新人教版七年级上册初一数学全册课件PPT（精心整理汇编）

这是一份初中数学人教版七年级上册本册综合评课课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了a≥0，1整式，2整式的加减，a2b，a3b，acbc，到现代，从古代，从长城，到立交等内容，欢迎下载使用。

全册课件（教学+知识点归纳+典型真题）
新人教版 七年级上册数学
1.1 正数和负数
数的产生和发展离不开生活和生产的需要，哪位同学知道这些图片介绍的是什么内容？
结绳计数由记数、排序，产生数1,2,3…
观察下列图片，体会数的产生和发展过程.
由表示“没有”“空位”，产生数0.
？
正数、负数的定义
由分物、测量，产生 ? ? ， ? ? …
【思考】根据实际生活的需要，人们引进了另一种数，你知道是什么数吗？结合你在实际生活中接触到的数，试举例.
电梯楼层按钮
新闻报道：某年，我国花生产量比上年增长1.8%，油菜籽产量比上年增长-2.7%.
（1）天气预报中的3，电梯按钮中的1—10，新闻报道中的1.8%；
（2）天气预报中的-3，电梯按钮中的-1，-2，新闻报道中的-2.7%.
问题1：说一说上面用到的各数的含义.
问题2：上面这两类数，分别属于什么数？
像1、2、3、1.8％这样大于0的数叫做正数.
像-3，-1，-2，-2.7％这样在正数前面加上符号“-”（负号）的数叫做负数.
有时，我们为了明确表达意义，在正数前面也加上“+”（正）号，如+3，+1.8％，+0.5… 一般情况下我们省略“+”不写.
0既不是正数，也不是负数.
例1 读出下列各数，并把它们填在相应的圈里：
正数
负数
正数和负数的识别
探究新知
1.读出下列各数，并指出其中哪些是正数，哪些是负数。
1. 正数有什么特点？
2. 负数有什么特点？
【想一想】
甲汽车向东行驶3km，乙汽车向西行驶1km.
蔬菜店购进黄瓜50kg，蔬菜店售出黄瓜2kg.
东
西
它们都表示相反的意义.
用正、负数表示具有相反意义的量
你会用正、负数来表示它们吗？
例2 一物体沿东西两个相反的方向运动时，可以用正、负数表示它们的运动． （1）如果向东运动4m记作+4m，那么向西运动5m记作_____. （2）如果-7m表示物体向西运动7m，那么+6m表明物体____________.
-5m
向东运动6m
利用正数负数表示相反意义的量
探究新知
（1）如果零上5°C记作+5 °C，那么零下3°C记作什么？ （2）东、西为两个相反方向，如果- 4米表示一个物体向西运动4米，那么+2米表示什么？物体原地不动记为什么？
记作-3°C．
+2米表示一个物体向东运动2米；物体原地不动记为0米.
2. 完成下列各题。
例3（1）一个月内，小明体重增加2kg，小华体重减少1kg，小强体重无变化，写出他们这个月的体重增长值；
解：这个月小明体重增长2kg，小华体重增长-1kg，小强体重增长0kg.
探究新知
探究新知
例3（2）某年下列国家的商品进出口总额比上年的变化情况是： 美国减少6.4%， 德国增长1.3%， 法国减少2.4%， 英国减少3.5%， 意大利增长0.2%，中国增长7.5%.写出这些国家该年商品进出口总额的增长率.
解：六个国家2001年商品出口总额的增长率：美国 -6.4%， 德国 1.3%， 法国 -2.4%， 英国 -3.5%，意大利 0.2%， 中国 7.5%.
引入负数以后，“增长”就有了普遍的含义：如果增长量为正数，那么就是我们以前所说的真正的增长，如果增长为负数，这就是我们以前所说的减少，但可以理解为负增长.所以，以后遇到增长时，其增长量可正也可负.
在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有_____ 的意义.
相反
探究新知
根据相反意义合理使用正、负数对实际问题进行表示.一般情况下，把向北(东)、上升、增加、收入等规定为正，把它们的相反意义规定为负.
探究新知
记作- 3.8吨．
3. 某仓库运进面粉7.5吨记作+7.5吨, 那么运出3.8吨应记作什么?
海平面
珠穆朗玛峰
吐鲁番盆地
高度看作0
情景：下图是吐鲁番盆地的示意图，你能用语言表述它与海平面的高度关系吗？它的含义是什么？
记为+8844.43米
记为－155米
0的意义及用正负数表示相对基准量
0只表示没有吗?
1.空罐中的金币数量;2.温度中的0℃;3.海平面的高度;4.标准水位;5.身高比较的基准; ……
【思考】
0是正负数的分界点.它不再简简单单地只表示没有，它具有丰富的意义，如
0可以用来表示基准，一般地，高于基准的量用正数表示，低于基准的量用负数表示
例4 里约奥运会勇夺冠军的中国女排的平均身高为187公分，如果以平均身高为标准，超过部分记为正数，不足部分记为负数，有5名队员分别记为+10，-5，0，+7，-2，则她们的实际身高应是_____________________________.
197、182、187、194、185
方法总结：解题时一定要先弄清“基准”，再还原数据.
利用基准数解决实际问题
4.下列语句正确的是 （ ） A. 0℃表示没有温度 B. 0表示什么也没有 C. 0是非正数 D. 0既可以看作是正数又可 以看作是负数
C
 
　　　　　　　
5.解释图中的正数和负数的含义。
10℃表示白天温度为零上10℃-5℃表示晚上温度为零下5℃
它们以什么为基准？
0℃
6. 下面是某存折中记录的支出、存入信息，试着说说其中“支出或存入”那一栏的数字表示什么含义.
1.（2018•德阳）如果把收入100元记作+100元，那么支出80元记作（　　） A．+20元 B．+100元 C．+80元 D．﹣80元
巩固练习
D
2.（2018•遵义）如果电梯上升5层记为+5．那么电梯下降2层应记为（　　） A．+2 B．﹣2 C．+5 D．﹣5
B
1.下列说法，正确的是（ ） A. 加正号的数是正数，加负号的数是负数 B. 0是最小的正数 C. 字母a既可是正数，也可是负数，也可是0 D. 任意一个数，不是正数就是负数
C
2.下列各对关系中，不具有相反意义的量的是（ ） A.运进货物3吨与运出货物2吨 B.升温3℃与降温3℃ C.增加货物100吨与减少货物2000吨 D.胜3局与亏本400元
D
3.（2018•绍兴）如果向东走2m记为+2m，则向西走3m可记为（　　） A．+3m B．+2m C．﹣3m D．﹣2m
C
4.（2018•葫芦岛）如果温度上升10℃记作+10℃，那么温度下降5℃记作（　　） A．+10℃ B．﹣10℃ C．+5℃ D．﹣5℃
D
某银行一天内接待了四笔大业务，存款40 000元，取款25 000元，存款30万元，取款7万元.若存款为正，请你用正、负数表示这四笔款项.
解：+40000元，-25000元，+300000元，-70000元.
某年，一些国家的服务出口额比上年的增长率如下：
这一年，上述六国中哪些国家的服务出口额增长了？ 哪些国家的服务出口额减少了？ 哪国增长率最高？哪国增长率最低？
中国、意大利
美国、德国、英国、日本
意大利增长率最高；
日本增长率最低.
1.2 有理数1.2.1 有理数
1. 我们学过的数有：_______、_____、________、 ______、__________.2. 你能试着对上面举出的数进行分类吗？
正整数
零
负整数
正分数
负分数
【思考】回想一下我们认识了哪些数？
某天毛毛看报纸，见到下面一段内容：冬季的一天，某地的最高气温为6℃，最低气温达到-10℃，平均气温是0℃，而同一天北京的气温为-3℃～7℃.
问题1：这里面出现的数是什么数？
6,7是正数; -10，-3是负数;0既不是正数也不是负数;
有理数的概念
问题2：目前我们所学的小数有哪几类？问题3： 0.1, -0.5, 5.32, -15，0. 2， 又是什么数？
它们都可以化为分数：
有限小数，无限循环小数，无限不循环小数
为什么呢？
小学：小数
初中：统归为分数
我们以前学过的数,像1，2，3 ……称为正整数；
特别提示：零既不是正数，也不是负数.
－1，－2，－3 ……称为负整数；
整数
分数
有理数
0
判断表中各数分别是什么数，在相应的空格内打“√”.
　　　　　　　　√　　√　　　　　　√
　　　　　　　　√　　　　　√　　　√
　　　　　√　　　　　　　　　　　　√　
　　　　　√　　　　　　　　√　　　√
探究新知
有理数
正整数
正分数
负分数
整数
分数
零
负整数
有理数的分类
你能根据有理数的定义对有理数分类吗？
探究总结
有限小数和无限循环小数都是分数，所以也是有理数.无限不循环小数（如 π）不是分数，就不是有理数.
质疑探索
学了有理数的分类后，有没有一些数不是有理数呢？
有理数分类的几点注意：
1. 如 能约分成整数的数_____(填“能”或“不能”)算做分数；
不能
2. 无限不循环小数不是有理数，如π；
3. 整数中除了正整数和负整数，还有_____.
0
有理数还有其他的分类方法吗？
有理数
正整数
负整数
负分数
正有理数
负有理数
正分数
零
注意 ：①分类的标准不同，结果也不同； ②分类的结果应无遗漏、无重复； ③零是整数，但零既不是正数，也不是负数.
有理数按符号（正、负）分类如下：
填一填（1）既是分数又是负数的数是_______；（2）非负数包括________和_______；（3）非正数包括________和_______； （4）非负整数包括________和_______；又称为________；（5）非负分数包括________和_______；（6）非正分数包括________和_______.
负分数
正数
0
0
负数
自然数
正整数
0
整数
正分数
整数
负分数
例1 下列说法：①0是整数； ② 是负分数；③4.2不是正数； ④自然数一定是正数；⑤负分数一定是负有理数.其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
有理数分类的能力
探究新知
2.如果一个数不是负数，那么这数可能__________.
3.如果一个不是正数，那么这个数可能是__________.
正数或零
负数或零
1.下面关于“0”的说法正确的是 （ ）A.是正数，也是有理数 B.是整数，但不是自然数C.不是正数，但是自然数 D.不是整数，但是有理数
C
小学里学过的数除0外都是正数；正数前面添上“－”号的数是负数；0既不是正数，也不是负数，它表示正、负数的界限.有理数的分类方法不是唯一的，可以按整数和分数分成两大类，也可以按正有理数、零、负有理数分成三大类.
例2 把下列各数填在相应的集合中：
正数集合：{ }；负数集合：{ }；分数集合：{ }；整数集合：{ }；非负有理数集合：{ }；有理数集合：{ }.
把有理数按要求分类
探究新知
易错提醒1.像 这种可以先化简成整数的数是整数不是分数；2.π大于0是正数不是正有理数.
4. ① 0_______整数，0_______有理数； ② -5_______整数，-5_______有理数； ③ -0.3_____负分数，-0.3_____有理数.
是
是
是
是
是
是
（2018•重庆）下列四个数中，是正整数的是（　　） A．﹣1 B．0 C． D．1
D
负整数
 
非正整数
分数
正整数
1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 正整数、负整数统称为整数 B. 正分数、负分数统称为分数 C. 零既可以是正整数，也可以是负整数 D. 一个有理数不是正数就是负数
B
2. 下列各数： -2，5， ，0.63，0，7，-0.05，-6，9， ， .
其中正数有____个，负数有____个，正分数有____个，负分数有____个，自然数有____个，整数有____个.
6
6
4
2
3
4
（1）0是整数.（ ）（2）自然数一定是整数.（ ）（3）0一定是正整数.（ ）（4）整数一定是自然数.（ ）
√
√
×
×
3. 判 断：
4．填空：（1）有理数中，是整数而不是正数的是___________； 是负数而不是分数的是__________．（2）零是_________，还是______，但不是_____，也不是_____．
负整数和0
负整数
有理数
整数
正数
负数
5. 把下列各数分别填入相应的大括号里.
－15
＋6
－2
－0.9
1
0
0.63
－4.95
（1）正整数集合：{ …}（2）负整数集合：{ …}（3）正分数集合：{ …}（4）负分数集合：{ …}
＋6
1
－15
－2
0.63
－0.9
－4.95
某中学对九年级男生进行引体向上的测试，以能做10个为标准，超过的次数用正数表示，不足的次数用负数表示，其中8名男生的成绩如下：＋2，－5，0，－2，＋4，－1，－1，＋3.（1）达到标准的男生占百分之几?（2）他们共做了多少个引体向上?
解：（1） ×100% = 50%，达到标准的男生占50%.（2）2－5＋0－2＋4－1－1＋3＋8×10 = 80（个），他们共做了80个引体向上.
其中8名男生的成绩如下：＋2，－5，0，－2，＋4，－1，－1，＋3.
1.到现在为止，我们学过的数（π 除外）都是有理数．
2.有理数的分类
有理数
整数
分数
负整数
负分数
正分数
正整数
0
正有理数
负有理数
正分数
负分数
负整数
正整数
0
有理数
3.注意0的特殊性，分类时不要遗漏0．
1.2.2 数轴
1.2 有理数
℃
℃
℃
5
0
-10
请读出下面温度计所表示的温度：
在一条东西向的马路上,有一个汽车站,汽车站东3m和7.5m处分别有一棵柳树和一棵杨树,汽车站西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆,试画图表示这一情境.
3
7.5
-3
-4.8
东
西
汽车站
柳树
杨树
槐树
电线杆
0
问题1：在一条东西向的马路上，有一个汽车站牌，汽车站牌东3m和7.5m处有一棵柳树和一棵杨树，汽车站牌西3m和4.8m处分别有一棵槐树和一根电线杆，试画图表示这一情境.
数轴的概念
图中没有表示出来东西方向，那我们怎样表示出东西方向呢？
东西方向可以用前面我们学过的相反意义的量来表示.
思考:怎样简明地表示这些树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系(方向、距离)？
为了使表达更清楚，我们规定向东为正，把汽车站牌左右两边的数分别用负数和正数表示.
这样，我们就用负数、0、正数表示出了一条直线上的点.
B
问题2：观察右图的温度计，回答下列问题：(1)点A表示多少摄氏度？点B呢？点C呢？(2)温度计刻度的正负是怎样规定的?以什么为基准?(3)每摄氏度两条刻度线之间的距离有什么特点?
A
C
0
活动：把温度计平放，我们能从中发现什么？
零下
零上
分刻度
思考：你能借鉴温度计,用一条直线上的点表示有理数吗?
画一条水平直线，在直线上取一点表示0，并把这个点叫作原点.选取某一长度作为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向，就得到下面的数轴.
类比归纳
数轴的画法：
1. 画一条水平直线，定原点(如图)，原点表示0.
2. 规定从原点向右为正方向，那么相反的方向(从原点向左) 则为负方向.
3. 选择适当的长度为单位长度.



1.
0
1
-1
错
2.
4.
6.
3.
7.
5.
8.
-1
0
1
错
2
-1
-2
1
错
0
错
2
-1
1
0
2
-1
0
错
错
0
错
1
-1
0
1
1
-1
2
对
-2
原点、正方向、单位长度一个也不能少.
试一试：判断下面所画数轴是否正确，并说明理由.

(1)原点、单位长度和正方向三要素缺一不可；(2)直线一般画水平的；(3)正方向用箭头表示，一般取从左到右；(4)取单位长度应结合实际需要，但要做到刻度均匀.
画数轴注意事项：
1.下列各图表示的数轴是否正确？为什么？
√
√
×
×
0
-3 -2 -1 1 2 3
思考：
3.如何用数轴上的点来表示分数或小数，如1.5，- ? ? ……？
.
.
在数轴上表示有理数
1.观察上面数轴，哪些数在原点的左边，哪些数在原点的右边，由此你有什么发现？2.每个数到原点的距离是多少？由此你又有什么发现？
解:
1
－5
●
●
●
●
●
－2.5
0
注意: ①把点标在线上； ②把数标在点的上方，以便观看.
对给出的有理数在数轴上指出对应的点
﹒
1.5
﹒
-2
﹒
2
﹒
-2.5
﹒
﹒
﹒
0
任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.
一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a在原点的____边，与原点的距离是____个单位长度；表示数-a的点在原点的____边，与原点的距离是____个单位长度．
右
a
a
左
0
1 2
-2 -1
例2 在下面数轴上，A、B、C、D各点分别表示什么数？

D C B A
(4) D点表示-1.5
(1)A点表示2；
(2) B点表示0.25；
(3)C点表示-0.75；
解:
.
.
.
.
指出数轴上的点表示的数
3. 请写出数轴上点A、B、C、D、E所表示的数:
解：点A表示　 　 ；点Ｂ表示　 　 ；点Ｃ表示　 ；点Ｄ表示　 　 ；点Ｅ表示　 　 .
0
-2
1
2.5
-3
4. 数轴上，如果表示数的点在原点的左边，那么是一个______数；如果表示数的点在原点的右边，那么是一个_____数.
负
正
例3 从数轴上表示-1的点出发，向左移动两个单位长度到点B，则点B表示的数是 ，再向右移动5个单位长度到达点C，则点C表示的数是 .
.
解析:如图，
左移2个
右移5个
-3
2
指出数轴上的点移动后表示的数
5. 点A为数轴上表示-2的动点，当点A沿数轴移动4个单位长度到点B时，点B所表示的数为 ( ) A.2 B.-6 C.2或-6 D.不同于以上
C
分析:点A可能向左移，也可能向右移，所以需分情况讨论.
(2018•乐山)如图，在数轴上，点A表示的数为-1，点B表示的数为4，点C是点B关于点A的对称点，则点C表示的数为　 　．
解析：∵数轴上A、B两点表示的数分别为﹣1和4，点B关于点A的对称点是点C，∴AB的长度是5个单位，根据题意AB＝AC，∴AC的长度也是5个单位，也就是点A向左移动5个单位， ∵点A表示-1，∴点C表示-6.
-6
C
1. 下列说法中正确的是( ).A. 在数轴上的点表示的数不是正数就是负数B. 数轴的长度是有限的C. 一个有理数总可以在数轴上找到一个表示它的点D. 所有整数都可以用数轴上的点表示，但分数就不一定能找到表示它的点
2.与原点距离是2.5个单位长度的点所表示的有理数是( ) A．2.5 B．-2.5 C．±2.5 D．这个数无法确定3.在数轴上表示数6的点在原点_____侧，到原点的距离是_____个单位长度，表示数-8的点在原点的_____侧，到原点的距离是_____个单位长度．表示数6的点到表示数-8的点的距离是______个单位长度．4.在数轴上到表示-2的点相距8个单位长度的点表示的数为________．
C
右
6
左
8
14
-10或6
5. 如图，写出数轴上点A、B、C、D、E表示的数．
解：点A、B、C、D、E表示的数分别是 0，-2，1，2.5，-3.
画出数轴并表示下列有理数： 1.5，－2.2，－2.5， ， 　，0.
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
●
●
1.5
●
－2.2
●
－2.5
●
●
-2.2
-2.5
0
如图，已知A、B两点在数轴上，点A表示的数为﹣10，OB=3OA，点M以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点N以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动(点M、点N同时出发)(1)数轴上点B对应的数是　 　．(2)经过几秒，点M、点N分别到原点O的距离相等？
(1)∵OB=30A=30，∴B对应的数是30．(2)设经过x秒，点M、点N分别到原点O的距离相等，此时点M对应的数为 3x﹣10，点N对应的数为2x．①点M、点N在点O两侧，则10﹣3x=2x，解得x=2；②点M、点N重合，则，3x﹣10=2x，解得x=10．所以经过2秒或10秒，点M、点N分别到原点O的距离相等．
30
概念
数轴的三要素
数与形的关系
一般地，在数学中人们用画图把数“直观化”.用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴；
数轴
原点、正方向、单位长度；
对应的关系；
数学思想
数形结合的思想.
1.2.3 相反数
1.2 有理数
成语故事“南辕北辙”讲了一个人…… 如果点O表示魏国的位置，点A表示楚国的位置，假设楚国与魏国相距30 km，以魏国为原点0，我们规定向南为正方向，而此人从魏国出发向北到了点B也走了30 km，请同学们把这3个点在数轴上表示出来．
现在的位置
魏国
楚国
O
B
A
【问题】两位同学背靠背，规定向前为正，
一人向前走3步，记作 ,一人向后走3步 ，记作 .
对照数轴,说出–3与+3两数的相同点和不同点.
相反数
3
–3
活动1：观察下列一组数＋1和–1，＋2.5和–2.5，＋4 和–4，并把它们在数轴上表示出来. 思考： 1. 上述各对数之间有什么特点？ 2. 请写出一组具有上述特点的数. 3. 表示各对数的点在数轴上有什么位置关系？
探究一 相反数的概念
活动2：请观察下面这两个数，它们有什么异同点？你还能列举两个这样的数吗？
数字相同
符号不同
1.定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数.
2. 一般地，a和–a互为相反数.
指出有理数的相反数
例1 写出下列各数的相反数.9, –0.3， –2， ? ? ，
–9 0.3 2 – ? ?
1. 判断题： (1)–5是5的相反数；﹙ ﹚(2)–5是相反数；﹙ ﹚(3) – 5与 ? ? 互为相反数；﹙ ﹚(4) –5和5互为相反数；﹙ ﹚
(5)相反数等于它本身的数只有0；﹙ ﹚ (6)符号不同的两个数互为相反数.﹙ ﹚
×
√
×
√
√
×
2.结合数轴考虑：
0的相反数是_____.
一个正数的相反数是一个　　　.
一个负数的相反数是一个　　　.
负数
正数
0
思考：在数轴上，画出几组表示相反数的点，并观察 这两个点具有怎样的特征.
位于原点两侧，且与原点的距离相等.
5
–5
a
–a
探究二 相反数的几何意义
思考：数轴上到原点的距离相等的点所表示的数有什 么特点？借助数轴填一填：1.数轴上与原点距离是2的点有____个，这些点表示的 数是________；2.与原点的距离是5的点有____个，这些点表示的数是 ________.
2
–2
两
2和–2
5和–5
两
5
–5
1. 互为相反数的两个数分别位于原点的两侧(0除外)；2. 互为相反数的两个数到原点的距离相等.
3. 一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，它们分别在原点的两侧，表示a和–a，这两点关于原点对称.
相反数的意义
例2 分别写出2, – ? ? , – ? ? ,–2.5的相反数,并在数轴上标出各数及它们的相反数,说明各对数在数轴上的位置特点.
分析：在所求数的前面添上“–”号，即得原数的相反数→在数轴上表示出各数→观察各对数在数轴上的位置→结论.
解：2的相反数是–2； 的相反数是 ； 的相反数是 ;–2.5的相反数是2.5.把这些数及它们的相反数表示在数轴上为:
2和–2, 和 ， 和 ,–2.5和2.5,各对数在数轴上分别位于原点两侧,且到原点的距离相等，即在数轴上表示每对数的点关于原点对称.
求相反数的方法1. 在原数的前面加“–”号后，再进行符号化简.2. 复杂的数在求相反数前，可先进行符号化简，然后再变号.
3. 如果a=–a，那么表示a的点在数轴上的位置是在( ).A.原点左侧 B.原点右侧C.原点上或原点右侧 D.原点上
解析：a=–a表示a与它的相反数–a相等，因为只有0的相反数等于它本身.
D
多重符号的化简
问题1：a的相反数是什么？
在这个数前加一个“–”号．
问题2：如何求一个数的相反数？
a的相反数是–a ， a可表示任意有理数.
–(＋1.1)表示什么？–(–7)呢？–(–9.8)呢？
问题3：若把 a分别换成＋5，–7，0时，这些数的 相反数怎样表示？
a = +5， – a = –(+5)a = –7， – a = –(–7)a = 0， – a = 0
–1.1
7
9.8
思考：如果在一个数前面加上“＋”号所得到的结果是什么呢？
在一个数前面加上“–”号表示求这个数的相反数.
化简下列各数(先读后写).(1)–(+10) (2)+(–0.15) (3)+(+3)(4)–(–12) (5)+[–(–1.1)] (6)–[+(–7)]
例3
(6)–[+(–7)]=–(–7)=7.
由内向外依次去括号.
解：(1)–(+10)=–10；
(2)+(–0.15)=–0.15；
(3)+(+3)=3；
(4)–(–12)=12；
(5)+[–(–1.1)]=+(+1.1)=1.1；
多重符号的化简问题
“一查二定”1. 式子中含偶数个“–”号时，结果正； 含奇数个“–”号时，结果为负.2. 凡是“+”都去掉.
(1) 是____的相反数， (2) 是______的相反数， =______ ． (3) 是_______的相反数， . (4) 是_______的相反数， ．
4.填一填
＋4
–4
2.(2018•邵阳)点A在数轴上的位置如图所示，则点A表示的数的相反数是　 　．
C
–2
1.(2018•连云港)–8的相反数是(　　)A．–8 B. ? ? C．8 D．– ? ?
1．–1.6是____的相反数，____的相反数是0.3．2．下列几对数中互为相反数的一对为( )． A．+(–8)和 –(+8) B．–(+8)与+(–8) C．–(–8)与–(+8)3．5的相反数是____；a的相反数是___；
1.6
–a
–5
C
–0.3
1．若a= –13，则–a=____;若–a= –6，则a=___ ．2．若a是负数，则–a是_____数；若–a是负数,则 　 a是_____数．3. 的相反数是_____，–3x的相反数是___.
13
6
正
3x
正
4.(1)若a=3.2，则–a= ； (2)若–a= 2,则a= ； (3)若–(–a)=3，则–a= ； (4) –(a–b)= . 
–2
–3.2
–3
b–a
若2x+1是–9的相反数，求x的值.
解：由相反数的意义，得 2x+1=9 2x=8 x=4
拓展思考：已知两个有理数x、y，且x+y=0, 那么这两个有理数有什么关系？
这两个有理数互为相反数.
通过本课时的学习，需要我们掌握：
–a表示a的相反数.
概念
字母表示
只有符号不同的两个数叫做互为相反数；特别地，0的相反数是0.
在数轴上
相反数
代数意义几何意义
在数轴上在原点两侧，到原点距离相等的点表示的两个，互为相反数.
1.2.4 绝对值
1.2 有理数
两辆汽车从同一处O出发分别向东、西方向行驶10km,到达A、B两处.
B
A
10
10
(1)它们的行驶路线的方向相同吗?
(2)它们行驶路程的距离(线段OA、OB的长度)相同吗?
不相同
相同
返回
绝对值的概念及求法
甲、乙两辆出租车在一条东西走向的街道上行驶，记向东行驶的里程数为正.两辆出租车都从O地出发，甲车向东行驶10km到达A处，记作 km，乙车向西行驶10km到达B处，记做 km.
+10
-10
以O为原点，取适当的单位长度画数轴，并在数轴上标出A、B的位置，则A、B两点与原点距离分别是多少？它们的实际意义是什么？
│－５│＝５
│４│＝４
4到原点的距离是4,所以4的绝对值是4,记做|4|=4
-5到原点的距离是5,所以-5的绝对值是5,记做|-5|=5.
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作“|a|”.
0到原点的距离是0,所以0的绝对值是0,记做|0|=0.
利用数轴上点到原点的距离回答：
|5|=|3.5|= |-3|=|-4.5|=|0|=
0
1
53.534.50
试一试
绝对值的性质
|5|=5 |-10|=10 |3.5|= 3.5 |100|=100 |-3|=3 |50|=50|-4.5|=4.5 |-5000|=5000 |0|=0 …..
思考： 一个正数的绝对值是什么？ 一个负数的绝对值是什么？ 0的绝对值是什么？
观察这些表示绝对值的数，它们有什么共同点？
结论1：一个正数的绝对值是正数. 一个负数的绝对值是正数. 0的绝对值是0.
结论2：一个正数的绝对值是它本身. 一个负数的绝对值是它的相反数.
任何一个有理数的绝对值都是非负数!
|a|≥0
(1)当a是正数时，｜a｜＝____； (2)当a是负数时，｜a｜＝＿＿； (3)当a=0时，｜a｜＝＿＿＿.
a
-a
0
相反数、绝对值的联系是什么？
互为相反数的两个数的绝对值相等.
绝对值相等，符号相反的两个数互为相反数.
|-5|=5
|+5|=5
互为相反数，符号相反
绝对值相等
思考
例1 求下列各数的绝对值.
解：
|12|=12；
|-7.5|=7.5；
|0|=0.
正数的绝对值等于它本身.
负数的绝对值等于它的相反数.
0的绝对值是0.
求已知数的绝对值
12, , -7.5， 0.
|- ? ? |= ? ? ；
求一个数的绝对值的步骤
(1)一个数的绝对值是4 ，则这数是－4. 　　　　　　　 　　　　　　　　　 (2)|3|＞0.　　　　　　 (3)|－1.3|＞0.(4)有理数的绝对值一定是正数.　(5)若a＝－b，则|a|＝|b|.　　　　　　　　(6)若|a|＝|b|，则a＝b.(7)若|a|＝－a，则a必为负数.　　　　 　(8)互为相反数的两个数的绝对值相等.
1. 判断下列说法是否正确.
×
√
√
√
×
×
×
√
漏了4
0的绝对值是0
a,b也可能互为相反数，即a=-b
a也可能是0
2.求下列各数的绝对值：-18， 0，- ， 7.2， + .
(1)绝对值等于0的数是___,(2)绝对值等于5.25的正数是_____,(3)绝对值等于5.25的负数是______,(4)绝对值等于2的数是_______.
0
5.25
-5.25
2或-2
例2 填一填：
易错提醒： 注意绝对值等于某个正数的数有两个，他们互为相反数，解题时不要遗漏负值.
已知绝对值求原数
绝对值的性质(1)任何有理数都有绝对值,且只有一个.(2)由绝对值的几何定义可知,数的绝对值是两点间的距离,因此,任何一个数的绝对值都是非负数.(3)互为相反数的两个数的绝对值相等.(4)绝对值相等的两个数相等或互为相反数.
C
解析:|x|=5，即数x到原点的距离是5,而到原点的距离是5的数有5和-5，所以x的值是5和-5.
3.若|x|=5，则x的值是( ) A. 5 B. －5 C. ±5 D.
解：根据题意可知 x－4＝0，y－3＝0， 所以x＝4，y＝3，故x＋y＝7.
归纳总结： 几个非负数的和为0，则这几个数都为0.
利用绝对值求字母的值
例3 已知∣x-4∣+∣y-3∣=0,求x+y的值.
解析：一个数的绝对值总是大于或等于0，即为非负数，如果两个非负数的和为0，那么这两个数同时为0.
4. 已知｜x-6｜+｜y-3｜=0,求 的值.解:
2.(2018•湘西州)﹣2018的绝对值是_____．
A
2018
1. 判断并改错：(1)一个数的绝对值等于本身,则这个数一定是正数. ( ) ( )(2)一个数的绝对值等于它的相反数,这个数一定是负数. ( ) (3)如果两个数的绝对值相等,那么这两个数一定相等. ( ) (4)如果两个数不相等,那么这两个数的绝对值一定不等. ( ) (5)有理数的绝对值一定是非负数. ( )
0
非负数
非正数
±2
|3|=3；|3.14|=3.14； |-2.8|=2.8.
解：
化简：
-b
a-b
| 0.2 |=
| b |= (b＜0)
| a – b | = (a＞b)
0.2
2 ? ?
正式排球比赛对所用的排球重量是有严格规定的，现检查5个排球的重量，超过规定重量的克数记作正数，不足规定重量的克数记作负数，检查结果如下： 指出哪个排球的质量好一些，并用绝对值的知识加以说明.
答：第五个排球的质量好一些，因为它的绝对值最小，也就是离标准质量的克数最近.
绝对值
定义
一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值.
性质
绝对值的性质 (1)|a|≥0； (2)
左图是未来一周天气预报图，你能将这一周的每一天的最低温度按从低到高的顺序排列吗？
返回
1.通过探究得出有理数大小的比较方法.
2.能利用数轴及绝对值的知识，比较两个有理数的大小.
素养目标
借助数轴比较有理数的大小
你能将上述五个城市的最低气温按从低到高的顺序依次排列吗？
哈尔滨－20℃
北京－10℃
上海 0℃
武汉 5℃
广州10℃

