2021学年第四章 机械能和能源第04节 机械能守恒定律教学设计

7．动能和动能定理

三维目标

知识与技能

1．知道动能的定义式，能用动能的定义式计算物体的动能；

2．理解动能定理反映了力对物体做功与物体动能的变化之间的关系；

3．能够理解动能定理的推导过程，知道动能定理的适用条件；

4．能够应用动能定理解决简单的实际问题。

过程与方法

1．运用归纳推导方式推导动能定理的表达式；

2．通过动能定理的推导理解理论探究的方法及其科学思维的重要意义；

3．通过对实际问题的分析，对比牛顿运动定律，掌握运用动能定理分析解决问题的方法及其特点。

情感、态度与价值观

1．通过动能定理的归纳推导培养学生对科学研究的兴趣；

2．通过对动能定理的应用感悟量变（过程的积累）与质变（状态的改变）的哲学关系。

教学重点

1．动能的概念；

2．动能定理的推导和理解。

教学难点

动能定理的理解和应用。

教学过程

［新课导入］

在本章第一节《追寻守恒量》中，已经知道物体由于运动而具有的能叫动能。通过上节的探究我们已经了解力所做的功与物体所获得的速度的关系。那么，物体的动能的表达式究竟是什么？进一步探究外力对物体做的功与物体动能变化的定量关系。

［新课教学］

一、动能的表达式

1．动能

物体由于运动而具有的能叫动能。

2．与动能有关的因素

你能通过实验粗略验证一下物体的动能与哪皯因素有关吗？

方案：让滑块从光滑的导轨上滑下与静止的木块相碰，推动木块做功。

实验：（1）让同一滑块从不同的高度滑下；（2）让质量不同的滑块从同一高度滑下。

现象：（1）高度大时滑块把木块推得远，对木块做的功多；（2）质量大的滑块把木块推得远，对木块做的功多。

结果：（1）高度越大，滑块滑到底端时速度越大，在质量相同的情况下，速度越大，对外做功的本领越强，说明滑块由于运动而具有的能量越多。（2）滑块从相同的高度滑下，具有的末速度是相同的，之所以对外做功的本领不同，是因为滑块的质量不同，在速度相同的情况下，质量越大，滑块对外做功的能力越强，也就是说滑块由于运动而具有的能量越多。

物体的质量越大、速度越大，物体的动能越大。

3．表达式

动能与质量和速度的定量关系如何呢？我们知道，功与能密切相关。因此我们可以通过做功的多少来定量地确定动能。外力对物体做功使物体运动而具有动能，下面我们就通过这个途径研究一个运动物体的动能是多少。

如图所示，一个物体的质量为m，初速度为v1，在与运动方向相同的恒力F的作用下发生一段位移l，速度增大到v2，则：

①力F对物体所做的功多大?

②物体的加速度多大?

③物体的初速、末速、位移之间有什么关系?

④结合上述三式你能综合推导得到什么样的式子?

解析：力对物体做的功为：W＝Fl。

根据牛顿第二定律有：F＝ma。

根据运动学公式有：。

把F、l的表达式代入W＝Fl，可得F做的功：，也就是

从这个式子可以看出，“”很可能是一个具有特定意义的物理量。因为这个量在过程终了时和过程开始时的差，正好等于力对物体的功，所以“”应该就是我们寻找的动能表达式。上节的探究已经表明，力对初速度为零的物体所做的功与物体速度的二次方成正比，这也印证了我们的想法。于是，我们说质量为m的物体，以速度v运动时的动能是

　　　　　　　　　　　　（1）

物体的动能等于物体质量与物体速度的二次方的乘积的一半。

4．单位

从动能的表达式可以看出，动能的单位由质量和速度的单位来确定，在SI制中，它的单位与功的单位相同，都是焦耳。

1kg·m2/s2＝1N·m＝1J

我国在1970年发射的第一颗人造地球卫星，质量为173kg，运动速度为7.2km/s，它的动能是＝4.5×109J。

5．说明

①动能是状态量，与物体的运动状态有关，在动能的表达式中，v应为对应时刻的瞬时速度；

②动能是标量，动能与功一样，只有大小，没有方向，是标量。而且动能的数值始终大于零，不可能取负值；

③动能与参考系的选择有关。

二、动能定理

1．表达式

在得到动能的表达式后，可以写成

W＝EK2－EK1       （2）

其中EK2表示一个过程的末动能，EK1表示一个过程的末动能。

2．内容

力在一个过程中对物体所做的功，等于物体在这个过程中动能的变化。这个结论叫做动能定理（theorem ofkinetic energy）。

如果物体受到几个力的共同作用，动能定理中的W即为合力做的功，它等于各个力做功的代数和。例如，一架飞机在牵引力和阻力的共同作用下，在跑道上加速运动，速度越来越大，动能就越来越大。牵引力和阻力的合力做了多少功，飞机的动能就增加多少。

本书中，动能定理是在物体受恒力作用，并且做直线运动的情况下得到的。当物体受变力作用，或做曲线运动时，我们仍可采用过去的方法，把过程分解成许多小段，认为物体在每小段运动中受到的是恒力，运动的轨迹是直线，这样也能得到动能定理。

