在零时刻的速度v0＝v1－at1＝(6－2×1) m/s＝4 m/s，故A错误，B正确；物体在任何1 s内速度的变化量Δv＝aΔt＝2×1 m/s＝2 m/s，故C正确；第2 s初和第1 s末是同一时刻，可知第2 s初的瞬时速度是6 m/s，故D正确.
4.由于发射卫星耗资巨大，还要耗费大量燃料推动沉重的金属物体在地球大气中飞行.科学家正在研发一种解决方案，利用一架喷气式飞机发射一个高效的小型推进系统，把卫星送入近地轨道.已知卫星速度必须达到8 000 m/s才能到达预定轨道，发射时喷气式飞机由静止开始运行了16.7 min达到预定轨道，则喷气式飞机的加速度约为( )
A.6 m/s2 B.8 m/s2 C.10 m/s2 D.12 m/s2
答案 B
解析 根据速度公式vt＝v0＋at和v0＝0可得，加速度为a＝eq \f(vt,t)＝eq \f(8 000,16.7×60) m/s2≈8 m/s2，选项B正确.
5.物体做匀加速直线运动，到达A点时的速度为5 m/s，经3 s到达B点时的速度为14 m/s，再经过4 s到达C点，则它到达C点时的速度为( )
A.23 m/s B.5 m/s C.26 m/s D.10 m/s
答案 C
解析 物体的加速度a＝eq \f(14－5,3) m/s2＝3 m/s2，到达C点时的速度vC＝vB＋at＝14 m/s＋
3 m/s2×4 s＝26 m/s，选项C正确.
考点二 位移公式s＝v0t＋eq \f(1,2)at2
6.一个物体从静止开始做匀加速直线运动，第1 s内的位移为2 m，则下列说法正确的是( )
A.物体运动的加速度为2 m/s2
B.物体在前2 s内的位移为8 m
C.物体在第2 s内的位移为4 m
D.物体在第2 s内的平均速度为8 m/s
答案 B
解析 根据s1＝eq \f(1,2)at12得，物体运动的加速度a＝eq \f(2s1,t12)＝4 m/s2，故A错误；物体在前2 s内的位移为s2＝eq \f(1,2)at22＝eq \f(1,2)×4×22 m＝8 m，B正确；物体在第2 s内的位移sⅡ＝s2－s1＝6 m，则第2 s内的平均速度为6 m/s，故C、D错误.
7.一质点由静止开始做匀加速直线运动，它在第10 s内的位移为19 m，则其加速度大小为( )
A.1.9 m/s2 B.2.0 m/s2 C.9.5 m/s2 D.3.0 m/s2
答案 B
解析 质点做初速度为零的匀加速直线运动，根据位移公式，有
前10 s内的位移s1＝eq \f(1,2)at102，
前9 s内的位移s2＝eq \f(1,2)at92，
故第10 s内的位移s＝s1－s2＝19 m，
代入数据解得a＝2.0 m/s2.
8.一列火车由静止开始做匀加速直线运动，一人站在第一节车厢前端的旁边观测，第一节车厢通过他历时2 s，整列车厢通过他历时6 s，则这列火车的车厢有( )
A.3节 B.6节 C.9节 D.12节
答案 C
解析 设一节车厢长为L，这列火车共有n节车厢，
则L＝eq \f(1,2)at12，nL＝eq \f(1,2)at22.
将t1＝2 s，t2＝6 s代入上面两式解得：n＝9，选项C正确.
9.某人从竿上端由静止开始先匀加速下滑时间2t，后再匀减速下滑时间t恰好到达竿底且速度为0，则这两段匀变速运动过程中加速度大小之比为( )
A.1∶2 B.2∶1 C.1∶4 D.4∶1
答案 A
解析 设最大速度为v，则匀加速阶段a1＝eq \f(v,2t)，匀减速阶段a2＝eq \f(－v,t)，所以加速度大小之比为1∶2，A正确.
10.(多选)某人骑自行车以5 m/s的初速度匀减速骑上一个长为30 m的斜坡，加速度大小是0.4 m/s2.则( )
A.他不能到达坡顶
B.他到达坡顶需用10 s时间
C.他到达坡顶需用15 s时间
D.他到达坡顶时的速度为1 m/s
答案 BD
解析 根据匀变速直线运动的位移公式s＝v0t＋eq \f(1,2)at2，可得30 m＝5t－eq \f(1,2)×0.4t2，解得：t1＝10 s，t2＝15 s(舍去，因为若斜坡足够长，他经过t＝eq \f(0－v0,－a)＝12.5 s速度减为零)，故A、C错误，B正确；他到达坡顶的速度为v＝v0＋at＝5 m/s－0.4×10 m/s＝1 m/s，故D正确.
