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人教版2021届一轮复习打地基练习 点到直线间的距离公式
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这是一份人教版2021届一轮复习打地基练习 点到直线间的距离公式，共16页。试卷主要包含了点P，设直线l，若点，过点P，已知动直线l，平面上到点A，已知点A等内容，欢迎下载使用。
人教版2021届一轮复习打地基练习 点到直线间的距离公式
一．选择题（共12小题）
1．点P（x，y）在直线x+y﹣2＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．2
2．设直线l：3x+2y﹣6＝0，P（m，n）为直线l上动点，则（m﹣1）2+n2的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．若点（2，2）到直线x﹣y+a＝0的距离是，则实数a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．0或﹣1 D．﹣1或1
4．过点P（1，2）引直线，使A（2，3），B（4，﹣5）两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（ ）
A．2x+y﹣4＝0 B．x+2y﹣5＝0
C．2x+y﹣4＝0或x+2y﹣5＝0 D．3x+2y﹣7＝0或4x+y﹣6＝0
5．已知动直线l：ax+by+c﹣2＝0（a＞0，c＞0）恒过点P（2，n），且Q（5，0）到动直线l的最大距离为3，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．9
6．过点P（0，1），且与点A（3，3）和B（5，﹣1）的距离相等的直线方程是（ ）
A．y＝1 B．2x+y﹣1＝0
C．y＝1或2x+y﹣1＝0 D．2x+y﹣1＝0或2x+y+1＝0
7．平面上到点A（6，1）的距离是1且到点B（3，﹣3）的距离是4的直线的条数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．点（﹣1，0）到直线x+y﹣1＝0的距离是（ ）
A． B． C．1 D．
9．已知点A（0，1），点B在直线l：x+y＝0上运动，则当线段AB最短时，直线AB的方程为（ ）
A．x+y+1＝0 B．x﹣y﹣1＝0 C．x﹣y+1＝0 D．x+y﹣1＝0
10．曲线y＝ex上的点到直线x﹣y﹣1＝0的距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
11．点（4，a）到直线3y﹣4x＝0的距离不大于3，则a的取值范围是（ ）
A．[﹣，] B．[3，4]
C．[，] D．（﹣∞，0]∪[10，+∞）
12．点P（2，3）到直线ax+y﹣2a＝0的距离为d，则d的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
二．填空题（共15小题）
13．已知点P（m，n）是直线2x+y+5＝0上的任意一点，则的最小值为 ．
14．长为2的线段AB的两个端点在抛物线y2＝x上滑动，则线段AB中点M到y轴距离的最小值是 ．
15．已知点A（﹣5，0），B（﹣1，﹣3），点P是圆上任意一点，则△PAB面积的最大值是 ．
16．点（5，2）到直线（m﹣1）x+（2m﹣1）y＝m﹣5的距离的最大值为 ．
17．直线x﹣2y﹣3＝0与圆（x﹣2）2+（y+3）2＝9交于E、F两点，则弦长EF＝ ．
18．圆x2+y2﹣2x+4y+3＝0的圆心到直线x﹣y＝1的距离为． （判断对错）
19．点（0，0）到直线x+y＝2的距离是 ．
20．平面内一点A（1，2）到直线（m﹣1）x+2my+4＝0距离的最大值为 ．
21．已知m∈R，A（3，2），直线l：mx+y+3＝0．点A到直线l的最大距离为 ；若两点A和B（﹣1，4）到直线l的距离相等，则实数m等于
22．已知点A（﹣3，﹣1）到直线l：6x﹣8y+c＝0的距离为2，则c＝ ．
23．当点（0，﹣1）到直线x﹣my+1＝0（m∈R）距离最大时，m值为 ．
24．已知点A（1，3）和点B（5，2）到直线l的距离相等，且l过点（3，﹣1），则直线l的方程为 ．
