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2021年上海市长宁高三一模数学试卷及答案
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这是一份2021年上海市长宁高三一模数学试卷及答案，共18页。试卷主要包含了方程2x＝3的解为 等内容，欢迎下载使用。
2020年上海市嘉定区、长宁区、金山区高三高考数学一模试卷
一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6，8}，则A∩B＝ ．
2．方程2x＝3的解为 ．
3．行列式2-112的值为 ．
4．计算limn→∞2nn+1= ．
5．若圆锥的侧面面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的母线长为 ．
6．已知向量AB→=（12，32），AC→=（32，12），则∠BAC＝ ．
7．2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有 种．
8．已知点（﹣2，y）在角α终边上，且tan（π﹣α）＝22，则sinα＝ ．
9．近年来，人们支付方式发生巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯，某企业为了解该企业员工A、B两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽取了100人，统计了他们在某个月的消费支出情况，发现样本中A、B两种支付方式都没有使用过的有5人；使用了A、B两种方式支付的员工，支付金额和相应人数分布如表：
支付金额（元）
支付方式
（0，1000]
（1000，2000]
大于2000
使用A
18人
29人
23人
使用B
10人
24人
21人
依据以上数据估算：若从该公司随机抽取1名员工，则该员工在该月A、B两种支付方式都使用过的概率为 ．
10．已知非零向量a→、b→、c→两两不平行，且a→∥(b→+c→)，b→∥(a→+c→)，设c→=xa→+yb→，x，y∈R，则x+2y＝ ．
11．已知数列{an}满足：a1＝1，an+1﹣an∈{a1，a2，…，an}（n∈N*），记数列{an}的前n项和为Sn，若对所有满足条件的{an}，S10的最大值为M，最小值为m，则M+m＝ ．
12．已知函数f（x）＝|x+1x+a|，若对任意实数a，关于x的不等式f（x）≥m在区间[12，3]上总有解，则实数m的取值范围为 ．
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．已知x∈R，则“x＞0”是“x＞1”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
14．下列函数中，值域为（0，+∞）的是（ ）
A．y＝2x B．y=x12 C．y＝lnx D．y＝cosx
15．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点P是棱CC1的中点，设直线AB为a，直线A1D1为b，对于下列两个命题：①过点P有且只有一条直线l与a、b都相交；②过点P有且只有一条直线l与a、b都成45°角，以下判断正确的是（ ）
A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题
16．某港口某天0时至24时的水深y（米）随时间x（时）变化曲线近似满足如下函数模型：y＝0.5sin（ωπx+π6）+3.24（ω＞0），若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（ ）
A．16时 B．17时 C．18时 D．19时
三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）
17．如图，底面为矩形的直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1满足：AA1＝4，AD＝3，CD＝2．
（1）求直线A1C与平面AA1D1D所成的角θ的大小；
（2）设M、N分别为棱BB1、CD上的动点，求证：三棱锥N﹣A1AM的体积V为定值，并求出该值．
18．在复平面内复数z1、z2所对应的点为Z1、Z2，O为坐标原点，i是虚数单位．
（1）z1＝1+2i，z2＝3﹣4i，计算z1•z2与OZ1→⋅OZ2→；
（2）设z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R），求证：|OZ1→•OZ2→|≤|z1•z2|，并指出向量OZ1→、OZ2→满足什么条件时该不等式取等号．
19．如图，某城市有一矩形街心广场ABCD，如图，其中AB＝4百米，BC＝3百米，现将在其内部挖掘一个三角形水池DMN种植荷花，其中点M在BC边上，点N在AB边上，要求∠MDN=π4．
（1）若AN＝CM＝2百米，判断△DMN是否符合要求，并说明理由；
（2）设∠CDM＝θ，写出△DMN面积的S关于θ的表达式，并求S的最小值．
20．（16分）已知数列{an}各项均为正数，Sn为其前n项的和，且an、Sn、an2（n∈N*）成等差数列．
（1）写出a1、a2、a3的值，并猜想数列{an}的通项公式an；
（2）证明（1）中的猜想；
（3）设bn＝tan﹣1（t＞0），Tn为数列{bn}的前n项和，若对于任意n∈N*，都有Tn∈{bm|m∈N*}，求实数t的值．
21．（18分）已知函数f（x）＝x|x﹣a|，其中a为常数．
（1）当a＝1时，解不等式f（x）＜2；
（2）已知g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，有g（x）＝f（x），若a＜0，且g(32)=54，求函数y＝g（x）（x∈[1，2]）的反函数；