11.一滑块由静止开始自固定斜面顶端匀加速下滑(斜面足够长)，第5 s末的速度是6 m/s，求：
(1)第4 s末的速度大小；
(2)开始运动后，前7 s内的位移大小；
(3)第3 s内的位移大小.
答案 (1)4.8 m/s (2)29.4 m (3)3 m
解析 (1)v4∶v5＝at4∶at5＝4∶5
则第4 s末的速度为v4＝eq \f(4,5)v5＝4.8 m/s.
(2)a＝eq \f(v5,t5)＝eq \f(6,5) m/s2＝1.2 m/s2
s7＝eq \f(1,2)at72＝eq \f(1,2)×1.2×72 m＝29.4 m.
(3)第3 s内的位移大小sⅢ＝s3－s2＝eq \f(1,2)at32－eq \f(1,2)at22＝(eq \f(1,2)×1.2×32－eq \f(1,2)×1.2×22) m＝3 m.
12.一辆汽车(可视为质点)在平直公路上做匀变速直线运动，公路边每隔15 m有一棵树，如图1所示.汽车通过A、B两相邻的树用了3 s，通过B、C两相邻的树用了2 s.则汽车运动的加速度和通过树B时的速度为多大？
图1
答案 1 m/s2 6.5 m/s
解析 设汽车经过树A、B时的速度分别为vA、vB，加速度为a.
对AB段运动，由s＝v0t＋eq \f(1,2)at2有15 m＝vA×3 s＋eq \f(1,2)a×(3 s)2，同理，对AC段运动，有30 m＝vA×5 s＋eq \f(1,2)a×(5 s)2
联立解得vA＝3.5 m/s，a＝1 m/s2
由vt＝v0＋at可知，vB＝3.5 m/s＋1×3 m/s＝6.5 m/s.
[学习目标] 1.掌握匀变速直线运动的速度公式，会用此公式解决简单的匀变速直线运动的问题.2.理解匀变速直线运动的位移公式，并会用此公式解决匀变速直线运动的问题.
一、速度与时间的关系
1.匀变速直线运动的速度公式：vt＝v0＋at.
2.匀变速直线运动的v－t图像(如图1所示)
图1
直线与纵轴的交点即为物体的初速度，直线的斜率就是物体运动的加速度.
二、位移与时间的关系
1.利用v－t图像求位移(如图2所示)
图2
时间t内的位移s对应v－t图像中阴影梯形面积，即s＝eq \f(1,2)(v0＋vt)t.
2.匀变速直线运动的位移公式：
s＝v0t＋eq \f(1,2)at2.
1.判断下列说法的正误.
(1)公式vt＝v0＋at适用于任何做直线运动的物体.( × )
(2)公式s＝v0t＋eq \f(1,2)at2既适用于匀加速直线运动，也适用于匀减速直线运动.( √ )
(3)匀加速直线运动的v－t图像的斜率逐渐增大.( × )
(4)在v－t图像中，图线与时间轴所包围的“面积”表示位移.( √ )
(5)在初速度、时间一定的情况下，加速度越大，匀变速直线运动的物体的末速度和位移一定越大.( × )
2.汽车沿平直公路做匀加速运动，初速度为10 m/s，加速度为2 m/s2,5 s末汽车的速度为 ，5 s内汽车的位移为 ，在汽车速度从10 m/s达到30 m/s运动的时间为 .
答案 20 m/s 75 m 10 s
一、速度与时间的关系
导学探究 设一个物体做匀变速直线运动，运动开始时刻(t＝0)的速度为v0，加速度为a，请根据加速度定义式求t时刻物体的瞬时速度.
答案 由加速度的定义式a＝eq \f(vt－v0,t)，整理得t时刻物体的瞬时速度vt＝v0＋at.
知识深化
1.公式vt＝v0＋at中各物理量的含义：v0、vt分别表示物体的初、末速度，a为物体的加速度，且a为恒量，at就是物体运动过程中速度的变化量.