25．已知点A（1，1），B（3，5）到经过点（2，1）的直线l的距离相等，则l的方程为 ．
26．点P（1，1）到直线xsinθ+ycosθ﹣3＝0的最小距离是 ．
27．点（3，1）到直线y＝2x的距离为 ．
三．解答题（共5小题）
28．已知直线l经过点P（﹣2，5），且斜率为﹣．
（1）求直线l的方程；
（2）若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
29．求坐标原点到下列直线的距离：
（1）l1：4x﹣3y﹣15＝0；
（2）l2：x﹣y＝0；
（3）l3：Ax+By+C＝0．
30．（1）求过点P（4，1）且与两坐标轴上的截距之和为1的直线方程；
（2）求过点M（3，2）且与原点距离为3的直线方程．
31．已知点C1（﹣3，1）和点C2（4，5）．
（1）若直线l过点A（4，0），且C1到直线l的距离等于1，求直线l的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，且C1到直线l1与C2到直线l2的距离相等，试求所有满足条件的点P的坐标．
32．在△ABC中，已知A（1，﹣1），B（3，2），且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上．
（1）求顶点C的坐标；
（2）求△ABC的面积．
人教版2021届一轮复习打地基练习 点到直线间的距离公式
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．点P（x，y）在直线x+y﹣2＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．2
【分析】|OP|的最小值是点O到直线x+y﹣2＝0的距离，利用点到直线的距离公式能求出|OP|的最小值．
【解答】解：∵点P（x，y）在直线x+y﹣2＝0上，O是坐标原点，
∴|OP|的最小值是点O到直线x+y﹣2＝0的距离，
∴则|OP|的最小值是d＝＝．
故选：B．
2．设直线l：3x+2y﹣6＝0，P（m，n）为直线l上动点，则（m﹣1）2+n2的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，分析（m﹣1）2+n2的几何意义，结合点到直线的距离公式分析可得答案．
【解答】解：根据题意，（m﹣1）2+n2＝（m﹣1）2+（n﹣0）2，其几何意义为点（m，n）与点（1，0）之间距离的平方，
而点（1，0）到直线l：3x+2y﹣6＝0的距离d＝＝，
故（m﹣1）2+n2的最小值为，
故选：A．
3．若点（2，2）到直线x﹣y+a＝0的距离是，则实数a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．0或﹣1 D．﹣1或1
【分析】由点到直线的距离公式，代入求解即可．
【解答】解：由点到直线的距离公式，可得，
解得a＝1或a＝﹣1．
故选：D．
4．过点P（1，2）引直线，使A（2，3），B（4，﹣5）两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（ ）
A．2x+y﹣4＝0 B．x+2y﹣5＝0
C．2x+y﹣4＝0或x+2y﹣5＝0 D．3x+2y﹣7＝0或4x+y﹣6＝0
【分析】当直线和AB平行时，用点斜式求直线的方程；当直线经过线段AB的中点时，用两点式求直线的方程．
【解答】解：当要求的直线和AB平行时，由于AB的斜率为＝﹣4，
又直线过点P（1，2），故要求的直线方程为y﹣2＝﹣4（x﹣1），即 4x+y﹣6＝0．
当要求的直线经过线段AB的中点（3，﹣1）时，直线的方程为 ＝，即 3x+2y﹣7＝0．
综上可得，这条直线的方程是3x+2y﹣7＝0或4x+y﹣6＝0，
故选：D．
5．已知动直线l：ax+by+c﹣2＝0（a＞0，c＞0）恒过点P（2，n），且Q（5，0）到动直线l的最大距离为3，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．9
【分析】结合直线l恒过点P，与|PQ|＝3，求得n＝0，以及2a+c＝2，将其代入中，并根据基本不等式，即可得解．
【解答】解：因为直线l：ax+by+c﹣2＝0（a＞0，c＞0）恒过点P（2，n），
所以2a+bn+c﹣2＝0，