（3）若在[0，2]上存在n个不同的点xi（i＝1，2，…，n，n≥3），x1＜x2＜…＜xn，使得|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xn﹣1）﹣f（xn）|＝8，求实数a的取值范围．
2020年上海市嘉定区、长宁区、金山区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6，8}，则A∩B＝ {2，4} ．
【解答】解：∵A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6，8}，
∴A∩B＝{2，4}．
故答案为：{2，4}
2．方程2x＝3的解为 x＝log23 ．
【解答】解：∵2x＝3，∴指数式化为对数式得：x＝log23，
故答案为：x＝log23．
3．行列式2-112的值为 5 ．
【解答】解：2-112=2×2﹣1×（﹣1）＝5，
故答案为：5．
4．计算limn→∞2nn+1= 2 ．
【解答】解：limn→∞2nn+1=limn→∞21+1n=21+0=2．
故答案为：2．
5．若圆锥的侧面面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的母线长为 2 ．
【解答】解：∵圆锥的底面积为π，
∴圆锥的底面半径为r，满足πr2＝π，解得r＝1
又∵圆锥的侧面积为2π，
∴设圆锥的母线长为l，可得πrl＝2π，π•1•l＝2π，解之得l＝2
故答案为：2
6．已知向量AB→=（12，32），AC→=（32，12），则∠BAC＝ π6 ．
【解答】解：向量AB→=（12，32），AC→=（32，12），则cos∠BAC=AB→⋅AC→|AB→|⋅|AC→|=12⋅32+32⋅121⋅1=32，
∴∠BAC=π6，
故答案为：π6．
7．2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有 72 种．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①，将3位男生排成一排，有A33＝6种情况，
②，3名男生排好后有4个空位可选，在4个空位中，任选2个，安排两名女生，有A42＝12种情况，
则2位女生不相邻的排法有6×12＝72种；
故答案为：72
8．已知点（﹣2，y）在角α终边上，且tan（π﹣α）＝22，则sinα＝ 223 ．
【解答】解：由题意可得，tanα=y-2，
∵tan（π﹣α）＝﹣tanα＝22，
∴tanα＝﹣22=-y2，
解可得，y＝42，
∴sinα=424+32=223．
故答案为：223．
9．近年来，人们支付方式发生巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯，某企业为了解该企业员工A、B两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽取了100人，统计了他们在某个月的消费支出情况，发现样本中A、B两种支付方式都没有使用过的有5人；使用了A、B两种方式支付的员工，支付金额和相应人数分布如表：
支付金额（元）
支付方式
（0，1000]
（1000，2000]
大于2000
使用A
18人
29人
23人
使用B
10人
24人
21人
依据以上数据估算：若从该公司随机抽取1名员工，则该员工在该月A、B两种支付方式都使用过的概率为 310 ．
【解答】解：依题意，使用过A种支付方式的人数为：18+29+23＝70，
使用过B种支付方式的人数为：10+24+21＝55，
又两种支付方式都没用过的有5人，
所以两种支付方式都用过的有（70+55）﹣（100﹣5）＝30，
所以该员工在该月A、B两种支付方式都使用过的概率P=30100=310．
故答案为：310．
10．已知非零向量a→、b→、c→两两不平行，且a→∥(b→+c→)，b→∥(a→+c→)，设c→=xa→+yb→，x，y∈R，则x+2y＝ ﹣3 ．
【解答】解：因为非零向量a→、b→、c→两两不平行，且a→∥(b→+c→)，b→∥(a→+c→)，
∴a→=m（b→+c→）⇒c→=1ma→-b→；
b→=n（a→+c→）⇒c→=1nb→-a→；
∴1m=-1-1=1n⇒m=-1n=-1；
∵c→=xa→+yb→，x，y∈R．
∴x＝y＝﹣1；
∴x+2y＝﹣3．
故答案为：﹣3．
11．已知数列{an}满足：a1＝1，an+1﹣an∈{a1，a2，…，an}（n∈N*），记数列{an}的前n项和为Sn，若对所有满足条件的{an}，S10的最大值为M，最小值为m，则M+m＝ 1078 ．
【解答】解：因为数列{an}满足：a1＝1，an+1﹣an∈{a1，a2，…，an}（n∈N*），
∴a2﹣a1∈{a1}⇒a2﹣a1＝a1＝1⇒a2＝2；
a3﹣a2∈{a1，a2}⇒a3﹣a2＝1或者a3﹣a2＝2⇒a3＝3或者a3＝4；
a4﹣a3∈{a1，a2，a3}⇒a4﹣a3＝1，a4﹣a3＝2，a4﹣a3＝3，a4﹣a3＝4⇒a4最小为4，a4最大为8；
所以，数列S10的最大值为M时是首项为1，公比为2的等比数列的前十项和；M=1×(1-210)1-2=1023；
S10取最小值m时，是首项为1，公差为1的等差数列的前十项和；m＝10×1+10×(10-1)2×1=55；
∴M+m＝1078．
故答案为：1078．
12．已知函数f（x）＝|x+1x+a|，若对任意实数a，关于x的不等式f（x）≥m在区间[12，3]上总有解，则实数m的取值范围为 （﹣∞，23] ．
【解答】解：由题意，y＝x+1x在区间[12，3]上的图象如下图所示：
根据题意，对任意实数a，关于x的不等式f（x）≥m在区间[12，3]上总有解，
则只要找到其中一个实数a，使得函数f（x）＝|x+1x+a|的最大值最小即可，
如图，函数y＝x+1x向下平移到一定才程度时，函数f（x）＝|x+1x+a|的最大值最小．
此时只有当f（1）＝f（3）时，才能保证函数f（x）的最大值最小．