2.公式的适用条件：公式vt＝v0＋at只适用于匀变速直线运动.
3.公式的矢量性
公式vt＝v0＋at中的vt、v0、a均为矢量，应用公式解题时，应选取正方向，一般以v0的方向为正方向.
(1)若加速度方向与正方向相同，则加速度取正值，若加速度方向与正方向相反，则加速度取负值.
(2)若计算出vt为正值，则表示末速度方向与初速度的方向相同，若vt为负值，则表示末速度方向与初速度的方向相反.
4.两种特殊情况
(1)当v0＝0时，vt＝at.
由于匀变速直线运动的加速度恒定不变，表明由静止开始的匀加速直线运动的速度大小与其运动时间成正比.
(2)当a＝0时，vt＝v0.
加速度为零的运动是匀速直线运动，也表明匀速直线运动是匀变速直线运动的特例.
(1)一个物体以10 m/s的速度在水平面上运动，某时刻起获得一个与初速度方向相同、大小为2.5 m/s2的加速度，求6 s末物体的速度；
(2)若加速度方向与初速度方向相反，求1 s末和6 s末物体的速度.
答案 (1)25 m/s (2)7.5 m/s －5 m/s，负号表示速度方向与初速度方向相反
解析 以初速度方向为正方向，v0＝10 m/s，
(1)当a与v0同向时，a＝2.5 m/s2，
由v6＝v0＋at6得v6＝25 m/s.
(2)当a与v0反向时，a＝－2.5 m/s2.
由v1＝v0＋at1，得v1＝7.5 m/s，
由v6＝v0＋at6，得v6＝－5 m/s，负号表示速度方向与初速度方向相反.
针对训练1 (多选)一个物体做匀变速直线运动，当t＝0时，物体的速度大小为12 m/s，方向向东；当t＝2 s时，物体的速度大小为8 m/s，方向仍向东.当t为多少时，物体的速度大小变为2 m/s( )
A.3 s B.5 s C.7 s D.9 s
答案 BC
解析 取向东为正方向，物体的加速度a＝eq \f(vt－v0,t)＝eq \f(8－12,2) m/s2＝－2 m/s2.物体的速度大小为2 m/s时，方向可能向东，也可能向西.由vt＝v0＋at得，当速度方向向东时t1＝eq \f(2－12,－2) s＝5 s；当速度方向向西时t2＝eq \f(－2－12,－2) s＝7 s，故B、C正确.
(2021·德阳市高一检测)在平直公路上，一辆汽车以108 km/h的速度行驶，司机发现前方有危险立即刹车，刹车时加速度大小为6 m/s2.
(1)求刹车后3 s末汽车的速度大小；
(2)求刹车后6 s末汽车的速度大小.
答案 (1)12 m/s (2)0
解析 v0＝108 km/h＝30 m/s，规定v0的方向为正方向，则a＝－6 m/s2，汽车刹车所用的总时间t＝eq \f(0－v0,a)＝eq \f(0－30,－6) s＝5 s.
(1)t1＝3 s时的速度v1＝v0＋at1＝30 m/s－6×3 m/s＝12 m/s.
(2)由于t＝5 s
1.选取一个过程为研究过程，以初速度方向为正方向.判断各物理量的正负，利用vt＝v0＋at由已知量求未知量.
2.实际交通工具刹车后可认为是做匀减速直线运动，当速度减小到零时，车辆就会停止运动.解答此类问题的思路是：
(1)先求出它从刹车到停止运动的刹车时间t刹＝eq \f(v0,a)；
(2)比较所给时间与刹车时间的关系确定运动时间，最后再利用运动学公式求解.若t>t刹，不能盲目把时间代入；若t
导学探究
1.如图3为匀速直线运动的v－t图像，图中阴影部分的面积与物体在0～t1时间内的位移在数值上是否相等？
图3
答案 相等
2.如图4所示，某质点做匀变速直线运动，已知初速度为v0，在t时刻的速度为vt，加速度为a，利用位移大小等于v－t图线下面梯形的面积推导匀变速直线运动的位移与时间关系.
图4
答案 如题图所示，v－t图线下面梯形的面积s＝eq \f(1,2)(v0＋vt)t①
又因为vt＝v0＋at②
由①②式可得s＝v0t＋eq \f(1,2)at2.
