第24讲-等差数列及其前n项和（解析版）学案

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第24讲-等差数列及其前n项和
一、 考情分析
1.理解等差数列的概念；
2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；
3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题；
4.体会等差数列与一次函数的关系.
二、 知识梳理
1.等差数列的概念
(1)如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列.
数学语言表达式：an＋1－an＝d(n∈N+，d为常数).
(2)如果三个数x，A，y组成等差数列，那么A叫做x和y的等差中项，且A＝.
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)若等差数列{an}的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝.
3.等差数列的性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N+).
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N+)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N+)是公差为md的等差数列.
(4)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.
(5)若Sn为等差数列{an}的前n项和，则数列也为等差数列.
[微点提醒]
1.已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列，且公差为p.
2.在等差数列{an}中，a1＞0，d＜0，则Sn存在最大值；若a1＜0，d＞0，则Sn存在最小值.
3.等差数列{an}的单调性：当d＞0时，{an}是递增数列；当d＜0时，{an}是递减数列；当d＝0时，{an}是常数列.
4.数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).
三、 经典例题
考点一　等差数列基本量的运算
【例1-1】（2020·山西省太原五中高三月考（理））已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由得，解得.
【例1-2】（2012·辽宁省高考真题（理））在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝（ ）
A．58 B．88 C．143 D．176
【答案】B
【解析】等差数列前n项和公式，．
【例1-3】（2020·黑龙江省大庆实验中学高三月考（文））（2017新课标全国I理科）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为
A．1 B．2
C．4 D．8
【答案】C
【解析】设公差为，，，联立解得，故选C.
【例1-4】（2008·陕西省高考真题（文））是等差数列，，，则该数列前10项和等于（）
A．64 B．100 C．110 D．120
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为，由a1+a2=4，a7+a8=28，可得：
解方程组可得.
故选：B
【例1-5】（2020·全国高考真题（理））北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）

A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
【答案】C
【解析】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，
则是以9为首项，9为公差的等差数列，，
设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为，因为下层比中层多729块，
所以，
即
即，解得，
所以.
故选：C

规律方法　1.等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.
2.数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
考点二　等差数列的判定与证明
【例2】（2020·江苏省高三专题练习）已知各项均为正数的两个数列和满足：，，
（1）设，，求证：数列是等差数列；
（2）设，，且是等比数列，求和的值．
【解析】（1）∵，∴．
∴．
∴．
∴数列是以1 为公差的等差数列．
（2）∵，∴．
∴．（﹡）
设等比数列的公比为，由知，下面用反证法证明
若则，∴当时，，与（﹡）矛盾．
若则，∴当时，，与（﹡）矛盾．
∴综上所述，．∴，∴．
又∵，∴是公比是的等比数列．
若，则，于是．
又由即，得．
∴中至少有两项相同，与矛盾．∴．
∴．
∴
规律方法　1.证明数列是等差数列的主要方法：
(1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数.
(2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N+)都成立.
2.判定一个数列是等差数列还常用到结论：
(1)通项公式：an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}是等差数列.
(2)前n项和公式：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列.问题的最终判定还是利用定义.
考点三　等差数列的性质及应用
【例3-1】（2020·浙江省高考真题）已知等差数列{an}的前n项和Sn，公差d≠0，．记b1=S2，bn+1=S2n+2–S2n，，下列等式不可能成立的是（ ）
A．2a4=a2+a6 B．2b4=b2+b6 C． D．
【答案】D
【解析】对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；
对于B，由题意可知，，，
∴，，，．
∴，．
根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；
对于C，，
当时，，C正确；
对于D，，，
．
当时，，∴即；
当时，，∴即，所以，D不正确．
【例3-2】（2020·梅河口市第五中学高三零模（理））已知为等差数列，为其前n项和，若，，则_______.
【答案】6
【解析】因为是等差数列，所以，即，又，所以，
所以．故答案为6．
【例3-3】（2020·全国高考真题（文））记为等差数列的前n项和．若，则__________．
【答案】
【解析】是等差数列，且，
设等差数列的公差
根据等差数列通项公式：
可得
即：
整理可得：
解得：
根据等差数列前项和公式：
可得：
.
故答案为：.