因为Q（5，0）到动直线l的最大距离为3，
所以|PQ|＝3，所以（2﹣5）2+n2＝9，解得n＝0，
所以2a+c＝2，
又因为a＞0，c＞0，
所以＝+＝++1≥2+1＝3，
当且仅当a＝，c＝1时，等号成立，
所以的最小值为3．
故选：C．
6．过点P（0，1），且与点A（3，3）和B（5，﹣1）的距离相等的直线方程是（ ）
A．y＝1 B．2x+y﹣1＝0
C．y＝1或2x+y﹣1＝0 D．2x+y﹣1＝0或2x+y+1＝0
【分析】由题意可知当直线平行于直线AB时，或过AB的中点时满足题意，分别求其斜率可得方程．
【解答】解：当直线平行于直线AB时，或过AB的中点时满足题意，
当直线平行于直线AB时，所求直线的斜率为k＝＝﹣2，
故直线方程为y＝﹣2x+1，即2x+y﹣1＝0；
当直线过AB的中点（4，1）时，斜率为k＝0，
故直线方程为y＝1；
故所求直线方程是为：y＝1或2x+y﹣1＝0．
故选：C．
7．平面上到点A（6，1）的距离是1且到点B（3，﹣3）的距离是4的直线的条数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】与点A（6，1）的距离为1，且到点B（3，﹣3）的距离为4的直线应该是以A（6，1）为圆心，1为半径的圆和以B（3，﹣3）为圆心，4为半径的圆的公切线．由此能求出结果．
【解答】解：由题意知，与点A（6，1）的距离为1，且到点B（3，﹣3）的距离为4的直线应该是：
以A（6，1）为圆心，1为半径的圆和以B（3，﹣3）为圆心，4为半径的圆的公切线．
∵|AB|＝＝1+4，
∴两圆外切，∴两圆有3条公切线，
∴平面上到点A（6，1）的距离是1且到点B（3，﹣3）的距离是4的直线的条数是3条．
故选：C．
8．点（﹣1，0）到直线x+y﹣1＝0的距离是（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】直接利用点到直线的距离公式求解．
【解答】解：由点到直线的距离公式可得：
点（﹣1，0）到直线x+y﹣1＝0的距离是d＝．
故选：A．
9．已知点A（0，1），点B在直线l：x+y＝0上运动，则当线段AB最短时，直线AB的方程为（ ）
A．x+y+1＝0 B．x﹣y﹣1＝0 C．x﹣y+1＝0 D．x+y﹣1＝0
【分析】当线段AB最短时，直线AB是过点A垂直于直线l的直线，由此能求出当线段AB最短时，直线AB的方程．
【解答】解：∵点A（0，1），点B在直线l：x+y＝0上运动，
∴当线段AB最短时，直线AB是过点A垂直于直线l的直线，
∵直线l：x+y＝0的斜率k＝﹣1，
∴当线段AB最短时，直线AB的斜率kAB＝1，
∴当线段AB最短时，直线AB的方程为：
y﹣1＝x，即x﹣y+1＝0．
故选：C．
10．曲线y＝ex上的点到直线x﹣y﹣1＝0的距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【分析】求出函数的导数，利用导数求出斜率等于1的点，根据点到直线的距离公式即可得到结论．
【解答】解：∵曲线y＝ex，∴y′＝ex，
由y′＝1，得x＝0，y＝1，
∴曲线y＝ex上的点（0，1）到直线x﹣y﹣1＝0的距离就是曲线y＝ex上的点到直线x﹣y﹣1＝0的距离的最小值，
∴曲线y＝ex上的点到直线x﹣y﹣1＝0的距离的最小值为：
d＝＝．
故选：B．
11．点（4，a）到直线3y﹣4x＝0的距离不大于3，则a的取值范围是（ ）
A．[﹣，] B．[3，4]
C．[，] D．（﹣∞，0]∪[10，+∞）
【分析】利用点到直线的距离公式列出不等式，然后由绝对值不等式的解法求解即可．
【解答】解：点（4，a）到直线3y﹣4x＝0的距离，
变形为|3a﹣16|≤15，即﹣15≤3a﹣16≤15，解得，
所以a的取值范围是．
故选：C．
12．点P（2，3）到直线ax+y﹣2a＝0的距离为d，则d的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【分析】直线ax+y﹣2a＝0即a（x﹣2）+y＝0，令，解得直线经过定点Q．则当PQ⊥l时，d取得最大值|PQ|．
【解答】解：直线ax+y﹣2a＝0即a（x﹣2）+y＝0，令，解得x＝2，y＝0．
可得直线经过定点Q（2，0）．
则当PQ⊥l时，d取得最大值|PQ|．
|PQ|＝＝3．
故选：A．
二．填空题（共15小题）