知识深化
1.在v－t图像中，图线与t轴所围的面积对应物体在这段时间内的位移，t轴上方面积表示位移为正，t轴下方面积表示位移为负.
2.位移公式s＝v0t＋eq \f(1,2)at2只适用于匀变速直线运动.
3.公式中s、v0、a都是矢量，应用时必须先选取正方向.一般选v0的方向为正方向.当物体做匀减速直线运动时，a取负值，计算结果中，位移s的正负表示其方向.
4.当v0＝0时，s＝eq \f(1,2)at2，即为由静止开始的匀加速直线运动的位移公式，位移s与t2成正比.
(2020·成都市高一检测)一辆卡车初速度为v0＝10 m/s，以a＝2 m/s2的加速度行驶，求：
(1)卡车在6 s内的位移大小s6.
(2)卡车在第6 s内的位移大小sⅥ.
答案 (1)96 m (2)21 m
解析 (1)卡车在6 s内的位移为s6＝v0t6＋eq \f(1,2)at62＝(10×6＋eq \f(1,2)×2×62) m＝96 m.
(2)解法一：基本公式法
卡车在第6 s内的位移为
sⅥ＝s6－s5＝s6－(v0t5＋eq \f(1,2)at52)＝96 m－(10×5＋eq \f(1,2)×2×52)m＝21 m.
解法二：图像法
卡车在第6 s末的速度v6＝v0＋at6＝(10＋2×6) m/s＝22 m/s
第5 s末的速度v5＝v0＋at5＝(10＋2×5) m/s＝20 m/s
其运动的v－t图像如图所示，
v－t图线与t轴所围的阴影梯形面积等于第6 s内的位移
sⅥ＝eq \f(20＋22×1,2) m＝21 m.
位移公式的应用步骤：
1确定一个方向为正方向一般以初速度的方向为正方向.
2根据规定的正方向确定已知量的正、负，并用带有正、负号的数值表示.
3根据位移公式或其变形式列式、求解.
4根据计算结果说明所求量的大小和方向.
针对训练2 某辆赛车在一段直道上做初速度为零的匀加速直线运动，前2 s内位移是8 m，则( )
A.赛车的加速度是2 m/s2
B.赛车的加速度是3 m/s2
C.赛车第4 s内的位移是32 m
D.赛车第4 s内的位移是14 m
答案 D
解析 赛车做初速度为零的匀加速直线运动，根据s＝eq \f(1,2)at2，解得a＝4 m/s2，故A、B错误；赛车第4 s内的位移为前4 s内的位移减去前3 s内的位移，由Δs＝eq \f(1,2)at42－eq \f(1,2)at32解得赛车第4 s内的位移为14 m，故C错误，D正确.
一物体做匀减速直线运动，初速度为10 m/s，加速度大小为1 m/s2，求物体在停止运动前1 s内的位移大小.
答案 0.5 m
解析 解法一：基本公式法
由速度公式vt＝v0＋at，可得物体运动的总时间t＝eq \f(vt－v0,a)＝eq \f(0－10,－1) s＝10 s
总位移s1＝v0t＋eq \f(1,2)at2＝[10×10＋eq \f(1,2)×(－1)×102] m＝50 m
前9 s的位移s2＝v0t′＋eq \f(1,2)at′2＝[10×9＋eq \f(1,2)×(－1)×92] m＝49.5 m
则停止运动前1 s内的位移s＝s1－s2＝50 m－49.5 m＝0.5 m.
解法二：逆向思维法
该匀减速直线运动的逆运动为初速度为零、加速度为a′＝1 m/s2的匀加速直线运动，则原运动物体停止运动前1 s内的位移与逆运动第1 s内的位移大小相等.由s＝eq \f(1,2)a′t12＝eq \f(1,2)×1×12 m＝0.5 m.
逆向思维法
在处理末速度为零的匀减速直线运动时，为了方便解题，可以采用逆向思维法，将该运动对称地看成逆向的加速度大小相等的初速度为零的匀加速直线运动.
速度公式和位移公式变为vt＝at，s＝eq \f(1,2)at2，计算更简捷.