设函数y＝x+1x图象向下平移了t个单位，（t＞0）．
∴103-t＝﹣（2﹣t），解得t=83．
∴此时函数f（x）的最大值为103-83=23．
根据绝对值函数的特点，可知
实数m的取值范围为：（﹣∞，23]．
故答案为：（﹣∞，23]．
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．已知x∈R，则“x＞0”是“x＞1”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【解答】解：由题意可知，x∈R，
{x|x＞0}⫌{x|x＞1}
∴“x＞0”是“x＞1”的必要不充分条件．
故选：B．
14．下列函数中，值域为（0，+∞）的是（ ）
A．y＝2x B．y=x12 C．y＝lnx D．y＝cosx
【解答】解：选项A的值域为（0，+∞），选项B的值域为[0，+∞），选项C的值域为R，选项D的值域为[﹣1，1]．
故选：A．
15．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点P是棱CC1的中点，设直线AB为a，直线A1D1为b，对于下列两个命题：①过点P有且只有一条直线l与a、b都相交；②过点P有且只有一条直线l与a、b都成45°角，以下判断正确的是（ ）
A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题
【解答】解：直线AB与A1D1 是两条互相垂直的异面直线，点P不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：
取BB1的中点Q，则PQ∥A1D1，且 PQ＝A1D1，设A1Q与AB交于E，则点A1、D1、Q、E、P共面，
直线EP必与A1D1 相交于某点F，则过P点有且只有一条直线EF与a、b都相交，故①为真命题；
分别平移a，b，使a与b均经过P，则有两条互相垂直的直线与a，b都成45°角，故②为假命题．
∴①为真命题，②为假命题．
故选：B．
16．某港口某天0时至24时的水深y（米）随时间x（时）变化曲线近似满足如下函数模型：y＝0.5sin（ωπx+π6）+3.24（ω＞0），若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（ ）
A．16时 B．17时 C．18时 D．19时
【解答】解：由题意可知，x＝0时，y＝y＝0.5sin（ωπx+π6）+3.24＝3.75，
由五点法作图可知：如果当x＝16时，函数取得最小值可得：16ωπ+π6=5π2，可得ω=748，
此时函数y＝0.5sin（7π48x+π6）+3.24，函数的周期为：T=2π7π48=967≈14，
该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，满足，
如果当x＝19时，函数取得最小值可得：19ωπ+π6=5π2，可得ω=757，
此时函数y＝0.5sin（7π57x+π6）+3.24，函数的周期为：T=2π7π57=1147，
x＝24时，y＝0.5sin（7π57×24+π6）+3.24＞3，如图：
该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，不满足，
故选：D．
三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）
17．如图，底面为矩形的直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1满足：AA1＝4，AD＝3，CD＝2．
（1）求直线A1C与平面AA1D1D所成的角θ的大小；
（2）设M、N分别为棱BB1、CD上的动点，求证：三棱锥N﹣A1AM的体积V为定值，并求出该值．
【解答】解：（1）由直棱柱知A1A⊥ABCD，所以A1A⊥CD
又因为AD⊥CD，所以直线CD⊥平面A1ADD1，
所以∠CA1D即直线A1C与平面AA1D1D的所成角θ，
由题意A1D＝5，CD＝2，所以tanθ=25
所以直线A1C与平面AA1D1D的所成角θ=arctan25．
（2）记点N到平面A1AM的距离为d，三角形A1AM的面积为S△A1AM，
则V=VN-A1AM=13⋅d⋅S△A1AM，
由已知d＝3，S△A1AM=4，
所以V＝4为定值．
18．在复平面内复数z1、z2所对应的点为Z1、Z2，O为坐标原点，i是虚数单位．
（1）z1＝1+2i，z2＝3﹣4i，计算z1•z2与OZ1→⋅OZ2→；
（2）设z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R），求证：|OZ1→•OZ2→|≤|z1•z2|，并指出向量OZ1→、OZ2→满足什么条件时该不等式取等号．
【解答】解：（1）z1•z2＝（1+2i）•（3﹣4i）＝11+2i，
∵OZ1→=(1，2)，OZ2→=(3，-4)，
∴OZ1→⋅OZ2→=3-8=-5；
（2）证明：OZ1→=(a，b)，OZ2→=(c，d)，
∴OZ1→⋅OZ2→=ac+bd，|OZ1→⋅OZ2→|2=(ac+bd)2，
z1•z2＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i，|z1⋅z2|2=(ac-bd)2+(ad+bc)2，
∴|z1⋅z2|2-|OZ1→⋅OZ2→|2=（ac﹣bd）2+（ad+bc）2﹣（ac+bd）2
＝（ad）2+2ad•bc+（bc）2﹣4ad•bc
＝（ad﹣bc）2≥0，
∴|OZ1→⋅OZ2→|≤|z1⋅z2|，当ad＝bc时取“＝”，此时OZ1→∥OZ2→．
19．如图，某城市有一矩形街心广场ABCD，如图，其中AB＝4百米，BC＝3百米，现将在其内部挖掘一个三角形水池DMN种植荷花，其中点M在BC边上，点N在AB边上，要求∠MDN=π4．
（1）若AN＝CM＝2百米，判断△DMN是否符合要求，并说明理由；