13．已知点P（m，n）是直线2x+y+5＝0上的任意一点，则的最小值为 ．
【分析】先求得2m+n+5＝0，把它代入要求得式子，再利用二次函数的性质，求得所求式子的最小值．
【解答】解：∵点P（m，n）是直线2x+y+5＝0上的任意一点，∴2m+n+5＝0，
则＝＝，
故当m＝﹣1时，取得最小值为，
故答案为：．
14．长为2的线段AB的两个端点在抛物线y2＝x上滑动，则线段AB中点M到y轴距离的最小值是 ．
【分析】设A、B、M抛物线的准线上的射影分别为C、D、N，连结AC、BD、MN．根据梯形中位线定理证出|MN|＝（|AC|+|BD|），利用抛物线的定义得|AC|+|BD|＝|AF|+|BF|，由此结合平面几何的知识证出|MN|≥|AB|＝1，即可求出AB中点M到y轴距离的最小值．
【解答】解：设抛物线的准线为l，A、B、M在l上的射影分别为C、D、N，连结AC、BD、MN．
由梯形的中位线定理，可得|MN|＝（|AC|+|BD|）
连结AF、BF，根据抛物线的定义得|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|
根据平面几何知识，可得|AF|+|BF|≥|AB|，
当且仅当点F在AB上时取等号
∴|AC|+|BD|≥|AB|＝2，
可得|MN|＝（|AC|+|BD|）≥|AB|＝1
设M的横坐标为a，抛物线的准线方程为x＝﹣．
则|MN|＝a+≥1，得a．
因此，当且仅当线段AB为抛物线经过焦点的弦时，
AB中点M到y轴距离的最小值为
故答案为：
15．已知点A（﹣5，0），B（﹣1，﹣3），点P是圆上任意一点，则△PAB面积的最大值是 ．
【分析】利用点到直线的距离公式可得：圆心C（1，0）到直线AB的距离d，即可得出点P到直线AB的最大距离为d+r．即可得出△PAB面积的最大值．
【解答】解：直线AB的方程为，
圆心C（1，0）到直线AB的距离，
点P到直线AB的最大距离为．
故△PAB面积的最大值是．
故答案为：．
16．点（5，2）到直线（m﹣1）x+（2m﹣1）y＝m﹣5的距离的最大值为 ．
【分析】利用直线系方程求出动直线所过定点，再由两点间的距离公式求解．
【解答】解：化直线（m﹣1）x+（2m﹣1）y＝m﹣5为m（x+2y﹣1）﹣x﹣y+5＝0，
联立，解得．
∴直线（m﹣1）x+（2m﹣1）y＝m﹣5过定点（9，﹣4），
∴点（5，2）到直线（m﹣1）x+（2m﹣1）y＝m﹣5的距离的最大值为．
故答案为：．
17．直线x﹣2y﹣3＝0与圆（x﹣2）2+（y+3）2＝9交于E、F两点，则弦长EF＝ 4 ．
【分析】由圆的方程找出圆心与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，利用垂径定理及勾股定理即可求出弦EF的长．
【解答】解：由圆（x﹣2）2+（y+3）2＝9，得到圆心坐标为（2，﹣3），半径r＝3，
∵圆心（2，﹣3）到直线x﹣2y﹣3＝0的距离d＝＝，
∴弦EF＝2＝4．
故答案为：4
18．圆x2+y2﹣2x+4y+3＝0的圆心到直线x﹣y＝1的距离为． 正确 （判断对错）
【分析】由圆的一般方程得到圆的圆心为：（1，﹣2），再结合点到直线距离公式得圆心到直线的距离，进而得到答案．
【解答】解：因为圆的方程为x2+y2﹣2x+4y+3＝0，
所以圆的圆心为：（1，﹣2），
由点到直线距离公式得圆心到直线的距离为：
d＝＝；
故答案为：正确．
19．点（0，0）到直线x+y＝2的距离是 ．
【分析】直接利用点到直线的距离公式的应用求出结果．
【解答】解：由点（0，0）到直线x+y﹣2＝0的距离公式得．．
故答案为：．
20．平面内一点A（1，2）到直线（m﹣1）x+2my+4＝0距离的最大值为 5 ．
【分析】直线（m﹣1）x+2my+4＝0化为：m（x+2y）+（﹣x+4）＝0，令，解得x，y．可得直线（m﹣1）x+2my+4＝0经过定点P．可得平面内一点A（1，2）到直线（m﹣1）x+2my+4＝0距离的最大值＝|AP|．
【解答】解：直线（m﹣1）x+2my+4＝0化为：m（x+2y）+（﹣x+4）＝0，
令，解得x＝4，y＝﹣2．
∴直线（m﹣1）x+2my+4＝0经过定点P（4，﹣2）．
∴平面内一点A（1，2）到直线（m﹣1）x+2my+4＝0距离的最大值
为|AP|＝＝5．
故答案为：5．
21．已知m∈R，A（3，2），直线l：mx+y+3＝0．点A到直线l的最大距离为 ；若两点A和B（﹣1，4）到直线l的距离相等，则实数m等于 或﹣6