考点一 速度公式vt＝v0＋at
1.(多选)在运用公式vt＝v0＋at时，关于各个物理量的符号，下列说法正确的是( )
A.必须规定正方向，公式中的vt、v0、a才能取正、负号
B.在任何情况下，a>0表示物体做匀加速运动，a<0表示物体做匀减速运动
C.习惯上总是规定物体开始运动的方向为正方向，a>0表示做匀加速运动，a<0表示做匀减速运动
D.vt的方向总是与v0的方向相同
答案 AC
解析 在运用公式vt＝v0＋at时，必须规定正方向，公式中的vt、v0、a才能取正、负号，故A正确；当加速度方向与速度方向相同时，物体做加速运动，当加速度方向与速度方向相反时，物体做减速运动，当a>0，vt<0时，物体做匀减速运动，故B错误，C正确；vt的方向可能与v0的方向相反，故D错误.
2.(多选)(2021·济南一中高一上期末)做匀加速直线运动的某物体的加速度为3 m/s2，下列说法正确的是( )
A.某1 s末的速度比该1 s初的速度总是大3 m/s
B.某1 s末的速度比该1 s初的速度总是大3倍
C.某1 s末的速度比前1 s末的速度大3 m/s
D.某1 s末的速度比前1 s初的速度大6 m/s
答案 ACD
解析 加速度为3 m/s2，由Δv＝aΔt可知，任意1 s时间内，末速度一定比初速度大3 m/s，故A正确；加速度为3 m/s2，任意1 s时间内，物体的末速度不一定比初速度大3倍，故B错误；某1 s末的前1 s末即为该1 s初，故某1 s末的速度比前1 s末的速度大3 m/s，故C正确；某1 s末与前1 s初的时间间隔是2 s，由Δv＝aΔt可知，Δv＝6 m/s，即某1 s末的速度比前1 s初的速度大6 m/s，故D正确.
3.(多选)一物体做匀加速直线运动，已知第1 s末的速度是6 m/s，第2 s末的速度是8 m/s，则下列结论正确的是( )
A.物体零时刻的速度是3 m/s
B.物体的加速度是2 m/s2
C.任何1 s内的速度变化量都是2 m/s
D.第2 s初的瞬时速度是6 m/s
答案 BCD
解析 物体的加速度a＝eq \f(v2－v1,t1)＝eq \f(8－6,1) m/s2＝2 m/s2，物体在零时刻的速度v0＝v1－at1＝(6－2×1) m/s＝4 m/s，故A错误，B正确；物体在任何1 s内速度的变化量Δv＝aΔt＝2×1 m/s＝2 m/s，故C正确；第2 s初和第1 s末是同一时刻，可知第2 s初的瞬时速度是6 m/s，故D正确.
4.由于发射卫星耗资巨大，还要耗费大量燃料推动沉重的金属物体在地球大气中飞行.科学家正在研发一种解决方案，利用一架喷气式飞机发射一个高效的小型推进系统，把卫星送入近地轨道.已知卫星速度必须达到8 000 m/s才能到达预定轨道，发射时喷气式飞机由静止开始运行了16.7 min达到预定轨道，则喷气式飞机的加速度约为( )
A.6 m/s2 B.8 m/s2 C.10 m/s2 D.12 m/s2
答案 B
解析 根据速度公式vt＝v0＋at和v0＝0可得，加速度为a＝eq \f(vt,t)＝eq \f(8 000,16.7×60) m/s2≈8 m/s2，选项B正确.
5.物体做匀加速直线运动，到达A点时的速度为5 m/s，经3 s到达B点时的速度为14 m/s，再经过4 s到达C点，则它到达C点时的速度为( )
A.23 m/s B.5 m/s C.26 m/s D.10 m/s
答案 C
解析 物体的加速度a＝eq \f(14－5,3) m/s2＝3 m/s2，到达C点时的速度vC＝vB＋at＝14 m/s＋
3 m/s2×4 s＝26 m/s，选项C正确.
考点二 位移公式s＝v0t＋eq \f(1,2)at2
6.一个物体从静止开始做匀加速直线运动，第1 s内的位移为2 m，则下列说法正确的是( )
A.物体运动的加速度为2 m/s2
B.物体在前2 s内的位移为8 m
C.物体在第2 s内的位移为4 m
D.物体在第2 s内的平均速度为8 m/s
答案 B
解析 根据s1＝eq \f(1,2)at12得，物体运动的加速度a＝eq \f(2s1,t12)＝4 m/s2，故A错误；物体在前2 s内的位移为s2＝eq \f(1,2)at22＝eq \f(1,2)×4×22 m＝8 m，B正确；物体在第2 s内的位移sⅡ＝s2－s1＝6 m，则第2 s内的平均速度为6 m/s，故C、D错误.