（2）设∠CDM＝θ，写出△DMN面积的S关于θ的表达式，并求S的最小值．
【解答】解：（1）由题意某城市有一矩形街心广场ABCD，如图，其中AB＝4百米，BC＝3百米，现将在其内部挖掘一个三角形水池DMN种植荷花，其中点M在BC边上，点N在AB边上，要求∠MDN=π4．AN＝CM＝2百米，可得BN＝2，BM＝1，
所以MN=5，DN=13，DN=25，
所以cos∠MDN=13+20-52×25×13=765≠22，
所以∠MDN≠π4，△DMN不符合要求，
（2）∠CDM＝θ，∠ADN=π4-θ，
所以DM=3cosθ，DN=4cos(π4-θ)，
S=12⋅DN⋅DMsinπ4=32cosθcos(π4-θ)，
cosθcos(π4-θ)=22cosθ(cosθ+sinθ)=24(sin2θ+cos2θ+1)=12sin(2θ+π4)+24≤12+24，
所以S≥12(2-1)，S的最小值为12(2-1)．
20．（16分）已知数列{an}各项均为正数，Sn为其前n项的和，且an、Sn、an2（n∈N*）成等差数列．
（1）写出a1、a2、a3的值，并猜想数列{an}的通项公式an；
（2）证明（1）中的猜想；
（3）设bn＝tan﹣1（t＞0），Tn为数列{bn}的前n项和，若对于任意n∈N*，都有Tn∈{bm|m∈N*}，求实数t的值．
【解答】解：（1）由已知Sn=an+an22，由2a1＝a1+a12
所以a1＝1，同理可得，a2＝2，a3＝3，
猜想an＝n，
（2）证明：当n＝1时，显然成立；
当n≥2时，Sn=an+an22，Sn-1=an-1+an-122
所以an=Sn-Sn-1=an+an22-an-1+an-122
得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）＝0，
因为an＞0(n∈N*)，所以an﹣an﹣1＝1，
数列{an}为等差数列，又由（1）a1＝1，a2＝2，
所以an=n(n∈N*)；
（3）解：由（2）知bm＝mt﹣1，Tn=n(n+1)2t-n．
若bm＝Tn，则m=n(n+1)2-n-1t，
因为m，n都是整数，所以对于任意n∈N*，n-1t都是整数，进而1t是整数
所以t=1k，k∈Z，此时m=n(n+1)2-k(n-1)，
因为n 的任意性，不妨设bm＝T2，则m＝3﹣k＞0，所以k＝1或2，
①当k＝1时，对于任意n∈N*，m=n(n-1)2+1∈N*，
②当k＝2时，对于任意n∈N*，m=n(n-3)2+2∈N*，
所以实数t取值的集合为{12，1}．
21．（18分）已知函数f（x）＝x|x﹣a|，其中a为常数．
（1）当a＝1时，解不等式f（x）＜2；
（2）已知g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，有g（x）＝f（x），若a＜0，且g(32)=54，求函数y＝g（x）（x∈[1，2]）的反函数；
（3）若在[0，2]上存在n个不同的点xi（i＝1，2，…，n，n≥3），x1＜x2＜…＜xn，使得|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xn﹣1）﹣f（xn）|＝8，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）解不等式x|x﹣1|＜2，
当x≥1时，x2﹣x﹣2＜0，所以1≤x＜2，
当x＜1时，x2﹣x+2＞0，所以x＜1，
综上，该不等式的解集为（﹣∞，2）；
（2）当0≤x≤1时，g（x）＝x|x﹣a|，因为g（x）是以2为周期的偶函数，
所以g(32)=g(-12)=g(12)=12|12-a|，
由g（32）=54，且a＜0，得a＝﹣2，
所以当0≤x≤1时，g（x）＝x（x+2）
所以当1≤x≤2时，g（x）＝g（﹣x）＝g（2﹣x）＝（2﹣x）（4﹣x）∈[0，3]．
所以函数y＝g（x）（x∈[1，2]）的反函数为y=3-x+1(x∈[0，3])．
（3）①当a≤0时，在[0，2]上f（x）＝x（x﹣a），是[0，2]上的增函数，
所以|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xn﹣1）﹣f（xn）|＝f（xn）﹣f（x1）≤f（2）
所以f（2）＝2（2﹣a）≥8，得a≤﹣2；
②当a≥4时，在[0，2]上f（x）＝x（a﹣x），是[0，2]上的增函数，
所以|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xn﹣1）﹣f（xn）|＝f（xn）﹣f（x1）≤f（2）
所以f（2）＝2（a﹣2）≥8，得a≥6；
③当0＜a＜4时，f（x）在[0，2]上不单调，
所以|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xn﹣1）﹣f（xn）|≤2f（x）maxf(a2)=a24＜4，f（2）＝2|2﹣a|＜4，
在[0，2]上，f(x)max=max{f(a2)，f(2)}＜4．|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xn﹣1）﹣f（xn）|≤2f（x）max＜8，不满足．
综上，a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）．
③当2≤a＜4时，则1≤a2＜2，所以f（x）在[0，a2]上单调递增，在[a2，2]上单调递减，
于是|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xn﹣1）﹣f（xn）|≤2fmax(x)=2(f(a2)-f(0))=2×a24=a22
令 a22≥8，解得a≤﹣4或a≥4，不符合题意；