<
<
<
<
请大家思考这五个数的大小与它们在数轴上的位置有什么关系?
记住了吗？
有理数大小的比较方法1——数轴比较法:
想一想
有没有最大的有理数?有没有最小的有理数?为什么?
例1 在数轴上表示数-3，-5，4，0，并比较它们的大小，将它们按从小到大的顺序用“＜”号连接.
解：
-3，-5，4，0在数轴上表示如图：
将它们按从小到大的顺序排列为：
－5 <－3 <0 <4
借助数轴比较数的大小
1. 如图，数轴上A、B、C三点表示的数分别为a、b、c，则它们的大小关系是( )A. a>b>c B. b>c>a C. c>a>b D. b>a>c
D
运用法则比较有理数的大小
结论：
(1)正数大于0，
(2)两个负数之间，绝对值大的反而小．
例如，1 ＞ 0,0 ＞ -1,1 ＞ -1，-1 ＞ -2.
负数小于0，
正数大于负数；
问题
　 对于正数、0、负数这三类数，它们之间有什么大小关系？两个负数之间如何比较大小？
例2 比较下列各数的大小.
解：先化简，－(－3)＝3， －(＋2)＝－2，因为正数大于负数，所以3＞－2，即－(－3)＞－(＋2).
(1)－(－3)和－(＋2)；
异号两数比较要考虑它们的正负.
利用比较有理数大小的法则比较有理数大小
解：两个负数做比较，先求它们的绝对值.
同号两数比较要考虑它们的绝对值.
两负数相比较，绝对值大的反而小.
解：先化简
这类题目的解题方法你掌握了吗？
2.下列判断，正确的是( ) A．若a＞b，则│a│＞│b│ B．若│a│＞│b│，则a＞b C．若a＜b＜0，则│a│＜│b│ D．若a＞b＞0，则│a│＞│b│
D
×
如a=1,b=-2
×
如a=-3,b=2
×
如a=-3,b=-2
√
(2018·山西)下面有理数比较大小,正确的是(　　) A. 0<-2　　 B. -5<3 C. -2<-3 D. 1<-4
解析：根据法则,分类比较:(1)正数都大于零,负数都小于零,正数大于一切负数;(2)两个正数,绝对值大的数就大;(3)两个负数,绝对值大的反而小.
B
　2. 比较下面各对数的大小：
>
＜
>
B
1. 在有理数0，│-(-3 )│，-│+1000│，-(-5)中最大的数是( ). A．0 B．-(-5) C．-│+1000│ D．│-(-3 )│
＜
3. 将下列这些数用“＜”连接.
0，－3，|5|，－(－4)，－|－5|.
解：－|－5|＜ －3 ＜0＜ －(－4)＜|5|.
下表记录了今年一月某日部分城市的最高气温：
(1)在数轴上表示这些城市最高气温的值；(2)用“＜”连接这些城市的最高气温．

解析：(1) 画出数轴，然后根据数轴表示数的方法画出－5，2，－3，－1，4所表示的点；(2) 根据“数轴上左边的点表示的数比右边的点表示的数要小”可得到它们的大小关系．
如果a是有理数，试比较|a|与－2a的大小．
分析：由于不能确定a的正负，所以需分类讨论.
解：当a＞0时，|a|>0，－2a＜0，所以|a|>－2a；
当a=0时，|a|=0，－2a=0，所以|a|=－2a；
当a＜0时，－2a＞0，|a|=－a，因为－2a＞－a，所以|a|＜－2a.
有理数大小的比较
方法1
数轴上表示的两个数，右边的总比左边的大．
方法2
正数大于0，0大于负数，正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小．
1.3 有理数的加减法1.3.1 有理数的加法
我是火炬手
+1
–1
(+1) +(–1)＝
0
动物王国举办奥运会，蚂蚁当火炬手，它第一次从数轴上的原点向正方向跑一个单位，接着向负方向跑一个单位．蚂蚁经过两次运动后在哪里？如何列算式？
有理数的加法法则
一只可爱的小狗，在一条东西走向的笔直公路上行走，现规定向东为正，向西为负.

如果小狗先向东行走2米，再继续向东行走1米，则小狗两次一共向哪个方向行走了多少米？
东
解：小狗一共向东行走了（2+1）米，写成算式为：
（+2）+（+1）= +（2+1）（米）
如果小狗先向西行走2米，再继续向西行走1米，则小狗两次一共向哪个方向行走了多少米？
东
解：两次行走后，小狗向西走了（2+1）米.用算式表示：
（– 2）+（– 1）= –（2 + 1）（米）
你从上面两个式子中发现了什么？
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
有理数加法法则一：
比一比
如果小狗先向西行走3米，再继续向东行走2米，则小狗两次一共向哪个方向行走了多少米？
东
小狗两次一共向西走了（3–2）米.用算式表示为：
–3+（+2）= –（3–2）（米）
想一想
如果小狗先向西行走2米，再继续向东行走3米，则小狗两次一共向哪个方向行走了多少米？
东
小狗两次一共向东走了（3–2）米.用算式表示为：
–2+（+3）=+（3–2）（米）
想一想
如果小狗先向西行走2米，再继续向东行走2米，则小狗两次一共向哪个方向行走了多少米？
东
（–2）+（+2）= 0（米）
解：小狗一共行走了0米.写成算式为：
想一想

–2 + (+3) = +（3–2） –3 + (+2）= –（3–2） –2 + (+2）= （2–2）
加数异号
加数的绝对值不相等
你从上面三个式子中发现了什么？
比一比
有理数加法法则二：
异号两数相加，绝对值相等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.
如果小狗先向西行走3米，然后在原地休息，则小狗向哪个方向行走了多少米？
东
小狗向西行走了3米.写成算式为：
（–3）+0= –3（米）
有理数加法法则三：
一个数同0相加，仍得这个数.
想一想
–3
有理数加法法则
1.同号两数相加，结果取相同符号，并把绝对值相加．2.绝对值不相等的异号两数相加，结果取绝对值较大的加数的符号，并将较大的绝对值减较小的绝对值．互为相反数的两个数相加得0．3.一个数同0相加，仍得这个数．
例1 计算：（1）（–4）＋（–8）； （2）（–5）＋13；（3）0＋（–7）； （4）（–4.7）＋4.7．
解： （1）（–4）＋（–8）＝–（4＋8）＝–12 （2）（–5）＋13＝＋（13–5）＝8 （3）0＋（–7）＝–7 （4）（–4.7）＋3.9＝–（4.7–3.9）＝–0.8
利用有理数的加法法则进行运算
通过有理数加法法则的学习，同学们，你们认为如何进行有理数加法运算呢？
方法总结：1.先判断类型（同号、异号等）；2.再确定和的符号；3.最后进行绝对值的加减运算.
例2 已知│a│= 8，│b│= 2； （1）当a、b同号时，求a+b的值；（2）当a、b异号时，求a+b的值.
分析：先根据的a、b符号，分类讨论，再计算a+b的值
解：因为│a│= 8，│b│= 2，所以a= ±8，b= ±2.
（1）因为a、b同号，所以a= 8，b= 2或a= –8，b= –2.
所以a+b= 8+2=10，或a+b= – 8+（–2）= –10.
需要分类讨论的有理数加法
（2）因为a、b异号，所以a= 8，b=– 2或a= –8，b= 2.
所以a+b= 8+（–2）=6，或a+b=– 8+2=–6.
2.若|x–3|与|y＋2|互为相反数，求x＋y的值．
解：由题意得|x–3|+|y＋2|=0，又|x–3|≥0，|y＋2|≥0， 所以x–3= 0，y＋2=0，所以x=3 ，y= –2.
所以x＋y=3–2=1.
例3 足球循环赛中，红队胜黄队4:1，黄队胜蓝队1:0，蓝队胜红队1:0，计算各队的净胜球数.
分析：
有理数加法的应用
解：每个队的进球总数记为正数，失球总数记为负数，这两数的和为这队的净胜球数. 三场比赛中，红队共进4球，失2球，净胜球数为（＋4）＋（–2）＝＋（4–2）＝2 黄队共进2球，失4球，净胜球为（＋2）＋（–4）＝–（4–2）＝–2 篮球共进（ ）球，失（ ）球，净胜球数为
1
1
（＋1）＋（–1）＝0
3.海平面的高度为0m.一艘潜艇从海平面先下潜40m,再上升15m.求现在这艘潜艇相对于海平面的位置.（上升为正，下潜为负）
解：潜水艇下潜40m,记作–40m;上升 15m,记作+15m.根据题意，得（–40）+（+15）= –（40–25）=–15（m)答：现在这艘潜艇位于海平面下15m处.
–50m
–30m
–20m
海平面
–10m
0m
–40m
1.（2018•自贡）计算–3+1的结果是（　　）A．–2 B．–4 C．4 D．2
2.（2018•德州）计算：|–2+3|= 　．
解析：|–2+3|=1.
解析：–3+1= –2.
A
1
1.（2018•柳州）计算：0+（–2）=（　　）A．–2 B．2 C．0 D．–202.在1，–1，–2这三个数中，任意两数之和的最大值是（ ） A.1 B.0 C.–1 D.3
A
B
A. a+c＜0 B. b+c＜0 C. –b+a＜0 D.–a+b+c＜0
3.已知有理数a,b,c在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是（ ）
A.1 B.–5 C.–5或–1 D.5或1
4.若│x│= 3，│y│= 2，且x>y，则x+y的值为（ ）
C
D
(1)(–0.6)+(–2.7)；   (2)3.7+(–8.4)； (3)3.22+1.78； (4)7+(–3.3). 
5.计算：
答案：(1)–3.3 (2)–4.7 (3)5 (4)3.7
解：中午的气温为–25+11= –14（℃）， 夜间的气温为–14+（–13）= –27（℃）
某城市一天早晨的气温是–25℃，中午上升了11℃，夜间又下降了13℃，那么这天中午、夜间的气温分别是多少？
在某次抗洪抢险中,武警战士的冲锋舟沿东西方向的河流抢救灾民.早晨从A地出发，晚上到达B地.规定向东为正方向，出发地A记为0，当天航行记录如下(单位：千米)：14,–9，18,–7，13,–6,10,–5.问B地在A地什么位置？ 解:14+(–9)+18+(–7)+13+(–6)+10+(–5)=28(千米). 答：B地在A地正东28千米处.
相同符号
取绝对值较大的加数的符号
相加
相减
结果是0
仍是这个数
有理数的加法法则
为了防止水土流失，保护环境，某县从2013年起开始实施植树造林，其中2013年完成786亩，2014年完成957亩，2015年完成1214亩，2016年完成1543亩.
问题：该县从2013年到2016年一共完成植树造林多少亩？看谁算得又对又快!
例1 计算：16+（–25）+24+（–35）
解： 16+（–25）+24+（–35）
＝16+24+［（–25）+ （–35）］
＝40+（–60）＝–20
怎样使计算简化的?这样做的根据是什么?
利用加法运算律进行简便运算
把正数与负数分别相加,从而计算简化,这样做既运用加法交换律，又运用加法的结合律.
3
﹢
–5
﹦
＿＿
–2
–5
3
﹢
﹦
＿＿
–2
填一填
思考：(1)比较以上各组两个算式的结果,每组两个算式有什么特征？(2)小学学的加法交换律在有理数的加法中还适用吗？
13
﹢
–9
﹦
＿＿
4
–9
13
﹢
﹦
＿＿
4
(2)
加法运算律
(1)
3
–5
﹢
﹦
＿＿
)
–7
–9
(
﹢
3
–5
﹢
﹢
﹦
＿＿
–7
–9
(
)
(3)
8
–4
﹢
﹦
＿＿
)
–6
–2
(
﹢
8
–4
﹢
﹢
﹦
＿＿
–6
–2
(
)
(4)
思考：(1)请用精炼的语言把你得到的结论概括出来． (2)你能用字母把这个规律表示出来吗？
(a+b)+c=a+(b+c)
a+b=b+a
1.加法交换律：在有理数加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．
2.加法结合律：在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．
用字母表示为：
用字母表示为：
（1）(–2.48)+4.33+(–7.52)+(–4.33)
例2 计算
解:原式=[(–2.48)+(–7.52)]+[(+4.33)+(–4.33)]
=(–10)+0=–10
（2）
回顾以上例题的解答，思考：将怎样的加数结合在一起，可使运算简便？
1. 一般地，总是先把正数或负数分别结合在一起相加；2. 有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整；3. 有分母相同的，可先把分母相同的数结合相加.
1.计算：(1)(–83)+(+26)+(–17)+(–26)+(+15). (2) (3)(+12 )+(–27 ).
解：(1)(–83)+(+26)+(–17)+(–26)+(+15) =［(–83)+(–17)］+［(+26)+(–26)］+15 =(–100)+15= –85.
(2)4.1+(+ )+(– )+(–10.1)+7=［4.1+(–10.1)+7］+［(+ )+(– )］=1+ =1 .
例3 每袋小麦的标准重量为90千克，10袋小麦称重记录如图所示，与标准重量比较，10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克？10袋小麦的总重量是多少？
zxxkw
有理数加法运算律的应用
解法1：先计算10袋小麦的总重量：
91+91+91.5+89+91.2+91.3+88.7+88.8+91.8+91.1＝905.4
再计算总计超过多少千克？
905.4 –90×10＝5.4
答：10袋小麦总计超过标准重量5.4千克，总重量是905.4千克.
解法2：每袋小麦超过标准重量的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，10袋小麦对应的数为+1，+1，+1.5，–1，+1.2，+1.3，–1.3，–1.2，+1.8，+1.1
1+1+1.5+(–1)+1.2+1.3+(–1.3)+(–1.2)+1.8+1.1
＝[1+(–1)]+[1.2+(–1.2)]+[1.3+(–1.3)]+(1+1.5+1.8+1.1)＝5.4
90×10+5.4＝905.4
答：10袋小麦总计超过标准重量5.4千克，总重量是905.4千克.
2.某一出租车一天下午以文化中心为出发地在东西方向营运，向东走为正，向西走为负，行车里程(单位：km)依先后次序记录如下： ＋9,–3,–5,＋4,–8,＋6,–3,–6,–4,＋10.(1)将最后一名乘客送到目的地时出租车离出发地多远？在出发地的什么方向上？(2)若每千米的价格为2.4元，司机一个下午的营业额是多少？
解：(1) 9＋(–3)＋(–5)＋(＋4)＋(–8)＋(＋6)＋(–3)＋(–6)＋(–4)＋(＋10) ＝9＋10＋(–3)＋(–5)＋(–8)＋(–3)＋6+(–6)＋4＋(–4) ＝19+(–19)=0 （千米） 即又回到了出发地．（2）|＋9|＋|–3|＋|–5|＋|＋4|＋|–8|＋|＋6|＋|–3|＋|–6|＋|–4|＋|＋10| =9+3+5+4+8+6+3+6+4+10=58(千米） 所以，营业额为58×2.4＝139.2(元)．
(2018·湖北武汉)温度由–4 ℃上升7 ℃是 (　　) A. 3 ℃ B. –3 ℃ C. 11 ℃ D. –11 ℃
A
1.计算：（1）23+（–17）+6+（–22）
＝（23+6）+[（–17）+（–22）]
＝ 29–39
＝ –10
＝（3+1+2）+[（–2）+（–3）+（–4）]
＝ 6–9
＝ –3
（2）（–2）+3+1+（–3）+2+（–4）
2.计算：
= –2
= 2 3
上周五股民新民买进某公司股票1 000股，每股35元，下表为本周内每日股票的涨跌情况(单位：元)：
则在星期五收盘时，每股的价格是多少？
解:根据题意得 35+(+4)+(+4.5)+(–1)+(–2.5)+(–6)=34(元)
答：每股的价格是34元.
10筐苹果，以每筐30千克为基准，超过的千克数记作正数，不足的千克数记作负数，记录如下：2， –4， 2.5， 3， –0.5, 1.5, 3， –1, 0， –2.5. 问这10筐苹果总共重多少千克？
=8+(–4)
解:根据题意得： 2+(–4)+2.5+3+(–0.5)+1.5+3+(–1)+0+(–2.5)
=(2+3+3)+(–4)+[2.5+(–2.5)]+[(–0.5)+(–1)+1.5]
=4
所以这10筐苹果总重量为：30×10+4=304（千克）
加法运算律
加法的交换律：a+b=b+a
加法的结合律：a+b+c=（a+b）+c=a+(b+c) .
简化运算
1.3 有理数的加减法1.3.2 有理数的减法
你听说过国家级森林公园抱犊崮吗？
已知抱犊崮某日山下温度为5 ℃，山上温度为–5 ℃，你能列式表示出山上温度与山下温度的温差吗？
问题1：你能从温度计上看出5℃比–5℃高多少摄氏度吗？用式子如何表示？问题2： 5+(+5) = ？结论：由上面两个式子我们不难得出：
有理数的减法法则
5–(–5)=10
5–(–5) = 5+(+5)
问题3：用上面的方法考虑：　 0–(–3)=___，0+(+3)=___； 　 1–(–3)=___，1+(+3)=____；　 –5–(–3)=___，–5+(+3)=___．问题4：计算 9–8=___； 9+(–8)=____； 15 –7=___； 15+(–7)=____．
3
–2
4
–2
4
1
1
8
8
思考：这些数减−3的结果与它们加+3的结果相同吗？
3
有理数减法法则
减去一个数，等于加上这个数的相反数.
表达式为: a – b=a + (–b)
减号变加号
减数变其相反数
被减数不变
通过上面的探究可得结论
(1)(–3)–(–5); (2)0–7; (3)7.2–(–4.8).
解：(1) (–3)–(–5)= (–3)+5=2
例1 计算:
(2) 0–7 = 0+(–7) = –7
(3) 7.2–(–4.8) = 7.2+4.8 = 12
有理数的减法运算
1.填空：（1）–4–（–3.2）= –4+ = ； （2）（–35）–（+12）= . 2.计算(口答)： (1)6–9； (2)(+4)–(–7)； (3)(–5)–(–8) ； (4)(–4)–9； (5)0–(–5)；   (6)0–5．
3.2
–0.8
–47
–3
11
3
–13
5
–5
例2 已知│a│= 5，│b│= 3，且a>0，b<0，则a–b= .
解析：由│a│= 5，│b│= 3，得a=± 5，b= ±3.又因为a>0，b<0，所以a= 5，b= –3.所以a–b=5–（–3）=5+3=8.
8
有理数的减法的分类讨论题
3．若x是2的相反数，|y|＝3，则x–y的值是(　　)A．–5 B．1C．–1或5 D．1或–5
解析：∵x是2的相反数，∴x=–2.∵|y|＝3，∴y=±3，当y=3时，x–y=–2–3=–2+(–3)=–5；当y=–3时，x–y=–2–(–3)=–2+3=1，故选D.
D
zxxkw
有理数减法的应用
例3 世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰，其海拔高度是 8844 米，吐鲁番盆地的海拔高度是–155 米，两处高度相差多少米？
解：8844 –（–155） =8844+155 =8999（米）答：两处高度相差8999米.
4.以地面为基准，A处高+2.5 m，B处高–17.8 m，C处高–32.4 m.问：(1)A处比B处高多少?(2)B处和C处哪个地方高?高多少?(3)A处和C处哪个地方低?低多少?
解：(1)(+2.5)–(–17.8)=2.5+17.8=20.3(m).(2)B处高，(–17.8)–(–32.4)=–17.8+32.4=14.6(m).(3)C处低，(+2.5)–(–32.4)=2.5+32.4=34.9(m).
例4 某日哈尔滨、长春等五个城市的最高气温与最低气温记录如下表． 哪个城市的温差最大？哪个城市的温差最小？
解析：温差即最高气温与最低气温的差．首先要根据题意列式，利用法则求解，最后比较大小．解：2–(–12)＝2＋(＋12)＝14(℃)， 3–(–10)＝3＋(＋10)＝13(℃)， 3–(–8)＝3＋(＋8)＝11(℃)， 12–2＝10(℃)， 6–(–2)＝6＋(＋2)＝8(℃)． 故五个城市中哈尔滨的温差最大，为14 ℃；大连的温差最小，为8 ℃.
5. 小明家蔬菜大棚内的气温是24℃，此时棚外的气温是–13℃.棚内气温比棚外气温高多少摄氏度？
解：24–（–13）=24+13=37（℃）
答：棚内气温比棚外高37℃.
1.（2018•呼和浩特）–3–（–2）的值是（　　）A．–1 B．1 C．5 D．–5
2.（2018•台州）比–1小2的数是（　　）A．3 B．1 C．–2 D．–3
解析：–1–2= –3.
解析：–3–（–2）= –3+2= –1．
A
D
（1）（+7） –（–4） ; （2）（–0.45）–（–0.55） ;（3） 0–（–9）； （4）（–4）– 0 ；（5）（–5）–（＋３）.
1．计算：
答案：（1）11；（2）0.1；（3）9；（4）–4；（5）–8.
2．填空：
（1）温度4℃比–6℃高________℃ ； （2）温度–7℃比–2℃低_________℃ ； （3）海拔高度–13m比–200m高_______m； （4）从海拔20m到–40m，下降了______m.
10
5
187
60
3.判断并说明理由.（1）在有理数的加法中，两数的和一定比加数大.（ ）（2）两个数相减，被减数一定比减数大.（ ）（3）两数之差一定小于被减数.（ ）（4）0减去任何数，差都为负数.（ ）（5）较大的数减去较小的数，差一定是正数.（ ）
√
×
×
×
×
也可能小于加数或等于加数，例如–2+（–3）=–5，–3+0=–3.
也可能小于减数或相等，例如–4–10；6–6.
也可能大于被减数或相等，例如–4–（–10）=6；6–0=6.
也可能是正数或0，例如0–0=0，0–（–2）=2.
某次法律知识竞赛中规定：抢答题答对一题得20分，答错一题扣10分，问答对一题与答错一题得分相差多少分？
已知|x|＝3，|y|＝5，且|x–y|＝|x|＋|y|，求x＋y和x–y的值．
解：∵|x–y|＝|x|＋|y|，∴x与y异号或x，y中至少有一个为0，又|x|＝3，|y|＝5，∴x＝3时，y＝–5，x＝–3时，y＝5.当x＝3，y＝–5时，x＋y＝3＋(–5)＝–2，x–y＝3–(–5)＝8；当x＝–3，y＝5时，x＋y＝–3＋5＝2，x–y＝–3–5＝–8.
变成相反数
不变
减号变加号
减去一个数，等于加上这个数的相反数．
一口深3.5米的深井，一只青蛙从井底沿井壁往上爬，第一次爬了0.7米又下滑了0.1米，第二次往上爬了0.42米又下滑了0.15米，第三次往上爬了1.25米又下滑了0.2米，第四次往上爬了0.75米又下滑了0.1米，第五次往上爬了0.65米. 问题：小青蛙爬出井了吗？
例题 计算： (–20)+(+3)–(–5)–(+7)
（–20）+（+3）+（+5）+（–7）
有理数的加减混合运算
这个算式中有加法，也有减法.可以根据有理数减法法则，把它改写为
分析：
解：
要点归纳：引入相反数后，加减混合运算可以统一为加法运算：
算式 是 , , , 这四个数的和. 为书写简单，省略算式中的括号和加号写为（ ） 我们可以读作 的和，或读作 加 加 减 .
3
–20+3+5–7
负20、 正3、正5、负7
负20 3 5 7
–7
5
–20
(1)(–40)–(＋27)＋19–24–(–32)
练一练
把下列算式改写为省略括号和加号的形式：
(2)(–9)–(–2)＋(–3)–4
＝–40–27＋19–24＋32
＝–9 ＋ 2 – 3–4
规律：数字前“–”号是奇数个取“–”； 数字前“–”号是偶数个取“＋”．
例1 计算：(–2)＋(+30)–(–15)–(＋27)
解:原式＝(–2)＋(＋30)＋(＋15)＋(–27)
＝[(–2)＋(–27)]＋[(＋30)＋(＋15)]
＝(–29)＋(＋45)
＝16
减法转化成加法
按有理数加法法则计算
方法一：减法变加法
有理数加减的混合运算
解:原式＝–2+30+15–27
＝–2–27+30+15
＝–2+(–27)+45
＝–29+45
省略括号
运用加法交换律使同号两数分别相加
按有理数加法法则计算
＝–(29–45)
＝16
方法二：去括号法
探究新知
有理数加减混合运算的步骤：
（1）将减法转化为加法运算；（2）省略加号和括号；（3）运用加法交换律和结合律，将同号两数相加；（4）按有理数加法法则计算．
探究新知
解：(1)原式
(2)原式
加减混合运算的应用
例2
2017年中国空军在南海进行了军事演习，一架飞机作特技表演，起飞后的高度变化如下表： 此时飞机比起飞点高了多少千米?
解：4.5＋(–3.2)＋1.1＋(–1.4)
=(4.5＋1.1)＋[(–3.2)＋（–1.4)]
=5.6＋(–4.6)=1(千米)
答：此时飞机比起飞点高了1千米.
探究新知
2. 红新中学一超市一星期内收入和支出情况如下：+853.5元，+237.2元，–325元，+138.5元，–280元，–520元，+103元.这一星期内该超市是盈利还是亏损？盈利或亏损多少元？
解：根据题意得： (+853.5)+(+237.2)+(–325)+(+138.5)+(–280)+(–520)+(+103) = 853.5+237.2–325+138.5–280–520+103 = 853.5+237.2+138.5+103–(325+280+520) = 1332.2–1125=207.2(元).答：这一星期内该超市盈利207.2元.
例3 动物园在检验成年麦哲伦企鹅的身体状况时，最重要的一项工作就是称体重.已知某动物园对6只成年麦哲伦企鹅进行体重检测，以4kg为标准，超过或者不足的千克数分别用正数、负数表示，称重记录如下表所示，求这6只企鹅的总体重.
探究新知
解：(–0.08)+(+0.09)+(+0.05)+(–0.05)+(+0.08)+(+0.06) =[(–0.08)+(+0.08)]+[(–0.5)+0.5]+(0.09+0.06) =0.15(kg) 4×6+0.15=24.15(kg).答：这6只企鹅的总体重为24.15kg.
3.下表为某公司股票在本周内每日的涨跌情况(单位：元)：
计算这一周内该公司股票总数的变化是上涨还是下跌，上涨或下跌的值是多少元？
解：1.25＋(–1.05)＋(–0.25)＋(–1.55)＋(＋1.3) ＝–0.3，∴下跌，本周内该公司股票下跌了0.3元.
1.（2018•新疆）某市某一天的最高气温为2℃，最低气温为–8℃，则这天的最高气温比最低气温高（　　）A．10℃ B．6℃ C．–6℃ D．–10℃
2.（2018•玉林）计算：6 –（3–5）=　　．
A
8
D
1.下列交换加数的位置的变形中，正确的是（ ）A. 1–4+5–4=1–4+4–5B. C. 1–2+3–4=2–1+4–3D. 4.5–1.7–2.5+1=4.5–2.5+1–1.7
–50
18
3.–4,–5,+7这三个数的和比这三个数的绝对值的和小________.4.计算1–2+3–4+5+ …+99–100=________.
2.若a= –2，b=3，c= –4 ，则a–(b–c)的值为 .
–9
计算：(–7)–(+5)+(–4)–(–10).
解:(–7)–(+5)+(–4)–(–10) =(–7)+(–5)+(–4)+10 =(–16)+10 = –6.
某水利勘察队，第一天向上游走了 千米，第二天又向上游走了 千米，第三天向下游走了4.5千米，第四天又向下游走了 千米，试求第四天勘察队在出发点的什么位置？ 解:设向上游为正，则向下游为负，根据题意得 即第四天勘察队在出发点的上游 千米处.
有理数加减法混合运算的步骤为：方法一：减法转化成加法1.减法变加法：a+b–c=a+b+(–c)2.运用加法交换律使同号两数分别相加；3.按有理数加法法则计算.方法二：省略括号法1.省略括号；2.同号放一起；3.进行加减运算.
1.4 有理数的乘除法1.4.1 有理数的乘法
甲水库的水位每天升高3厘米，乙水库的水位每天下降3厘米，4天后，甲、乙水库水位的总变化量各是多少？
甲水库
第一天
乙水库
第二天
第三天
第四天
第一天
第二天
第三天
第四天
如图,一只蜗牛沿直线 l爬行，它现在的位置在l上的点Ｏ．
l
1.如果一只蜗牛向右爬行2cm记为+2cm，那么向左爬行2cm应该记为 .
2.如果3分钟以后记为+3分钟，那么3分钟以前应该记为 .
–2cm
–3分钟
有理数的乘法法则
1.如果蜗牛一直以每分2cm的速度向右爬行，3分后它在什么位置？2.如果蜗牛一直以每分2cm的速度向左爬行，3分后它在什么位置？3.如果蜗牛一直以每分2cm的速度向右爬行，3分前它在什么位置？4.如果蜗牛一直以每分2cm的速度向左爬行，3分前它在什么位置？5.原地不动或运动了零次，结果是什么？
思考
2
0
2
6
4
l
结果：3分钟后在l上点O 边 cm处.
表示： .
右
6
（+2）×（+3）= 6
如果蜗牛一直以每分钟2cm的速度向右爬行，3分钟后它在什么位置？
如果蜗牛一直以每分钟2cm的速度向左爬行，3分钟后它在什么位置？
–6
–4
0
–2
2
l
结果：3分钟后在l上点Ｏ 边 cm处.
左
6
表示： .
（–2）×（+3）＝
–6
如果蜗牛一直以每分钟2cm的速度向右爬行，3分钟前它在什么位置？
2
–6
–4
0
–2
2
l
结果：3分钟前在l上点Ｏ 边 cm处.
表示： .
（+2）×（–3）＝
–6
左
6
如果蜗牛一直以每分钟2cm的速度向左爬行，3分钟前它在什么位置？
2
0
2
6
4
–2
l
结果：3钟分前在l上点Ｏ 边 cm处.
右
6
表示： .
（–2）×（–3）＝　　　　　　　　
＋6
答：结果都是仍在原处，即结果都是 ， 若用式子表达：　
原地不动或运动了零次，结果是什么？
0×3=0；0×(–3)=0；2×0=0；(–2)×0=0．
0
Ｏ
1.正数乘正数积为＿＿数;负数乘负数积为＿＿数;2.负数乘正数积为＿＿数;正数乘负数积为＿＿数;3.乘积的绝对值等于各乘数绝对值的＿＿;
正
正
负
负
积
(同号得正)
(异号得负)
4.零与任何数相乘或任何数与零相乘结果是 .
零
根据上面结果可知：
（＋2）×（＋3）＝＋6　 （–2）×（–3）＝＋6（–2）×（＋3）＝–6　 （＋2）×（–3）＝–6 2×0＝0 （ –2 ） ×0＝0
有理数乘法法则
1.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.
2.任何数同0相乘，都得0.
讨论:(1)若a＜0,b＞0,则ab 0 ;(2)若a＜0,b＜0,则ab 0 ;(3)若ab＞0,则a、b应满足什么条件？(4)若ab＜0,则a、b应满足什么条件？
＜
＞
a、b同号
a、b异号
例1 计算： (1)9×6 ； (2)(−9)×6 ；
解：(1) 9×6 (2) (−9)×6 = +(9×6) = −(9×6) = 54 ; = − 54;
(3) 3×（–4） (4)（–3）×（–4）
= 12;
有理数乘法的求解步骤:
先确定积的符号
再确定积的绝对值
(3)3 ×（–4）； (4)（–3）×（–4）
= −（3 ×4） = +（3×4）
= −12;
两个数相乘的乘法法则的应用
1．填写下表：
–
–
+
+
–35
+90
+180
–100
35
90
180
100
下列各式的积是正的还是负的？
1. 2×3×4×（–5）　　　　2. 2×3×（–4）×（–5）3. 2×(–3)×(–4)×(–5)4. (–2)×(–3)×(–4)×(–5)5. 7.8×(–8.1)×0×(–19.6)　　　
负
正
负
正
零
思考：几个有理数相乘，因数都不为 0 时，积的符号怎样确定？ 有一因数为 0 时，积是多少？
多个数相乘的符号法则