7.一质点由静止开始做匀加速直线运动，它在第10 s内的位移为19 m，则其加速度大小为( )
A.1.9 m/s2 B.2.0 m/s2 C.9.5 m/s2 D.3.0 m/s2
答案 B
解析 质点做初速度为零的匀加速直线运动，根据位移公式，有
前10 s内的位移s1＝eq \f(1,2)at102，
前9 s内的位移s2＝eq \f(1,2)at92，
故第10 s内的位移s＝s1－s2＝19 m，
代入数据解得a＝2.0 m/s2.
8.一列火车由静止开始做匀加速直线运动，一人站在第一节车厢前端的旁边观测，第一节车厢通过他历时2 s，整列车厢通过他历时6 s，则这列火车的车厢有( )
A.3节 B.6节 C.9节 D.12节
答案 C
解析 设一节车厢长为L，这列火车共有n节车厢，
则L＝eq \f(1,2)at12，nL＝eq \f(1,2)at22.
将t1＝2 s，t2＝6 s代入上面两式解得：n＝9，选项C正确.
9.某人从竿上端由静止开始先匀加速下滑时间2t，后再匀减速下滑时间t恰好到达竿底且速度为0，则这两段匀变速运动过程中加速度大小之比为( )
A.1∶2 B.2∶1 C.1∶4 D.4∶1
答案 A
解析 设最大速度为v，则匀加速阶段a1＝eq \f(v,2t)，匀减速阶段a2＝eq \f(－v,t)，所以加速度大小之比为1∶2，A正确.
10.(多选)某人骑自行车以5 m/s的初速度匀减速骑上一个长为30 m的斜坡，加速度大小是0.4 m/s2.则( )
A.他不能到达坡顶
B.他到达坡顶需用10 s时间
C.他到达坡顶需用15 s时间
D.他到达坡顶时的速度为1 m/s
答案 BD
解析 根据匀变速直线运动的位移公式s＝v0t＋eq \f(1,2)at2，可得30 m＝5t－eq \f(1,2)×0.4t2，解得：t1＝10 s，t2＝15 s(舍去，因为若斜坡足够长，他经过t＝eq \f(0－v0,－a)＝12.5 s速度减为零)，故A、C错误，B正确；他到达坡顶的速度为v＝v0＋at＝5 m/s－0.4×10 m/s＝1 m/s，故D正确.
11.一滑块由静止开始自固定斜面顶端匀加速下滑(斜面足够长)，第5 s末的速度是6 m/s，求：
(1)第4 s末的速度大小；
(2)开始运动后，前7 s内的位移大小；
(3)第3 s内的位移大小.
答案 (1)4.8 m/s (2)29.4 m (3)3 m
解析 (1)v4∶v5＝at4∶at5＝4∶5
则第4 s末的速度为v4＝eq \f(4,5)v5＝4.8 m/s.
(2)a＝eq \f(v5,t5)＝eq \f(6,5) m/s2＝1.2 m/s2
s7＝eq \f(1,2)at72＝eq \f(1,2)×1.2×72 m＝29.4 m.
(3)第3 s内的位移大小sⅢ＝s3－s2＝eq \f(1,2)at32－eq \f(1,2)at22＝(eq \f(1,2)×1.2×32－eq \f(1,2)×1.2×22) m＝3 m.
12.一辆汽车(可视为质点)在平直公路上做匀变速直线运动，公路边每隔15 m有一棵树，如图1所示.汽车通过A、B两相邻的树用了3 s，通过B、C两相邻的树用了2 s.则汽车运动的加速度和通过树B时的速度为多大？
图1
答案 1 m/s2 6.5 m/s
解析 设汽车经过树A、B时的速度分别为vA、vB，加速度为a.
对AB段运动，由s＝v0t＋eq \f(1,2)at2有15 m＝vA×3 s＋eq \f(1,2)a×(3 s)2，同理，对AC段运动，有30 m＝vA×5 s＋eq \f(1,2)a×(5 s)2
联立解得vA＝3.5 m/s，a＝1 m/s2
由vt＝v0＋at可知，vB＝3.5 m/s＋1×3 m/s＝6.5 m/s.
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