【分析】求出直线l恒过定点（0，﹣3），由两点间的距离公式求点A到直线l的最大距离；再由点到直线的距离公式列式求实数m．
【解答】解：∵直线l：mx+y+3＝0恒过定点（0，﹣3），
∴点A（3，2）到直线l的最大距离为；
∵两点A（3，2）和B（﹣1，4）到直线mx+y+3＝0距离相等，
∴，
解得m＝，或m＝﹣6．
故答案为：；或﹣6．
22．已知点A（﹣3，﹣1）到直线l：6x﹣8y+c＝0的距离为2，则c＝ 30或﹣10 ．
【分析】根据题意，由点到直线的距离公式可得d＝＝2，解可得c的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，点A（﹣3，﹣1）到直线l：6x﹣8y+c＝0的距离为2，
则有d＝＝2，解可得：c＝30或﹣10，
故答案为：30或﹣10，
23．当点（0，﹣1）到直线x﹣my+1＝0（m∈R）距离最大时，m值为 1 ．
【分析】分m＝0，m＞0，m＜0三种情况进行讨论，当m＞0时，利用点到直线的距离公式求出d，然后再利用基本不等式求解最值即可．
【解答】解：设点（0，﹣1）到直线x﹣my+1＝0（m∈R）的距离为d，
当m＝0时，d＝1；
当m＞0时，，
当且仅当，即m＝1时取等号；
当m＜0时，d＜1；
故m＝1时，当点（0，﹣1）到直线x﹣my+1＝0（m∈R）距离最大为2．
故答案为：1．
24．已知点A（1，3）和点B（5，2）到直线l的距离相等，且l过点（3，﹣1），则直线l的方程为 x+4y+1＝0，或 x﹣3＝0 ．
【分析】由题意可得，直线l和直线AB平行，或者直线l经过线段AB的中点，分别利用点斜式、两点式求直线l的方程
【解答】解：∵点A（1，3）和点B（5，2）到直线l的距离相等，
∴直线l和直线AB平行，或者直线l经过线段AB的中点．
若直线l和直线AB平行，则它的斜率为＝﹣，∵l过点（3，﹣1），
则直线l的方程为 y+1＝﹣（x﹣3），即 x+4y+1＝0．
若直线l经过线段AB的中点（3，），l过点（3，﹣1），
故直线l的方程为 x＝3，即 x﹣3＝0．
综上可得，直线l的方程为 x+4y+1＝0，或 x﹣3＝0，
故答案为：x+4y+1＝0，或 x﹣3＝0．
25．已知点A（1，1），B（3，5）到经过点（2，1）的直线l的距离相等，则l的方程为 2x﹣y﹣3＝0或x＝2 ．
【分析】根据题意，分析可得当直线l平行于直线AB或过线段AB的中点时，满足题意，据此分2种情况讨论，求出直线l的方程，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，当直线l平行于直线AB或过线段AB的中点时，满足题意，
若直线l平行于直线AB，则其斜率kl＝kAB＝＝2，
此时直线l的方程为y﹣1＝2（x﹣2），即 2x﹣y﹣3＝0，
若直线l经过AB的中点时，点A（1，1），B（3，5），则AB中点的坐标为（2，3），
当直线l经过线段AB的中点（2，3）时，l的方程是 x﹣2＝0，
综合可得：直线l的方程为：2x﹣y﹣3＝0或x＝2，
故答案为：2x﹣y﹣3＝0或x＝2．
26．点P（1，1）到直线xsinθ+ycosθ﹣3＝0的最小距离是 3﹣ ．
【分析】直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质及点到直线的距离公式的应用求出结果．
【解答】解：P（1，1）到直线xsinθ+ycosθ﹣3＝0的距离d＝＝，
当时，．
故答案为：3﹣．
27．点（3，1）到直线y＝2x的距离为 ．
【分析】由题意利用点到直线的距离公式，计算求得结果．
【解答】解：点（3，1）到直线y＝2x的距离为 ＝，
故答案为：．
三．解答题（共5小题）
28．已知直线l经过点P（﹣2，5），且斜率为﹣．
（1）求直线l的方程；
（2）若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
【分析】（1）利用点斜式即可得出．
（2）设m的方程为3x+4y+c＝0，则由平行线之间的距离公式得，＝3，解出c即可得出．
【解答】解：（1）由点斜式方程得，y﹣5＝﹣（x+2），
∴3x+4y﹣14＝0．
（2）设m的方程为3x+4y+c＝0，则由平行线之间的距离公式得，＝3，
解得：c＝1或﹣29．