几个不等于零的数相乘，积的符号由_____________决定.当负因数有_____个时，积为负；当负因数有_____个时，积为正.
几个数相乘,如果其中有因数为0，_________.
负因数的个数
奇数
偶数
积等于0
｝
奇负偶正
例2 计算：
解：(1)原式
(2)原式
多个数相乘的符号法则的应用
有理数乘法的求解步骤:
先确定积的符号；
再确定积的绝对值.
2. 计算： (1) (−4)×5×(−0.25)； (2)
解： (−4)×5 ×(−0.25) ＝[−(4×5)]×(−0.25)
＝＋(20×0.25)
＝5.
＝(−20)×(−0.25)
连续两次使用乘法法则，计算起来比较麻烦。
＝−1 .
 解题后的反思
如果我们把乘法法则推广到三个有理数相乘，只“一次性地”先定号再绝对值相乘即可.
计算并观察结果有何特点？（1） ×2；　　　（2）(–0.25)×(–4)
要点:有理数中，乘积是1的两个数互为倒数.
思考：数a(a≠0)的倒数是什么?
(a≠0时,a的倒数是 )
倒数
互为倒数与互为相反数的区别
相同
积为1
没有倒数
a +（–a）=0
相异
和为0
相反数是自己
3.说出下列各数的倒数：1， –1， ， ， 5， –5， 0.75，
1，
–1，
3，
–3，
巩固练习
2.（2018•吉林）计算（–1）×（–2）的结果是（　　）A．2 B．1 C．–2 D．–3
1.（2018•天门）8的倒数是（　　）A．–8 B．8 C．– ? ? D． ? ?
D
A
B
D
1.（2018•宿迁）2的倒数是（　 ）A．2 B． ? ? C．– ? ? D．–2
2.（2018•遂宁）–2×（–5）的值是（　　）A．–7 B．7 C．–10 D．10
3.若a、b互为相反数，若x、y互为倒数，则a–xy+b= .4.相反数等于它本身的数是 ；倒数等于它本身的数是 ；绝对值等于它本身的数是 .
–1
0
1，–1
非负数
计算：
（2）
（3）
（1）
气象观测统计资料表明，在一般情况下，高度每上升1km,气温下降6℃.已知甲地现在地面气温为21℃，求甲地上空9km处的气温大约是多少？
解：（–6）×9= – 54（℃）； 21+（–54）= –33（℃）.答：甲地上空9km处的气温大约为–33℃.
1.有理数乘法法则:
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0.
2.几个不是零的数相乘，负因数的个数为
奇数时，积为负数；偶数时，积为正数.
1.有理数的乘法法则是什么？
3.小学时候大家学过乘法的哪些运算律？
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数和零相乘，都得0 .
乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律
2.如何进行多个有理数的乘法运算？
（1）定号（奇负偶正）；（2）算值（积的绝对值）.
第一组：
2. (3×4)×0.25＝ 3×(4×0.25)＝
3. 2×(3＋4)＝ 2×3＋2×4＝
1. 2×3＝ 3×2＝
思考：上面每小组运算分别体现了什么运算律？
2×3 3×2
(3×4)×0.25 3×(4×0.25)
2×(3＋4) 2×3＋2×4
6
6
3
3
14
14
＝
＝
＝
有理数乘法的运算律
5×(–4) ＝
15–35＝
第二组：
2. [3×(–4)]×(– 5)＝ 3×[(–4)×(–5)]＝
3. 5×[3＋(–7 )]＝ 5×3＋5×(–7 )＝
1. 5×(–6) ＝ (–6 )×5＝
–30
–30
60
60
–20
–20
5× (–6) (–6) ×5
[3×(–4)]×(– 5) 3×[(–4)×(–5)]
5×[3＋(–7 )] 5×3＋5×(–7 )
＝
＝
＝
(–12)×(–5) ＝
3×20＝
1.第一组式子中数的范围是 ________;2.第二组式子中数的范围是 ________; 3.比较第一组和第二组中的算式,可以发现 ________________________________.
正数
有理数
各运算律在有理数范围内仍然适用
两个数相乘,交换两个因数的位置,积相等.
ab＝ba
三个数相乘,先把前两个数相乘,或先把后两个数相乘,积相等.
(ab)c ＝ a(bc)
1.乘法交换律:
2.乘法结合律:
注意:用字母表示乘数时，“×”号可以写成“·”或省略，如a×b可以写成a·b或ab.
一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加.
3.乘法分配律：
a(b＋c)
ab＋ac
＝
根据乘法交换律和结合律可以推出： 三个以上有理数相乘,可以任意交换因数的位置,也可先把其中的几个数相乘.
根据分配律可以推出： 一个数同几个数的和相乘,等于把这个数分别同这几个数相乘,再把积相加.
a(b＋c＋d )＝ab＋ac＋ad
例1 计算：（–85）×（–25）×（–4）
解：原式＝（–85）×［（–25）×（–4）］
＝（–85）×100＝–8500
利用乘法运算律进行简便运算
1.计算： (–8)×(–12)×(–0.125)×(– ? ? )×(–0.1)
=1×4×(–0.1)
= –0.4
( ? ? ＋ ? ? – ? ? )×12
例2　用两种方法计算
解法1:
( ? ?? + ? ?? – ? ?? )×12
原式＝
＝– ? ?? ×12
＝–1
解法2:
原式＝
 
＝3＋2–6
＝–1
利用乘法分配律进行简便运算
①(– ? ? )×(8– ? ? –4)
②(–11)×(– ? ? )＋(–11)×2 ? ? ＋(–11)×(– ? ? )
2.计算：
①– ?? ? ；
②–22
如何计算 71 ×（–9）？
（2018•大庆）已知两个有理数a，b，如果ab＜0且a+b＞0，那么（　　）A．a＞0，b＞0 B．a＜0，b＞0 C．a、b同号 D．a、b异号，且正数的绝对值较大
解析：∵ab＜0，∴a，b异号，∵a+b＞0，∴正数的绝对值较大.
D
1.计算(–2)×(3– )，用乘法分配律计算过程正确的是( ) A.(–2)×3+(–2)×(– )
B.(–2)×3–(–2)×(– )
C.2×3–(–2)×(– )
D.(–2)×3+2×(– )
A
2.计算:（1）（2） ；（3）
答案:（1）4.97 （2）25 （3）–6
计算:
解：
现定义两种运算：“⊕”“⊗”，对于任意两个整数a，b，a⊕b＝a＋b–1，a⊗b＝a×b–1，计算： (1)(6⊕8)⊕(3⊗5)； (2)[4⊗(–2)]⊗[(–5)⊕(–3)]．
解：原式＝(6＋8–1)⊕(3×5–1)＝13⊕14＝13＋14–1＝26
解：原式＝(–8–1)⊗(–8–1)＝(–9)×(–9)–1＝80
乘法运算律
乘法交换律
两个数相乘,交换两个因数的位置,积不变. ab＝ba
乘法结合律
三个数相乘,先把前两个数相乘,或先把后两个数相乘,积不变. (ab)c ＝ a(bc)
乘法分配律
一个数同两个数的和相乘,等于把这个数分别同这两个数相乘,再把积相加.a(b＋c)=ab+ac
1.4 有理数的乘除法1.4.2 有理数的除法
我们在前面学习有理数的减法时，是借助于逆运算把它转化为加法来进行的.大家知道除法的逆运算是乘法，那么有理数的除法运算是不是也可以借助于逆运算转化为乘法来进行呢？这节课我们就来学习有理数的除法.
你能很快地说出下列各数的倒数吗?
–1
有理数的除法及分数化简
–5
8÷(–4)=___ (–36)÷6=___ ( – ) ÷(– )=___ (–72)÷9=___
–2
–6
–8
(–4)×(–2)=8 6×(–6)= –36 (– ? ? )× ? ? = – (–8)×9= –72
根据“除法是乘法的逆运算”填空：
 
 
 
 
8 ×(– )=___
–36 × =___
(– )×(– )=___
–72× =___
–2
–6
–8
问题：上面各组数计算结果有什么关系？由此你能得到有理数的除法法则了吗？
8÷ (–4)=___ –36÷ 6=___ – ÷ (– )=___ –72 ÷9=___
–2
–6
–8
 
 
 
 
 
 
 
 
 
观察下列两组式子，你能找到它们的共同点吗？
“÷”变“×”
“÷”变“×”
互为倒数
互为倒数
从中你能得出什么结论？
有理数除法法则（一）
用字母表示为：
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.
思考：从上面我们能发现商的符号有什么规律？
6
–9
0
4
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 0除以任何一个不等于0的数，都得0.
有理数除法法则（二）
到现在为止我们有了两个除法法则，那么两个法则是不是都可以用于解决两数相除呢？
1. 两个法则都可以用来求两个有理数相除.2. 如果两数相除，能够整除的就选择法则二，不能够整除的就选择用法则一.
思考：
例1 计算（1）（–36） 9； （2） .
解：（1）（–36） 9= –(36× )= –4； （2）
有理数除法的运算
 
答案（1）–4
（2）–8
（3）0
1.计算：
（4）
例2 化简下列各式：
有理数的化简
2. 化简：（1） = ÷ = . （2） = = = . （3） = _____.
–8
(–72)
9
(–30)÷(–45)
0
30÷45
例3 计算 (1)
解:原式
(2)
有理数的乘除混合运算
解：原式
1.有理数除法化为有理数乘法以后，可以利用有理数乘法的运算律简化运算.
2.乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果（乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算）.
(1)
(2)
解:原式=
解:原式=
3.计算
2.（大连中考）计算：（–12）÷3=　 　．
B
–4
答案：(1) ； (2) ； (3)
计算:
填空：
（4）若–3x=12，则x=_____.
若|2x+6|+|3–y|=0,则 ? ? = . 解：由题意得，|2x+6|=0,|3–y|=0,解得x=–3,y=3,所以 ? ? = −? ? = –1.
–1
有理数的乘除运算
有理数除法法则
1.2.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除. 0除以任何一个不等于0的数，都得0 .
有理数乘除的转化
有理数除法化为有理数乘法以后，可以利用有理数乘法的运算律简化运算.
乘除混合运算
乘除混合运算往往先将除法化为乘法，然后确定积的符号，最后求出结果（乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算）.
数字入诗
明代南海才子伦文叙为苏东坡《百鸟归巢图》题的数学诗：天生一只又一只，三四五六七八只。凤凰何少鸟何多，啄尽人间千石谷！
诗中数字:一只又一只, 三四五六七八只。
请问何来百鸟呢?
在这些数中加上适当的运算符号就能得到100.
1+1+3×4+5×6+7×8=100
诗中数字:一只又一只, 三四五六七八只。
小学的四则混合运算的顺序是怎样的？
先乘除，后加减，同级运算从左至右，有括号先算括号内，再算括号外.括号计算顺序：先小括号，再中括号，最后大括号.
有理数的加减乘除混合运算
我们目前都学习了哪些运算？
加法、减法、乘法、除法.
一个运算中，含有有理数的加、减、乘、除等多种运算，称为有理数的混合运算.
下列式子含有哪几种运算?先算什么，后算什么？
运算
运算
先算乘除，再算加减，同级运算从左往右依次计算，如有括号，先算括号内的.
有理数混合运算的顺序：
例1 计算： (1) (2) (3)
按常规方法计算
解法一： 原式
有理数混合运算的简便计算
简便计算,先取倒数
解法二：原式的倒数为
解：原式的倒数为
故
例3 某公司去年1~3月平均每月亏损1.5万元，4~6月平均盈利2万元，7~10月平均盈利1.7万元，11~12月平均亏损2.3万元，这个公司去年总盈亏情况如何？
有理数混合运算的应用
解：记盈利额为正数，亏损额为负数，公司去年全年总的盈亏（单位：万元）为：
（–1.5）×3+2×3+1.7×4+（–2.3）×2
= –4.5+6+6.8 –4.6
=3.7（万元）
答：这个公司去年全年盈利3.7万元.
3.一架直升飞机从高度为450m的位置开始，先以20m/s的速度上升60s，后以12m/s的速度下降120s，这时直升机所在的高度是多少？
解：450+20×60–12×120 =450+1200–1440 =210（m）答：这时直升机所在的高度是210m.
利用计算器进行有理数的混合运算
1.计算器是一种方便实用的计算工具，用计算器进行比较复杂的数的计算比笔算要快捷得多.
2.提倡在明确算理的情况下，恰当地使用计算器进行一些比较复杂的有理数加减乘除法混合运算.
如何用计数器进行有理数的混合运算?用计算器计算
在用计算器进行有理数除法运算时,如果先确定商的符号,那么只需用计算器计算商的绝对值,可以减少按键的次数(对比有理数的乘法运算).
1
（–1.5）×3+2×3+1.7×4+（–2.3）×2.
（–）
(–)
·
7
1
+
3
×
5
·
4
+
2
×
(–)
·
3
×
2
2
×
3
+
探究新知
1.（2018•南充）某地某天的最高气温是6℃，最低气温是–4℃，则该地当天的温差为　　℃．
10
1.下列各式中，结果相等的是（ ）A. 6÷（3×2）和 6÷3×2B. (–120+400)÷20和–120+400÷20C. –3–(4–7)和–3–4–7D. –4×(2÷8)和 –4×2÷8
D
（1）23×（–5）–（–3）（2）–7×（–3）×（–0.5）+（–12）×（–2.6）
20.7
2.计算：
(1)2×(–3÷ ? ? )–4×(–3)+15;(2)–8+(–3)×[–4÷(– ? ? )+2]–32÷(–2).
解：(1)原式=2×(–27)–(–12)+15
= –54+12+15
= –27
= –8+(–3)×18 –(–4.5)
(2)原式= –8+(–3)×(16+2)–9÷(–2)
= –8 –54+4.5
= –57.5
3.计算：
阅读下面的解题过程：
计算
解：原式=
=（–15）÷（–25）
=
回答：（1）上面解题过程中有两处错误，第一处错误是第 步，错误原因是_____________； 第二处错误是第 步，错误原因是_____________ .
(第一步)
（第二步）
（第三步）
二
运算顺序有误
三
结果有误
（2）写正确的解题过程.
解：
一天，小红与小莉利用温差测量山峰的高度，小红在山顶测得温度是–1℃，小莉此时在山脚测得温度是5℃.已知该地区高度每增加100米，气温大约降低0.8℃，这个山峰的高度为多少? (山脚海拔0米)
=6÷0.8×100
=750(米)
答: 这个山峰的高度为750米.
[5–(–1)]÷0.8×100
解: 依题意得
有理数的加减乘除混合运算顺序
先算乘除，再算加减，同级运算从左往右依次计算，如有括号，先算括号内的.
1.5 有理数的乘方1.5.1 乘方
珠穆朗玛峰是世界的最高峰，它的海拔高度约是8844米．把一张足够大的厚度为0.1毫米的纸，连续对折30次的厚度能超过珠穆朗玛峰，这是真的吗？
某种细胞每30分钟便由一个分裂成两个，经过3小时这种细胞由1个能分裂成多少个？
乘方的意义
第一次
第二次
第三次
分裂方式如下所示:
这个细胞分裂一次可得多少个细胞?
那么，3小时共分裂了多少次?有多少个细胞？
解: 一次得: 两次: 三次: 四次：
2个;
2×2个;
2×2×2个;
六次: 2×2×2×2×2×2个.
分裂两次呢?
分裂三次呢?四次呢？
思考:
2×2×2×2个；
问题:这两个式子有什么相同点?
它们都是乘法,并且它们各自的因数都相同.
这样的运算能像平方、立方那样简写吗？
请比较细胞分裂四次后的个数式子:2×2×2×2和细胞分裂六次后的个数式子: 2×2×2×2×2×2.
一般地，n个相同的因数a相乘，记作an，读作“a的n次幂（或a的n次方）”，即
例如：2×2×2×2
2×2×2×2×2×2
记作
记作
读作2的6次方(幂).
读作2的4次方(幂).
这种求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂.
一个数可以看作这个数本身的一次方，例如8就是81，指数1通常省略不写.
1.(–5)2的底数是_____，指数是_____，(–5)2表示2个_____相乘，读作_____的2次方，也读作–5的_____.2. 表示 个 相乘，读作 的 次方，也读作 的 次幂，其中 叫做 ，6叫做 .
温馨提示：幂的底数是分数或负数时，底数应该添上括号！
–5
2
–5
–5
平方
6
6
6
底数
指数
例1 计算：
解：(1) (–4)3=(–4)×(–4)×(–4)=–64；
(2) (–2)4=(–2)×(–2)×(–2)×(–2)=16；
你发现负数的幂的正负有什么规律？
乘方的计算
1.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
2.正数的任何正整数次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0.
根据有理数的乘法法则可以得出：
(4) 　　　　　　　　　　　　　；( )
1.判断：(对的画“√”，错的画“×”.)
(1) 32 = 3×2 = 6；( )
(2) (–2)3 ＝ (–3)2； ( )
(3) –32 = (–3)2；( )
(5) . ( )
×
32 = 3×3=9
(–2)3＝–8；(–3)2=9
–32 = –9； (–3)2=9
–24= –2×2×2×2= –16
×
×
×
×
例2 用计算器计算(–8)5和(–3)6.
–32768.
729.
所以(–8)5=–32768,(–3)6=729.
利用计算器进行乘方的计算
用计算器计算：
(1) =_________
(2) =___________
(3) =_________
(4) =__________
1771561
592.704
268435456
–175.616
3.
2.若运用初中数学教材中使用的某种电子计算器进行计算，则按键的结果为( )A.16 B.33 C.37 D.36
B
例3 计算
（1）（2）–23×(–32)（3）64÷(–2)5 （4）(–4)3÷(–1)200+2×(–3)4
含有乘方的运算
（2）–23×(–32)= –8×(–9)=72；
（3）64÷(–2)5=64÷(–32)= –2；
（4）(–4)3÷(–1)200+2×(–3)4 = –64÷1+2×81=98
思考：通过以上计算，对于乘除和乘方的混合运算，你觉得有怎样的运算顺序？
先算乘方，后算乘除；如果遇到括号，就先进行括号里的运算.