④当0＜a＜2时，f（x）分别在[0，a2]、[a，2]上单调递增，在[a2，a]上单调递减，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xn﹣1）﹣f（xn）|≤2(f(a2)-f(0))+(f(2)-f(a))=2f(a2)+f(2)=2×a24+2(2-a)=a22-2a+4
令a22-2a+4≥8，解得a≤2-23或a≥2+23，不符合题意．
综上，所求实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）．
2020年上海市嘉定区、长宁区、金山区高三高考数学一模试卷
一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6，8}，则A∩B＝ ．
2．方程2x＝3的解为 ．
3．行列式2-112的值为 ．
4．计算limn→∞2nn+1= ．
5．若圆锥的侧面面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的母线长为 ．
6．已知向量AB→=（12，32），AC→=（32，12），则∠BAC＝ ．
7．2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有 种．
8．已知点（﹣2，y）在角α终边上，且tan（π﹣α）＝22，则sinα＝ ．
9．近年来，人们支付方式发生巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯，某企业为了解该企业员工A、B两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽取了100人，统计了他们在某个月的消费支出情况，发现样本中A、B两种支付方式都没有使用过的有5人；使用了A、B两种方式支付的员工，支付金额和相应人数分布如表：
支付金额（元）
支付方式
（0，1000]
（1000，2000]
大于2000
使用A
18人
29人
23人
使用B
10人
24人
21人
依据以上数据估算：若从该公司随机抽取1名员工，则该员工在该月A、B两种支付方式都使用过的概率为 ．
10．已知非零向量a→、b→、c→两两不平行，且a→∥(b→+c→)，b→∥(a→+c→)，设c→=xa→+yb→，x，y∈R，则x+2y＝ ．
11．已知数列{an}满足：a1＝1，an+1﹣an∈{a1，a2，…，an}（n∈N*），记数列{an}的前n项和为Sn，若对所有满足条件的{an}，S10的最大值为M，最小值为m，则M+m＝ ．
12．已知函数f（x）＝|x+1x+a|，若对任意实数a，关于x的不等式f（x）≥m在区间[12，3]上总有解，则实数m的取值范围为 ．
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．已知x∈R，则“x＞0”是“x＞1”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
14．下列函数中，值域为（0，+∞）的是（ ）
A．y＝2x B．y=x12 C．y＝lnx D．y＝cosx
15．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点P是棱CC1的中点，设直线AB为a，直线A1D1为b，对于下列两个命题：①过点P有且只有一条直线l与a、b都相交；②过点P有且只有一条直线l与a、b都成45°角，以下判断正确的是（ ）
A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题
16．某港口某天0时至24时的水深y（米）随时间x（时）变化曲线近似满足如下函数模型：y＝0.5sin（ωπx+π6）+3.24（ω＞0），若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（ ）
A．16时 B．17时 C．18时 D．19时
三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）
17．如图，底面为矩形的直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1满足：AA1＝4，AD＝3，CD＝2．
（1）求直线A1C与平面AA1D1D所成的角θ的大小；
（2）设M、N分别为棱BB1、CD上的动点，求证：三棱锥N﹣A1AM的体积V为定值，并求出该值．
18．在复平面内复数z1、z2所对应的点为Z1、Z2，O为坐标原点，i是虚数单位．
（1）z1＝1+2i，z2＝3﹣4i，计算z1•z2与OZ1→⋅OZ2→；
（2）设z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R），求证：|OZ1→•OZ2→|≤|z1•z2|，并指出向量OZ1→、OZ2→满足什么条件时该不等式取等号．
19．如图，某城市有一矩形街心广场ABCD，如图，其中AB＝4百米，BC＝3百米，现将在其内部挖掘一个三角形水池DMN种植荷花，其中点M在BC边上，点N在AB边上，要求∠MDN=π4．
（1）若AN＝CM＝2百米，判断△DMN是否符合要求，并说明理由；
（2）设∠CDM＝θ，写出△DMN面积的S关于θ的表达式，并求S的最小值．
20．（16分）已知数列{an}各项均为正数，Sn为其前n项的和，且an、Sn、an2（n∈N*）成等差数列．
（1）写出a1、a2、a3的值，并猜想数列{an}的通项公式an；
（2）证明（1）中的猜想；
（3）设bn＝tan﹣1（t＞0），Tn为数列{bn}的前n项和，若对于任意n∈N*，都有Tn∈{bm|m∈N*}，求实数t的值．
21．（18分）已知函数f（x）＝x|x﹣a|，其中a为常数．
（1）当a＝1时，解不等式f（x）＜2；
（2）已知g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，有g（x）＝f（x），若a＜0，且g(32)=54，求函数y＝g（x）（x∈[1，2]）的反函数；