∴3x+4y+1＝0或3x+4y﹣29＝0．
29．求坐标原点到下列直线的距离：
（1）l1：4x﹣3y﹣15＝0；
（2）l2：x﹣y＝0；
（3）l3：Ax+By+C＝0．
【分析】直接利用点到直线的距离公式求解得答案．
【解答】解：（1）原点到直线l1的距离d＝＝3，
（2）原点到直线l2的距离d＝＝0；
（3）原点到直线l3的距离d＝＝．
30．（1）求过点P（4，1）且与两坐标轴上的截距之和为1的直线方程；
（2）求过点M（3，2）且与原点距离为3的直线方程．
【分析】（1）由题意设出直线方程，代入点P的坐标求得对应直线方程；
（2）讨论直线的斜率k不存在和k存在时，利用点到直线的距离求得对应直线方程．
【解答】解：（1）由题意可设直线方程为：+＝1，
代入点P（4，1），得＝1，
解得a＝2，
所以直线方程为：x﹣2y﹣2＝0．
（2）当直线的斜率k不存在时：x＝3，满足题意，
当直线的斜率k存在时，设直线方程为：y+2＝k（x﹣3），
即：kx﹣y﹣3k﹣2＝0，所以d＝＝3，
解得k＝，所以直线方程为：5x﹣12y﹣39＝0．
综上，直线方程为：x＝3或5x﹣12y﹣39＝0．
31．已知点C1（﹣3，1）和点C2（4，5）．
（1）若直线l过点A（4，0），且C1到直线l的距离等于1，求直线l的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，且C1到直线l1与C2到直线l2的距离相等，试求所有满足条件的点P的坐标．
【分析】（1）设直线l的方程为y＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k＝0，利用C1到直线l的距离等于1，建立方程，求出k，即可求直线l的方程；
（2）利用C1到直线l1的距离等于C2到直线l2的距离．推出（2﹣m﹣n）k＝m﹣n﹣3或（m﹣n+8）k＝m+n﹣5，关于k的方程有无穷多解，推出或，求出P的坐标即可．
【解答】解：（1）设直线l的方程为y＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k＝0，
∵C1到直线l的距离等于1，
∴＝1，
∴k＝0或﹣，
∴直线l的方程为y＝0或7x+24y﹣28＝0；
（2）设点P（m，n）则直线l1和l2，的方程分别为：y﹣n＝k（x﹣m），y﹣n＝﹣（x﹣m）
∵C1到直线l1的距离等于C2到直线l2的距离．
∴＝
∴（2﹣m﹣n）k＝m﹣n﹣3或（m﹣n+8）k＝m+n﹣5
∵关于k的方程有无穷多解，∴或
解得点P的坐标（﹣，）或（，﹣）．
32．在△ABC中，已知A（1，﹣1），B（3，2），且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上．
（1）求顶点C的坐标；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据中点坐标公式，即可求顶点C的坐标；
（2）由题设可得|AC|＝，可得直线AC的方程为x﹣2y﹣3＝0，可求点B到直线AC的距离为d＝，结合三角形的面积公式即可求△ABC的面积．
【解答】解：（1）设点C（x0，y0），
由题意AC边的中点M在y轴上，可得＝0，解得x0＝﹣1，
BC边的中点N在x轴上，可得＝0，解得y0＝﹣2，
所以点C的坐标是（﹣1，﹣2）．
（2）由题设，A（1，﹣1），C（﹣1，﹣2），
可得：|AC|＝，
可得直线AC的方程为x﹣2y﹣3＝0，
又B（3，2），
所以：点B到直线AC的距离为d＝＝，
所以：△ABC的面积S＝|AC|•d＝××＝2．
人教版2021届一轮复习打地基练习 点到直线间的距离公式
一．选择题（共12小题）
1．点P（x，y）在直线x+y﹣2＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．2
2．设直线l：3x+2y﹣6＝0，P（m，n）为直线l上动点，则（m﹣1）2+n2的最小值为（ ）
A． B． C． D．
3．若点（2，2）到直线x﹣y+a＝0的距离是，则实数a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．0或﹣1 D．﹣1或1
4．过点P（1，2）引直线，使A（2，3），B（4，﹣5）两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（ ）