解：原式＝1
解：原式＝4
解：原式＝–42
（2018•天津）计算（–3）2的等于（　　） A．5 B．–5 C．9 D．–9
C
1.填空：
(1)–(–3)2= ; (2)–32= ;
(3)(–5)3= ; (4)0.13= ;
(5)(–1)9= ; (6)(–1)12= ;
(7)(–1)2n= ; (8)(–1)2n+1= ;
(9)(–1)n= .
–9
–9
–125
0.001
–1
1
1
–1
（当n为奇数时）（当n为偶数时）.
2.对任意实数a，下列各式不一定成立的是（ ）
1. 在 中，最大的数是(　　)
B
B
厚度是0.1毫米的纸,将它对折1次后,厚度为0.2毫米.
(1)对折3次后,厚度为多少毫米?(2)对折7次后,厚度为多少毫米?(3)用计算器计算对折30次后纸的厚度.
（3）0.1×230=0.1×1073741824=107374182.4（毫米）
＞8848米
107374182.4毫米=107374.1824米
0.8毫米
12.8毫米.
1.求几个相同因数的积的运算，叫做乘方.
2.乘方的符号法则：
（1）正数的任何次幂都是正数.
（2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数.
（3）零的正整数次幂都是零.
在2+32×（–6）这个式子中，存在着哪些运算？这些运算如何进行呢？ 这就是本节课我们要学习的内容——有理数的混合运算.
喜羊羊之种花篇
有理数的混合运算
圆形花坛的半径为3m，中间雕塑的底面是边长为1 m的正方形
估计每平方米种9株花，我要买几株花呀？
羊村的花坛里的花都快枯萎了，我们重新种上吧！
小意思，我会算！
思考:上式含有哪几种运算?先算什么？后算什么？
运算
运算
运算
做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序：
1. 先乘方，再乘除，最后加减；2. 同级运算，从左到右进行；3. 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行.
例1 计算：
(1)2×(–3)3–4×(–3)+15; (2)(–2)3+(–3)×[(–4)2+2]–(–3)2÷(–2).
解：(1)原式=2×(–27)–(–12)+15
= –54+12+15
= –27
= –8+(–3)×18–(–4.5)
(2)原式= –8+(–3)×(16+2)–9÷(–2)
= –8–54+4.5
= –57.5
有理数的混合运算
解:原式=
1×2+(–8)÷4
= 2+(–2)
=0
解:原式
解：原式 =
– 4
– 36
= – 4 – 36
= – 4
= – 5
– 1
(3)
1.计算
例2 计算：
解法一：解：原式=
解法二：解： 原式=
点拨：在运算过程中，巧用运算律，可简化计算
讨论交流：你认为哪种方法更好呢？
= –11
= –6+（–5）
= –11
混合运算的简便运算
2.计算：
答案：
例3 观察下面三行数： –2， 4， –8， 16， –32， 64，…； ① 0， 6， –6， 18， –30， 66，…； ② –1， 2， –4， 8， –16， 32，…. ③（1）第①行数按什么规律排列？
解：（1）第①行数是
数字规律探究
分析：观察①，发现各数均为2的倍数.联系数的乘方，从符号和绝对值两方面考虑，可发现排列的规律.
（2）第②③行数与第①行数分别有什么关系？
解：（2）第②行数是第①行相应的数加2，即
第③行数是第①行相应的数除以2，即
（3）取每行数的第10个数，计算这三个数的和.
解：（3）每行数中的第10个数的和是：
=1024+1026+512=2562
=1024+（1024+2）+1024× 0.5=2562
3.观察下列各式:
猜想:
若n是正整数，那么
1.（2018•宜昌）计算4+（–2）2×5=（　　）A．–16 B．16 C．20 D．24
解析：4+（–2）2×5=4+4×5=4+20=24，
D
2.（2018•湖州）计算：（–6）2×（ ? ? – ? ? ）．
解：原式=36×（ ? ? – ? ? ）=18–12=6．
1.计算式子(–1)3 +(–1)6的结果是( )A.1 B.–1 C.0 D.1或–12.设a=–2×32,b=(–2×3)2,c=–(2×3)2，那么a、b、c的大小关系是( )A.aC
B
(2)
(1)
(3)
(4)
计算：
45
0
–6
一个长方体的长、宽都是a，高是b，它的体积和表面积怎样计算？当a=2 cm，b=5 cm时，它的体积和表面积是多少？
解：体积V=a2b=22×5=20 cm3.表面积S=2a2+4ab=2×22+4×2×5=48 cm2.
有理数混合运算的顺序
1
先乘方，再乘除，最后加减
2
同级运算，从左到右进行；
4
如有绝对值，先算绝对值.
3
有括号的，先做括号内的运算，按先小括号、再中括号、后大括号的顺序依次进行；
1.5 有理数的乘方1.5.2 科学记数法
生活中常常遇到比100万还大的数，如：太阳半径约为696000000米，光的速度约为300000000米/秒等等，这些大数书写起来非常不便，也容易写错。
请同学们想一想，能有把这些大数易写易读的方法吗？
科学记数法
2003年国际天文学联合会大会上，天文学家指出，整个可见宇宙空间大约有700万亿亿颗恒星，那这个数字是多少呢？它比地球上所有沙漠和海滩上的砂砾总和还要多，也就是在“7”后面加22个“0”， 即约为70 000 000 000 000 000 000 000 颗.
天上的星星知多少？
目前宇宙的年龄为13 820 000 000年.
大气中的水蒸气：13000km3=13000000000000m3
极地冰川中的水：29190000km3=29190000000000000m3
地表水：230000km3=230000000000000m3
地下水：8595000km3=8595000000000000m3
海水：1321890000km3=1321890000000000000m3
注：一立方米的水的质量为一吨.1km=1000m1km2=1000000m21km3=1000000000m3
1.第六次人口普查时，中国人口约为1370000000人．2.光的速度约为300000000米/秒.3.地球上煤的储量估计15万亿吨以上.
在生活中我们还会遇到一些比较大的数.例如：
像这样较大的数据,书写和阅读都有一定困难,那么有没有这样一种表示方法,使得这些大数易写、易读呢?
回顾有理数的乘方，计算：101=___， 102=____，103=_______，104=_______，106=_________，1010=_____________，….
10
100
1000
10000
1000000
10000000000
1.指数与运算结果中的0的个数有什么关系？
2.指数与运算结果的位数有什么关系？
讨论：
反之，1后面有多少个0，10的幂指数就是多少.
1. 把下列各数写成10的幂的形式：100 ，10000，100000000，即写成10（ ）2．300=3×100=3×10（ ） 32000=3.2×10000=3.2×10（ ） 345000000=3.45×100000000=3.45×10（ ）
100=102 10000=104 100000000=108
2
4
8
读作“3.45乘10的8次方(幂)”
像上面这样，把一个大于10的数表示成a×10n的形式，（其中a大于或等于1且小于10， n是正整数），使用的是科学记数法.
对于小于-10的数也可以类似科学记数法表示.例如：
-567000000= ×100000000= .
-5.67×108
-5.67
例1 用科学记数法表示下列各数： 1000 000，57000 000，-123000 000 000
解：1000 000=106， 57000 000=5.7×107， -123000 000 000=-1.23×1011
归纳：用科学计数法表示一个n位整数时，10的指数是______．
n－1
用科学记数法表示大数
1.将下列大数用科学记数法表示.
地球表面积约为510 000 000 000 000 平方米，地球上陆地的面积大约为149 000 000 平方千米.
解：510 000 000 000 000=5.1×1014 149 000 000=1.49×108
还原用科学记数法表示的数
例2 下列用科学记数法表示的数，原数是什么？
（1）2003年10月15日，中国首次进行载人航天飞行，神舟五号飞船绕地球飞行了14圈，行程约为6×105千米；（2）一套《辞海》大约有1.7×107个字.（3）1972年3月发射的“先驱者十号”是人类发往太阳系外的第一艘人造太空探测器，至2003年2月，人们最后一次收到它发回的信号时，它离地球1.22×1011千米.
解：(1)6×105=600 000；
(3)1.22×1011=122 000 000 000
(2)1.7×107=17 000 000；
归纳：反过来，如果用科学记数法表示的数10的指数是n，那么原数有n+1位整数位.
6.74×105的原数有____位整数； -3.251×107原数有____位整数； 9.6104×1012原数有____位整数.
6
8
13
2.填一填：
例3 废旧电池对环境的危害十分巨大，一粒纽扣电池能污染600立方米的水(相当于一个人一生的饮水量)．某班有50名学生，如果每名学生一年丢弃一粒纽扣电池，且都没有被回收，那么被该班学生一年丢弃的纽扣电池能污染的水量用科学记数法表示为__________立方米．
3×104
解析：(1)600×50=30 000=3×104(立方米)
科学记数法的实际应用
3．如果2018年，我国汽车销量超过了22110000辆，用科学记数法表示为__________辆．4．已知太阳的半径约为696 000 000 m，696000000这个数用科学记数法表示为________.
2.211×107
6.96×108
1.（2018•宜宾）我国首艘国产航母于2018年4月26日正式下水，排水量约为65000吨，将65000用科学记数法表示为（　　）A．6.5×10﹣4 B．6.5×104 C．﹣6.5×104 D．65×104
B
2.（2018•烟台）2018年政府工作报告指出，过去五年来，我国经济实力跃上新台阶．国内生产总值从54万亿元增加到82.7万亿元，稳居世界第二，82.7万亿用科学记数法表示为（　　）A．0.827×1014 B．82.7×1012 C．8.27×1013 D．8.27×1014
C
1．用科学记数法表示下列各数． 80000 56000000 7400000 8×104 5.6×107 7.4×1062．下列用科学记数法表示的数，原来各是什么数？ 4×103 8.5×106 7.04×105 3.96×104
4000
8500000
704000
39600
3．（2018•绵阳）四川省公布了2017年经济数据GDP排行榜，绵阳市排名全省第二，GDP总量为2075亿元，将2075亿用科学记数法表示为（　　）A．0.2075×1012 B．2.075×1011 C．20.75×1010 D．2.075×1012
B
4.（2018•德州）一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，即1.496亿km，用科学记数法表示1.496亿是（　　）A．1.496×107 B．14.96×108 C．0.1496×108 D．1.496×108
D
5．写出下列用科学记数法表示的数据的原数．(1)地球绕太阳公转的速度约是1.1×105千米/时； __________(2)一个正常人一年的心跳次数大约为3.679×107次；__________(3)世界文化遗产长城总长约6.7×106 m．__________
110000
36790000
6700000
已知光的传播速度为300000000 m/s，太阳光到达地球的时间大约是500 s，试计算太阳与地球的距离大约是多少千米．(结果用科学记数法表示)
答案：1.5×108km
已知1平方千米的土地1年内从太阳得到的能量相当于燃烧1.3亿千克煤所产生的能量，那么我国960万平方千米土地上1年内从太阳得到的能量相当于燃烧a×10n千克煤所产生的能量，求a，n的值．
解：1.3亿＝1.3×108，960万平方千米＝9.6×106平方千米9.6×106×1.3×108＝1.248×1015 所以a＝1.248，n＝15.
1．用科学计数法表示较大的数应注意以下两点： 1≤a＜10 当大数是大于10的整数时，n为整数位减去1.
2．灵活运用科学计数法，注意解题技巧，总结解题规律.
1.5 有理数的乘方1.5.3 近似数
北京地铁1号线是我国最早的地铁路线，全长31.04公里.
“31.04”一定是准确的数据吗？它又是怎么来的？
下列语句中，哪些数据是精确的，哪些数据是近似的？1．妈妈去买水果，买了 8 个苹果，大约 3 千克．2．小民与小李买了 2 瓶水，4 根黄瓜，6 袋香巴拉牛肉干，约 20 元，然后骑车去大约 3.5 km外去郊游，大约玩了 4.5 小时回家．3．我国共有 56 个民族．
精确数：8，2，4，6，56；　近似数：3，20，3.5和4.5．　
准确数与近似数
什么样的数是近似数？你能举例说明吗？
1. 我们得不到与实际完全相符的数，而是通过测量、估算得到的数都是近似数.例如，姚明的身高是2.26米.
2.有时我们为了叙述、书写方便，通过四舍五入得到的数也是近似数.例如，2017年全国高考报名的考生共940万人.
判断下列各数，哪些是近似数，哪些是准确数.
1.某歌星在体育馆举办音乐会,大约有一万二千人参加.( ) 2.检查一双没洗过的手,发现带有各种细菌800000万个. ( ) 3.张明家里养了5只鸡. ( )4.据统计，2017年全国初中在校生人数为4311.95万.（ ）
近似数
近似数
近似数
准确数
按要求取近似值
小明和小颖分别测量了同一片树叶的长度，他们所用的直尺的最小单位是不同的，分别是厘米和毫米.
问题：根据小明的测量，这片树叶的长度约为多少？根据小颖的测量呢？谁的测量结果会更精确一些？
小明
3
4
小颖
3.1cm
32mm
近似数是一个与准确数接近的数，其接近程度可以用精确度表示.
小明、小颖的测量分别精确到什么单位？
小明精确到厘米，小颖精确到毫米.
π≈3（精确到个位），π≈3.1（精确到0.1，或叫做精确到十分位），π≈3.14（精确到0.01，或叫精确到百分位），π≈3.140（精确到0.001，或叫做精确到千分位 ），π≈3.1416（精确到0.0001，或叫做精确到万分位），……
按四舍五入法对圆周率π取近似数
下列结论正确的是（ ）　A．近似数4.230和4.23的精确度是一样的　　B．近似数89.0精确到个位　C．近似数0.00510与0.0510的精确度不一样　　D．近似数6万与近似数60 000的精确度相同　
C
（1）0.0158（精确到0.001）；（2）304.35（精确到个位）；（3）1.804（精确到0.1）；（4）1.804（精确到0.01）．
例1 按括号内的要求，用四舍五入法对下列各数取近似数：
思考：(4)中能把“1.80”后面的“0”去掉吗？
对8四舍五入
对3四舍五入
对0四舍五入
对4四舍五入
按要求求近似数
0.0158 ≈0.016
304.35≈304
1.804 ≈1.8
1.804≈1.80．
1. 小红量得课桌长为1.036米，请按下列要求取这个数的近似数．（1）四舍五入到百分位；（2）四舍五入到十分位；（3）四舍五入到个位．
1.04米
1.0米
1米
例2 下列由四舍五入得到的近似数，各精确到哪一位？　 （1） 600万 ； （2） 7.03万； （3） 5.8亿 ； （4） 3.30×105．
解：（1）600万，精确到万位； （2）7.03万，精确到百位； （3）5.8亿，精确到千万位； （4）3.30×105，精确到千位.
先把数还原，再看3所在的数位.
指出近似数精确到哪一位
总结：看一个近似数精确到哪一位，就要看它四舍五入到哪一位. 对带上了单位的近似数，应先将它还原成不带单位的数.
解：
2.下列由四舍五入法得到的近似数，各精确到哪一位？
(1)3800; (2)3.800; (3)4.50万; (4)3.04×104.
(1)3800精确到个位(精确到1);
(2)3.800精确到千分位（精确到0.001）;
(3)4.50万精确到百位（精确到100）;
(4)3.04×104精确到百位（精确到100）.
例3 据2010年上海世博会官方统计，2010年5月1日至10月31日期间，共有7308.44万人次入园参观，求每天平均入园人次（精确到0.01万人次）.
解：从5月1日至10月31日共有184天，故每天的平均入园人次为：7308.44÷184≈39.719≈39.72（万人次）.
利用近似数解答实际问题
3.青藏高原是世界上海拔最高的高原，它的面积约为2500000平方千米，请用四舍五入法按下列要求分别取这个数的近似数，并用科学记数法表示出来.（1）精确到万位； （ 2）精确到百万位.
解：（1）2.50×106 （2）3×106
1.（宜昌中考）5月18 日，新华社电讯：我国利用世界唯一的“蓝鲸1号”，在南海实现了可燃冰（即天然气水合物）的安全可控开采．据介绍，“蓝鲸1号”拥有27354台设备，约40000根管路，约50 000个MCC报验点，电缆拉放长度估计1200千米．其中准确数是（　　）A．27354 B．40000 C．50000 D．1200
A
2.（通辽中考）近似数5.0×102精确到（　　）A．十分位 B．个位 C．十位 D．百位
C
1.用四舍五入法按要求取近似值：（1）75 436（精确到百位）（2）0.785（精确到百分位）
2.下列数据精确到什么位？ （1）小王的身高1.53米; （2）月球与地球相距38万千米; （3）圆周率π取3.14159.
精确到0.01
精确到万位
精确到0.00001
75 436≈7.54×104
0.785≈0.79
判断下列说法是否正确，说明理由.（1）近似数4.60与4.6的精确度相同.（2）近似数5千万与近似数5000万的精确度相同.
错，近似数4.60精确到0.01，近似数4.6精确到0.1.
错，近似数5千万精确到千万位，近似数5000万精确到万位.
（3）近似4.31万精确到0.01.（4） 精确到0.01.
错，近似数4.31万写成单位为‘个’位的数是43100，数字1所在的位置为百位，故4.31万精确到百位.
1.某校七年级共有学生112名，想租用45座的客车外出参观，应租几辆客车？
2.若2m布可做1件衣服，则9m能做多少件这样的衣服？
进一法
去尾法
112÷45=2.488…≈3（辆）
9÷2=4.5≈4（件）
1．判断准确数与近似数．
2．按照要求取近似数．
3．由近似数判断精确度.
四舍五入到某一位，就说这个数的近似数精确到那一位．
2.1 整式
能用代数式表示实际问题中的数量关系吗？
1. 路程、速度和时间的关系为： 路程 =________________.2. 三角形的面积、底边长、底边上的高的关系为： 三角形的面积 =______________.
时间×速度
底×高÷2
情景
字母可表示：人名
字母可表示：地名
字母可表示：运算定律
含字母的式子的书写
生活中的字母
含字母的式子如何书写呢？
含字母的式子的书写要求
用含有字母的式子表示下列数量。
例1
(2)练习簿的单价为b元， a本练习簿的总价是 元.
(1)练习簿的单价为a元，100本练习簿的总价是 元.
②字母和字母相乘，乘号可以省略不写或用“ · ” 表示.一般情况下，按26个字母的顺序从左到右来写.
100a
ab
(3)练习簿的单价为0.5元,圆珠笔的单价是3.2元, 买a本练习簿和b支笔的总价是 元。
③后面带单位的相加或相减的式子要用括号括起来.
(0.5a+3.2b)
④除法运算写成分数形式，即除号改为分数线.
(4)小明的家离学校s千米，小明骑车上学.若每小时行 10千米，则需 时.
探究新知
⑤带分数与字母相乘时，带分数要写成假分数的形式.
(5)若每斤苹果 元，则买m斤苹果需 元.
探究新知
(6) 某篮球运动员个子高，经测量他通常跨一步的距离1米，若取向前为正，向后为负，那么他向前跨a步为 米，向后跨a步为 米.
a
-a
⑥当“1”与任何字母相乘时,“1”省略不写；当“-1”乘以字母时，只要在那个字母前加上“-”号即可.
1×a=a ; (-1)×a=-a
探究新知
(1)某种商品每袋4.8元，在一个月内的销售量是m 袋，用式子表示在这个月内销售这种商品的收入.(2)圆柱体的底面半径、高分别是 r，h，用式子表示圆柱体的体积.(3)有两片棉田，一片有m hm2 (公顷，1 hm2 ＝104 m2 )，平均每公顷产棉花a kg；另一片有n hm2 ，平均每公顷产棉花b kg，用式子表示两片棉田上棉花的总产量.
1.完成下列问题。
2.判断下列式子书写是否规范，不规范的请改正.
青藏铁路线上，在格尔木到拉萨之间有一段很长的冻土地段．列车在冻土地段的行驶速度是100 km/h．列车在冻土地段行驶时，根据已知数据求出列车行驶的路程.
(2)字母t表示时间有什么意义?如果用v表示速度，列车行驶的路程是多少？
(3)回顾以前所学的知识，你还能举出用字母表示数或数量关系的例子吗？
(1)2 h行驶多少千米？3 h呢？8 h呢？t h呢？
【问题1】
用含字母的式子表示数量关系
怎样分析数量关系并用含有字母的式子表示数量关系呢？
【问题2】
列车在冻土地段的行驶速度是100 km/h．
(1)2 h行驶100×?=???千米，3 h行驶100×?=???千米，8 h行驶100×?=???千米，t h行驶100×?=???t千米.
(2)字母t表示时间，如果用v表示速度，列车行驶的路程是vt千米.
用含字母的式子表示实际问题中的数量关系
探究新知
顺水
A
C
v
2.5
+
顺水速度=静水速度＋水流速度 =(v＋2.5)km/h
探究新知
逆水
A
C
v
2.5
v－2.5
逆水速度=静水速度－水流速度 =(v－2.5)km/h
探究新知
(2)买一个篮球需要x元，买一个排球需要y元，买一个足球需要 z 元，用式子表示买 3个篮球、5个排球、2个足球共需要的钱数；
探究新知
(3)如下图(图中长度单位：cm)，用式子表示三角尺的面积；
解：三角尺的面积(单位：cm2)是( )cm2 ．
a
b
r
探究新知
解：这所住宅的建筑面积为 ( )m2 ．
(4)下图是一所住宅的建筑平面图(图中长度单位：m)，用式子表示这所住宅的建筑面积.
2
x
2x
x
x
x2
3
4
2
3
12
6
探究新知

列式就是把实际问题中与数量有关的语句，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来，也就是把文字语言转化为符号语言．
①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；②理清语句层次，明确运算顺序；③牢记一些概念和公式．
探究新知
用含有字母的式子表示规律
探究
如图所示,搭一个正方形需要4根火柴棒.
……
(1)按上面的方式,搭2个正方形需要____根火柴棒, 搭3个正方形需要____根火柴棒.
(2) 搭7个这样的正方形需要_____根火柴棒.
7
10
22
(3)搭100个这样的正方形需要多少根火柴棒?
第1个
4根
第2个
第100个
3根
3根
…
有没有其他计算方法？
第1个
3根
第100个
…
第2个
3根
3根
还可以这样……
先摆1根
(4) 如果用 x 表示所搭正方形的个数, 那么搭 x 个这样的正方形需要多少根火柴棒?
或者这样
先摆1根
根据你的计算方法，搭200个这样的正方形需要______根火柴棒; 搭2017个这样的正方形需要_______根火柴棒.
601
6052
能否利用前面得到的结论？
3.做一做.
C
1.(2018•桂林)用代数式表示：a的2倍与3的和．下列表示正确的是(　　)A．2a﹣3 B．2a+3 C．2(a﹣3) D．2(a+3)
B
1.某班有a名学生，现把一批图书分给全班学生阅读，如果每人分4本，还缺25本，则这批图书共 本；2.在一个大正方形铁片中挖去一个小正方形铁片，大正方形的边长是a mm，小正方形的边长是b mm，则剩余部分的面积为 .
记得带单位！
1.(2018•绵阳)将全体正奇数排成一个三角形数阵：13 57 9 1113 15 17 1921 23 25 27 29…按照以上排列的规律，第25行第20个数是(　　)A．639 B．637 C．635 D．633
A
解析：根据三角形数阵可知，第n行奇数的个数为n个，则前n﹣1行奇数的总个数为1+2+3+…+(n﹣1)= ? ? n(n-1) 个,则第n行(n≥3)从左向右的第m数为为第 ? ? n(n-1) +m奇数，即：1+2[ ? ? n(n-1) +m﹣1]=n2﹣n+2m﹣1n=25，m=20，这个数为639.
7
12
17
……
……
5n+2
2. 用火柴棒按下面方式搭图,填写表格.
22
1
2
3
列式时：①数与字母、字母与字母相乘省略乘号；②数与字母相乘时数字在前；③式子中出现除法运算时，一般按分数形式写；④带分数与字母相乘时，把带分数化成假分数；⑤带单位时，适当加括号.
你填写的式子有何特点呢？
用含有字母的式子填空，并观察特点：
1. 边长为m 的正方形的周长为____,面积为____.
3. 一辆汽车的速度是v km/h,它t小时的行驶路程为 km.
2. 铅笔的单价为x元,圆珠笔的单价是铅笔的单价2.5倍,圆珠笔的单价是 元.
vt
2.5x
m2
4m
4. 半径为r cm的圆的周长是 cm,面积为 cm2.
2πr
πr2
4m
vt
m2
2.5x
数×
字母
v×t
2.5×x
2πr
πr2
m×m
数×
字母
数×
字母
 是圆周率的代号，不是字母.
这些式子都是数或字母的积，像这样的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式.
例如: 像 2017, x , 等是单项式.
　下列各式中哪些是单项式？
√
√
√
√
√
√
为什么？
找一找
1. 单独一个数或一个字母也是单项式.
2. 不含加减运算，单项式只含有乘积运算.
3. 单项式数字因数与字母可能一个或多个.
判断单项式的方法
4. 可以含有除以数的运算，不能含有除以字母的运算．
单项式中的数字因数称为这个单项式的系数. 一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
系数
1
次数为3+1=4
叫做四次单项式
1
例1 用单项式填空,并指出它们的系数和次数.
① 每包书有12册,n包书有_____册； ②底边长为a,高为h 的三角形的面积是_____； ③一个长方体的长和宽都是a,高为h,它的体积是
12n
一次
二次
三次
单项式有关概念的识别
____
；
④ 一台电视机原价为a元,现按原价的九折出售,这台电视机现在的售价为___ _；
⑤ 一个长方形的长为0.9,宽为a,面积是____.
同一个式子可以表示不同的含义
一次
一次
0.9a
0.9a
1. 判断下列说法是否正确：①－7xy2 的系数是7；( )②－x2y3与x3没有系数；( )③－ab3c2的次数是0＋3＋2；( )④－a3的系数是－1； ( )⑤－32x2y3的次数是7；( )⑥ πr2h的系数是 ;( )
×
×
×
×
×
√
π是系数的一部分
－32是系数
勿遗漏a的指数1
任何单项式都有系数
确定单项式的系数及次数时，应注意：①圆周率π是常数；②当一个单项式的系数是1或－1时,“1”通常省略不写； ③省略1的字母指数别漏掉；④单项式次数只与字母指数有关，单独一个非0数字的次数是0.
单项式有关概念的应用
你能写出一个只含有x、y，而且系数是-3，次数是4的单项式吗？
x、y的指数之和为4即可.
该单项式次数是2+n
所以m≠ 2，n=2.
2+n=4，
m-2 ≠ 0，
为什么m-2 ≠ 0？
解：由题意知m，n要满足
系数为m-2，m当作已知常数看待
利用单项式有关概念求字母的值
2. 若-3xa+1y是一个五次单项式，你能说出指数a是几吗？
解：a+1+1=5， a=3
D
C
3
B
若(m+1)xn y 是关于 x，y 的一个四次单项式，求m，n应满足的条件是什么？　
解：∵m+1≠0,n+1=4, ∴m≠-1,n=3
1. 单独的一个数或一个字母也是单项式；2. 当一个单项式的系数是1或－1时，通常省略不写，如x2，－a2b等3. 圆周率π是常数，把它当作系数； 4. 如果单项式指数为0，它就是零次单项式.5. 单项式次数只与字母指数有关；
1.什么叫单项式？2.单项式 的系数是 ，次数是 .3. 2a和3b都是单项式，那2a+3b又是什么呢？
4
1. 温度由t℃下降5℃后是 ℃.
2. 买一个篮球需要x元，买一个排球需要y 元，买一个足球需要z元，买3个篮球、5个排球、2个足球共需要 元.
(3x+5y+2z)
(t-5)
列式表示下列数量
多项式的有关概念
4.如图是一所住宅区的建筑平面图，这所住宅的建筑面积是 ㎡.
3.如图三角尺的面积为 .
(x2+2x+18)
3x+5y+2z
x2+2x+18
t-5
它们是单项式吗？这些式子有什么共同特点？与单项式有什么关系？
单项式
单项式
+
上述几个式子都是两个或者多个单项式相加的形式.
每一个单项式都包含其前边的符号。
1. 几个单项式的和叫做多项式.2. 在多项式中，每个单项式叫做多项式的项.3. 不含字母的项叫做常数项.4. 多项式里次数最高项的次数就是多项式的次数.
5. 单项式与多项式统称为整式.
叫做三次三项式
1.多项式x2+y－z是单项式___，___，___的和，它是___次___项式.
2.多项式3m3－2m－5+m2 的常数项是____，二次项是_____，一次项的系数是_____.
x2
y
-z
二
三
-5
m2
﹣2
1.多项式的各项应包括它前面的符号.
3.要确定一个多项式的次数，先要确定此多项式中各项(单项式)的次数，然后找次数最高的.
4.一个多项式的最高次项可以不唯一.
2.多项式没有系数的概念，但其每一项均有系数，每一项的系数也包括前面的符号.
例1 下列整式中哪些是多项式？是多项式的指出其项和次数：
解析
1
4
2
多项式有关概念的识别
1. 一个多项式的次数是3，则这个多项式的各项次数( ) A．都等于3 B. 都小于3 C.都不小于3 D.都不大于3
D
例2 已知－5xm＋104xm+1－4xmy2是关于x、y的六次多项式，求m 的值，并写出该多项式.
解：由题意得m＋2=6， 所以m=4.
归纳总结：解题的关键是弄清多项式次数是多项式中次数最高的项的次数.然后根据题意，列出方程，求出m的值.
分析：该多项式最高次项为－4xmy2，其次数为m＋2，故m＋2=6.
所以该多项式为－5x4＋104x5－4x4y2.
利用多项式的有关概念确定字母的值
2.若关于x的多项式－5x3－mx2＋(n－1)x－1不含二次项和一次项，求m、n的值.
分析：多项式不含哪一项，则哪一项的系数为0.
解：由题意得m=0，n－1=0，所以n=1.
把m，n当作已知常数看待，属于系数部分。
例3 如图，用式子表示圆环的面积．当 cm， cm 时，求圆环的面积( 取 )．
利用多项式解答实际问题
3.一个花坛的形状如图所示，花坛的两端是半径相等的半圆，求：(1)花坛的周长L；(2)花坛的面积S.
解：(1) L＝2a+2πr
(2) 花坛的面积是一个长方形的面积与两个半圆的面积之和，即S=2ar+ πr2
例4　
多项式的求值问题
解：(1)该旅游团应付的门票费是(10x＋5y)元. (2)把x＝37，y＝15代入代数式，得 10x＋5y =10×37＋5×15 ＝445. 因此，他们应付445元门票费.
4.　
1.(2018•贵阳)当x=﹣1时，代数式3x+1的值是(　　) A．﹣1 B．﹣2 C．4 D．﹣4
解析：把x=﹣1代入3x+1=﹣3+1=﹣2．
B
解析：观察图形知：第一个图形有3个正方形，第二个有5=3+2×1个，第三个图形有7=3+2×2个……故第⑥个图中的黑色正方形纸片有3+2×5=13(张)．
B
1.下列式子中，哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？
单项式
多项式
整式
3x
2x-1
-ab
-5
3m-4n+m2n
3x
2x-1
-ab
-5
3m-4n+m2n
2. 判断正误： (1)多项式 - x2 y+2x2-y的次数2．( ) (2)多项式 -a+3a2的一次项系数是1．( ) (3)-x-y-z是三次三项式．( )
×
×
×
次数是3
一次项系数是-1
是一次三项式
3. 一个关于字母x的二次三项式的二次项系数为4，一次项系数为１，常数项为7，则这个二次三项式为＿＿＿＿＿．
4x2+x+7
2
-3
-5
3
解：由题意得2+m+2=6，所以m=2.
又因为3n+4-m+1=6，即3n+3=6，所以n=1.
多项式
概念
几个单项式的和叫做多项式
项
概念
常数项
每个单项式叫做多项式的项
次数
不含字母的项叫做常数项
多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数
整式：单项式与多项式统称整式．
2.2 整式的加减
在西宁到拉萨路段，列车在冻土地段的行驶速度是100 km/h，在非冻土地段的行驶速度是120 km/h，列车通过非冻土地段所需时间是通过冻土地段所需时间的2.1倍 ，如果通过冻土地段需要t h，你能用含t的式子表示这段铁路的全长吗？
如果有一罐硬币(分别为一角、五角、一元的)，你会如何去数呢?
同类项的概念
8n
-7a2b
3ab2
2a2b
6xy
5n
-3xy
-ab2
有八只小白兔，每只身上都标有一个单项式，你能根据这些单项式的特征将这些小白兔分到不同的房间里吗？(用几个房间都可以)
8n 5n
3ab2 -ab2
6xy -3xy
-7a2b 2a2b
我们把具有以上两个特征的单项式称为同类项.
1. 所含字母相同.
2. 相同字母指数也相同.
所有的常数项也看做同类项.
游戏:同类项找朋友
先判断每一组是否是同类项，不是的，为前者配一个.
√
√
3abc
x2y
×
×
(1)同类项只与字母及其指数有关，与系数无关，与 字母在单项式中的排列顺序无关；(2)抓住“两个相同”：一是所含的字母要完全相同， 二是相同字母的指数要相同，这两个条件缺一不可.
同类项的判别方法:
(3)不要忘记几个单独的数也是同类项.
(2)如果2a2bn+1与-4amb3是同类项，则m= , n= .
例1 (1)在6xy-3x2-4x2y-5yx2+x2中没有同类项的项是 .
2
2
6xy
分析：根据同类项的定义，可知a的指数相同，b的指数也相同，即m=2，n+1=3.
同类项概念的识别及应用
1．下列各组中的两个单项式是同类项的是( )A．3x与x2 B．3m2n与3mn2C. abc与－abc D．2与x2． 已知x|m|y3与－ynx4是同类项，则m＝______，n＝____．3． 若－x2my与 ynmx是同类项，则－2m＋n＝____．
C
±4
3
1
周末，小明一家要外出游玩，爸爸、妈妈和小明各自选了他们要吃的东西：
买的时候，小明怎么说？
2个汉堡+1个汉堡+1个汉堡= 个汉堡
2个草莓+3个草莓+3个草莓= 个草莓
4
8
合并同类项
2.合并同类项的法则：
同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.
1.把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项.
下列合并同类项合并对了吗？不对的，说明理由.
(1)a+a=2a(2)3a+2b=5ab(3)5y2-3y2=2
(4)4x2y-5xy2=-x2y(5)3x2+2x3=5x5(6)a+a-5a=-3a
×
√
×
×
×
√
注：(2)(4)(5)中的单项式不是同类项，不能合并. (3)是同类项，但合并结果不对.
解：
找
移
并
用不同的标记把同类项标出来!
加法交换律加法结合律
合并同类项
4.合并同类项：(1) 6x＋2x2－3x＋x2＋1；(2) －3ab＋7－2a2－9ab－3.
解：(1)原式=(6x－3x)＋(2x2＋x2)＋1 =3x＋3x2＋1
(2)原式=(－3ab－9ab)－2a2＋(7－3) =－12ab－2a2＋4
先分组，再合并.
“合并同类项”的方法： 一找，找出多项式中的同类项，不同类的同类项用不同的标记标出； 二移，利用加法的交换律，将不同类的同类项集中到不同的括号内； 三并，将同一括号内的同类项相加即可.
例3 (1)求多项式 　　　　　　　 的值，其中x = ? ? ;
分析：在多项式求值时，可以先将多项式中的同类项合并，然后再代入求值，这样可以简化计算.
解：(1) 当x = 1 2 时，原式=− 5 2 .
合并同类项并且求值
(2)求多项式 的值，其中a=− ? ? ，b=2，c=-3.
解： 当a=− ? ? ，b=2，c=-3时，原式=1.
5.当x=2019时，求多项式x4-5x2+2x3-x4+5x2-2x3+2x-1的值.
解： x4-5x2+2x3-x4+5x2-2x3+2x-1 = (x4-x4)+(-5x2+5x2)+(2x3-2x3)+2x-1 = 2x-1, 当x=2019时，原式=2×2019-1=4037.
例5 一天，王村的小明奶奶提着一篮子土豆去换苹果，双方商定的结果是：1千克土豆换0.5千克苹果.当称完带篮子的土豆重量后，摊主对小明奶奶说：“别称篮子的重量了，称苹果时也带篮子称，这样既省事又互不吃亏.”你认为摊主的话有道理吗？请你用所学的有关数学知识加以判定.
解：设土豆重a千克，篮子重b千克，则应换苹果0.5a千克.若不称篮子，则实换苹果为0.5a＋0.5b－b＝(0.5a－0.5b)千克，很明显小明奶奶少得苹果0.5b千克. 所以摊主说得没有道理，这样做小明奶奶吃亏了.
利用合并同类项解答实际问题
6. 为建立“图书角”，七年级一班的各组同学踊跃捐书.其中一组捐x本书，二组捐的书是一组的2倍还多2本，三组捐的书是一组的3倍少1本，则三个小组共捐书______本.
解析：由题意知，二组捐了(2x+2)本，三组捐了(3x-1)本，所以三个小组共捐书：x+2x+2+3x-1=(6x+1)(本).
(6x+1)
1.(2018•包头)如果2xa+1y与x2yb﹣1是同类项，那么 ? ? 的值 是(　　). A． ? ? B． ? ? C．1 D．3
解析：∵2xa+1y与x2yb﹣1是同类项，∴a+1=2，b﹣1=1， 解得a=1，b=2. ∴ ? ? = 1 2 ．
A
2.(2018•武汉)计算3x2﹣x2的结果是(　　) A．2 B．2x2 C．2x D．4x2
B
2. 下列运算中正确的是( ) A．3a2-2a2=a2 B．3a2-2a2=1 C．3x2-x2=3 D．3x2-x=2x
C
A
1.(2018•淄博)若单项式am﹣ 1b2与 ? ? a2bn 的和仍是单项式，则nm的值是(　) A．3 B．6 C．8 D. 10
3．如果5x2y与xmyn是同类项，那么m =____，n =____． 4．合并同类项： (1)-a-a-2a=________； (2)-xy-5xy+6yx=______； (3)0.8ab2-a2b+0.2ab2=_______； (4)3a2b-4ab2-4+5a2b+2ab2+7=___________．
1
-4a
0
ab2-a2b
2
8a2b-2ab2+3
5. 三角形的三边长分别为 ，则这个三角形的周长为 .当 时，周长为 cm.
30x
60
求多项式4x2+2xy+9y2-2x2-3xy+y2的值.其中x=2,y=1.解：4x2+2xy+9y2-2x2-3xy+y2=(4-2)x2+(2-3)xy+(9+1)y2=2x2-xy+10y2.当x=2,y=1时, 原式=2×22-2×1+10×12=8-2+10=16.
有这样一道题： “计算(2x3-3x2y-2xy2)-(x3-2xy2+y3)+(-x3+3x2y-y3)的值，其中x= ? ? ，y=-1”.甲同学把“x= ? ? ”错抄成“x=- ? ? ”,但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果.
解：(2x3-3x2y-2xy2)-(x3-2xy2+y3)+(-x3+3x2y-y3)=2x3-3x2y-2xy2-x3+2xy2-y3-x3+3x2y-y3=-2y3=-2×(-1)3=2.因为化简的结果中不含x，所以原式的值与x值无关.
同 类 项
合并同类项
步骤
一找、二移、三并、四计算
(一加两不变)
两无关
小明在求多项式6a–5b与多项式8a–4b的差时，列出算式(6a–5b)–(8a–4b). 但小明想：这种含括号的式子该如何计算呢？
去括号化简整式
利用乘法分配律计算:你有几种方法？
–7(3y–4)=？
去括号法则
2x+16
–9x–12
–49y+35
(1)3(x+8)=3x+8
(2)–3(x–8)=–3x–24
(4)–2(6–x)=–12+2x
(3)4(–3–2x)=–12+8x
3x+3×8
错因:分配律，数字8漏乘3.
–3x+24
错因:括号前面是负数,去掉负号和括号后每一项都变号.
错因:括号前面是正数,去掉正号和括号后每一项都不变号.
–12–8x
判一判
去括号法则
1. 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；2. 如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．
讨论比较+(x–3)与 –(x–3)的区别？
+(x–3)与–(x–3)可以分别看作1与–1分别乘(x–3).
注意：准确理解去括号的规律.去括号时括号内的每一项的符号都要考虑，做到要变都变，要不变则都不变；另外，括号内原来有几项，去掉括号后仍然有几项.
例1 化简下列各式：
(1)8a+2b+(5a–b)； (2)(5a–3b)–3(a2–2b)；
解：原式=8a+2b+5a–b =13a+b；
解：原式=(5a–3b)–(3a2–6b) =5a–3b–3a2+6b =–3a2+5a+3b；
去括号合并同类项
(3)(2x2＋x)–[4x2–(3x2–x)]．[
解：原式=2x2＋x–(4x2–3x2＋x) =2x2＋x–(x2＋x) =2x2＋x–x2–x =x2．
要点归纳：1.当括号前面有数字因数时，可应用乘法分配律将这个数字因数乘以括号内的每一项，切勿漏乘．2. 当含有多重括号时，可以由内向外逐层去括号，也可以由外向内逐层去括号．每去掉一层括号，若有同类项可随时合并，这样可使下一步运算简化，减少差错．
1.化简：(1)3(a2–4a+3)–5(5a2–a+2)；(2)3(x2–5xy)–4(x2+2xy–y2)–5(y2–3xy)；(3)abc–[2ab–(3abc–ab)+4abc]
解：(1)原式=3a2–12a＋9–25a2+5a–10 =–22a2–7a–1；
(2)原式=3x2–15xy–4x2–8xy+4y2–5y2+15xy =–x2–8xy–y2；
(3)原式=abc–(2ab–3abc+ab+4abc) =abc–3ab–abc=–3ab.
例2 两船从同一港口出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中速度都是50千米/时，水流速度是a千米/时.
问: (1)2小时后两船相距多远?
解：顺水速度=船速+水速=(50+a)km/h, 逆水速度=船速–水速=(50–a)km/h. 2小时后两船相距(单位：km) 2(50+a)+2(50–a)=100+2a+100–2a=200.
去括号化简的应用
解：2小时后甲船比乙船多航行(单位：km) 2(50+a)–2(50–a)=100+2a–100+2a =4a.
(2)2小时后甲船比乙船多航行多少千米?
例2 两船从同一港口出发反向而行，甲船顺水，乙船逆水，两船在静水中速度都是50千米/时，水流速度是a千米/时.
2.飞机的无风航速为x千米/时，风速为20千米/时，飞机顺风飞行4小时的行程是多少？飞机逆风飞行3小时的行程是多少？两个行程相差多少？解：顺风航速=无风航速___风速=____________ 逆风航速=无风航速___风速=____________飞机顺风飞行4小时的行程是:飞机逆风飞行3小时的行程是:两个行程相差:
+
4(x+20)=(4x+80)(千米)
–
(x+20)(千米)
(x– 20)(千米)
3(x–20)=(3x–60)(千米)
(4x+80)–(3x–60)= 4x+80–3x+60=x+140(千米)
归纳总结：在化简时要注意去括号时是否变号；在代入时若所给的值是负数、分数、有乘方运算的，代入时要添上括号.
解：原式=5xy2–(–xy2＋2x2y)＋2x2y–xy2 =5xy2.
当x＝–4，y＝ 时，原式=5×(–4)×( )2= –5.
去括号化简求值
解：∵ m是绝对值最小的有理数，∴m=0∵ 与 是同类项∴ ∴∴
3. 已知m是绝对值最小的有理数， 且 与是同类项，求 的值.
1.(2018•岳阳)已知a2+2a=1，则3(a2+2a)+2的值为　　．
解析：∵a2+2a=1， ∴3(a2+2a)+2=3×1+2=5.
5
解析：A. x=3、y=3时，输出结果为32+2×3=15； B. x= –4、y= –2时，输出结果为(–4)2–2×(–2)=20； C. x=2、y=4时，输出结果为22+2×4=12； D. x=4、y=2时，输出结果为42+2×2=20．
C
1. 下列去括号的式子中，正确的是( )A. a2–(2a–1)= a2–2a–1B. a2+(–2a–3)= a2–2a+3C. 3a– [5b – (2c–1)]= 3a–5b +2c–1D. –(a +b) + (c–d)]= –a – b –c+d
C
3. 已知a–b=–3,c+d=2,则(b+c)–(a–d)的值为( ) A.1 B.5 C.–5 D.–1
D
B
化简下列各式：(1)8m＋2n＋(5m–n)； (2)(5p–3q)–3( 　 )．
解：
先化简，再求值：2(a＋8a2＋1–3a3)–3(–a＋7a2–2a3)，其中a＝–2.
解：原式=–5a2＋5a＋2.
a＝–2时，原式=–28.
去括号法则
括号前是“+”
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
括号前是“–”
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反．