【例3-4】（2020·上海高三专题练习）中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为 2015，则该数列的首项为__________．
【答案】5.
【解析】设数列的首项为，则，所以，故该数列的首项为，所以答案应填：．
规律方法　1.项的性质：在等差数列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N+)，则am＋an＝ap＋aq.
2.和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
(1)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
(2)S2n－1＝(2n－1)an.
考点四　等差数列的前n项和及其最值
【例4-1】（2020·海原县第一中学高三期末（文））记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
【解析】（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．
由a1=–7得d=2．
所以{an}的通项公式为an=2n–9．
（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．
所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．
点睛：数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.
【例4-2】（2019·北京高考真题（文））设{an}是等差数列，a1=–10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．
【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，
因为成等比数列，所以，
即，解得，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知,
所以；
当或者时，取到最小值.
【例4-3】（2020·海原县第一中学高三期末（文））记为等差数列的前项和，已知，．
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最小值．
【解析】（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．
由a1=–7得d=2．
所以{an}的通项公式为an=2n–9．
（2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16．
所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．
规律方法　求等差数列前n项和Sn的最值的常用方法：
(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn(a≠0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值.
(2)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项，进而求Sn的最值.
①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm(当am＋1＝0时，Sm＋1也为最大值)；
②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm(当am＋1＝0时，Sm＋1也为最小值).
[方法技巧]
1.证明等差数列可利用定义或等差中项的性质，另外还常用前n项和Sn＝An2＋Bn及通项an＝pn＋q来判断一个数列是否为等差数列.
2.等差数列基本量思想
(1)在解有关等差数列的基本量问题时，可通过列关于a1，d的方程组进行求解.
(2)若奇数个数成等差数列，可设中间三项为a－d，a，a＋d.
若偶数个数成等差数列，可设中间两项为a－d，a＋d，其余各项再依据等差数列的定义进行对称设元.
(3)灵活使用等差数列的性质，可以大大减少运算量.
3.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an＋1－an＝d(n≥2)时，应注意验证a2－a1是否等于d，若a2－a1≠d，则数列{an}不为等差数列.
4.利用二次函数性质求等差数列前n项和最值时，一定要注意自变量n是正整数.
四、 课时作业
1．（2020·安达市第七中学高三月考（文））设为等差数列的前项和，，，则（ ）
A．-6 B．-4 C．-2 D．2
【答案】A
【解析】由已知得
解得．
2．（2020·黑龙江省大庆一中高三三模（理））已知等差数列中，，前5项的和满足，则公差取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题可知：
，
又，所以，
解得.
3．（2020·吉林省实验高一期中）已知等差数列的前n项和为，且，则＝（　　）
A．0 B．10 C．15 D．30
【答案】C
【解析】由等差数列性质可知：

4．（2020·黑龙江省黑龙江实验中学高三三模（文））等差数列的首项为1，公差不为0，若，，成等比数列，则数列的前8项的和为（ ）
A．64 B．22 C．-48 D．-6
【答案】C
【解析】等差数列的首项为，设公差（）．
若，，成等比数列，
所以，即， 解得，
所以的前8项和为．
5．（2020·全国高三其他（文））已知是等差数列，，.若，则（ ）
A．98 B．99 C．100 D．101
【答案】C
【解析】设等差数列的公差为，
则，解得，
所以，
由，解得.
6．（2020·全国高三其他（理））《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布.此问题中若记该女子一月中的第天所织布的尺数为，则的值为（ ）
A．56 B．52
C．28 D．26
【答案】D
【解析】等差数列的首项，设公差为，故，解得，故.故选D.
7．（2020·四川省阆中中学高三其他（文））已知等差数列的前n项和为，且，则（ ）
A．21 B．27 C．30 D．36
【答案】B
【解析】由题知：，所以.
.
8．（2020·辽宁省大连二十四中高三其他（理））等差数列，，，的第四项等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题得.
所以等差数列的前三项为0,3,6,公差为3，
所以等差数列的第四项为9.
9．（2020·全国高三（文））在等差数列中，，则的前项的和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由等差数列的性质可得，由等差数列的前项和公式可知，等差数列的前项和为，故选：A.