（3）若在[0，2]上存在n个不同的点xi（i＝1，2，…，n，n≥3），x1＜x2＜…＜xn，使得|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xn﹣1）﹣f（xn）|＝8，求实数a的取值范围．
2020年上海市嘉定区、长宁区、金山区高考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一.填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）
1．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6，8}，则A∩B＝ {2，4} ．
【解答】解：∵A＝{1，2，3，4，5}，B＝{2，4，6，8}，
∴A∩B＝{2，4}．
故答案为：{2，4}
2．方程2x＝3的解为 x＝log23 ．
【解答】解：∵2x＝3，∴指数式化为对数式得：x＝log23，
故答案为：x＝log23．
3．行列式2-112的值为 5 ．
【解答】解：2-112=2×2﹣1×（﹣1）＝5，
故答案为：5．
4．计算limn→∞2nn+1= 2 ．
【解答】解：limn→∞2nn+1=limn→∞21+1n=21+0=2．
故答案为：2．
5．若圆锥的侧面面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的母线长为 2 ．
【解答】解：∵圆锥的底面积为π，
∴圆锥的底面半径为r，满足πr2＝π，解得r＝1
又∵圆锥的侧面积为2π，
∴设圆锥的母线长为l，可得πrl＝2π，π•1•l＝2π，解之得l＝2
故答案为：2
6．已知向量AB→=（12，32），AC→=（32，12），则∠BAC＝ π6 ．
【解答】解：向量AB→=（12，32），AC→=（32，12），则cos∠BAC=AB→⋅AC→|AB→|⋅|AC→|=12⋅32+32⋅121⋅1=32，
∴∠BAC=π6，
故答案为：π6．
7．2位女生3位男生排成一排，则2位女生不相邻的排法共有 72 种．
【解答】解：根据题意，分2步进行分析：
①，将3位男生排成一排，有A33＝6种情况，
②，3名男生排好后有4个空位可选，在4个空位中，任选2个，安排两名女生，有A42＝12种情况，
则2位女生不相邻的排法有6×12＝72种；
故答案为：72
8．已知点（﹣2，y）在角α终边上，且tan（π﹣α）＝22，则sinα＝ 223 ．
【解答】解：由题意可得，tanα=y-2，
∵tan（π﹣α）＝﹣tanα＝22，
∴tanα＝﹣22=-y2，
解可得，y＝42，
∴sinα=424+32=223．
故答案为：223．
9．近年来，人们支付方式发生巨大转变，使用移动支付购买商品已成为一部分人的消费习惯，某企业为了解该企业员工A、B两种移动支付方式的使用情况，从全体员工中随机抽取了100人，统计了他们在某个月的消费支出情况，发现样本中A、B两种支付方式都没有使用过的有5人；使用了A、B两种方式支付的员工，支付金额和相应人数分布如表：
支付金额（元）
支付方式
（0，1000]
（1000，2000]
大于2000
使用A
18人
29人
23人
使用B
10人
24人
21人
依据以上数据估算：若从该公司随机抽取1名员工，则该员工在该月A、B两种支付方式都使用过的概率为 310 ．
【解答】解：依题意，使用过A种支付方式的人数为：18+29+23＝70，
使用过B种支付方式的人数为：10+24+21＝55，
又两种支付方式都没用过的有5人，
所以两种支付方式都用过的有（70+55）﹣（100﹣5）＝30，
所以该员工在该月A、B两种支付方式都使用过的概率P=30100=310．
故答案为：310．
10．已知非零向量a→、b→、c→两两不平行，且a→∥(b→+c→)，b→∥(a→+c→)，设c→=xa→+yb→，x，y∈R，则x+2y＝ ﹣3 ．
【解答】解：因为非零向量a→、b→、c→两两不平行，且a→∥(b→+c→)，b→∥(a→+c→)，
∴a→=m（b→+c→）⇒c→=1ma→-b→；
b→=n（a→+c→）⇒c→=1nb→-a→；
∴1m=-1-1=1n⇒m=-1n=-1；
∵c→=xa→+yb→，x，y∈R．
∴x＝y＝﹣1；
∴x+2y＝﹣3．
故答案为：﹣3．
11．已知数列{an}满足：a1＝1，an+1﹣an∈{a1，a2，…，an}（n∈N*），记数列{an}的前n项和为Sn，若对所有满足条件的{an}，S10的最大值为M，最小值为m，则M+m＝ 1078 ．
【解答】解：因为数列{an}满足：a1＝1，an+1﹣an∈{a1，a2，…，an}（n∈N*），
∴a2﹣a1∈{a1}⇒a2﹣a1＝a1＝1⇒a2＝2；
a3﹣a2∈{a1，a2}⇒a3﹣a2＝1或者a3﹣a2＝2⇒a3＝3或者a3＝4；
a4﹣a3∈{a1，a2，a3}⇒a4﹣a3＝1，a4﹣a3＝2，a4﹣a3＝3，a4﹣a3＝4⇒a4最小为4，a4最大为8；
所以，数列S10的最大值为M时是首项为1，公比为2的等比数列的前十项和；M=1×(1-210)1-2=1023；
S10取最小值m时，是首项为1，公差为1的等差数列的前十项和；m＝10×1+10×(10-1)2×1=55；
∴M+m＝1078．
故答案为：1078．
12．已知函数f（x）＝|x+1x+a|，若对任意实数a，关于x的不等式f（x）≥m在区间[12，3]上总有解，则实数m的取值范围为 （﹣∞，23] ．
【解答】解：由题意，y＝x+1x在区间[12，3]上的图象如下图所示：
根据题意，对任意实数a，关于x的不等式f（x）≥m在区间[12，3]上总有解，
则只要找到其中一个实数a，使得函数f（x）＝|x+1x+a|的最大值最小即可，
如图，函数y＝x+1x向下平移到一定才程度时，函数f（x）＝|x+1x+a|的最大值最小．
此时只有当f（1）＝f（3）时，才能保证函数f（x）的最大值最小．
设函数y＝x+1x图象向下平移了t个单位，（t＞0）．