数字游戏
重复几次看看，谁能先发现这些和有什么规律？对于任意一个两位数都成立吗？
如果用a，b分别表示一个两位数的十位数字和个位数字，那么这个两位数可以表示为： .交换这个两位数的十位数字和个位数字，得到的数是： .将这两个数相加：
10a+b
10b+a
结论：这些和都是11的倍数.
整式的加减
+ = .
10a+b+10b+a=11a+11b=11(a+b)
(10a+b)
(10b+a)
你又发现什么了规律？
原三位数728，百位与个位交换后的数为827,由728 –827= – 99.你能看出什么规律并验证它吗？
举例
任意一个三位数可以表示100a+10b+c
设原三位数为100a+10b+c，百位与个位交换后的数为100c+10b+a,它们的差为：
(100a+10b+c) –( 100c+10b+a)= 100a+10b+c–100c–10b–a=99a–99c=99(a–c)
验证
在上面的两个问题中，分别涉及了整式的什么运算？说说你是如何运算的？
去括号、合并同类项
八字诀
整式的加减运算
例1 计算： (1)(2a–3b)+(5a+4b)；
=2a–3b+5a+4b
=7a+b
去括号
合并同类项
=8a–7b–4a+5b
=4a–2b
去括号
合并同类项
考查整式加减的运算能力
(2)(8a–7b)–(4a–5b)
1.计算：2a+3b–5(a+2b)的结果是
解析：2a+3b–5(a+2b) =2a+3b–5a–10b = –3a–7b.答案：–3a–7b
–3a–7b
解：
有括号要先去括号
有同类项再合并同类项
结果中不能再有同类项
求上述两多项式的差.
答案： − 12x2+5x+7
整式的加减的列式求和问题
变式训练
3. 运算结果，常将多项式的某个字母(如x)的降幂(升幂)排列.
1. 几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起 来，再用加、减符号连接，然后进行运算．
2. 整式加减实际上就是： 去括号、合并同类项.
2. 求3x2–6x+5与4x2+7x–6的差. 解：(3x2–6x+5) –(4x2+7x–6) = 3x2–6x+5–4x2–7x+6 = –x2–13x+11.
的值，其中 .
例3 求
先将式子化简，再代入数值进行计算.
解：
当 时，
原式
→去括号
→合并同类项
﹜
将式子化简
整式的化简求值
3.先化简下列各式,再求值:(1) 3a2–2(2a2+a)+2(a2–3a),其中a= –2.(2) 5x2y– [3x2y–2(2xy–x2y) –4x2]–3xy,其中x= –3, y= –2.
解：原式=5x2y–[3x2y–4xy+2x2y–4x2]–3xy =5x2y–3x2y+4xy–2x2y+4x2–3xy =4x2+xy. 当x= –3,y= –2时,原式=4×(–3)2+(–3)×(–2)=36+6=42.
解：3a2–2(2a2+a)+2(a2–3a) =3a2–4a2–2a+2a2–6a =a2–8a. 当a= –2时,原式=(–2)2–8×(–2)=4+16=20.
整式的加减的应用
例4 一种笔记本的单价是x元，圆珠笔的单价是y元,小红买这种笔记本3本，买圆珠笔2支；小明买这种笔记本4本，买圆珠笔3支.买这些笔记本和圆珠笔，小红和小明一共花费多少钱？
解：小红买笔记本和圆珠笔共花费(3x+2y)元，小明买笔记本和圆珠笔共花费(4x+3y)元.
小红和小明一共花费(单位：元)
(3x+2y)+(4x+3y)
=3x+2y+4x+3y
=7x+5y
你还有其他解法吗？
另解：小红和小明买笔记本共花费(3x+4x)元，买圆珠笔共花费(2y+3y)元.
小红和小明一共花费(单位：元)
(3x+4x)+(2y+3y)
= 7x+5y
分别计算笔记本和圆珠的花费.
4.一块地共有(6a+14b)亩，其中有(4a+8b)亩种粮食，种蔬菜的亩数是种粮食的 剩下的地种果树，求种果树的地有多少亩.解：由题意知，种蔬菜的亩数是 则种果树的地有： =6a+14b–4a–8b–2a–4b=2b(亩).答：种果树的地有2b亩.
例5 做大小两个长方体纸盒，尺寸如下(单位：cm):　　 (1)做这两个纸盒共用料多少平方厘米？
a
b
c
1.5a
2b
2c
解：小纸盒的表面积是( )cm2 .
(1)做这两个纸盒共用料 (2ab+2bc+2ac)+(6ab+8bc+6ac)
= 2ab+2bc+2ac+6ab+8bc+6ac
= 8ab+10bc+8ac (cm2 )
a
b
c
1.5a
2b
2c
做大纸盒比做小纸盒多用料:
(6ab+8bc+6ac)–(2ab+2bc+2ac)
= 6ab+8bc+6ac– 2ab–2bc–2ac
= 4ab+6bc+4ac(cm2 )
(2)做大纸盒比小纸盒多用料多少平方厘米？
小纸盒的表面积是(2ab+2bc+2ac)cm2.大纸盒的表面积是(6ab+8bc+6ac)cm2.
a
b
c
1.5a
2b
2c
整式加减解决实际问题的一般步骤： ⑴ 根据题意列代数式； ⑵ 去括号、合并同类项； ⑶ 得出最后结果.
5. 小红和小兰房间窗户的装饰物如图所示，它们分别由两个四分之一圆和四个半圆组成(半径相同).问谁的房间的光线好，请说明理由.
小红
小兰
解：要知谁的房间的光线好，只要比较谁的房间窗户装饰物用的材料少即可.此时小红的房间用料为: 而小兰的房间用料为: 由于 所以小兰的房间用的材料少，即小兰的房间光线好.
(2018•安徽)据省统计局发布，2017年我省有效发明专利数比2016年增长22.1%．假定2018年的年增长率保持不变，2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，则(　　)A．b=(1+22.1%×2)a B．b=(1+22.1%)2aC．b=(1+22.1%)×2a D．b=22.1%×2a
解析：因为2016年和2018年我省有效发明专利分别为a万件和b万件，所以b=(1+22.1%)2a．
B
1.(2018•河北)有三种不同质量的物体“ ”“ ”“ ”，其中，同种物体的质量都相等，现在在左右手中同样的盘子上放着不同个数的物体，只有一组左右质量不相等，则该组是( 　)
A
2.若A是一个二次二项式，B是一个五次五项式，则B –A一定是(　 ) A.二次多项式 B. 三次多项式　　 C.五次三项式 D. 五次多项式
A.2 B.–2 C.4 D.–4
D
C
2. 若mn = m+3，则2mn+3m–5mn+10=______.
–9a2+5a–4
1
3.计算.
(1) – ab3+2a3b– a2b–ab3– a2b–a3b (2) (7m2–4mn–n2)–(2m2–mn+2n2) (3) –3(3x+2y)–0.3(6y–5x)(4)( a3–2a–6)– ( a3–4a–7)
答案：(1)
某公司计划砌一个形状如下图(1)的喷水池，后有人建议改为如下图(2)的形状，且外圆直径不变，只是担心原来备好的材料不够，请你比较两种方案，哪一种需用的材料多(即比较两个图形的周长)？若将三个小圆改为n个小圆，又会得到什么结论？
解：设大圆半径为R，小圆半径依次为r1，r2，r3， 则图(1)的周长为4πR，图(2)的周长为2πR+2πr1+2πr2+2πr3=2πR+2π(r1+r2+r3)， 因为2r1+2r2+2r3=2R， 所以r1+r2+r3=R，因此图(2)的周长为 2πR+2πR=4πR． 这两种方案，用材料一样多，将三个小圆改为n个小圆，用料还是一样多．
R
2r1+2r2+2r3=2R
整式的加减
3.1 从算式到方程3.1.1 一元一次方程
汽车匀速行驶途经王家庄、青山、秀水三地的时间如表所示，翠湖在青山、秀水两地之间，距青山50千米，距秀水70千米．王家庄到翠湖的路程有多远？
你会用算术方法解决这个实际问题吗？
汽车匀速行驶途经王家庄、青山、秀水三地的时间如表所示，翠湖在青山、秀水两地之间，距青山50千米，距秀水70千米．王家庄到翠湖的路程有多远？
用算术方法解决
如果设王家庄到翠湖的路程为x千米，你能列出方程吗？
汽车匀速行驶途经王家庄、青山、秀水三地的时间如表所示，翠湖在青山、秀水两地之间，距青山50千米，距秀水70千米．王家庄到翠湖的路程有多远？
50千米
70千米
示意图
用方程来解决
　 在小学，我们已经见过像 2x=50，3x+1=4，5x-7=8 这样简单的方程，还有下面列出的式子：
方程
含有未知数的等式
又如:
|x+5| =2
x2 –8x+2=0
x+1=2x-5
6x-11=12
方程和一元一次方程的概念
如：
一辆快车和一辆慢车同时从A地出发沿同一公路同方向行驶，快车的行驶速度是70 km/h，慢车的行驶速度是60 km/h，快车比慢车早1 h经过B地，A，B两地间的路程是多少？
1h
60 km/h
70 km/h
(1) 上述问题中涉及到了哪些量？
快车70 km/h，慢车60 km/h
快车比慢车早1h经过B地
AB之间的路程
速度：
时间：
路程：
快车每小时比慢车多走10km
60km
相同的时间，快车比慢车多走60km
快车走了6h
算式：60 ÷(70-60)×70=420(km)


（2）如果将AB之间的路程用x表示，用含x的式子表示下列时间关系：
快车行完AB全程所用时间：
慢车行完AB全程所用时间：
两车所用的时间关系为：快车比慢车早到1h
即：（ ）- （ ）=1
慢车用时
快车用时
（3）如果用y表示快车行完AB的总时间，你能从快车与慢车的路程关系中找到等量关系，从而列出方程吗？
方 程： 70 y =60（y+1）
等量关系: 快车y小时路程=慢车（y+1）小时路程
（4）如果用z表示慢车行完AB的总时间，你能找到等量关系列出方程吗?
方 程： 70（z-1）=60z
等量关系：慢车z小时路程=快车提前1小时走的路程

比较：列算式和列方程.
列算式:列出的算式表示解题的计算过程, 只能用已知数.对于较复杂的问题,列算式比较困难.
列方程:方程是根据题中的等量关系列出的等式. 既可用已知数,又可用未知数,解决问题比较方便.
观察下列方程，它们有什么共同点？
70 y=60（y+1）
70（z-1）=60z
问题1 每个方程中，各含有几个未知数？
问题2 说一说每个方程中未知数的次数.
问题3 等号两边的式子有什么共同点？
1个
1次
都是整式
这样的方程叫做一元一次方程.
等号两边都是整式，
（一次）
只含有一个未知数,
（一元）
未知数的次数都是1,
一元一次方程
例1 哪些是一元一次方程？（1） ； （2） ； （3） ； （4） ；（5） ； （6） ；（7） .
（4）（5）是一元一次方程.
解析： 只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1（次）的整式方程叫做一元一次方程．
一元一次方程的识别
不是等式
不是整式方程
√
√
1. 下列哪些是一元一次方程？
2或－2
1
注：一元一次方程中求字母的值，需谨记两个条件： ①未知数的次数为1；②未知数的系数不为0.
利用一元一次方程的定义求字母的值
加了限制条件，需进行取舍.
2.方程3x5-2k -8=0是关于x的一元一次方程，则k=_____.
2
3.方程x|m| +4=0是关于x的一元一次方程，则m=_____.
4.方程(m-1)x -2=0是关于x的一元一次方程，则m_____.
1或-1
≠1
例3 根据下列问题，设未知数并列出方程： (1) 用一根长24 cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？
解：设正方形的边长为x cm.
等量关系：正方形边长×4=周长，
列方程： .
x
根据实际问题建立方程模型
(2) 一台计算机已使用1700 h，预计每月再使用150 h，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450 h？
解：设x月后这台计算机的使用时间达到2450 h.
等量关系：已用时间+再用时间=检修时间，
列方程： .
(3) 某校女生占全体学生数的52%，比男生多8人，这个学校一共有多少学生？
解：设这个学校的学生人数为x，那么女生人数为 0.52x，男生人数为(1- 0.52)x.
列方程：0.52x- (1-0.52)x=8.
等量关系：女生人数- 男生人数=8，
例4 某文具店一支铅笔的售价为1.2元，一支圆珠笔的售价为2元．该店在“6·1”儿童节举行文具优惠售卖活动，铅笔按原价打8折出售，圆珠笔按原价打9折出售，结果两种笔共卖出60支，卖得金额87元.求卖出铅笔的支数.
解：设卖出铅笔x支，则卖出圆珠笔（60-x）支. 等量关系：x支铅笔的售价+（60-x）支圆珠笔的售价=87 列方程： .
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法.
思考：1. 怎样将一个实际问题转化为方程问题？ 2. 列方程的依据是什么？
抓关键句子找等量关系
实际问题
(1)某长方形足球场的周长为310米，长和宽之差为25米，求这个足球场的宽．
解：设这个足球场的宽为x米，依题意，得2x＋2(x＋25)＝310
解：设从甲队调给乙队x人，依题意，得54－x＝ (66＋x)
(2)甲队有54人，乙队有66人，问从甲队调给乙队几人，可使甲队的人数是乙队人数的三分之一 ？
5. 根据下列问题，设出未知数，列出方程：
方程的解
对于方程4x=24，容易知道 x = 6可以使等式成立， 对于方程 170+15x =245，你知道 x 等于什么时，等式成立吗？我们来试一试.
我们知道当x=5时，170+15x的值是245，所以方程 170+15x = 245中的未知数的值应是5．
185
200
215
230
245
260
170+15x
使方程等号两边相等的未知数的值叫做方程的解.
2x-3=5x-15
x=4是方程2x-3=5x-15的解.
左边=2×3-3 = 3
右边=5×3-15 = 0
x= 4, 5, 6时呢?
把x=3代入方程：
因为 左边≠右边
所以 x=3不是方程的解
解：
使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解.求方程解的过程叫做解方程.
方程的解
例5 x=1000和x=2000中哪一个是方程 0.52x-(1-0.52)x=80 的解？
解：当x=1000时，方程左边=0.52×1000-(1-0.52)×1000=520-480=40， 右边=80，左边≠右边，所以x=1000不是此方程的解. 当 x=2000时，方程左边= 0.52×2000-(1-0.52)×2000=1040-960=80， 右边=80，左边=右边，所以x=2000是此方程的解.
方程的解的识别
1. 将数值代入方程左边进行计算;
2. 将数值代入方程右边进行计算;
3. 若左边＝右边，则是方程的解，反之，则不是．
判断一个数值是不是方程的解的步骤：
B
D
(咸宁中考)由于受H7N9禽流感的影响,我市某城区今年2月份鸡的价格比1月份下降a%,3月份比2月份下降b%,已知1月份鸡的价格为24元/千克.设3月份鸡的价格为m元/千克,则(　　)A. m=24(1-a%-b%) B. m=24(1-a%)b%C. m=24-a%-b% D. m=24(1-a%)(1-b%)
D
2. 若 x =1是方程x2 －2mx +1=0的一个解，则m的值为（ ）. A. 0 B. 2 C. 1 D. -1
B
C
①②③④⑤
②③
3. 下列方程： ； ； ； ； 其中是方程的是 ，是一元一次方程的 是 ．(填序号)
根据下列问题，找出等量关系，设未知数列出方程， 并指出其是不是一元一次方程.
（1）环形跑道一周长400m，沿跑道跑多少周，可以跑3000m？
解：设沿跑道跑x周.
400x=3000， 是一元一次方程.
（2）甲种铅笔每支0.3 元，乙种铅笔每支0.6 元，用 9 元钱买了两种铅笔共20 支，两种铅笔各买了多少支？
解：设甲种铅笔买了x支，乙种铅笔买了(20-x)支.
0.3x+0.6(20－x)=9， 是一元一次方程.
（3）一个梯形的下底比上底多2 cm，高是5 cm，面积是40 cm2，求上底．
解：设上底为x cm，则下底为(x+2)cm.
， 是一元一次方程.
已知方程 是关于x的一元一 次方程，求m的值，并写出其方程．
解：因为方程 是关于x的一元一次方程， 所以|m|－1 = 1，且m－2≠0，得m = －2. 所以原方程为－4x+3 = －7.
方程
方程
建立方程模型
含有未知数的等式叫做方程.

一元一次方程
只含有一个未知数，未知数的次数是1，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程.
方程的解
解方程就是求出使方程中等号两边相等的未知数的值，这个值就是方程的解.
实际问题
一元一次方程
设未知数
找等量关系
列方程
3.1 从算式到方程3.1.2 等式的性质
从图中可以发现，如果在平衡的天平的两边都加（或减）同样的量，天平还保持平衡吗？
b
a
天平与等式
把一个等式看作一个天平，把等号两边的式子看作天平两边的砝码，则等式成立就可看作是天平保持两边平衡.
等式的左边
等式的右边
等式的性质 1
a
你能发现什么规律？
a
右
左
你能发现什么规律？
a
右
左
你能发现什么规律？
a
b
右
左
你能发现什么规律？
b
a
右
左
你能发现什么规律？
b
a
a = b
右
左
你能发现什么规律？
b
a
a = b
c
右
左
你能发现什么规律？
c
b
a
a = b
右
左
你能发现什么规律？
a
c
b
a = b
右
左
你能发现什么规律？
c
b
c
a
a = b
右
左
你能发现什么规律？
c
b
c
a
a = b
a+c b+c
=
右
左
你能发现什么规律？
c
c
a = b
右
左
你能发现什么规律？
c
a = b
右
左
你能发现什么规律？
c
a = b
右
左
你能发现什么规律？
a = b
右
左
你能发现什么规律？
a = b
a-c b-c
=
右
左
你能发现什么规律？
?
?
1+2 ＝ 3
上述两个问题反映出等式具有什么性质？
1+2 ＝ 3
等式的两边同时加上(或减去)同一个数所得的结果仍是等式．
?
?
2x+3x ＝ 5x
2x+3x ＝ 5x
上述两个问题反映出等式具有什么性质？
等式的两边同时加上(或减去)同一个式子，所得的结果仍是等式．
等式的两边同时加上(或减去)同一个数或同一个式子，所得的结果仍是等式．
天平两边同时
天平仍然平衡
加入
拿去
相同质量的砝码
相同的数 (或式子)

等式两边同时
加上
减去
等式仍然成立
换言之，
等式两边同时加 (或减) 同一个数 (或式子)，结果仍相等.
如果a=b，那么a±c=b±c.
等式的性质1
在下面的括号内填上适当的数或者式子：
1.因为： 所以：
2.因为： 所以：
3.因为： 所以：
想一想、练一练
b
a
a = b
右
左
等式的性质 2
你能发现什么规律？
b
a
a = b
右
左
a
b
2a = 2b
你能发现什么规律？
b
a
a = b
右
左
b
b
a
a
3a = 3b
你能发现什么规律？
b
a
a = b
右
左
b
b
b
b
b
b
a
a
a
a
a
a
C个
C个
ac = bc
你能发现什么规律？
b
a
你能发现什么规律？
a = b
右
左
（c≠0）
?
?
3m+5m ＝ 8m
3m+5m ＝ 8m
上述两个问题反映出等式具有什么性质？
等式两边同时乘同一个数,或除以同一个不为0的数，结果仍相等.
如果a=b，那么ac=bc；如果a=b（c≠0），那么 .
代数式形式
等式的性质
1.等式两边都要参加运算，且是同一种运算．2.等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子．3.等式两边不能都除以０，即０不能作除数或分母．
注意
识别等式变形的依据
例1 (1) 怎样从等式 x－5= y－5 得到等式 x = y ?
依据等式的性质1两边同时加5.
依据等式的性质1两边同时减3.
(2) 怎样从等式 3+x=1 得到等式 x =－2?
(3) 怎样从等式 4x=12 得到等式 x =3?
(2) 从 a+2=b+2 能不能得到 a=b，为什么?
(3) 从－3a=－3b 能不能得到 a=b，为什么?
(4) 从 3ac=4a 能不能得到 3c=4，为什么?
能，根据等式的性质2，两边同时除以9.
能，根据等式的性质1，两边同时加上-2.
能，根据等式的性质2，两边同时除以-3.
不能，a可能为0.
1.指出等式变形的依据.
例2 已知mx=my，下列结论错误的是 （ ） A. x=y B. a+mx=a+my C. mx－y=my－y D. amx=amy
解析：根据等式的性质1，可知B、C正确；根据等式的性质2，可知D正确；根据等式的性质2，A选项只有m≠0时才成立，故A错误．
A
易错提醒：此类判断等式变形是否正确的题型中，尤其注意利用等式的性质2等式两边同除以某个字母，只有这个字母确定不为0时，等式才成立.
判断等式变形的对错
(1)如果x=y,那么                     （      ）   (2)如果x=y,那么                    （      ）(3)如果x=y,那么                     （      ）(4)如果x=y,那么                    （      ） (5)如果x=y,那么                    （      ） 
2.判断对错，对的说明根据等式的哪一条性质；错的说出为什么。
×
√
×
×
√
左边加右边减，等式不成立
当a=5时，无意义
两边乘的数不相等
等式性质1
等式的性质1和性质2
利用等式的性质解方程
例3 利用等式的性质解下列方程： (1) x + 7 = 26
解:
得：
方程两边同时减去7，
x + 7 = 26
=
x
19
小结：解一元一次方程要“化归”为“ x=a ”的形式.
(2) -5x = 20
思考：为使 (2) 中未知项的系数化为1，将要用到等式的什么性质 ？
化简得：
x=-4
-5x÷(-5)= 20 ÷(-5)
解：方程两边同时加上5得：
化简得：

方程两边同时
乘-3，
得： x =
-27
思考：对比(1)，(3)有什么新特点 ？
(3)
一般地，从方程解出未知数的值以后，可以代入原方程检验，看这个值能否使方程的两边相等. 例如，将 x = －27 代入方程 的左边，
(1) x+6 = 17 ;
(2) -3x = 15 ;
(3) 2x-1 = -3 ;
解：两边同时加上1，得2x=-2.
两边同时除以2，得x=-1.
两边同时乘以-3，得x=9.
3.利用等式的性质解下列方程.
经过对原方程的一系列变形(两边同加减、乘除)，最终把方程化为最简的等式： x = a(常数） 即方程左边只一个未知数项、且未知数项的系数是 1,右边只一个常数项.
解析：设一个球体重x，圆柱重y，正方体重z．根据等量关系列方程2x=5y；2z=3y，消去y可得：x= ? ? z，则3x=5z，即三个球体的重量等于五个正方体的重量．
D
1. 下列说法正确的是（ ）A. 等式都是方程B. 方程都是等式C. 不是方程的就不是等式D. 未知数的值就是方程的解
B
A
B
加3
1
2
2
减y
1
除以x
2
解： x=6+5
x=11
把x=11代入方程的左边，得6，等于右边，所以x=11是方程的解.
（2）x=45÷0.3
解： x=150
把x=150代入方程的左边，得45，等于右边，所以x=150是方程的解.
利用等式的性质解下列方程并检验：
(1)
把 代入方程的左边，得-4，等于右边，所以 是方程的解.
（3）5x=-4
（4）
把x=-4代入方程的左边，得1，等于右边，所以x=-4是方程的解.
解:
利用等式的性质解下列方程并检验：
解:
等式的基本性质
基本性质1
基本性质2
应用
3.2 解一元一次方程（一）——合并同类项与移项
+ =
―
4a 2a
6
4xy ― xy =
3xy
a
你能从生活中观察出什么数学规律吗？
数字(系数)相加,相同物体(字母部分)不变
系数相加作为和的系数。字母部分不变。
合并同类项法则
某校三年共购买计算机组140台，去年购买数量是前年的 2倍，今年购买数量又是去年的2倍．前年这个学校购买 了多少台计算机？
　　设前年这个学校购买了计算机x台，则去年购买计算 机_____台，今年购买计算机_____台，
根据问题中的相等关系 (总量等于各部分量的和) 即：
前年购买量＋去年购买量＋今年购买量＝140台
列得方程
x + 2x +4x = 140
2x
4x
思考：怎样解这个方程呢？
程大位，明代商人，珠算发明家，历经二十年，于明万历壬辰年（1592年）写就巨著《算法统宗》.《算法统综》搜集了古代流传的595道数学难题并记载了解决方法，堪称中国16—17世纪数学领域集大成的著作.在该书中，有一道“百羊问题”：　
甲赶羊群逐草茂，乙拽一羊随其后，　　　　戏问甲及一百否？甲云所说无差谬，　　　　若得这般一群凑，于添半群小半群，　　　　得你一只来方凑，玄机奥妙谁猜透．
（注：小半即四分之一）
如何解这个方程呢？
合并同类项解一元一次方程
1.含有相同的_____，并且相同字母的_____也相同的项，叫做同类项；2.合并同类项时，把各同类项的_____相加减，字母和字母的指数_____.
字母
指数
系数
不变
－2x
4x
4y
－ y
x + 2x + 4x = 140
尝试把一元一次方程转化为 x = m 的形式.
依据：乘法对加法的分配律
合并同类项
系数化为1
依据：等式性质2
上述解方程中的“合并”起了什么作用？
解方程中“合并”起了化简作用，把含有未知数的项合并为一项，从而把方程转化为ax = b的形式，其中a、b是常数,“合并”的依据是逆用分配律.
解：合并同类项，得
系数化为1，得
利用合并同类项解简单的方程
解：合并同类项，得
系数化为1，得
解下列方程：
变式训练
解：合并同类项，得
系数化为1，得
解：合并同类项，得
去绝对值，得
系数化为1，得
x=60
1. 解下列方程： (1) 5x－2x = 9； （2） .
解：合并同类项，得 3x=9,
系数化为1，得 x=3.
解：合并同类项，得 2x=7,
例2 有一列数，按一定规律排列成1，-3，9，-27，81，-243 ··· . 其中某三个相邻数的和是-1701，这三个数各是多少？
列方程解答实际问题
由三个数的和是-1701，得
合并同类项，得
系数化为1，得
答：这三个数是 -243，729，-2187.
所以
实际问题
一元一次方程
设未知数　　　
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是解决实际问题的一种数学方法.
用方程解决实际问题的过程
列方程
解方程
作答
解：设这三个数分别是x-1, x, x+1. 根据题意得 (x-1)+x+(x+1)=27 去括号，得 x-1+x+x+1=27 合并同类项得 3x=27 化系数为1得 x=9 x-1=8， x+1=10答：这三个数分别是8，9，10。
2. 三个连续整数的和等于27，求这三个数.
例3 足球表面是由若干个黑色五边形和白色六边形皮块围成的，黑、白皮块数目的比为3:5，一个足球表面一共有32个皮块，黑色皮块和白色皮块 各有多少个？
解：设黑色皮块有3x个，则白色皮块有5x个. 根据题意列方程 3x + 5x = 32， 解得 x = 4， 则黑色皮块有 3x = 12 (个)， 白色皮块有 5x = 20 (个). 答：黑色皮块有12个，白色皮块有20个．
方法归纳：当题目中出现比例时，一般可通过间接设元，设其中的每一份为x，然后用含x的代数式表示各数量，根据等量关系，列方程求解.
3. 请欣赏一首诗：太阳下山晚霞红，我把鸭子赶回笼；一半在外闹哄哄，一半的一半进笼中；剩下十五围着我，请算多少帮我忙。
你能列出方程来解决这个问题吗？
解：设有鸭子x只，
依题意，得
解得 x=60
答：鸭子有60只．
（2018•邵阳）程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题：一百馒头一百僧，大僧三个更无争，小僧三人分一个，大小和尚得几丁.
意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人，下列求解结果正确的是（　　）A．大和尚25人，小和尚75人 B．大和尚75人，小和尚25人C．大和尚50人，小和尚50人 D．大、小和尚各100人
解析：设大和尚有x人，则小和尚有（100﹣x）人， 根据题意得：3x+ 100−? 3 =100， 解得: x=25 则 100﹣x=100﹣25=75（人）. 所以，大和尚25人，小和尚75人．
A
1. 下列方程合并同类项正确的是 （ ） A. 由 3x-x＝-1＋3，得 2x ＝4 B. 由 2x＋x＝-7-4，得 3x ＝-3 C. 由 15-2＝-2x＋ x，得 3＝x D. 由 6x-2-4x＋2＝0，得 2x＝0
D
3. 某中学七年级（5）班共有学生56人，该班男生的人数是女生人数的2倍少1人．设该班有女生有x人，可列方程为_____________.
2x-1+x=56
2. 如果2x与x-3的值互为相反数，那么x等于（　）A．-1 B．1 C．-3 D．3
B
解方程: (1)-3x+0.5x=10. (2)3y-4y=-25-20.
解：合并同类项得 -2.5x=10,系数化为1，得 x=-4.
解：合并同类项得 -y=-45,系数化为1，得 y=45.
某洗衣厂2016年计划生产洗衣机25500台，其中Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型三种洗衣机的数量之比为1:2:14，这三种洗衣机计划各生产多少台?
答：计划生产Ⅰ型洗衣机1500台，Ⅱ型洗衣机3000台，Ⅲ型洗衣机21000台.
解：设计划生产Ⅰ型洗衣机x台，则计划生产Ⅱ型洗衣机2x台，Ⅲ型洗衣机14x台，依题意，得
x+2x+14x=25500，
解得x=1500,
则2x=3000，14x=21000.
3x+x+5x=180
合并同类项
系数化为1
等式的性质2
理论依据？
9x=140
x=20
希腊数学家丢番图（公元3～4世纪）的墓碑上记载着：
根据以上信息，你知道丢番图活了多少岁吗？
“他的生命的六分之一是幸福童年；再活了他生命的十二分之一，两颊长起了细细的胡须；他结了婚，又度过了一生的七分之一；再过五年，他有了儿子，感到很幸福；可是儿子只活了他父亲年龄的一半；儿子死后，他在极悲痛中度过了四年，也与世长辞了．”
2. 观察下列一元一次方程，与上题的类型有什么区别？
【想一想】怎样才能使它向 x=a (a为常数)的形式转化呢？
利用移项解一元一次方程
把一些图书分给某班同学阅读，如果每人3本，则剩余20本；若每人4本，则还缺少25本，这个班的学生有多少人？
分析：
设这个班有x名学生.
这批书共有（3x+20）本.
这批书共有（4x－25）本.
表示同一个量的两个不同的式子相等.（即：这批书的总数是一个定值）
3x+20=4x－25
思考：怎样解这个方程呢？
请运用等式的性质解下列方程：
(1) 4x－15 = 9；
解：两边都加15，得 4x-15+15 = 9 +15 合并同类项，得 4x = 24. 系数化为1，得 x = 6.
即 4x = 9 +15.
“-15”这项移动后，
从方程的左边移到了方程的右边.
(1) 4x－15 = 9 ①
4x = 9 +15 ②