10．（2020·河南省高三三模（文））已知Sn为等差数列的前n项和，若，则＝（ ）
A．﹣2 B．0 C．2 D．10
【答案】B
【解析】设等差数列的公差为d，由，
所以
则．
11．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高三三模（文））数列是等差数列，且，，那么（ ）
A． B． C．5 D．-5
【答案】B
【解析】由于数列是等差数列，所以，
又，，∴，解得，故选：B.
12．（2019·哈尔滨市第一中学校高三开学考试（文））在等差数列{an}中，已知a4＋a8＝16，则该数列前11项和S11＝（ ）
A．58 B．88 C．143 D．176
【答案】B
【解析】等差数列前n项和公式，．
13．（2020·湖北省高三期末（文））设Sn是等差数列{an}的前n项和，若，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设,根据是一个首项为a,公差为a的等差数列，各项分别为a,2a,3a,4a..
14．（2020·甘肃省兰州一中高三一模（理））已知正项等比数列中，，且成等差数列，则该数列公比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由于成等差数列，所以，所以，即，解得.
15．（2020·江西省新余一中高一月考）《周脾算经》有记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（gui）长损益相同，晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即所测定的影子的长度，二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长变化量相同，周而复始，若冬至晷长最长是一丈三尺五寸，夏至晷长最短是一尺五寸，（一丈等于10尺，一尺等于10寸），则秋分节气的晷长是（ ）

A．七尺五寸 B．二尺五寸 C．五尺五寸 D．四尺五寸
【答案】A
【解析】由题意从夏至到秋分到冬至的过程中晷长为等差数列，设为.
则，,则公差.
秋分晷长为.
所以秋分节气的晷长是七尺五寸
16．（2020·湖北省高三期末（理））已知是等差数列，若，，成等比数列，且公比为，则＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设是公差为的等差数列，
若，，成等比数列，可得，
即，
化为，解得，则，
则公比为，故选：C．
17．（2020·齐齐哈尔市朝鲜族学校高一期中）已知数列的前项和，则的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】当时，；当时，；因此的通项公式为，选B.
18．（2020·海东市教育研究室高三其他（理））在等比数列中，，且、、成等差数列，则公比（ ）
A． B．或 C． D．或
【答案】C
【解析】在等比数列中，，则其公比，
由题意可得，即，
则，即，解得或（舍去）.
19．（2020·全国高三其他（理））等差数列满足，，则（ ）
A．-2 B．2 C．-4 D．4
【答案】B
【解析】设数列的公差为d，
则由，可得，解得，
所以.
20．（2020·湖北省沙市中学高三三模（文））设等差数列前项和为，若，，则（ ）
A．13 B．15 C．17 D．19
【答案】D
【解析】因为，，所以，
即，解得，所以.
21．（2020·黑龙江省铁人中学高三其他（理））已知数列的各项均为正数，其前项和满足，设，为数列的前项和，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得，作差可得：
，又得，
则所以，
…，
所以.
22．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高三三模（文））已知数列，，则数列的前100项和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知， 当时，；
当时，，所以数列的前100项和


.
23．（2020·黑龙江省哈尔滨三中高三二模（理））等差数列的前项和为，，，则取最小值时，的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】设等差数列的首项为，公差为，
由于，，
则，
解得：，
．
由，得，，
数列自第5项起大于0，则取最小值时，的值为4.
24．（2020·黑龙江省大庆实验中学高三月考（文））（2017新课标全国I理科）记为等差数列的前项和．若，，则的公差为
A．1 B．2
C．4 D．8
【答案】C
【解析】设公差为，，，联立解得，故选C.
25．（2020·河北省高三二模（文））已知正项等比数列的公比为q，若，且，则（ ）
A．19 B．45 C．55 D．100
【答案】C
【解析】由题意，正项等比数列的公比为q，且，
可得，，
因为，即，所以.
26．（2020·绥化市第一中学高一期中）ΔABC的内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c，若角A,B,C依次成等差数列，且a=1,b=3，则ΔABC的面积S=(　 　)
A．2 B．3 C．32 D．2
【答案】C
【解析】∵A,B,C依次成等差数列，
∴A+B+C=3B=180∘,B=60∘，
因为a=1,b=3，
∴由余弦定理得b2=a2+c2−2accosB，得c=2，
∴SΔABC=12acsinB=32，故选C.
