第07讲 幂函数与二次函数（讲义版）学案

第07讲-幂函数与二次函数

一、                   考情分析

1.   通过具体实例，结合y＝x，y＝，y＝x2，y＝，y＝x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数；

2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题．

二、                   知识梳理

1.幂函数

(1)幂函数的定义

一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.

(2)常见的5种幂函数的图象

(3)幂函数的性质

①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；

③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减.

2.二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式：

一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).

顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).

零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.

(2)二次函数的图象和性质

[微点提醒]

1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.

2.若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0，当时，恒有f(x)<0.

三、                   经典例题

考点一　幂函数的图象和性质

【例1-1】（2019·河北省沧州市一中高一月考）已知幂函数的图象过点和，则实数m的值为（    ）

A． B． C．3 D．

【答案】D

【解析】设，依题意可得，

所以.所以.

故所求实数.

【例1-2】（2020·土默特左旗金山学校高一开学考试（文））函数的图像大致是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，该函数的定义域为，所以排除C；

因为函数为偶函数，所以排除D；

又，在第一象限内的图像与的图像类似，排除B.

规律方法　1.对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域.根据α<0，0<α<1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.

2.在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.

考点二　二次函数的解析式

【例2-1】 (一题多解)已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.

【解析】　法一　(利用“一般式”解题)

设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).

由题意得解得

∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.

法二　(利用“顶点式”解题)

设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0).

因为f(2)＝f(－1)，

所以抛物线的对称轴为x＝＝，所以m＝.

又根据题意，函数有最大值8，所以n＝8，

所以y＝f(x)＝a＋8.

因为f(2)＝－1，所以a＋8＝－1，解得a＝－4，

所以f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7.

法三　(利用“零点式”解题)

由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，

故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，

即f(x)＝ax2－ax－2a－1.

又函数有最大值8，即＝8.

解得a＝－4或a＝0(舍).

故所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.

【例2-2】（2020·四川省泸县第一中学高一期中）已知函数在区间上的最大值为5，最小值为1.

（1）求、的值及的解析式；

（2）设，若不等式在上有解，求实数的取值范围.

【解析】对称轴方程为,

因为在区间上的最大值为5，,

故时,取得最小值为1,即顶点为，

或，取得最大值5.

,解得,

.

（2）,

,

即在上有解,

令

时，不等式在上有解.

实数的取值范围.

规律方法　求二次函数的解析式，一般用待定系数法，其关键是根据已知条件恰当选择二次函数解析式的形式，一般选择规律如下：

考点三　二次函数的图象及应用

【例3-1】（2020·全国高一专题练习）函数y＝ax2＋bx与y＝ax＋b(ab≠0)的图象只可能是(　　)

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】令， 的对称轴为。根据图象知，A选项 不对 ；B选项，若 成立，则，此时 图象不对；C选项，若 成立，则 ，此时 图象不对；D选项显然是正确的，故选D.

【例3-2】（2018·安徽省马鞍山二中高三期中（理））已知函数，且，则(　　)

A．，都有 B．，都有

C．，使得 D．，使得

【答案】B

【解析】由可知，抛物线开口向上．因为，即1是方程的一个根，所以，都有，选B．

规律方法　1.研究二次函数图象应从“三点一线一开口”进行分析，“三点”中有一个点是顶点，另两个点是抛物线上关于对称轴对称的两个点，常取与x轴的交点；“一线”是指对称轴这条直线；“一开口”是指抛物线的开口方向.

2.求解与二次函数有关的不等式问题，可借助二次函数的图象特征，分析不等关系成立的条件.

考点四　二次函数的性质

【例4-1】（2019·天津高三学业考试）已知函数在上有最小值-1，则的值为（    ）

A．-1或1 B．

C．或1 D．或1或-1

【答案】A

【解析】，对称轴是，

当时，，，

当时，，，舍去；

当时，，，舍去．

综上，．

【例4-2】（2020·馆陶县第一中学高一期中）已知函数．

（1）若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；

（2）当，时，不等式恒成立，求实数的范围．

【解析】（1）函数 的对称轴为，

又函数在上是单调函数，或 ， 解得或．

实数的取值范围为；

（2）当，时，恒成立，即恒成立，

令，恒成立，

函数的对称轴，∴，即，

的范围为．

规律方法　1.二次函数最值问题的解法：抓住“三点一轴”数形结合，三点是指区间两个端点和中点，一轴指的是对称轴，结合配方法，根据函数的单调性及分类讨论的思想求解.