观察方程①到方程②的变形过程，说一说有改变的是哪一项？它有哪些变化？
“-15”这一项
符号由“－”变“＋”
(2) 2x = 5x －21.解：两边都减5x，得 2x = 5x－21
－5x
－5x
2x－5x = －21.
合并同类项，得 －3x = －21.
系数化为1，得 x = 7.
(2) 2x = 5x －21 ③
2x－ 5x = －21 ④


一般地，把方程中的某些项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项.
移项的定义
下列方程的变形，属于移项的是（ ）A.由 -3x=24得x=-8B.由 3x+6-2x=8 得 3x-2x+6=8 C.由4x+5=0 得-4x-5=0D.由2x+1=0得 2x=-1
D
下列移项正确的是 ( )A. 由2＋x＝8，得到x＝8＋2 B. 由5x＝－8＋x，得到5x＋x＝ －8C. 由4x＝2x＋1，得到4x－2x＝1 D. 由5x－3＝0，得到5x＝－3
C
做一做
例1 解下列方程：
解：移项，得
合并同类项 ，得
系数化为1，得
利用移项解一元一次方程
（1）
解：移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
解一元一次方程ax+b=cx+d(a，b，c，d均为常数,且a≠c)的一般步骤：
ax－cx=d－b
移项
合并同类项
系数化为1
(a－c)x=d－b
1. 解下列方程：
(1) 5x-7=2x-10;
(2) -0.3x+3=9+1.2x.
解：移项，得
5x-2x=-10+7,
合并同类项，得
3x=-3,
系数化为1， 得
x=-1.
解：移项，得
-0.3x-1.2x=9-3,
合并同类项，得
-1.5x=6,
系数化为1，得
x=-4.
列方程解答实际问题
例2 某制药厂制造一批药品，如果用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200 t；如果用新工艺，则废水排量要比环保限制的最大量少100 t.新旧工艺的废水排量之比为2:5，两种工艺的废水排量各是多少？
旧工艺废水排量－200吨=新工艺排水量+100吨
解：若设新工艺的废水排量为2x t，则旧工艺的废水排量为5x t.由题意得
移项，得5x-2x=100+200,
系数化为1，得x=100,
合并同类项，得3x=300,
答：新工艺的废水排量为 200 t，旧工艺的废水排量为 500 t.
5x-200=2x+100,
所以2x=200,5x=500.
我区期末考试一次数学阅卷中，阅B卷第28题（简称B28）的教师人数是阅A卷第18题（简称A18）教师人数的3倍，在阅卷过程中，由于情况变化，需要从阅B28题中调12人到A18阅卷，调动后阅B28剩下的人数比原先阅A18人数的一半还多3人，求阅B28题和阅A18题的原有教师人数各为多少？
变式训练
调动前：阅B28题的教师人数=3×阅A18题的教师人数
调动后:阅B28题的教师人数-12=原阅A18题的教师人数÷2+3
解：设原有教师x人阅A18题，则原有教师3x人阅B28题，
所以 3x=18.
答：阅A18题原有教师6人，阅B28题原有教师18人.
2. 下面是两种移动电话计费方式：
问：一个月内，通话时间是多少分钟时，两种移动电话计费方式的费用一样？
解：设通话时间t分钟,则按方式一要收费(50+0.3t)元， 按方式二要收费(10＋0.4t). 如果两种移动电话 计费方式的费用一样， 则 50+0.3t＝ 10＋0.4t. 移项，得 0.3t－ 0.4t =10－50. 合并同类项，得 －0.1t =－40.　　系数化为1，得 t =400.　　答：一个月内通话400分钟时，两种计费方式的 费用一样.
（2018•张家界）列方程解应用题. 《九章算术》中有“盈不足术”的问题，原文如下： “今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三．问人数、羊價各幾何？” 题意是：若干人共同出资买羊，每人出5元，则差45元；每人出7元，则差3元．求人数和羊价各是多少？
解：设买羊为x人，则羊价为（5x+45）元， 5x+45=7x+3， x=21， 5×21+45=150（元）， 答：买羊人数为21人，羊价为150元．
1．下列变形属于移项且正确的是(　　)A．由2x－3y＋5＝0，得5－3y＋2x＝0B．由3x－2＝5x＋1，得3x－5x＝1＋2C．由2x－5＝7x＋1，得2x＋7x＝1－5D．由3x－5＝－3x，得－3x－5－3x＝0
B
2. 对方程4x－5＝6x－7－3x进行变形正确的是( )A．4x＝6x＋5＋7－3x B．4x－6x＋3x＝5－7C．4x－6x－3x＝5－7 D．4x－6x＋3x＝－5－7
B
5. 当x =_____时，式子 2x－1 的值比式子 5x+6 的值小1.
3. 已知 2m－3=3n+1，则 2m－3n = .
4
-2
解下列一元一次方程：
解： (1) x =-2； (2) t =20； (3) x =-4； (4) x =2.
有一些分别标有3，6，9，12…的卡片，后一张卡片上的数比前一张卡片上的数大3，从中任意拿相邻的三张卡片，若它们上面的数之和为108，则拿到的是哪三张卡片？
解：设这张卡片中最小的一个数为x，则另两个数分别为x＋3、x＋6，依题意列方程，得 x＋x＋3＋x＋6＝108， 解得 x＝33， 所以 x＋3＝36，x＋6＝39. 故这三张卡片上面的数分别是33，36，39.
移项解一元一次方程
定义
步骤
应用
注意：移项一定要变号
移项
合并同类项
系数化为1
3.3 解一元一次方程（二） ——去括号与去分母
某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2 000 kW·h(千瓦·时），全年用电15 万 kW·h.这个工厂去年上半年每月平均用电是多少？
分析：设上半年每月平均用电量列出方程xkW·h， 则下半年每月平均用电为(x－2000) kW·h． 上半年共用电为：6x kW·h； 上半年共用电为：6(x－2000) kW·h．
根据题意列出方程
6x＋6(x －2000)＝150000
化简下列各式： (1) (－3a＋2b) ＋3(a－b)； (2) －5a＋4b－(－3a＋b).
解：(1) 原式= －3a＋2b ＋ 3a－3b =－b； (2) 原式=－5a＋4b ＋ 3a － b= －2a+3b.
利用去括号解一元一次方程
去掉“+ ( )”，括号内各项的符号不变. 去掉“–( )”，括号内各项的符号改变.
去括号法则:
用三个字母a，b，c表示去括号前后的变化规律：
a + (b + c) =a -(b + c) =
a + b + ca -b - c
观察下面的方程，结合去括号法则，你能求得它的解吗？
6x + 6 ( x-2000 ) = 150000
去括号
6x + 6 ( x-2000 ) = 150000
6x+6x-12000=150000
6x+6x=150000+12000
12x=162000
x=13500
移项
合并同类项
系数化为1
例1 解下列方程：
解：去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
利用去括号解一元一次方程
探究新知
解：去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
探究新知
通过以上解方程的过程，你能总结出解含有括号的一元一次方程的一般步骤吗？
探究新知
1. 解下列方程：
解：去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
解：去括号，得
移项，得
合并同类项，得
系数化为1，得
(1) 6x ＝-2(3x-5) ＋10； (2) -2(x＋5)=3(x-5)-6.
2. 解下列方程：
解：
6x＝-6x＋10＋10
6x +6x＝10＋10
12x＝20
-2x-10 =3x-15-6
-2x-3x =-15-6＋10
-5x=-11
解：
分析 找等量关系.这艘船往返的路程相等，即 顺流速度___顺流时间___逆流速度___逆流时间.
×
＝
×
例2 一艘船从甲码头到乙码头顺流而行，用了 2 h；从乙码头返回甲码头逆流而行，用了 2.5 h．已知水流的速度是 3 km/h，求船在静水中的平均速度.
利用一元一次方程解答实际问题
探究新知
解：设船在静水中的平均速度为 x km/h，则顺流速度 为(x＋3) km/h，逆流速度为(x-3) km/h.
去括号，得 2x + 6 = 2.5x-7.5.
移项及合并同类项，得 0.5x = 13.5.
系数化为1，得 x = 27.
答：船在静水中的平均速度为 27 km/h.
根据顺流速度×顺流时间=逆流速度 ×逆流时间 列出方程，得
2( x+3 ) = 2.5( x-3 ).
探究新知
3.一架飞机在两城之间航行，风速为24 km/h，顺风飞行要2小时50分，逆风飞行要3小时，求两城距离．
解：设飞机在无风时的速度为x km/h，则在顺风中的速度为(x＋24) km/h ，在逆风中的速度为(x-24)km/h.
根据题意，得 .
解得 x=840.
两城市的距离为3×(840-24)=2448 (km).
答：两城市之间的距离为2448 km.
例3 为鼓励居民节约用电，某地对居民用户用电收费标准作如下规定：每户每月用电如果不超过100度，那么每度按0.50元收费；如果超过100度不超过200度，那么超过部分每度按0.65元收费；如果超过200度，那么超过部分每度按0.75元收费．若某户居民在9月份缴纳电费310元，那么他这个月用电多少度？
提示：若一个月用电200度，则这个月应缴纳电费为0.50×100+0.65×（200-100）=115元.故当缴纳电费为310元时，该用户9月份用电量超过200度.
探究新知
答：他这个月用电460度．
解：设他这个月用电x度，根据题意，得
0.50×100+0.65×(200-100)+0.75(x-200)=310，
解得 x=460．
方法总结：对于此类阶梯收费的题目，需要弄清楚各阶段的收费标准，以及各节点的费用.然后根据缴纳费用的金额，判断其处于哪个阶段，然后列方程求解即可.
探究新知
4.某中学计划给结成帮扶对子的农村希望小学捐赠40台电扇(分吊扇和台扇两种).经了解，某商店每台台扇的价格比每台吊扇的价格多80元，用1240元恰好可以买到3台台扇和2台吊扇.每台台扇和每台吊扇的价格分别为多少元？解：设每台台扇价格为x元，则每台吊扇价格为(x-80)元.根据题意，得3x+2(x-80)=1240.解得，x=280，所以x-80=200.答：每台台扇280元，每台吊扇200元.
解析：设中间数为x，则另外两个数分别为x﹣1、x+1，∴三个数之和为（x﹣1）+x+（x+1）=3x．根据题意得：3x=2019、3x=2018、3x=2016、3x=2013，解得：x=673，x=672 2 3 （舍去），x=672，x=671．∵673=84×8+1，∴2019不合题意，舍去；∵672=84×8，∴2016不合题意，舍去；∵671=83×8+7，∴三个数之和为2013．
D
1. 化简(x－1)－(1－x)＋(x＋1)的结果等于( ).A.3x-3 B.x-1C.3x-1 D.x-3
2. 解方程3-(x+6)=-5(x-1)时，去括号正确的是( ).A.3-x+6=-5x+5B.3-x-6=-5x+5C.3-x+6=-5x-5D.3-x-6=-5x+1
C
B
4. (5a－3b)－3(2a－4b)＝_______.
D
-a+9b
当x为何值时，式子3(x-2)和4(x+3)-4相等.解析:根据题意，得 3(x-2)=4(x+3)-4. 去括号，得 3x-6=4x+12-4. 移项，得 3x-4x=12-4+6. 合并同类项，得 -x=14. 系数化为1， x=-14.答：当x=-14时,式子3(x-2)和4(x+3)-4相等.
今年“六一”儿童节，张红用8.8元钱购买了甲、乙两种礼物，甲礼物每件1.2元，乙礼物每件0.8元，其中甲礼物比乙礼物少1件，问甲、乙两种礼物各买了多少件？
解:设张红购买甲礼物x件，则购买乙礼物(x+1)件， 根据题意，得 1.2x+0.8(x+1)=8.8， 解得， x=4， 所以 x+1=5. 答：甲种礼物买了4件，乙种礼物买了5件.
去括号解一元一次方程
步骤
去括号注意
解一元一次方程的步骤：去括号→移项→合并同类项→系数化为1.
若括号外的因数是负数，去括号时，原括号内各项的符号要改变.
英国伦敦博物馆保存着一部极其珍贵的文物——纸草书.这是古代埃及人用象形文字写在一种用纸莎草压制成的草片上的著作，它于公元前1700年左右写成.这部书中记载了许多有关数学的问题，下面的问题2就是书中一道注明的求未知数的问题。
数学小史料
思考：（1）题中涉及到哪些数量关系和相等关系？（2）引进什么样的未知，根据这样的相等关系列出方程？
一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33，求这个数.
分析：设这个数为x.
根据题意，得
思考： 这个方程与前面学过的一元一次方程有什么不同？怎样解这个方程呢？
2. 去分母时要注意什么问题?
想一想：
1. 若使方程的系数变成整系数方程，方程两边应该同乘以什么数?
解有分母的一元一次方程
 
 
 
 
 
系数化为1
去分母(方程两边同乘各分母的最小公倍数)
移项
合并同类项
去括号
下列方程的解法对不对？如果不对，你能找出错在哪里吗？ 解方程： 解：去分母，得 4x-1-3x + 6 = 1 移项，合并同类项，得 x=4
方程右边的“1”去分母时漏乘最小公倍数6
去括号符号错误
约去分母3后，(2x－1)×2在去括号时出错
例1 解下列方程：
解：去分母(方程两边乘4)，得 2(x+1) -4 = 8+ (2 -x).去括号，得 2x+2 -4 = 8+2 -x.移项，得 2x+x= 8+2 -2+4.合并同类项，得 3x = 12.系数化为1，得 x = 4.
解有分母的一元一次方程
1. 解下列方程：
解：去分母(方程两边乘6)，得 (x-1) -2(2x+1) = 6.去括号，得 x-1-4x-2 = 6.移项，得 x-4x = 6+2+1.合并同类项，得 -3x = 9.系数化为1，得 x = -3.
去分母(方程两边乘30)，得 6 (4x+9) －10(3+2x) = 15(x－5).去括号，得 24x+54－30－20x = 15x－75.移项，得 24x－20x－15x =－75－54+30 .合并同类项，得 －11x = －99.系数化为1，得 x = 9.
1. 去分母时，应在方程的左右两边乘以分母 的 ；
2. 去分母的依据是 ，去分母时不 能漏乘 ；
3. 去分母与去括号这两步分开写，不要跳步， 防止忘记变号.
最小公倍数
等式性质2
没有分母的项
例2 火车用26秒的时间通过一个长256米的隧道（即从车头进入入口到车尾离开出口），这列火车又以16秒的时间通过了长96米的隧道，求火车的长度．
去分母解方程的应用
解：设火车的长度为x米，列方程：
解得 x =160. 答：火车的长度为160米．
清人徐子云《算法大成》中有一首诗：巍巍古寺在山林，不知寺中几多僧．三百六十四只碗，众僧刚好都用尽．三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹．请问先生名算者，算来寺内几多僧？
诗的意思：3个僧人吃一碗饭，四个僧人吃一碗羹，刚好用了364只碗，请问寺内有多少僧人？
2.解答下边的问题.
解：设寺内有x个僧人，依题意得
解得 x=624.
答：寺内有624个僧人.
（2018•安徽）《孙子算经》中有这样一道题，原文如下：今有百鹿入城，家取一鹿，不尽，又三家共一鹿，适尽.问：城中家几何？ 大意为：今有100头鹿进城，每家取一头鹿，没有取完，剩下的鹿每3家共取一头，恰好取完，问：城中有多少户人家？ 请解答上述问题．
解：设城中有x户人家，依题意得： x+ ? 3 =100 解得x=75． 答：城中有75户人家．
C
1. 方程 去分母正确的是 ( ) A. 3－2(5x+7) = －(x+17) B. 12－2(5x+7) = －x+17 C. 12－2(5x+7) = －(x+17) D. 12－10x+14 = －(x+17)
课堂检测
1. 解方程.
解：去分母（方程两边同乘12），得　　 3（x-1） - 4（2x＋5） ＝ - 3×12　　去括号，得　　3x - 3 - 8x - 20＝ - 36　　移项，得　　 3x - 8x＝ - 36＋3＋20　　合并同类项，得 - 5x＝ - 13　　系数化为1,得
解：去分母（方程两边同乘12），得　　4（－x＋4）－12x＋5×12＝4（x－3）－3（x－1） 　　去括号，得　　 －4x+16－12x＋60＝4x－12－3x＋3　　移项，得　　 －4x－12x－4x＋3x＝－12＋3-16－60　　合并同类项，得　　 －17x＝－85　　系数化为1,得 x=5
解：去分母（两边同乘12），得　　 8（x-6） ＝3（-2x-3） -2　　去括号，得　　 8x-48＝-6x-9-2　　移项，得　　 8x＋6x＝-9-2＋48　　合并同类项，得　　 14x＝37　　系数化为1,得
2. 有一人问老师，他所教的班级有多少学生，老师说：“一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在学外语，还剩六位学生正在操场踢足球．”你知道这个班有多少学生吗？
答：这个班有56个学生.
解：这个班有x名学生，依题意得
解得 x=56.
丢番图的墓志铭:
“坟中安葬着丢番图,多么令人惊讶,它忠实地记录了所经历的道路.上帝给予的童年占六分之一.又过十二分之一,两颊长胡.再过七分之一,点燃结婚的蜡烛.五年之后天赐贵子,可怜迟到的宁馨儿,享年仅及其父之半,便进入冰冷的墓.悲伤只有用数论的研究去弥补,又过四年,他也走完了人生的旅途.”
你知道丢番图去世时的年龄吗?请你列出方程来算一算.
解：设丢番图活了x岁，据题意得
答：丢番图活了84岁.
解得 x=84.
3.4 实际问题与一元一次方程
前面我们学习了一元一次方程的解法，本节课，我们将讨论一元一次方程的应用. 生活中，有很多需要进行配套的问题，如课桌和凳子、螺钉和螺母、电扇叶片和电机等，大家能举出生活中配套问题的例子吗？
例1 某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母. 1个螺钉需要配 2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？
想一想：本题需要我们解决的问题是什么？题目中哪些信息能解决人员安排的问题？螺母和螺钉的数量关系如何？
配套问题
列表分析：
人数和为22人
22－x
螺母总产量是螺钉的2倍
等量关系：螺母总量=螺钉总量×2
解：设应安排 x 名工人生产螺钉，(22－x)名工人生产螺母. 依题意，得 2000(22－x)＝2×1200x . 解方程，得 x＝10. 所以 22－x＝12. 答：应安排10名工人生产螺钉，12名工人生产螺母.
列表分析：
1200 x
22－x
2000(22－x)
1200 x
解：设应安排 x 名工人生产螺钉，(22－x)名工人生产螺母.依题意，得 ????(??−?) ? =?????
解方程，得 x＝10. 所以22－x＝12.
生产调配问题通常从调配后各量之间的倍、分关系寻找相等关系，建立方程.解决配套问题的思路： 1.利用配套问题中物品之间具有的数量关系作为列方程的依据； 2.利用配套问题中的套数不变作为列方程的依据.
1. 如图，足球是由32块黑白相间的牛皮缝制而成的，黑皮可看作正五边形，白皮可看作正六边形，求白皮，黑皮各多少块？
分析：由图可得，一块白皮（六边形）中，有三边与黑皮（五边形）相连，因此白皮边数是黑皮边数的2倍．
32-x
6(32-x)
等量关系：白皮边数=黑皮边数×2
解：设足球上黑皮有x块，则白皮为(32-x)块，五边形的边数共有5x条，六边形边数有6(32-x)条．依题意,得 2×5x=6（32-x）, 解得 x=12，则32-x=20.答：白皮20块，黑皮12块.
2.一套仪器由一个 A 部件和三个 B 部件构成. 用1 立方米钢材可做 40 个 A 部件或 240 个 B 部件.现要用 6 立方米钢材制作这种仪器，应用多少钢材做 A 部件，多少钢材做B部件，才能恰好配成这种仪器？共配成多少套？
分析：由题意知 B 部件的数量是 A 部件数量的 3 倍，可根据这一等量关系式得到方程.
解：设应用 x 立方米钢材做 A 部件，则应用(6－x)立方米做 B 部件. 根据题意，列方程： 3×40x = (6－x)×240. 解得 x = 4. 则 6－x = 2. 共配成仪器：4×40=160 (套).
答：应用 4 立方米钢材做 A 部件， 2 立方米钢材做 B 部件，共配成仪器 160 套.
如果把总工作量设为1，则人均效率 (一个人 1 h 完成的工作量) 为 ，
x人先做 4h 完成的工作量为 ，增加 2 人后再做 8h 完成的工作量为 ，
这两个工作量之和等于 .
工程问题
例2 整理一批图书，由一个人做要 40 h 完成. 现计划由一部分人先做 4 h，然后增加 2人与他们一起做8 h，完成这项工作. 假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人工作？
分析：在工程问题中：工作量=人均效率×人数×时间； 工作总量=各部分工作量之和.
总工作量
解：设先安排 x 人做4 h，根据题意得等量关系： 可列方程 解方程，得 4x＋8(x＋2)＝40， 4x＋8x＋16＝40， 12x＝24， x＝2. 答：应先安排 2人做4 小时.
3. 加工某种工件，甲单独做要20天完成，乙只要10天就能完成任务，现在要求二人在12天内完成任务．问乙需工作几天后甲再继续加工才可正好按期完成任务？
x
12-x
解：设乙需工作x天后甲再继续加工才可正好按期完成任务，则甲做了（12-x）天.
依题意，得
解得 x=8.
答：乙需工作8天后甲再继续加工才可正好按期完成任务.
4.若要求二人在8天内完成任务，乙先加工几天后，甲加入合作加工，恰好能如期完成任务？
8
x
解：设甲加工x天，两人如期完成任务，则在甲加入之前，乙先工作了(8-x)天.
依题意，得
解得 x=4, 则 8-x=4.
答：乙需加工4天后,甲加入合作加工才可正好按期完成任务.
解决工程问题的基本思路：1. 三个基本量：工作量、工作效率、工作时间. 它们之间的关系是：工作量=工作效率×工作时间.2. 相等关系：工作总量=各部分工作量之和. (1) 按工作时间，工作总量=各时间段的工作量之和； (2) 按工作者，工作总量=各工作者的工作量之和.3. 通常在没有具体数值的情况下，把工作总量看作1.
5. 一条地下管线由甲工程队单独铺设需要12天，由乙工程队单独铺设需要24天. 如果由这两个工程队从两端同时施工，要多少天可以铺好这条管线？
解方程，得 x = 8.
答：要8天可以铺好这条管线.
解：设要 x 天可以铺好这条管线，由题意得：
（2018•台州）甲、乙两运动员在长为100m的直道AB（A，B为直道两端点）上进行匀速往返跑训练，两人同时从A点起跑，到达B点后，立即转身跑向A点，到达A点后，又立即转身跑向B点…若甲跑步的速度为5m/s，乙跑步的速度为4m/s，则起跑后100s内，两人相遇的次数为（　　） A．5 B．4 C．3 D．2
解析：设两人相遇的次数为x，依题意有 ???×? ?+? x=100， 解得x=4.5， ∵x为整数，∴x取4．
B
1. 某人一天能加工甲种零件 50个或加工乙种零件20个，1 个甲种零件与 2 个乙种零件配成一套，30 天制作最多的成套产品，若设 x 天制作甲种零件，则可列方程为 .
2×50x = 20(30－x)
2. 一项工作，甲独做需18天，乙独做需24天，如果 两人合做8天后，余下的工作再由甲独做x天完成，那么所列方程为 .
3. 某家具厂生产一种方桌，1立方米的木材可做50个桌面或300条桌腿，现有10立方米的木材，怎样分配生产桌面和桌腿使用的木材，才能使桌面、桌腿刚好配套，共可生产多少张方桌？(一张方桌有1个桌面，4条桌腿)
解：设用 x 立方米的木材做桌面，则用 (10－x) 立方米的木材做桌腿. 根据题意，得 4×50x = 300(10－x)， 解得 x =6， 所以 10－x = 4， 可做方桌为50×6=300(张).答：用6立方米的木材做桌面，4立方米的木材做桌腿，可做300张方桌.
1. 一件工作，甲单独做20小时完成，乙单独做12小时完成，现在先由甲单独做4小时，剩下的部分由甲、乙合做. 剩下的部分需要几小时完成？
解：设剩下的部分需要x小时完成，根据题意得： 解得 x = 6. 答：剩下的部分需要6小时完成.
2. 一个道路工程，甲队单独施工9天完成，乙队单独做24天完成．现在甲乙两队共同施工3天，因甲另有任务，剩下的工程由乙队完成，问乙队还需几天才能完成？
解：设乙队还需x天才能完成，由题意得： 解得 x = 13. 答：乙队还需13天才能完成．
某糕点厂中秋节前要制作一批盒装月饼，每盒中装2块大月饼和4块小月饼，制作1块大月饼要用面粉0.05 kg，制作1块小月饼要用面粉0.02 kg，现共有面粉4500 kg，制作两种月饼应各用多少面粉，才能生产最多的盒装月饼？
解：设制作大月饼用 x kg面粉，制作小月饼用（4500 – x） kg面粉，才能生产最多的盒装月饼.
解得 x = 2500，4500 – x = 4500 – 2500 = 2000.
即制作大月饼用2500 kg面粉，制作小月饼用2000 kg面粉，才能生产最多的盒装月饼.
小明的妈妈在商场用180元购买一件衣服，据了解这件衣服的进价是120元，你知道这件衣服的利润和利润率各是多少吗？带着这个问题，本节课我们将学习运用一元一次方程解决销售中的盈亏问题.
生活中，我们经常可以在各种销售场合看见一些商品优惠信息，你知道它们的意思吗？
盈余问题
3. 某商品原来每件零售价是 a 元，现在每件降价10%，降价后每件零售价是 　　元.
4. 某种品牌的彩电降价20%以后，每台售价为a元，则该品牌彩电每台原价应为　 元.
1. 商品原价200元，九折出售，售价是 元.
5. 某商品按定价的八折出售，售价是12.8元，则原定售价是　 元.　
2. 商品进价是150元，售价是180元，则利润是 元，利润率是_____.　
180
30
20％
0.9a
1.25a
16
以上问题中有哪些量?
成本价(进价)；
标价 (原价)；
销售价；
利润；盈利；亏损；
利润率.