27．（2020·全国高三月考（理））我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤,中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤？”（ ）
A．6斤 B．7斤 C．8斤 D．9斤
【答案】D
【解析】原问题等价于等差数列中，已知，求的值.
由等差数列的性质可知：，
则，即中间三尺共重斤.
28．（2020·全国高三其他（文））在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里，良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：相逢时良马比驾马多行（　　）
A．1125里 B．920里 C．820里 D．540里
【答案】D
【解析】设良马每天所行路程为，则是以103为首项，以13为公差的等差数列，其前项和为，弩马每天所行路程为，则是以97为首项，以为公差的等差数列，其前项和为，
设共用天二马相逢，
则，
所以，
化简得，解得，
，
，
，故选D．
29．（多选题）（2020·山东省高三三模）在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已知匹丈，丈尺，若这一个月有天，记该女子这一个月中的第天所织布的尺数为，，对于数列、，下列选项中正确的为（ ）
A． B．是等比数列 C． D．
【答案】BD
【解析】由题意可知，数列为等差数列，设数列的公差为，，
由题意可得，解得，，
，（非零常数），则数列是等比数列，B选项正确；
，，，A选项错误；
，，C选项错误；
，，
所以，，D选项正确.
30．（多选题）（2020·山东省济宁一中高三月考）等差数列是递增数列，满足，前项和为，下列选择项正确的是（  ）
A． B．
C．当时最小 D．时的最小值为
【答案】ABD
【解析】由题意，设等差数列的公差为，
因为，可得，解得，
又由等差数列是递增数列，可知，则，故正确；
因为，
由可知，当或时最小，故错误，
令，解得或，即时的最小值为，故正确.
31．（多选题）（2020·山东省烟台三中高二期中）已知为等差数列，其前项和为，且，则以下结论正确的是（ ）.
A． B．最小 C． D．
【答案】ACD
【解析】即，正确；
当时，没有最小值，错误；
，正确；
，正确.
32．（多选题）（2020·山东省实验中学高三月考）记数列的前项和为，若存在实数H，使得对任意的，都有，则称数列为“和有界数列”.下列说法正确的是（ ）
A．若是等差数列，且公差，则是“和有界数列”
B．若是等差数列，且是“和有界数列”，则公差
C．若是等比数列，且公比，则是“和有界数列”
D．若是等比数列，且是“和有界数列”，则的公比
【答案】BC
【解析】对于AB选项分析如下：若是等差数列，则.
对于A选项，当时，，若，根据一次函数的性质可知，此时不存在符合题意的.所以A选项错误.
对于B选项，是“和有界数列”，而，若，根据二次函数的性质可知，此时不存在符合题意的，故.所以B选项正确.
对于CD选项分析如下：若是等比数列，则.
对于C选项，若，则当时，，故存在实数H，使得对任意的，都有，即是“和有界数列”.所以C选项正确.
对于D选项，若是等比数列，且是“和有界数列”，的取值可能为，此时，所以存在实数H，使得对任意的，都有.所以D选项错误.
33．（2020·四川省南充市第一中学高二期中（理））已知等差数列满足，.
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设是等比数列的前项和，若，，求．
【解析】(I)设等差数列的公差为，∵．∴，，
解得，， ∴．
(Ⅱ)设等比数列的公比为，，，联立解得，，
∴，或．
34．（2020·黑龙江省大庆一中高三三模（文））已知等差数列满足，.
（1）求数列的通项公式；
（2）若，求数列的前项和.
【解析】（1）设等差数列的公差为.
因为，所以，所以，解得.
所以.
检验：当时，，
则，合乎题意.
因此，数列的通项公式为；
（2）由（1）知.
所以.
所以数列的前项和.
35．（2019·哈尔滨市第一中学校高三开学考试（文））设等差数列的首项及公差都为整数，前项和为．
（1）若，，求数列的通项公式；
（2）若，，，求所有可能的数列的通项公式．
【解析】（1）由，得．
又，则，解得，
因此，的通项公式是；
（2）由，得，即，
由①②得，即．
由①③得，即．
于是，又，故．④
将④代入①②得．又，故或．
当，时，；
当当，时，.
综上，所有可能的数列的通项公式是和.