正因为动能定理适用于变力做功和曲线运动的情况，所以在解决一些实际的力学问题时，它得到了广泛的应用。

3．说明

①动能定理揭示了物体的动能变化与外力功的关系，功是物体动能变化的原因。

当合力对物体做正功时，末动能大于初动能，动能增加；当合力对物体做负功时，末动能小于初动能，动能减少；当合外力的功等于零时，初、末状态的动能相等。

②动能定理中的功应包括一切外力的功。

动能定理中的W即为合力做的功，它等于各个力做功的代数和。在某一过程中，各力的功可以是同时的，也可以是不同阶段的。

③动能定理既适合于恒力做功，也适合于变力做功，既适用于直线运动，也适用于曲线运动。

动能定理的特点是不必追究全过程的运动性质和状态变化的细节，对于求解变力功，曲线运动中的功，以及复杂过程中的功能转化，动能定理都提供了方便。

④在中学阶段，动能定理的研究对象是单个质点。

动能定理反映功这个过程量和动能这个状态量之间的关系，动能定理表示了过程量等于状态量的改变量的关系。给出了力对空间累积的结果。

⑤动能定理是标量式，式中的功和动能必须是相对于同一惯性参考系的。

三、动能定理的应用

1．用动能定理解题的步骤

①确定研究对象及所研究的物理过程；

②分析物体的受力情况，明确各个力是否做功，做正功还是做负功，进而明确合外力的功；

③确定始、末态的动能；

④根据动能定理列方程；

⑤求解方程、分析结果。

2．例题

【例题1】一架喷气式飞机，质量m＝5.0×103kg，起飞过程中从静止开始滑跑。当位移达到l＝5.3×102m时，速度达到起飞速度v＝60m/s。在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重量的0.02倍。求飞机受到的牵引力。

分析  滑跑过程中牵引力与阻力的合力对飞机做功。本题已知飞机滑跑过程的始末速度，因而能够知道它在滑跑过程中增加的动能，故可应用动能定理求出合力做的功，进而求出合力、牵引力。

飞机滑行时除了地面阻力外，还受到空气阻力，后者随速度的增加而增加。本题说“平均阻力是飞机重量的0.02倍”，只是一种粗略的估算。

解法一：以飞机为研究对象，受到重力、支持力、牵引力和阻力作用，它做匀加速直线运动。

根据牛顿第二定律有：

F－kmg＝ma        ①

根据运动学公式有：

v2－02＝2as          ②

由①和②得：

＝1.8×104 N。

解法二：以飞机为研究对象，它受到重力mg、支持力FN、牵引力F和阻力F1作用，这四个力做的功分别为WG＝0，WFN＝０，WF＝Fl，WF1＝－kmgl。

据动能定理得：

代入数据，解得F＝1.8×104N。

总结：解法一采用牛顿运动定律和匀变速直线运动的公式求解，要假定牵引力是恒力，而实际中牵引力不一定是恒力；解法二采用动能定理求解，因为动能定理适用于变力，用它可以处理牵引力是变力的情况。而且运用动能定理解题不涉及物体运动过程中的加速度和时间，因为用它来处理问题时比较方便。

从这个例题可以看出，动能定理不涉及物体运动过程中的加速度和时间，因此用它处理问题有时比较方便。

【例题2】一辆质量为m、速度为v0的汽车在关闭发动机后于水平地面滑行了距离l后停了下来。试求汽车受到的阻力。

分析  我们讨论的是汽车从关闭发动机到静止的运动过程。这个过程的初动能、末动能都可求出，因而应用动能定理可以知道阻力做的功，进而可以求出汽车受到的阻力。

汽车实际上受到的阻力F阻是变化的。这里以F阻l表示阻力做的功，求出的F阻是汽车在这段距离中受到的平均阻力。

解　汽车的初动能、末动能分别为和0，阻力F阻做的功为－F阻l。应用动能定理，有

由此解出

汽车在这段运动中受到的阻力是。

能不能用牛顿运动定律解决这个问题？试一试。

【思考与讨论】

做功的过程是能量从一种形式转化为另一种形式的过程，或从一个物体转移到另一个物体的过程。在上面的例题中，阻力做功，汽车的动能到哪里去了？

［小结］

1．物体由于运动而具有的能叫动能，动能可用EK来表示，物体的动能等于物体的质量与物体速度的二次方的乘积的一半，动能是标量，状态量。

2．动能定理是根据牛顿第二定律F＝ma和运动学公式推导出来的。

3．动能定理中所说的外力，既可以是重力、弹力、摩擦力、也可以是任何其他的力，动能定理中的W是指所有作用在物体上的外力的合力的功。

4．动能定理的表达式虽是在物体受恒力作用且做直线运动的情况下得出的，但对于外力是变力，物体做曲线运动的情况同样适用。

5．通过动能定理，再次明确功和动能两个概念的区别和联系、加深对两个物理量的理解。

［布置作业］

教材第74－75页“问题与练习”。