A．2x+y﹣4＝0 B．x+2y﹣5＝0
C．2x+y﹣4＝0或x+2y﹣5＝0 D．3x+2y﹣7＝0或4x+y﹣6＝0
5．已知动直线l：ax+by+c﹣2＝0（a＞0，c＞0）恒过点P（2，n），且Q（5，0）到动直线l的最大距离为3，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．9
6．过点P（0，1），且与点A（3，3）和B（5，﹣1）的距离相等的直线方程是（ ）
A．y＝1 B．2x+y﹣1＝0
C．y＝1或2x+y﹣1＝0 D．2x+y﹣1＝0或2x+y+1＝0
7．平面上到点A（6，1）的距离是1且到点B（3，﹣3）的距离是4的直线的条数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．点（﹣1，0）到直线x+y﹣1＝0的距离是（ ）
A． B． C．1 D．
9．已知点A（0，1），点B在直线l：x+y＝0上运动，则当线段AB最短时，直线AB的方程为（ ）
A．x+y+1＝0 B．x﹣y﹣1＝0 C．x﹣y+1＝0 D．x+y﹣1＝0
10．曲线y＝ex上的点到直线x﹣y﹣1＝0的距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
11．点（4，a）到直线3y﹣4x＝0的距离不大于3，则a的取值范围是（ ）
A．[﹣，] B．[3，4]
C．[，] D．（﹣∞，0]∪[10，+∞）
12．点P（2，3）到直线ax+y﹣2a＝0的距离为d，则d的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
二．填空题（共15小题）
13．已知点P（m，n）是直线2x+y+5＝0上的任意一点，则的最小值为 ．
14．长为2的线段AB的两个端点在抛物线y2＝x上滑动，则线段AB中点M到y轴距离的最小值是 ．
15．已知点A（﹣5，0），B（﹣1，﹣3），点P是圆上任意一点，则△PAB面积的最大值是 ．
16．点（5，2）到直线（m﹣1）x+（2m﹣1）y＝m﹣5的距离的最大值为 ．
17．直线x﹣2y﹣3＝0与圆（x﹣2）2+（y+3）2＝9交于E、F两点，则弦长EF＝ ．
18．圆x2+y2﹣2x+4y+3＝0的圆心到直线x﹣y＝1的距离为． （判断对错）
19．点（0，0）到直线x+y＝2的距离是 ．
20．平面内一点A（1，2）到直线（m﹣1）x+2my+4＝0距离的最大值为 ．
21．已知m∈R，A（3，2），直线l：mx+y+3＝0．点A到直线l的最大距离为 ；若两点A和B（﹣1，4）到直线l的距离相等，则实数m等于
22．已知点A（﹣3，﹣1）到直线l：6x﹣8y+c＝0的距离为2，则c＝ ．
23．当点（0，﹣1）到直线x﹣my+1＝0（m∈R）距离最大时，m值为 ．
24．已知点A（1，3）和点B（5，2）到直线l的距离相等，且l过点（3，﹣1），则直线l的方程为 ．
25．已知点A（1，1），B（3，5）到经过点（2，1）的直线l的距离相等，则l的方程为 ．
26．点P（1，1）到直线xsinθ+ycosθ﹣3＝0的最小距离是 ．
27．点（3，1）到直线y＝2x的距离为 ．
三．解答题（共5小题）
28．已知直线l经过点P（﹣2，5），且斜率为﹣．
（1）求直线l的方程；
（2）若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
29．求坐标原点到下列直线的距离：
（1）l1：4x﹣3y﹣15＝0；
（2）l2：x﹣y＝0；
（3）l3：Ax+By+C＝0．
30．（1）求过点P（4，1）且与两坐标轴上的截距之和为1的直线方程；
（2）求过点M（3，2）且与原点距离为3的直线方程．
31．已知点C1（﹣3，1）和点C2（4，5）．
（1）若直线l过点A（4，0），且C1到直线l的距离等于1，求直线l的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，且C1到直线l1与C2到直线l2的距离相等，试求所有满足条件的点P的坐标．
32．在△ABC中，已知A（1，﹣1），B（3，2），且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上．
（1）求顶点C的坐标；
（2）求△ABC的面积．