商品利润
利润率=

= 商品售价－商品进价
●售价、进价、利润的关系：
商品利润
●进价、利润、利润率的关系：
商品进价
×100%
折扣数
●标价、折扣数、商品售价的关系：
商品售价＝
标价×
10
●商品售价、进价、利润率的关系：
商品进价
商品售价=
×(1+利润率)
销售中的盈亏
你估计盈亏情况是怎样的？A. 盈利B. 亏损C. 不盈不亏
例1 一商店在某一时间以每件60元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利25% ，另一件亏损25% ，卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏?
¥60
¥60
判断销售中的盈余问题
思考：销售的盈亏取决于什么？
取决于总售价与总成本(两件衣服的成本之和)的关系.
总售价(120元) ＞ 总成本
总售价(120元) ＜ 总成本
总售价(120元) ＝ 总成本
盈 利
亏 损
不盈不亏
现在两件衣服的售价为已知条件，要知道卖这两件衣服是盈利还是亏损，还需要知道什么？
两件衣服的成本(即进价).
(2) 设亏损25%的衣服进价是 y元，
依题意得 y－0.25y＝60. 解得 y＝80.
(1) 设盈利25%的衣服进价是 x 元，
依题意得 x＋0.25 x＝60. 解得 x＝48.
解：
两件衣服总成本：x+y=48＋80＝128 (元).
因为120－128＝－8(元)所以卖这两件衣服共亏损了8元.
1. 某琴行同时卖出两台钢琴，每台售价为960元. 其中一台盈利20%，另一台亏损20%.这次琴行是盈利还是亏损，或是不盈不亏？
2. 某文具店有两个进价不同的计算器都卖64元，其中一个盈利60%，另一个亏本20%.这次交易中的盈亏情况？
答案：这次交易盈利8元.
答案：这次琴行亏本80元.
例2 某商品的零售价是900元，为适应竞争，商店按零售价打9折 (即原价的90%)，并再让利40元销售，仍可获利10%，求该商品的进价．
解：设该商品的进价为每件 x 元， 依题意，得 900×0.9－40＝10% x ＋x， 解得 x＝700. 答：该商品的进价为700元．
销售中的价格、利润问题
3. 某商场把进价为1980元的商品按标价的八折出 售，仍获利10%，则该商品的标价为 元.
4. 我国政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品在 2015 年涨价 30% 后，2017年又降价 70% 至 a 元，则这种药品在2015 年涨价前的价格为 元.
2722.5
（2018•恩施州）一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利20%，另一件亏损20%，在这次买卖中，这家商店（　　）A．不盈不亏B．盈利20元 C．亏损10元 D．亏损30元
解析：设两件衣服的进价分别为x、y元，根据题意得：120﹣x=20%x，y﹣120=20%y， 解得：x=100，y=150，∴120+120﹣100﹣150=﹣10（元）．
C
1. 一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品，其中一件盈利25%，另一件亏损25%，则商店卖这两件商品总的盈亏情况是（　　）A．亏损20元 B．盈利30元 C．亏损50元 D．不盈不亏
A
2.某种商品因换季准备打折出售，如果按原定价的七五折出售，将赔25元，而按原定价的九折出售，将赚20元，则这种商品的原价是（　　）A．500元 B．400元 C．300元 D．200元
C
3. 某种商品的进价是400元，标价是600元，打折销售时的利润率为5%，那么此商品是打_____折出售.
七
某商品的进价是1000元，售价是1500元，由于销售情况不好，商店决定降价出售，但又要保证利润率不低于5%，那么商店最多可打几折出售此商品？
解：设商店最多可以打x折出售此商品， 根据题意，得
解得 x = 7.
答:商店最多可以打7折出售此商品.
现对某商品降价20%促销，为了使销售总金额不变，销售量要比原销售量增加百分之几？
解：设销售量要增加x.则由题意可知（1-20%）（1+x）=1 解得 x = 0.25答：销售量要比原销售量增加25%.



商品利润
利润率=

= 商品售价－商品进价
●售价、进价、利润的关系：
商品利润
●进价、利润、利润率的关系：
商品进价
×100%
折扣数
●标价、折扣数、商品售价的关系：
商品售价＝
标价×
10
●商品售价、进价、利润率的关系：
商品进价
商品售价=
×(1+利润率)
销售中的盈亏
你喜欢看篮球比赛吗？你对篮球比赛中的积分规则有了解吗？
比赛积分问题
某次篮球联赛积分榜如下：
（1）你能从表格中了解到哪些信息？
每队胜场总积分＋负场总积分＝这个队的总积分；
每队的胜场数＋负场数＝这个队比赛场次；
每队胜场总积分=胜1场得分×胜场数……
（2）你能从表格中看出负一场积多少分吗？
由钢铁队得分可知负一场积1分.
（3）你能进一步算出胜一场积多少分吗？
解：设胜一场积 x 分， 依题意，得 10x＋1×4＝24. 解得 x＝2. 经检验，x＝2符合题意. 所以，胜一场积2分.
分析：设胜一场积 x 分，根据表中其他任何一行可以列方程求解，这里以第一行为例.
（4）怎样用式子表示总积分与胜、负场数之间的关系？
解：若一个队胜 m场，则负 (14－m) 场，胜场积分为 2m，负场积分为14－m，总积分为：
2m + (14－m) = m +14.
即胜m场的总积分为 (m +14) 分.
（5）某队胜场总积分能等于它负场总积分吗？
解：设一个队胜 x 场，则负 (14－x) 场，
依题意得 2x＝14－x.
解决实际问题时，要考虑得到的结果是不是符合实际.
x 表示什么量？它可以是分数吗？
例 某次篮球联赛共有十支队伍参赛，部分积分表如下：
根据表格提供的信息，你能求出胜一场、负一场各积多少分吗?
分析：关键信息是由C队的积分得出等量关系： 胜场积分+负场积分=3.
比赛中的积分问题
解：由C队的得分可知，胜场积分+负场积分=27÷9=3. 设胜一场积x分，则负一场积(3-x)分.
根据A队得分，可列方程为
14x+4(3-x)=32，
解得x=2，则3-x=1.
答：胜一场积2分，则负一场积1分.
想一想：某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？
能.
胜6场、负12场时，胜场总积分等于它的负场总积分.
1.某赛季篮球甲A 联赛部分球队积分榜如下：
(1) 列式表示积分与胜、负场数之间的数量关系； (2) 某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？ 为什么？
解：观察积分榜，从最下面一行可知负一场积1分. 设胜一场积x分，从表中其他任何一行可以列方程，求出x的值. 例如，从第一行得出方程： 18x＋1×4＝40． 由此得出 x＝2. 所以，负一场积1分，胜一场积2分. (1) 如果一个队胜 m场，则负 (22－m) 场，胜场积分为2m，负场积分为22－m，总积分为： 2m＋(22－m)＝m＋22.
(2) 设一个队胜了x场，则负了(22－x)场，如果这个队的胜场总积分等于负场总积分，则有方程：  2x=22－x. 解得
（2018•南通）篮球比赛规定：胜一场得3分，负一场得1分，某篮球队共进行了6场比赛，得了12分，该队获胜的场数是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5
解析：设该队获胜x场，则负了（6﹣x）场， 根据题意得： 3x+（6﹣x）=12， 解得：x=3． 答：该队获胜3场．
B
1. 某球队参加比赛，开局 9 场保持不败，积 21 分， 比赛规则：胜一场得 3 分，平一场得 1分，则该队共胜 （ ） A. 4场 B. 5场 C. 6场 D. 7场
C
2. 中国男篮CBA职业联赛的积分办法是：胜一场积 2 分，负一场积 1 分，某支球队参加了12 场比赛， 总积分恰是所胜场数的 4 倍，则该球队共胜____ 场.
4
某次知识竞赛共20道题，每答对一题得8分，答错或不答要扣3分. 某选手在这次竞赛中共得 116 分，那么他答对几道题？
解：设答对了 x 道题，则有 (20－x) 道题答错或不答， 由题意得： 8x－(20－x)×3＝116. 解得 x＝16. 答：他答对16道题．
把互动探究中积分榜的最后一行删去(如下表)，如何求出胜一场积几分，负一场积几分.
解：可以求出. 从雄鹰队或远大队的积分可以看出胜一场与负一场共得 21÷7 = 3 (分)，设每队胜一场积 x 分， 则负一场积 (3－x) 分，根据前进队的信息可列方程为： 10x + 4(3－x) = 24. 解得 x = 2. 所以 3－x =1. 答：胜一场积 2 分，负一场积 1 分.
表格中的数量关系
解决有关表格的问题时，首先要根据表格中给出的相关信息，找出数量间的关系，然后再运用数学知识解决问题.
比赛中的积分问题
用方程解决实际问题时，要注意检验方程的解是否正确，且符合问题的实际意义．
注意
现在手机非常普及，你有手机吗？你的手机是如何收费的？你家里有几台手机？你知道手机的收费标准吗？
计费问题
下表中有两种移动电话计费方式：
想一想 你觉得哪种计费方式更省钱？
填填下面的表格，你有什么发现？
58
58
83
95.5
108
133
88
88
88
88
88
107
哪种计费方式更省钱与“主叫时间有关”.
考虑 t 的取值时，两个主叫限定时间 150 min和 350 min是不同时间范围的划分点.
计费时首先要看主叫是否超过限定时间，主叫不超过限定时间，月使用费一定；
主叫超过限定时间，超时部分加收超时费.
（1）设一个月内移动电话主叫为 t min (t是正整数)，列表说明：当 t 在不同时间范围内取值时，按方式一和方式二如何计费.
当 t 在不同时间范围内取值时，方式一和方式二的计费如下表：
58
88
58
88
58+0.25(t－150)
88
88
108
58+0.25(t－150)
88＋0.19(t－350)
（2）观察你的列表，你能从中发现如何根据主叫时间选择省钱的计费方式吗？通过计算验证你的看法.
当t ≤150时，方式一计费少(58元)；
(1) 比较下列表格的第2、3行，你能得出什么结论？
<
<
(2) 比较下列表格的第2、4行，你能得出什么结论？
>
<
当t 大于150且小于 350时，存在某一个值，使得两种方式计费相等.
依题意 ，得58＋0.25(t－150) = 88，解得 t =270.
解析：当t＞350分时，方式一的计费其实就是在108元的基础上，加上超过350分部分的超时费[0.25(t－350)].
(3) 当t >350分时，两种计费方式哪种更合算呢？
当t >350时， 方式一： 58＋0.25(t－150)= 108＋0.25(t－350)， 方式二： 88＋0.19(t－350)， 所以，当t ＞350分时，方式二计费少.
350
0
150
108
88
58
88
（ t 是正整数）
t /分
88
88
270
综合以上的分析，可以发现：
时，选择方式一省钱； 时，选择方式二省钱； 时，方式一、方式二均可．
t 小于 270
t 大于 270
t 等于 270
(1)回顾问题的解决过程，谈谈你的收获.
(2)解决本题的过程中你觉得最难突破的步骤是哪些？本题中运用了哪些方法突破这些难点？
(3)电话计费问题的解决过程中运用一元一次方程解决了什么问题？
想一想
列表分析
借助数轴
审题
分类讨论
更优惠
费用相同
列方程
用未知数表示费用
设未知数
如何比较两个代数式的大小
例 小明和小强为了买同一种火车模型，决定从春节开始攒钱，小明原有200元，以后每月存50元；小强原有150元，以后月存60元，每人攒钱的月数为x（个）（x为整数）． （1）根据题意，填写下表：
330
500
200+50x
150+60x
生活中的计费问题
（2）在几个月后小明与小强攒钱的总数相同？此时他们各有多少钱？
解：根据题意，得200+50x=150+60x，解得 x=5．所以 150+60x=450．答：在5个月后小明与小强攒钱的总数相同，此时每人有450元钱．
（3）若这种火车模型的价格为780元，他们谁能够先买到该模型？
解：根据题意，由200+50x=780， 解得 x=11.6， 故小明在12个月后攒钱的总数超过780元. 由150+60x=780，解得x=10.5， 故小强在11个月后攒钱的总数超过780元. 所以小强能够先买到该模型．
方法总结：解决此类问题的关键是能够根据已知条件找到合适的分段点，然后建立方程模型分类讨论，从而得出整体选择方案.
移动公司推出两种智能手机上网流量包：
如何选择流量包更划算？
解：设一个月内使用的流量为 x M，根据题意，当x在不同范围内取值时，两种流量包计费如下表：
(1) 当 x ≤ 320 时，流量包A计费少(30元)；(2) 当 320＜x＜420 时，流量包A 计费少(＜50元)；(3) 当 x = 420时，两种流量包计费相等，都是50元；
(4) 当 420＜x＜550 时，流量包B 计费少(50元)；(5) 当 x = 550 时，流量包B 计费少(50元)；(6) 当 x＞550 时，流量包B 计费少.综上所述，当月使用流量小于 420 M 时，选择流量包A 划算；当月使用流量等于 420 M 时，两种流量包费用一样；当月使用流量大于 420 M 时，选择流量包B 划算.
1. 小明所在城市的“阶梯水价”收费办法是：每户用水不超过5吨，每吨水费x元；超过5吨，超过部分每吨加收2元，小明家今年5月份用水9吨，共交水费为44元，根据题意列出关于x的方程正确的是（　　）A．5x+4（x+2）=44 B．5x+4（x-2）=44 C．9（x+2）=44 D．9（x+2）-4×2=44
A
2. 某市为鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每户每月用水不超过 7m3，则按 2 元/m3 收费；若每户每月用水超过 7 m3，则超过的部分按 3元/m3 收费. 如果某居民户去年12月缴纳了 53 元水费，那么这户居民去年12月 的用水量为_______m3.
20
3. 某市生活拨号上网有两种收费方式，用户可以任选其一. A计时制：0.05 元/分钟；B包月制：60 元/月(限一部个人住宅电话上网). 此外，两种上网方式都得加收通信费 0.02 元/分钟．(1) 某用户某月上网时间为x小时，请分别写出两种收费方式下该用户应该支付的费用；(2) 你认为采用哪种方式比较合算？
(2) 由 4.2x ＝ 60＋1.2x，得 x＝20. 又由题意可知，上网时间越长，采用包月制越合算．所以，当 0 < x < 20 时，采用计时制合算； 当 x＝20 时，两种方式费用相同； 当 x > 20 时，采用包月制合算．
解：(1) 采用计时制：(0.05＋0.02)×60x＝4.2x， 采用包月制：60＋0.02×60x＝60＋1.2x；
用A4纸在某复印社复印文件，复印页数不超过20时每页收费0.12元；复印页数超过20时，超过部分每页收费0.09元.在某图书馆复印同样的文件，不论复印多少页，每页收费0.1元. 问：如何根据复印的页数选择复印的地点使总价格比较便宜？ (复印的页数不为零)
解：设复印页数为x，依题意，列表得：
当 x ＜20 时，0.12x 大于 0.1x 恒成立，图书馆价 格便宜；(2) 当 x = 20 时，图书馆价格便宜；
(3) 当 x 大于20时，依题意得 2.4+0.09(x－20) ＝ 0.1x. 解得 x ＝ 60 所以，当x大于20且小于60时，图书馆价格便宜； 当x等于60时，两者价格相同； 当x大于60时，复印社价格便宜.
综上所述：当 x 小于60页时，图书馆价格便宜； 当 x 等于60时，两者价格相同； 当 x 大于60时，复印社价格便宜.
小王到超市购物,售货员告诉他,如果花20元钱办理“会员卡”,将享受八折优惠.请问:(1)在这次购物中小王买标价为多少元商品的情况下办会员卡与不办会员卡花钱一样多?(2)当小王买标价为200元的商品时,怎么做合算?能省多少钱?(3)当小王买标价为60元的商品时,怎么做合算?能省多少钱?
解：(1)设买标价x元的商品办会员卡与不办会员卡花钱一样多.根据题意，得x=20+0.8x，解得x=100.答：买标价100元的商品办会员卡与不办会员卡花钱一样多.(2)不办会员卡花200元，办会员卡时花20+200×0.8= 180(元)，所以买标价为200元的商品时,办会员卡合算，能省20元.(3)不办会员卡花60元，办会员卡花20+60×0.8=68(元)，所以买标价为60元的商品时,不办会员卡合算，能省8元.
方法
解决电话计费问题需要明确“哪种计费方式更省钱”与“主叫时间”有关.
关键
此类问题的关键是能够根据已知条件找到合适的分段点，然后建立方程模型分类讨论，从而得出整体选择方案.
计费问题
4.1 几何图形4.1.1 立体图形与平面图形
到现代
从古代
从长城
到立交
从剪纸
从植物
到动物
到城雕
从农村
到城市
从故宫
到鸟巢
从四通八达的立交桥
到街头巷尾的交通标志
从日常生活用品
到生产劳动工具
现实世界中有形态各异、丰富多彩的图形，千姿百态的图形美化了我们的生活空间.
几何图形
观察这个纸盒，从中可以看出哪些你熟悉的图形?
看整体
看侧面
看上面
看棱
看顶点
从整体上看，它的形状是 ；看不同的侧面，得到的是 或 ；看棱得到的是 ；看顶点得到的是 .
正方形
长方形
线段
点
类似地观察罐头，足球或篮球的外形，可以得到圆柱、球、圆等。长方体、圆柱、球、长（正）方形、圆、线段、点等，以及小学学过的三角形、四边形等，都是从物体外形中得出的，它们都是几何图形。
立体图形
说一说下面这些几何图形有什么共同特点？
这些几何图形的各部分不都在同一平面内，它们是立体图形. 你还能举出其他立体图形的例子吗？
1. 认识一下棱柱和棱锥：
三棱柱
四棱锥
六棱柱
你能再举出一些棱柱、棱锥的实例吗？
2. 观察小茗的房间，说说你能看到哪些立体图形.
3. 图中实物的形状对应哪些立体图形？把相应的实物与图形用线连接起来.
正方体
球
六棱柱
圆锥
长方体
四棱锥
1.棱锥与棱柱的区别是什么？
2.圆锥与圆柱的区别是什么？
观察思考
根据已有的数学经验，我们能否把它们进行分类？你的标准是什么？
常见立体图形
柱体
锥体
球体
圆柱
棱柱
三棱柱
四棱柱
五棱柱
…
圆锥
棱锥
三棱锥
四棱锥
五棱锥
…
常见立体图形的分类
平面图形

说一说下面这些几何图形又有什么共同特点？
这些几何图形的各部分都在同一平面内,它们是平面图形.
下面各图中包含哪些简单的平面图形？请再举出一些平面图形的例子.
用两个圆、两个三角形和两条直线为条件，画出一个独特且具有意义的图形，并命名.
吊 灯
眼 镜
路灯
落日余晖
（2018•北京）下列几何体中，是圆柱的为（　　） A． B． C． D．
A
1. 下列图形不是立体图形的是 ( ) A. 球 B. 圆柱 C. 圆锥 D. 圆
2. 长方体属于 ( ) A. 棱锥 B. 棱柱 C. 圆柱 D. 以上都不对
D
B
4. 月球、西瓜、易拉罐、篮球、热水瓶胆、书本等 物体中，形状类似圆柱的有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
B
观察下列图形，在括号内填上相应名称.
( ) ( ) ( ) ( )
圆柱
圆锥
四棱锥
圆台
四棱柱
三棱柱
六棱柱
球
( ) ( ) ( ) ( )
用六根火柴棒，你能组成四个大小一样的三角形吗？若可能，简述你的做法；若不能，请简要说明理由.
解：可能，如图，做成正三棱锥的图形.
几何图形
立体图形
平面图形
三棱柱四棱柱五棱柱 …
三棱锥四棱锥五棱锥 …
多边形圆线段角 …
题 西 林 壁 ——苏轼
横看成岭侧成峰，远近高低各不同.不识庐山真面目，只缘身在此山中.
想一想：
“横看成岭侧成峰”一句中,蕴含了怎样的数学道理?
从不同方向看同一个物体
他们为什么会出现争执？
漫画“6”与“9”
如图，把茶壶放在桌面上，那么下面五幅图片分别是从哪个方向看得到的？
从右面看
从左面看
从后面看
从上面看
从正面看
下面的五幅图分别是从什么方向看的？
1
2
3
4
5
背面
顶部
左侧
正面
右侧
例1 如图是由若干小正方体搭成的几何体，我们分别从正面看、从左面看和从上面看得到的平面图形分别是怎样的呢？请同学们尝试画一画．
画出从不同方向看同一物体的图形
从上面看
从左面看
从正面看
从正面看
从左面看
从上面看
1.说出下面三个平面图形分别是物体从哪里看到的？
从正面看
从上面看
从左面看
2. 分别画出圆柱体、圆锥及球体的从正面、左面、上面看到的图形.
从左面看
从上面看
从正面看
将一个正方体的表面沿某些棱剪开,能展成哪些平面图形？
立体图形的展开图
友情提示：沿着棱剪,展开后是一个平面图形。
思考：1.这些正方体展开图可以分为几种？2.观察上面的11种正方体的展开图有没有什么规律？哪几号展开图可以分为一类，为什么？
相对两面不相连
左右隔一列
上下隔一行
巧记正方体的展开图口诀：正方体盒巧展开，六个面儿七刀裁，十一类图记分明；一四一呈6种，二三一有3种，二二二与三三各1种；对面相隔不相连，识图巧排“凹”和“田”.
C
3. 下列图形中，不是正方体表面展开图的是 ( )
4.“坚” 在下，“就”在后，“胜”和“利”在哪里？
一个多面体的展开图中，在同一直线上的相邻的三个线框中，首尾两个线框是立体图形中相对的两个面.
“胜”在上，“利”在前.
下面图形是一些多面体的表面展开图,你能说出这些多面体的名字吗?
长方体
三棱柱
四棱锥
三棱柱
下列立体图形的平面展开图是什么?
A
C
1. 右图是一块带有圆形空洞和方形空洞的小木板，则下列物体中既可以堵住圆形空洞，又可以堵住方形空洞的是（ ）.
B
2. 下图是由一些相同的小正方体构成的几何体从正面、左面、上面看得到的三个平面图形，这些相同的小正方体的个数是( ).
A．4个 B．5个 C．6个 D．7个
B
（2018•烟台）由5个棱长为1的小正方体组成的几何体如图放置，一面着地，两面靠墙．如果要将露出来的部分涂色，则涂色部分的面积为（　　）
B
A．9 B．11 C．14 D．18
如图是一个立方体纸盒的展开图，使展开图沿虚线折叠成正方体后相对面上的两个数互为相反数， 求：a= ；b= ；c= .
－2
－7
1
从正面看
从上面看
从左面看
圆锥 四棱锥 长方体 三棱柱
三棱锥 三棱柱 正方体 圆柱
常见几何体的展开图
4.1 几何图形4.1.2 点、线、面、体
谜底——————
雨滴
思考：将雨滴看成一条线，蕴含了怎样的数学道理？
猜谜语
千条线，万条线，
落入水中看不见。
（打一物）
图中有哪些你熟悉的立体图形？
构成图形的元素
1. 你知道这些几何体是由什么围成的吗？ 2. 下图中的图形分别有哪些面？这些面有什么不同吗？
以上立体图形都是几何体，简称体.
几何体是由面围成的. 2. 面分为平的面和曲的面.
实际生活中的平面与曲面
平面
曲面
平面
曲面
如下图，围成这些立体图形的各个面中哪些面是平的？哪些面是曲的？
观察长方体、圆柱、棱锥等熟悉的几何体模型，结合下列问题小组合作探究： (1) 面和面相交的地方形成了什么？它们有什么不同吗？ (2) 线和线相交处又形成了什么？它们有什么不同吗？
面和面相交的地方形成线，线有直线和曲线.
长方体 6 个面相交成的 12 条线是直的.
圆柱的侧面和底面相交得到的圆 (封闭曲线) 是曲的.
线和线相交形成点.
线与线相交成点
面与面相交成线，线有直线和曲线
体由面围成，面有平面和曲面
由点、线、面运动而形成的图形
这可以说成：点动成线.
笔尖可以看作是一个点，这个点在纸上运动时，形成了什么？
你能举出其他“点动成线”的实例吗？
汽车雨刷可以看作什么几何图形？它在挡风玻璃上运动时的路线形成什么几何图形？
线动成面
实际生活中的“线动成面”
长方形纸片绕它的一边旋转一周，会形成什么图形？
面动成体
如下图，上面的平面图形绕轴旋转一周，可以得到下面的立体图形，把有对应关系的平面图形与立体图形连接起来.
D
1. 判断题 (打“√”或“×”)(1)围成球的只有一个曲面. ( )(2)一个长方形绕一条边旋转一周形成一个长方体. ( )(3)圆锥上有一个顶点、一条曲线、一个平的面、一个曲的面. ( )(4)用圆规画圆的过程就是一个点动成线的实例. ( )
×
√
√
√
×
B
3. 请把下图中的平面图形与其绕轴旋转一周后得到的立体图形连接起来.
小明用如图所示的胶滚沿从左到右的方向将图案滚涂到墙上,下列给出的4个图案中,符合图示滚涂出的图案是（ ）
A. B.
C. D.
A
长为4cm，宽为2cm的长方形，绕其一边进行旋转得到一个几何体.
(1) 这个几何体是什么？
(2) 这个几何体的表面积是多少？
(3) 这个几何体的体积是多少？
答案：圆柱.
几何图形
交成
动成
交成
动成
围成
动成
构成图形的基本元素 无大小
无粗细
无厚薄
4.2 直线、射线、线段
同学们，你们注意过吗，建筑工人在砌墙时经常会在墙的两头分别固定两根木桩，然后在木桩之间拉一条细绳，沿着细绳砌砖。这样做有什么道理呢？
过一点O可以画几条直线？过两点A，B可以画几条直线？
经过两点有一条直线，并且只有一条直线.
简述为：两点确定一条直线.
直线
·O
如果你想将一根木条固定在墙上并使其不能转动，至少需要几个钉子？你知道这样做的依据是什么吗？
两点确定一条直线可以用来说明生活中的现象.
1. 建筑工人砌墙时，会在两个墙角的位置分别插 一根木桩，然后拉一条直的参考线.
应用举例
2. 植树时，只要定出两个树坑的位置，就能使同一行树坑在一条直线上.
3. 射击的时候，你知道是如何瞄准目标的吗？
要点归纳：表示直线的方法①用一个小写字母表示，如直线m;②用两个大写字母表示，注：这两个大写字母可交换顺序.
直线 m、直线 CE、直线 EC
如图，有哪些方法可以表示下列直线？
1. 判断下列语句是否正确，并把错误的语句改过来： ① 一条直线可以表示为“直线 A”； ② 一条直线可以表示为“直线 ab”； ③ 一条直线既可以表示为“直线 AB”又可以表示 为“直线 BA”，还可以记为“直线 m”.
①一条直线可以表示为“直线 a”；
②一条直线可以表示为“直线 AB”；
×
×
√
观察下图，说一说点和直线有哪些位置关系.
l
如图：点 A 在直线 l 上，点 B 在直线 l 外
或者说：直线 l 经过点 A, 点 B 不在直线 l 上 (直线 l 不经过点B ).
b
a
如图，直线a与直线b有什么位置关系？
交点
O
直线 a 和 b 相交于点O
当两条不同的直线有一个公共点时，我们就称这两条直线相交，这个公共点叫做它们的交点.
2. 按下列语句画出图形： (1) 直线 EF 经过点C；
(2) 点 A 在直线 l 外.
射线、线段
记作： 射线 OA ( 或射线d )
1. 射线用它的端点和射线上的另一点来表示 ( 表示端点的字母必须写在前面 ) 或用一个小写字母表示.
类比直线的表示方法，想一想射线该如何表示？
记作：线段 a
2. 线段 (1) 用表示端点的两个大写字母表示. (2) 用一个小写字母表示.
记作：线段 AB ( 或线段 BA )
类比直线的表示方法，想一想线段该如何表示？
直线、射线、线段三者的联系：
2. 将线段向两个方向无限延长就形成了直线.
1. 将线段向一个方向无限延长就形成了射线.

分别画一条直线、射线和线段，议一议它们之间的联系和区别.
线段和射线都是直线的一部分.
直线、射线、线段三者的区别：
端点个数
2个
不能延伸
延伸性
能否度量
可度量
1个
向一个方向无限延伸
不可度量
无端点
向两个方向无限延伸
不可度量
以下三个箱子中各有一个数学谜语，你能猜出谜底吗？
有始有终——打一线的名称
有始无终——打一线的名称
无始无终——打一线的名称
线段
射线
直线
3. 按下列语句画出图形：经过点 O 的三条线段 a，b，c；(2) 线段 AB，CD 相交于点 B.
(2019·随州模拟) 平面内不同的两点确定一条直线，不同的三点最多确定三条直线.若平面内的不同的n个点最多可确定15条直线，则n的值为________.
6
1. 判断题(打“√”或“×”)(1)射线比直线短. ( )(2)一条线段长6 cm. ( )(3)射线OA与射线AO是一条射线. ( )(4)直线不能延长. ( )
×
√
×
√
×
×
√
√
2.手电筒射出的光线给我们的形象是 ( )A.直线 B.射线 C.线段 D.折线
B
3.下列说法中，错误的是( )A.经过一点的直线可以有无数条B.经过两点的直线只有一条C.一条直线只能用一个字母表示D.线段CD和线段DC是同一条线段
C
1. 如图，A，B，C三点在一条直线上.
A
B
C
解：1条，直线AB或直线AC或直线BC；
解：3条，线段AB，线段BC，线段AC；
解：是；
解：6条.以B为端点的射线有射线BC，射线BA.