∴103-t＝﹣（2﹣t），解得t=83．
∴此时函数f（x）的最大值为103-83=23．
根据绝对值函数的特点，可知
实数m的取值范围为：（﹣∞，23]．
故答案为：（﹣∞，23]．
二.选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）
13．已知x∈R，则“x＞0”是“x＞1”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
【解答】解：由题意可知，x∈R，
{x|x＞0}⫌{x|x＞1}
∴“x＞0”是“x＞1”的必要不充分条件．
故选：B．
14．下列函数中，值域为（0，+∞）的是（ ）
A．y＝2x B．y=x12 C．y＝lnx D．y＝cosx
【解答】解：选项A的值域为（0，+∞），选项B的值域为[0，+∞），选项C的值域为R，选项D的值域为[﹣1，1]．
故选：A．
15．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点P是棱CC1的中点，设直线AB为a，直线A1D1为b，对于下列两个命题：①过点P有且只有一条直线l与a、b都相交；②过点P有且只有一条直线l与a、b都成45°角，以下判断正确的是（ ）
A．①为真命题，②为真命题 B．①为真命题，②为假命题
C．①为假命题，②为真命题 D．①为假命题，②为假命题
【解答】解：直线AB与A1D1 是两条互相垂直的异面直线，点P不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：
取BB1的中点Q，则PQ∥A1D1，且 PQ＝A1D1，设A1Q与AB交于E，则点A1、D1、Q、E、P共面，
直线EP必与A1D1 相交于某点F，则过P点有且只有一条直线EF与a、b都相交，故①为真命题；
分别平移a，b，使a与b均经过P，则有两条互相垂直的直线与a，b都成45°角，故②为假命题．
∴①为真命题，②为假命题．
故选：B．
16．某港口某天0时至24时的水深y（米）随时间x（时）变化曲线近似满足如下函数模型：y＝0.5sin（ωπx+π6）+3.24（ω＞0），若该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，则该港口该天水最深的时刻不可能为（ ）
A．16时 B．17时 C．18时 D．19时
【解答】解：由题意可知，x＝0时，y＝y＝0.5sin（ωπx+π6）+3.24＝3.75，
由五点法作图可知：如果当x＝16时，函数取得最小值可得：16ωπ+π6=5π2，可得ω=748，
此时函数y＝0.5sin（7π48x+π6）+3.24，函数的周期为：T=2π7π48=967≈14，
该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，满足，
如果当x＝19时，函数取得最小值可得：19ωπ+π6=5π2，可得ω=757，
此时函数y＝0.5sin（7π57x+π6）+3.24，函数的周期为：T=2π7π57=1147，
x＝24时，y＝0.5sin（7π57×24+π6）+3.24＞3，如图：
该港口在该天0时至24时内，有且只有3个时刻水深为3米，不满足，
故选：D．
三.解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）
17．如图，底面为矩形的直棱柱ABCD﹣A1B1C1D1满足：AA1＝4，AD＝3，CD＝2．
（1）求直线A1C与平面AA1D1D所成的角θ的大小；
（2）设M、N分别为棱BB1、CD上的动点，求证：三棱锥N﹣A1AM的体积V为定值，并求出该值．
【解答】解：（1）由直棱柱知A1A⊥ABCD，所以A1A⊥CD
又因为AD⊥CD，所以直线CD⊥平面A1ADD1，
所以∠CA1D即直线A1C与平面AA1D1D的所成角θ，
由题意A1D＝5，CD＝2，所以tanθ=25
所以直线A1C与平面AA1D1D的所成角θ=arctan25．
（2）记点N到平面A1AM的距离为d，三角形A1AM的面积为S△A1AM，
则V=VN-A1AM=13⋅d⋅S△A1AM，
由已知d＝3，S△A1AM=4，
所以V＝4为定值．
18．在复平面内复数z1、z2所对应的点为Z1、Z2，O为坐标原点，i是虚数单位．
（1）z1＝1+2i，z2＝3﹣4i，计算z1•z2与OZ1→⋅OZ2→；
（2）设z1＝a+bi，z2＝c+di（a，b，c，d∈R），求证：|OZ1→•OZ2→|≤|z1•z2|，并指出向量OZ1→、OZ2→满足什么条件时该不等式取等号．
【解答】解：（1）z1•z2＝（1+2i）•（3﹣4i）＝11+2i，
∵OZ1→=(1，2)，OZ2→=(3，-4)，
∴OZ1→⋅OZ2→=3-8=-5；
（2）证明：OZ1→=(a，b)，OZ2→=(c，d)，
∴OZ1→⋅OZ2→=ac+bd，|OZ1→⋅OZ2→|2=(ac+bd)2，
z1•z2＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i，|z1⋅z2|2=(ac-bd)2+(ad+bc)2，
∴|z1⋅z2|2-|OZ1→⋅OZ2→|2=（ac﹣bd）2+（ad+bc）2﹣（ac+bd）2
＝（ad）2+2ad•bc+（bc）2﹣4ad•bc
＝（ad﹣bc）2≥0，
∴|OZ1→⋅OZ2→|≤|z1⋅z2|，当ad＝bc时取“＝”，此时OZ1→∥OZ2→．
19．如图，某城市有一矩形街心广场ABCD，如图，其中AB＝4百米，BC＝3百米，现将在其内部挖掘一个三角形水池DMN种植荷花，其中点M在BC边上，点N在AB边上，要求∠MDN=π4．
（1）若AN＝CM＝2百米，判断△DMN是否符合要求，并说明理由；
（2）设∠CDM＝θ，写出△DMN面积的S关于θ的表达式，并求S的最小值．
【解答】解：（1）由题意某城市有一矩形街心广场ABCD，如图，其中AB＝4百米，BC＝3百米，现将在其内部挖掘一个三角形水池DMN种植荷花，其中点M在BC边上，点N在AB边上，要求∠MDN=π4．AN＝CM＝2百米，可得BN＝2，BM＝1，