2.由不等式恒成立求参数取值范围的思路及关键

(1)一般有两个解题思路：一是分离参数；二是不分离参数.

(2)两种思路都是将问题归结为求函数的最值，至于用哪种方法，关键是看参数是否已分离.这两个思路的依据是：a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)max，a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)min.

[方法技巧]

1.幂函数y＝xα(α∈R)图象的特征

α>0时，图象过原点和(1，1)点，在第一象限的部分“上升”；α<0时，图象不过原点，经过(1，1)点在第一象限的部分“下降”，反之也成立.

2.求二次函数的解析式就是确定函数式f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中a，b，c的值.应根据题设条件选用适当的表达形式，用待定系数法确定相应字母的值.

3.二次函数与一元二次不等式密切相关，借助二次函数的图象和性质，可直观地解决与不等式有关的问题.

4.二次函数的单调性与对称轴紧密相连，二次函数的最值问题要根据其图象以及所给区间与对称轴的关系确定.

5.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相交，则交点一定是原点.

6.对于函数y＝ax2＋bx＋c，要认为它是二次函数，就必须满足a≠0，当题目条件中未说明a≠0时，就要讨论a＝0和a≠0两种情况.

四、                   课时作业

1．（2020·榆林市第二中学高三零模（文））设，，，则的大小关系为（   ）

A． B． C． D．

2．（2020·四川省高一期末）若为幂函数，则（    ）

A．9 B． C． D．

3．（2019·湖北省高三一模（文））已知命题：，（为自然对数的底数）；命题：，使得.则下列命题是真命题的是(    )

A． B． C． D．

4．（2020·江西省九江一中高一期末）已知幂函数在上单调递增，函数，任意时，总存在使得，则的取值范围是（     ）

A． B．或 C．或 D．

5．（2020·北京高三一模）当时,若函数的图象与的图象有且只有一个交点,则正实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

6．（2020·会泽县第一中学校高一月考）已知点在幂函数的图象上，设，则的大小关系为（  ）

A． B． C． D．

7．（2020·深圳市高级中学高三月考（文））已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于（   ）

A． B． C．2 D．

8．（2020·全国高一课时练习）已知，且，若，则函数的大致图像为（    ）

A． B．

C． D．

9．（2020·北京高三期末）已知函数,若存在区间,使得函数f(x)在区间 上的值域为则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

10．（2020·四川省成都七中高一月考）已知若幂函数的图象关于轴对称，且在区间内单调递减，则__________．

11．（2018·郁南县连滩中学高一期中）已知幂函数的图象经过点，则该幂函数的解析式为              .

12．（2020·河南省高三其他（文））幂函数的图象关于轴对称，则实数_______.

13．（2019·西藏自治区山南二中高一期中）函数在上是减函数，则实数a的取值范围是___________

14．（2020·全国高三月考（文））已知函数，若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是________．

15．（2020·嘉祥县第一中学高二期中）已知幂函数在上单调递增，函数；

（1）求的值；

（2）当时，记、的值域分别是、，若，求实数的取值范围；

16．（2019·瓦房店市实验高级中学高一月考）已知函数.

（1）若对任意的实数都有成立，求实数的值；

（2）若在区间上为单调增函数，求实数的取值范围；

（3）当时，求函数的最大值.

17．（2020·九台市第四中学高一期末）设函数．

（1）当 时，求满足的的取值范围;

（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围．

18．（2020·内蒙古自治区集宁一中高二月考（文））已知在区间 上的值域为。

(1)求实数的值；

(2)若不等式 当上恒成立，求实数k的取值范围。

19．（2018·东北育才学校高三月考（理））已知幂函数在上单调递增，函数.

（1）求的值；

（2）当，时，记，的值域分别为集合，，设命题，命题，若命题是成立的必要条件，求实数的取值范围.

20．（2019·新乡市第一中学高三月考（理））巳知幂函数的图象过(2，).

(Ⅰ)求m的值与函数的定义域；

(Ⅱ)已知，求的值.