2. 如图，在平面上有四个点A，B，C，D ，根据下列语句画图： (1) 做射线BC；(2) 连接线段AC，BD交于点F；(3) 画直线AB，交线段DC的延长线于点E；(4) 连接线段AD，并将其反向延长.
E
F
A
B
C
D
往返于A、B两地的客车，中途停靠三个站，每两站间的票价均不相同，问： （1）有多少种不同的票价？ （2）要准备多少种车票？
解：画出示意图如下：
(1)图中一共有10条线段，故有10种不同的票价.
(2)来回的车票不同，故有10×2=20(种)不同的车票.
直线、射线、线段
基本事实
表示方法
两点确定一条直线
用一个小写字母表示
用两个大写字母表示
射线OA与射线AO是不同的两条射线
联系与区别
看下面这三幅图片谁高谁矮？你是依据什么判断的 ？
观察这三组图形，你能比较出每组图形中线段 a 和 b 的长短吗？
很多时候，眼见未必为实. 准确比较线段的长短还需要更加严谨的办法.
(1)
(2)
(3)
a
b
a
a
b
b
线段的比较
做手工时，在没有刻度尺的条件下，若想从较长的木棍上截下一段，使截下的木棒等于另一根短木棒的长，我们常采用以上办法.
画在黑板上的线段是无法移动的，在只有圆规和无刻度的直尺的情况下，请大家想想办法，如何再画一条与它相等的线段？
提示：在可打开角度的最大范围内，圆规可截取任意长度，相当于可以移动的“小木棍”.
作一条线段等于已知线段.
已知：线段 a，作一条线段 AB，使 AB=a.
第一步：用直尺画射线 AF；
第二步：用圆规在射线 AF 上截取 AB = a.
∴ 线段 AB 为所求.
a
A F
a
B
在数学中，我们常限定用无刻度的直尺和圆规作图，这就是尺规作图.
　　 你们平时是如何比较两个同学的身高的？你能从比身高的方法中得到启示来比较两条线段的长短吗？
比较两个同学高矮的方法：
——叠合法.
②让两个同学站在同一平地上，脚底平齐，观看 两人的头顶，直接比出高矮.
①用卷尺分别度量出两个同学的身高，将所得的 数值进行比较.
——度量法.
B
试比较线段AB，CD的长短.
(1) 度量法；
(2) 叠合法
将其中一条线段“移”到另一条线段上，使其一端点与另一线段的一端点重合，然后观察两条线段另外两个端点的位置作比较.
(A)
尺规作图
1. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落 在C，D之间，那么 AB CD.
＜
叠合法结论
2. 若点 A 与点 C 重合，点 B 与 点 D ，那么 AB = CD.
3. 若点 A 与点 C 重合，点 B 落 在 CD 的延长线上，那么 AB CD.
重合
＞
1．为了比较线段AB与CD的大小，小明将点A与点C重合使两条线段在一条直线上，结果点B在CD的延长线上，则 (　　)A．AB＜CD　　　　　　 B．AB＞CDC．AB＝CD D．以上都不对
2．如图所示，AB＝CD，则AC与BD的大小关系是 (　　)
A. AC＞BD B. AC＜BD C. AC＝BD D. 无法确定
B
C
线段的和、差、倍、分
在直线上画出线段 AB=a ，再在 AB 的延长线上画线段 BC=b，线段 AC 就是 与 的和，记作 AC= . 如果在 AB 上画线段 BD=b，那么线段 AD 就是 与 的差，记作AD= .
A
B
C
a+b
a–b
a
b
a+b
a
b
a–b
3. 如图，点B，C在线段 AD 上则AB+BC=____； AD–CD=___；BC＝ ___ –___ = ___ – ___.
AC
AC
AC
AB
BD
CD
4. 如图，已知线段a，b，画一条线段AB，使 AB=2a–b.
A
B
2a–b
2a
b
在一张纸上画一条线段，折叠纸片，使线段的端点重合，折痕与线段的交点处于线段的什么位置？
A
B
M
A
B
M
如图，点 M 把线段 AB 分成相等的两条线段AM 与 BM，点 M 叫做线段 AB 的中点.类似的，还有线段的三等分点、四等分点等.
线段的三等分点
线段的四等分点
M 是线段 AB 的中点.
点 M , N 是线段 AB 的三等分点：
AM = MN = NB = ___ AB
(或 AB = ___AM = ___ MN = ___NB)
例1 若 AB = 6cm，点 C 是线段 AB 的中点，点 D是线段 CB 的中点，求：线段 AD 的长是多少?
解：∵ C 是线段 AB 的中点，
∵ D 是线段 CB 的中点，
∴ AD =AC + CD = 3 + 1.5 = 4.5 (cm).
利用中点求线段的长度
5. 如图，点C 是线段AB 的中点，若 AB = 8 cm，则 AC = cm.
4
巩固练习
C
7. 如图，线段 AB =4 cm，BC = 6 cm，若点D 为线段 AB 的中点，点 E 为线段 BC 的中点，求线段 DE 的长.
答案：DE 的长为 5 cm.
巩固练习
例2 如图，B、C是线段AD上两点，且AB：BC：CD=3：2：5，E、F分别是AB、CD的中点，且EF=24，求线段AB、BC、CD的长．
解析：根据已知条件AB：BC：CD=3：2：5，不妨设AB=3x,BC =2x,CD=5x,然后运用线段的和差倍分，用含x的代数式表示EF的长，从而得到一个关于x的一元一次方程，解方程，得到x的值，即可得到所求各线段的长.
利用比例或倍分关系求线段的长度
解：设AB=3x，BC=2x，CD=5x，
∵ E、F分别是AB、CD的中点，
∵ EF=24，所以6x=24,解得x=4.
∴ AB=3x=12，BC=2x=8，CD=5x=20.
求线段的长度时，当题目中涉及到线段长度的比例或倍分关系时，通常可以设未知数，运用方程思想求解.
解析：根据已知条件，不妨设BD=xcm，则AB=3xcm，CD=4xcm，易得AC=6xcm.在由线段中点的定义及线段的和差关系，用含x的代数式表示EF的长，从而得到一个一元一次方程，求解即可.
巩固练习
解：设BD=xcm,则AB=3xcm，CD=4xcm，AC =6xcm，
∵ E、F分别是AB、CD的中点，
所以AB=3xcm=12cm，CD=4xcm=16cm.
巩固练习
∴
例3 A，B，C三点在同一直线上，线段AB=5cm，BC=4cm，那么A，C两点的距离是（　　）A．1cm B．9cm C．1cm或9cm D．以上答案都不对
解析：分以下两种情况进行讨论：当点C在AB之间上，故AC=AB–BC=1cm；当点C在AB的延长线上AC=AB+BC=9cm．
C
方法总结：无图时求线段的长，应注意分类讨论，一般分以下两种情况：点在某一线段上；点在该线段的延长线.
需要分类讨论的问题
9. 已知A，B，C三点共线，线段AB=25cm，BC=16cm，点E，F分别是线段AB，BC的中点，则线段EF的长为（　　）A．21cm或4cm B．20.5cmC．4.5cm D．20.5cm或4.5cm
D
巩固练习
如图：从 A 地到 B 地有四条道路，除它们外能否再修一条从 A 地到 B 地的最短道路？如果能，请你联系以前所学的知识，在图上画出最短路线.
有关线段的基本事实
•
•
A
B
经过比较，我们可以得到一个关于线段的基本事实：
两点的所有连线中，线段最短.
•
•
A
B
简单说成：两点之间，线段最短.
两点之间线段最短.
如图，这是 A，B 两地之间的公路，在公路工程改造计划时，为使 A，B 两地行程最短，应如何设计线路？请在图中画出，并说明理由.
.
把原来弯曲的河道改直，A，B 两地间的河道长度有什么变化？
A
B
A，B 两地间的河道长度变短.
（2018•滨州）若数轴上点A、B分别表示数2、–2，则A、B两点之间的距离可表示为（　　）A．2+（–2） B．2–（–2） C．（–2）+2 D．（–2）–2
解析：A、B两点之间的距离可表示为：2–（–2）．
B
1. 下列说法正确的是 ( ) A. 两点间距离的定义是指两点之间的线段 B. 两点之间的距离是指两点之间的直线 C. 两点之间的距离是指连接两点之间线段的长度 D. 两点之间的距离是两点之间的直线的长度
2. 如图，AC = DB，则图中另外两条相等的线段为_____________.
C
AD＝BC
课堂检测
3. 已知线段 AB = 6 cm，延长 AB 到 C，使 BC = 2 AB，若 D 为 AB 的中点，则线段 DC 的长为________.
15 cm
4. 点A，B，C在同一条数轴上，其中点A，B表示的数分别是–3，1，若BC=5，则AC=_________．
9或1
课堂检测
如图：AB = 4 cm，BC = 3 cm，如果点O 是线段 AC 的中点．求线段 OB 的长度．
已知，如图，B，C两点把线段AD分成2：5：3三部分，M为AD的中点，BM=6，求CM和AD的长．
AD=10x=20 ．
解：设AB=2x，BC=5x，CD=3x,
∴ AD=AB+BC+CD=10x.
∵ M是AD的中点，
∴ AM=MD=5x，
∴ BM=AM–AB=3x.
∵ BM=6，
即3x=6， ∴ x=2.
故CM=MD–CD=2x=4，
线段长短的比较与运算
线段长短的比较
基本事实
线段的和差
度量法
叠合法
中点
两点间的距离
思想方法
方程思想
分类思想
基本作图
4.3 角4.3.1 角
观察下面实物，你发现这些实物中有什么相同图形吗？
生活中的图形
本节课我们将在已有的知识基础上，对角作进一步的研究！
观看下图，你能归纳出角的特点吗？用自己的话描述一下角是由什么组成的图形？
角的概念
静态定义：有公共端点的两条射线组成的图形，叫做角.
公共端点
—角的顶点
两条射线
—角的边
动态定义：角也可以看做由一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形.
角的有关概念
始边
终边
B
(B)
平角
周角
如图，射线 OA 绕点 O 旋转，当终止位置 OB 和起始位置 OA 成一条直线时，形成什么角？继续旋转，OB 和 OA 重合时，又形成什么角？
1. 判断下列哪些图形是角.
( ) ( ) ( ) ( )
√
×
√
√
2. 下列说法正确的是 ( )A. 平角是一条直线 B. 一条射线是一个周角C. 两条射线组成的图形叫做角 D. 两边成一直线的角是平角
D
角的表示方法
角的表示方法
(注意必须把顶点字母放在中间)
1. 用三个大写字母表示，如： ∠A O B 或∠B O A；
或用一个大写字母表示,如：∠O ；
2. 用一个数字表示， 如∠1；
3. 用小写希腊字母表示， 如∠α.
α
1
A
B
O
角的表示方法
3. 图中有　　个角，你能把它们表示出来吗？
3
∠AOE，∠COE，∠AOC.
4. 填写下表，将图中的角用不同方法表示出来.
∠1
∠3
∠4
∠ABC
∠ACB
∠BCE
∠5
∠BAC
∠BAD
∠2
角的度量
角的度量工具：
量角器
怎么知道这个角的大小？
我们常用量角器量角，度、分、秒是常用的角的度量单位. 把一个周角 360等分，每一份就是 1 度的角，记作1°；把 1 度的角 60 等分，每一份叫做1 分的角，记作 1′；把1分的角 60等分，每一份叫做1 秒的角，记作1″.
1周角＝　　　°；1平角＝　　　°.
360
180
1°＝　　　′；1′＝　　　″.
60
60
例1 度分秒的互化 (1) 57.32°= ° ′ ″；
解析：57.32=57+0.32×60′ =57+19.2′ =5719′+0.2×60″ =5719′12″
按1°＝60′，1′＝60″，先把度化成分，再把分化成秒. (小数化整数)
度分秒的转化
(2) 17°6′36″= °.
17.11
5°＝　　　′＝　 　　″；38.15°＝　　　°　　　′；36″＝　　　′=　　　°；38°15′＝　　　　°.
300
18000
38
9
0.6
0.01
38.25
5. 进行适当的填空.
例2 如图，时钟显示为10：10时，时针与分针所夹角度是（　　） A．90° B．100 C．105° D．115°
解析：时针每小时旋转的夹角360°÷12=30°，故10分钟，时针旋转的角度为5°，即10：10时，时针与分针所夹角度为4×30°–5°=115°.
D
求钟面上时针和分针的夹角的度数
解析：钟表的1个大格是 周角=30°，14时的时针与分针形成的角是2个大格，故为60°.
6. 14时的钟表的时针与分针所形成的角的度数是 ( )A.30° B.45°C.60° D.90°
C
解析：从图上看到单个小角有4个，分别是∠AOB,∠BOC,∠COD,∠DOE；两个小角组成的角有3个，分别是∠AOC,∠BOD,∠COE；三个小角组成的角有2个，分别是∠AOD,∠BOE，共9个．
A．4个 B．8个 C．9个 D．10个
C
1. 下列语句正确的是 ( ) A. 两条直线相交，组成的图形叫做角 B. 两条有公共端点的线段组成的图形叫做角 C. 两条有公共点的射线组成的图形叫做角 D. 从同一点引出的两条射线组成的图形叫做角
D
2. 下列说法不正确的是 ( )∠AOB 的顶点是O B. 射线BO，AO分别是∠AOB的两条边C. ∠AOB的边是两条射线 D. ∠AOB与∠BOA表示同一个角
B
3. 甲、乙、丙、丁，四名学生在判断钟表的分针和时针互相垂直的时刻时，每人说了两个时刻，说法都对的是（　　） A．甲：“3时整和3时30分”B．乙说“6时15分和6时45分”C．丙说“9时整和12时15分”D．丁说：“3时整和9时整”
D
4. 如图所示： (1) 图中共有多少个角？请写出能用一个字母表示的角； (2) 把图中所有的角都表示出来.
答案：8个；∠A，∠O.
答案：∠A，∠O，∠1， ∠2，∠3，∠4， ∠ABC，∠ACB.
38°15′和38.15°相等吗？如不相等，请说明它们的大小关系.
解：∵ 38°15′ = 38.25°， ∴ 38°15′ ＞ 38.15°.
能力提升题
(1) 如图∠AOB内部画1条射线，问图中一共有多少个角？如果是画2条、3条呢？
(2) ∠AOB内部画99条射线，问图中一共有多少个角？如果是 (n–1)条呢？
答案：5050个，(1+2+3+…+n)个.
答案：3个，6个，10个.
拓广探索题
角的定义
有公共端点的两条射线组成的图形
一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形
角的表示方法
用三个大写字母或一个大写字母表示
用一个数字加弧线表示
用一个小写希腊字母加弧线表示
角的度量
度、分、秒1°=60′，1′=60″
4.3 角4.3.2 角的比较与运算
有一天学生小明和小华各带了一把折扇(如图所示),下面是他们的一段对话:小明:我的折扇张开大一些,所以我的折扇的角也大一些.小华:我的折扇长一些,所以我的折扇的角也大一些.
小明的折扇
小华的折扇
怎样比较∠ABC和∠DEF的大小?
线段长短的比较
AB>CD
ABAB=CD
角的大小与比较
AB=BC+ACBC=AB–ACAC=AB–BC
线段的和、差
线段中点
若点 C 是线段 AB 的中点，则
类比线段长短的比较，你认为该如何比较两个角的大小？
1. 度量法
类比探究
2. 叠合法
∠AOB＜∠A'O'B'
∠AOB =∠A'O'B'
∠AOB＞∠A'O'B'
图中有几个角？它们之间有什么关系？
图中有3个角：∠AOC，∠AOB，∠BOC.
∠AOC 是∠AOB 与∠BOC 的和，记作∠AOC = ∠AOB +∠BOC；
它们的关系：
∠AOB 是∠AOC与∠BOC的差，记作∠AOB = ∠AOC–∠BOC；
类似地，∠AOC–∠AOB = .
∠BOC
1. 如图所示： (1) ∠AOC是哪两个角的和？ (2) ∠AOB是哪两个角的差？ (3) 如果∠AOB=∠COD，则∠AOC与∠BOD的大小关系如何？
∠AOC =∠AOB +∠BOC.
∠AOB =∠AOC –∠BOC =∠AOD–∠BOD.
∠AOC =∠BOD.
例1 如图，O 是直线 AB 上一点，∠AOC＝53°17′，求∠BOC 的度数.
解：∵∠AOB 是平角， ∠AOB＝ ∠AOC+∠BOC.
∴∠BOC＝∠AOB–∠AOC ＝180°– 53°17′ ＝179°60′–53°17′ ＝126°43′.
求角的度数
(2) 如图②，若∠AOB= 60°，∠BOC＝40°，则 ∠AOC＝ °．
(1) 如图①，若∠AOC=35°，∠BOC＝40°，则 ∠AOB＝ °．
75
20
图① 图②
2.计算下列角的度数.
(3) 若∠AOB ＝60°，∠AOC ＝30°，则∠BOC ＝ °．
90或30
提示：无图条件下要分情况讨论.
3.如图，借助一副三角尺可以画出15°和75°的角，你还能画出哪些度数的角？
75°
15°
例2 把一个周角 7 等分，每一份是多少度的角 (精确到分)？
解：360°÷7 = 51°+3°÷7 = 51°+180′÷7 ≈ 51°26′.答：每份是51°26′的角.
角的度数的计算
（1） 120°–38°41′；
（2）67°31′+48°49′.
解：原式 = 119°60′–38°41′ = 81°19′ .
解：原式 = (67+48)°+(31+49)′ = 115°80′ = 116°20′ .
4. 计算.
涉及到度、分、秒的角度的加与减，要将度与度、分与分、秒与秒分别相加、减，分秒相加时逢60要进位，相减时要借1作60.
（1） 20°30′×8；
（2） 106°6′÷5.
解：原式 = (106÷5)°+(6÷5)′= 21°+1°÷5+(6÷5)′= 21°+(66÷5)′=21°+13′+1′÷5 =21°+13′+60″÷5=21°13′12″
解：原式 = 20°×8+30′×8 = 160°240′ = 164°
5.计算.
角的平分线
动手做一做：在纸上画∠AOB，然后将其剪下来，将其沿经过顶点的线对折，使边OA与OB重合.将角展开，折痕上任取一点记作点C.类比线段中点的定义，填空：
∠AOC_____∠COB;
∠AOB=_____∠AOC.
=
2
一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线.
应用格式：
O
B
A
C
∵ OC 是∠AOB 的角平分线，∴ ∠AOC ＝∠BOC ＝ ∠AOB， ∠AOB ＝2∠BOC ＝2∠AOC.
例3 如图，OB 是∠AOC 的平分线，OD 是∠COE的平分线.(1) 如果∠AOC=80°，那么∠BOC 是多少度？
解： ∵ OB 平分∠AOC， ∠AOC=80°，
利用角平分线求角的度数
(2) 如果∠AOB=40°，∠DOE=30°，那么∠BOD是多少度？
解： ∵ OB 平分∠AOC，
∴ ∠BOC=∠AOB = 40°.
∵ OD 平分∠COE，
∴ ∠COD=∠DOE = 30°，
∴ ∠BOD =∠BOC+∠COD = 40°+30°= 70°.
(3) 如果∠AOE=140°， ∠COD=30°，那么∠AOB是多少度？
解： ∵ ∠COD=30°， OD 平分∠COE，
∴ ∠COE=2∠COD=60°，
∴ ∠AOC=∠AOE–∠COE=140°– 60°= 80°.
又∵ OB 平分∠AOC，
6. 如图：OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，那么下列各式中正确的是 ( )
A
7. 如图，OC是平角∠AOB的角平分线，∠COD=32°， 求∠AOD的度数.
答案：∠AOD=122°.
例4 如图，已知∠AOB=40°，自O点引射线OC，若∠AOC：∠COB=2：3．求OC与∠AOB的平分线所成的角的度数．
解：分以下两种情况：
设∠AOC=2x，∠COB=3x，∵∠AOB=40°，∴2x+3x=40°，得x=8°，∴∠AOC=2x=2×8°=16°.∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=20°，∴∠COD=∠AOD–∠AOC=20°–16°=4°．
如图，OC在∠AOB内部，OD平分∠AOB，
利用比例或倍分求角的度数
∴设∠AOC=2x，∠COB=3x，∵∠AOB=40°，∴3x–2x=40°，得x=40°，∴∠AOC=2x=2×40°=80°，∵OD平分∠AOB，∴∠AOD=20°，∴∠COD=∠AOC+∠AOD=80°+20°=100°．
如图，OC在∠AOB外部，OD平分∠AOB，
∴OC与∠AOB的平分线所成的角的度数为4°或100°．
涉及到角度的计算时，除常规的和差倍分计算外，通常还需运用方程思想和分类讨论思想解决问题.
8.已知如图∠AOB＝ ∠BOD，OC平分∠BOD，∠AOC＝75°,则∠BOD=_______.
90°
解析：∵∠BOC=29°18′， ∴∠AOC的度数为180°–29°18′=150°42′．
（2018•昆明）如图，过直线AB上一点O作射线OC，∠BOC=29°18′，则∠AOC的度数为　 ．
150°42′
1．已知∠MON＝40°，∠NOP＝15°，则∠MOP等于(　　) A．55°　　B．25°　C．55°或25°　 D．40° 2．一副三角板按如图方式摆放，且∠1比∠2大40°，则∠2的度数是(　　) A．25° B．40° C．50° D．65°
C
A
3.如图，∠AOB=170°，∠AOC =∠BOD=90°，求∠COD的度数.
解:∵∠BOC =∠AOB– ∠AOC=170°–90°=80°, ∴∠COD=∠BOD–∠BOC=90°–80°=10°.
B
4.计算：86°23′12″–67°36′50″=_________.解析: 86°23′12″–67°36′50″ = 86°22′72″–67°36′50″ = 85°82′72″–67°36′50″ = (85–67)°(82–36)′(72–50)″ =18°46′22″.
18°46′22″
5. 计算：(1)15°24′×5.(2)31°42′÷5.解:(1)15°24′×5=75°120′=77°.(2)31°42′÷5=6°+1°42′÷5 =6°+102′÷5 =6°+20′+2′÷5 =6°20′+120″÷5 =6°20′+24″=6°20′24″.
如图，已知∠AOC=60°，∠BOD=90°，∠AOB是∠DOC的3倍，求∠AOB的度数．
解：设∠COD=x，∵∠AOC=60°，∠BOD=90°，∴∠AOD=60°–x，∴∠AOB=90°+60°–x=150°–x，∵∠AOB是∠DOC的3倍，∴150°–x=3x，解得x=37.5°，∴∠AOB=3×37.5°=112.5°．
如图，∠AOB＝120°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.(1) 求∠EOD的度数；
(2) 若∠BOC＝90°，求∠AOE的度数．
角的大小比较
度量、叠合、翻折
角的和差
角的平分线
图形语言、文字语言、符号语言
方 法
作 法
描 述
4.3 角4.3.3 余角和补角
如图坝底是由石块堆积而成，要测出∠1的度数，你有什么简单的方法吗？
要解决这问题，我们先来学习余角和补角.
余角和补角的概念
如果两个角的和等于90°( 直角 )，就说这两个角互为余角 ( 简称为两个角互余 ).
如图，可以说∠1 是∠2 的余角，或∠2 是∠1的余角，或∠1和∠2互余.
图中给出的各角，哪些互为余角？
15o
24o
66o
75o
46.2o
43.8o
如果两个角的和等于180°(平角)，就说这两个角互为补角 ( 简称为两个角互补 ).
如图，可以说∠3 是∠4 的补角，或∠4是∠3 的补角，或∠3 和∠4 互补.
图中给出的各角，哪些互为补角？
例1 若一个角的补角等于它的余角的 4 倍，求这个角的度数.
解：设这个角为 x°，则它的补角是 ( 180 –x )°， 余角是 ( 90 –x )° . 根据题意，得180 –x = 4 ( 90 –x ) . 解得 x = 60.答：这个角的度数是 60 °.
利用余角、补角的概念求角的度数
探究新知
1. 已知 ∠A 与∠B 互余，且 ∠A 的度数比∠B 度数的 3 倍还多30°，求∠B的度数.
解：设∠B的度数为x°，则 ∠A 的度数为 (3x+30)°. 根据题意得： x + ( 3x+30 ) = 90. 解得 x=15. 故 ∠B 的度数为15°.
例2 如图，已知O为AD上一点，∠AOC与∠AOB互补，OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，若∠MON=40°，试求∠AOC与∠AOB的度数．
解：设∠AOB=x，因为∠AOC与∠AOB互补，则∠AOC=180°–x．因为OM，ON分别为∠AOC，∠AOB的平分线，
余角、补角、角平分线相结合的题目
探究新知
解得x=50°，则180°–x =130°.
即∠AOB=50°，∠AOC=130°.
探究新知
2.如图，AB是一条直线，OC是一条射线，∠AOC＝2∠AOF，∠BOC＝2∠BOE. (1)∠1与∠2互余吗？
解：互余. ∵ ∠AOC＝2∠AOF，∠BOC＝2∠BOE∴ ∠AOF= ∠ FOC= ? ? ∠AOC, ∠BOE= ∠ COE = ? ? ∠AOC∴ ∠1+ ∠2 = ? ? (∠AOC+ ∠BOC） = ? ? ×180°=90°，∴ ∠1与 ∠2 互余.
(2)指出图中所有互余和互补的角．
解：互余的角：∠1与∠2；∠1与∠BOE；∠2与∠AOF；∠BOE与∠AOF.互补的角：∠BOE与∠AOE；∠2与∠AOE；∠AOF与∠BOF；∠1与∠BOF；∠AOC与∠BOC.
27°37′
117°37′
85°
175°
58°
148°
45°
135°
103°
13°
(90–x)°
(180–x)°
观察可得结论：锐角的补角比它的余角大_____.
90°
探究新知
∠1 与∠2，∠3都互为补角，∠2 与∠3 的大小有什么关系？
余角和补角的性质
思考：
∠2=180°–∠1
∠3=180°–∠1
=
例3 如图，点A，O，B在同一直线上，射线 OD 和射线 OE 分别平分∠AOC 和∠BOC，图中哪些角互为余角？
解：∵点A，O，B在同一直线上， ∴∠AOC和∠BOC 互为补角.
余角和补角的识别
探究新知
∴ ∠COD和∠COE互为余角，
同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互为余角.
探究新知
3.如图，O为直线AB上一点，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．（1）∠AOD的余角是_______________，∠COD的余角是_________________;（2）OE是∠BOC的平分线吗？请说明理由．
∠COE、∠BOE
∠COE、∠BOE
解：OE平分∠BOC，理由如下：∵∠DOE=90°，∴∠AOD+∠BOE=90°，∴∠COD+∠DOE=90°，∴∠AOD+∠BOE=∠COD+∠DOE，∵OD平分∠AOC∴∠AOD=∠COD，∴∠COE=∠BOE，∴OE平分∠BOC．
4. 如图,已知∠AOB=90°， ∠AOC= ∠BOD，则与∠AOC互余的角有__________________.
∠BOC 和 ∠AOD
方位角
东
西
北
南
O
正东：正南：正西：正北：
西北方向：西南方向：东北方向：东南方向：
射线 OA
A
B
C
D
45°
45°
45°
45°
射线 OB
射线 OC
射线 OD
射线 OE
射线 OF
射线 OH
射线 OG
八 大 方 位
45°
如图，说出下列方位. (1) 射线 OA 表示的方向为_________ . (2) 射线 OB 表示的方向为_________. (3) 射线 OC 表示的方向为_______________. (4) 射线 OD 表示的方向为_________.
北
东
西
南
C
A
B
D
北偏东 40°
北偏西 65°
南偏西 45°(西南)
南偏东 20°
40°
65°
70°
O
20°
例4如图,货轮O在航行过程中,发现灯塔A在它南偏东60°的方向上.同时,在它北偏东40°,南偏西10°,西北(即北偏西45°)方向上又分别发现了客轮B，货轮C和海岛D.仿照表示灯塔方位的方法画出表示客轮B，货轮C和海岛D方向的射线.
● B
C ●
● A
● D
利用方位角解答实际问题
5.费俊龙、聂海胜乘坐“神舟”六号遨游太空时，我国当时派出远望一号~四号船队，跟踪检测. 其中远望一、二号停在太平洋洋面上，某一时刻，分别测得神舟六号在北偏东60°和北偏东30°的方向，你能在下图中画出当时神舟六号所处的位置吗？
60°
30°
●
1.（2018•白银）若一个角为65°，则它的补角的度数为（　 ）A．25° B．35° C．115° D．125°
C
A
1.一个角的余角是它的2倍，这个角的度数是（ 　）A．30° B．45° C．60° D．75°
A
2.下列说法正确的是（　 ）A．一个角的补角一定大于它本身B．一个角的余角一定小于它本身C．一个钝角减去一个锐角的差一定是一个锐角D．一个角的余角一定小于其补角
D
3.（2018•德州）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中∠α与∠β互余的是 （　　）A．图① B．图② C．图③ D．图④
4.（2018•黔南州）∠α=35°，则∠α的补角为______度．
145
A
5. 如图，已知∠ACB=∠CDB=90°.
(1) 图中有哪几对互余的角？
(2) 图中哪几对角是相等的角(直角除外)？为什么？
答案：∠A+∠B=90° ∠A+∠2=90°
∠1+∠B=90° ∠1+∠2=90°
答案：∠B=∠2
∠A=∠1
( 同角的余角相等 )
( 同角的余角相等 )
一个角的补角是它的3倍,这个角是多少度?
解:
180 – x=3x
解之得: x = 45
答: 这个角是45°。
则它的补角为(180°– x°),
得:
设这个角为x°,
60°
30°
垃圾打捞船 A 和 B 都停驻在湖边观测湖面，从 A 船发现它的北偏东60°方向有白色漂浮物， 同时，从 B 船也发现该白色漂浮物在它的北偏西30°方向.(1) 试在图中确定白色漂浮物C的位置；
A
B
北
北
C
60°
A. 南偏东30° B. 南偏西30°C. 南偏东60° D. 南偏西60°
(2) 点 C 在点 A 的北偏东60°的方向上，那么点 A在点 C 的______方向上.
60°
30°
A
B
北
北
C
D
同角或等角的补角相等
同角或等角的余角相等
方位角
物体运动的方向与正北、正南方向之间的夹角称为方位角，一般以正北、正南为基准，用向东或向西旋转的角度表示方向
定义
书写
通常要先写北或南，再写偏东或偏西
4.4 课题学习——设计制作长方体形状的包装纸盒
“鲁班锁”是一种立体插接玩具,是由中国古代房屋的榫卯结构转化而来的,因为鲁班是中国木工的始祖,所以得名“鲁班锁”.“鲁班锁”一般由六根短木组成,中间有缺,缺缺结合,以十字双交卡榫组成.将木块大小不一的卡榫精准放置才能组合成功,而且只要抽掉一根木条,整个接合的木块就会散架.古老的中国智慧对今天我们所学内容有什么启示呢?
观察作为参考物的包装盒.
　　 （1）长方体是由几个面、多少条棱、多少个顶点组成的呢？
设计制作长方体形状的包装盒
（2）长方体的6个面是平面图形还是立体图形？是什么形状？长方体中各个面之间有什么位置关系？形状有什么关系？面积呢？
（3）长方体的棱在大小和位置有什么特殊的关系呢？
拆开观察长方体包装盒的展开图.
展开
（1）将每一组的纸制长方体沿棱剪开，展开成一个完整的平面展开图，需要剪开多少条棱？
长方体展开图
包装纸盒的展开图
包装纸盒的展开图
（2）所得的平面展开图是什么样的？找出对应长方体各面、棱的相应部分，找出其中的关系．
上
下
后
前
左
右
展开
上
前
后
左
右
展开
下
（3） 展示所得的图形，并说明展开图与立体图形之间的联系．
展开
展开
观察它是如何折叠并粘到一起的．
还原表面展开图为包装盒.
折叠
经过讨论，确定本组的设计方案.
　　包装盒的形状、尺寸、外表图案等．
设计方案内容包括：
设计制作长方体形状的包装盒
设计
设计、制作出如图所示的纸盒.
成才路
成才路
先在一张软纸上画出包装盒平面展开图的草图；设计时要仔细观察后再裁纸、折叠.
步骤
在硬纸板上,按照初步设计,画好包装盒的平面展开图,注意要预留出黏合处,并要适当剪去棱角.在平面展开图上进行图案与文字的美术设计.
步骤
裁下平面展开图,折叠并粘好黏合处,得到长方体包装盒.
各小组展示成果.
步骤
1. 下列四张正方形硬纸片，剪去阴影部分后，如果沿虚线折叠，可以围成一个封闭的长方体包装盒的是 ( )
C
C
（2018•大庆）将正方体的表面沿某些棱剪开，展成如图所示的平面图形，则原正方体中与“创”字所在的面相对的面上标的字是 （　　）A．庆 B．力 C．大 D．魅
A
下列选项中哪一个图形是图中正方体的平面展开图（ ）.
A
（2018•徐州）下列平面展开图是由5个大小相同的正方形组成，其中沿正方形的边不能折成无盖小方盒的是 （　　） A B C D
B
制作立体图形时，要先将立体图转化为平面图形(平面展开图)，再转化为立体图形(折叠).
概念
正数和负数表示实际问题中的具有相反意义的量.
在具体的问题情境中，明确正数和负数代表的实际意义.
正数和负数的定义
0的意义不仅是表示“没有”，还是正数和负数的分界.
正数、0、负数