所以MN=5，DN=13，DN=25，
所以cos∠MDN=13+20-52×25×13=765≠22，
所以∠MDN≠π4，△DMN不符合要求，
（2）∠CDM＝θ，∠ADN=π4-θ，
所以DM=3cosθ，DN=4cos(π4-θ)，
S=12⋅DN⋅DMsinπ4=32cosθcos(π4-θ)，
cosθcos(π4-θ)=22cosθ(cosθ+sinθ)=24(sin2θ+cos2θ+1)=12sin(2θ+π4)+24≤12+24，
所以S≥12(2-1)，S的最小值为12(2-1)．
20．（16分）已知数列{an}各项均为正数，Sn为其前n项的和，且an、Sn、an2（n∈N*）成等差数列．
（1）写出a1、a2、a3的值，并猜想数列{an}的通项公式an；
（2）证明（1）中的猜想；
（3）设bn＝tan﹣1（t＞0），Tn为数列{bn}的前n项和，若对于任意n∈N*，都有Tn∈{bm|m∈N*}，求实数t的值．
【解答】解：（1）由已知Sn=an+an22，由2a1＝a1+a12
所以a1＝1，同理可得，a2＝2，a3＝3，
猜想an＝n，
（2）证明：当n＝1时，显然成立；
当n≥2时，Sn=an+an22，Sn-1=an-1+an-122
所以an=Sn-Sn-1=an+an22-an-1+an-122
得（an+an﹣1）（an﹣an﹣1﹣1）＝0，
因为an＞0(n∈N*)，所以an﹣an﹣1＝1，
数列{an}为等差数列，又由（1）a1＝1，a2＝2，
所以an=n(n∈N*)；
（3）解：由（2）知bm＝mt﹣1，Tn=n(n+1)2t-n．
若bm＝Tn，则m=n(n+1)2-n-1t，
因为m，n都是整数，所以对于任意n∈N*，n-1t都是整数，进而1t是整数
所以t=1k，k∈Z，此时m=n(n+1)2-k(n-1)，
因为n 的任意性，不妨设bm＝T2，则m＝3﹣k＞0，所以k＝1或2，
①当k＝1时，对于任意n∈N*，m=n(n-1)2+1∈N*，
②当k＝2时，对于任意n∈N*，m=n(n-3)2+2∈N*，
所以实数t取值的集合为{12，1}．
21．（18分）已知函数f（x）＝x|x﹣a|，其中a为常数．
（1）当a＝1时，解不等式f（x）＜2；
（2）已知g（x）是以2为周期的偶函数，且当0≤x≤1时，有g（x）＝f（x），若a＜0，且g(32)=54，求函数y＝g（x）（x∈[1，2]）的反函数；
（3）若在[0，2]上存在n个不同的点xi（i＝1，2，…，n，n≥3），x1＜x2＜…＜xn，使得|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xn﹣1）﹣f（xn）|＝8，求实数a的取值范围．
【解答】解：（1）解不等式x|x﹣1|＜2，
当x≥1时，x2﹣x﹣2＜0，所以1≤x＜2，
当x＜1时，x2﹣x+2＞0，所以x＜1，
综上，该不等式的解集为（﹣∞，2）；
（2）当0≤x≤1时，g（x）＝x|x﹣a|，因为g（x）是以2为周期的偶函数，
所以g(32)=g(-12)=g(12)=12|12-a|，
由g（32）=54，且a＜0，得a＝﹣2，
所以当0≤x≤1时，g（x）＝x（x+2）
所以当1≤x≤2时，g（x）＝g（﹣x）＝g（2﹣x）＝（2﹣x）（4﹣x）∈[0，3]．
所以函数y＝g（x）（x∈[1，2]）的反函数为y=3-x+1(x∈[0，3])．
（3）①当a≤0时，在[0，2]上f（x）＝x（x﹣a），是[0，2]上的增函数，
所以|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xn﹣1）﹣f（xn）|＝f（xn）﹣f（x1）≤f（2）
所以f（2）＝2（2﹣a）≥8，得a≤﹣2；
②当a≥4时，在[0，2]上f（x）＝x（a﹣x），是[0，2]上的增函数，
所以|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xn﹣1）﹣f（xn）|＝f（xn）﹣f（x1）≤f（2）
所以f（2）＝2（a﹣2）≥8，得a≥6；
③当0＜a＜4时，f（x）在[0，2]上不单调，
所以|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xn﹣1）﹣f（xn）|≤2f（x）maxf(a2)=a24＜4，f（2）＝2|2﹣a|＜4，
在[0，2]上，f(x)max=max{f(a2)，f(2)}＜4．|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xn﹣1）﹣f（xn）|≤2f（x）max＜8，不满足．
综上，a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）．
③当2≤a＜4时，则1≤a2＜2，所以f（x）在[0，a2]上单调递增，在[a2，2]上单调递减，
于是|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xn﹣1）﹣f（xn）|≤2fmax(x)=2(f(a2)-f(0))=2×a24=a22
令 a22≥8，解得a≤﹣4或a≥4，不符合题意；
④当0＜a＜2时，f（x）分别在[0，a2]、[a，2]上单调递增，在[a2，a]上单调递减，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xn﹣1）﹣f（xn）|≤2(f(a2)-f(0))+(f(2)-f(a))=2f(a2)+f(2)=2×a24+2(2-a)=a22-2a+4
令a22-2a+4≥8，解得a≤2-23或a≥2+23，不符合题意．
综上，所求实数a的取值范围为（﹣∞，﹣2]∪[6，+∞）．
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