人教版2021届一轮复习打地基练习 点到直线间的距离公式
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．点P（x，y）在直线x+y﹣2＝0上，O是坐标原点，则|OP|的最小值是（ ）
A．1 B． C．2 D．2
【分析】|OP|的最小值是点O到直线x+y﹣2＝0的距离，利用点到直线的距离公式能求出|OP|的最小值．
【解答】解：∵点P（x，y）在直线x+y﹣2＝0上，O是坐标原点，
∴|OP|的最小值是点O到直线x+y﹣2＝0的距离，
∴则|OP|的最小值是d＝＝．
故选：B．
2．设直线l：3x+2y﹣6＝0，P（m，n）为直线l上动点，则（m﹣1）2+n2的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据题意，分析（m﹣1）2+n2的几何意义，结合点到直线的距离公式分析可得答案．
【解答】解：根据题意，（m﹣1）2+n2＝（m﹣1）2+（n﹣0）2，其几何意义为点（m，n）与点（1，0）之间距离的平方，
而点（1，0）到直线l：3x+2y﹣6＝0的距离d＝＝，
故（m﹣1）2+n2的最小值为，
故选：A．
3．若点（2，2）到直线x﹣y+a＝0的距离是，则实数a的值为（ ）
A．1 B．﹣1 C．0或﹣1 D．﹣1或1
【分析】由点到直线的距离公式，代入求解即可．
【解答】解：由点到直线的距离公式，可得，
解得a＝1或a＝﹣1．
故选：D．
4．过点P（1，2）引直线，使A（2，3），B（4，﹣5）两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（ ）
A．2x+y﹣4＝0 B．x+2y﹣5＝0
C．2x+y﹣4＝0或x+2y﹣5＝0 D．3x+2y﹣7＝0或4x+y﹣6＝0
【分析】当直线和AB平行时，用点斜式求直线的方程；当直线经过线段AB的中点时，用两点式求直线的方程．
【解答】解：当要求的直线和AB平行时，由于AB的斜率为＝﹣4，
又直线过点P（1，2），故要求的直线方程为y﹣2＝﹣4（x﹣1），即 4x+y﹣6＝0．
当要求的直线经过线段AB的中点（3，﹣1）时，直线的方程为 ＝，即 3x+2y﹣7＝0．
综上可得，这条直线的方程是3x+2y﹣7＝0或4x+y﹣6＝0，
故选：D．
5．已知动直线l：ax+by+c﹣2＝0（a＞0，c＞0）恒过点P（2，n），且Q（5，0）到动直线l的最大距离为3，则的最小值为（ ）
A． B． C．3 D．9
【分析】结合直线l恒过点P，与|PQ|＝3，求得n＝0，以及2a+c＝2，将其代入中，并根据基本不等式，即可得解．
【解答】解：因为直线l：ax+by+c﹣2＝0（a＞0，c＞0）恒过点P（2，n），
所以2a+bn+c﹣2＝0，
因为Q（5，0）到动直线l的最大距离为3，
所以|PQ|＝3，所以（2﹣5）2+n2＝9，解得n＝0，
所以2a+c＝2，
又因为a＞0，c＞0，
所以＝+＝++1≥2+1＝3，
当且仅当a＝，c＝1时，等号成立，
所以的最小值为3．
故选：C．
6．过点P（0，1），且与点A（3，3）和B（5，﹣1）的距离相等的直线方程是（ ）
A．y＝1 B．2x+y﹣1＝0
C．y＝1或2x+y﹣1＝0 D．2x+y﹣1＝0或2x+y+1＝0
【分析】由题意可知当直线平行于直线AB时，或过AB的中点时满足题意，分别求其斜率可得方程．
【解答】解：当直线平行于直线AB时，或过AB的中点时满足题意，
当直线平行于直线AB时，所求直线的斜率为k＝＝﹣2，
故直线方程为y＝﹣2x+1，即2x+y﹣1＝0；
当直线过AB的中点（4，1）时，斜率为k＝0，
故直线方程为y＝1；
故所求直线方程是为：y＝1或2x+y﹣1＝0．
故选：C．
7．平面上到点A（6，1）的距离是1且到点B（3，﹣3）的距离是4的直线的条数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】与点A（6，1）的距离为1，且到点B（3，﹣3）的距离为4的直线应该是以A（6，1）为圆心，1为半径的圆和以B（3，﹣3）为圆心，4为半径的圆的公切线．由此能求出结果．
【解答】解：由题意知，与点A（6，1）的距离为1，且到点B（3，﹣3）的距离为4的直线应该是：
以A（6，1）为圆心，1为半径的圆和以B（3，﹣3）为圆心，4为半径的圆的公切线．
∵|AB|＝＝1+4，
∴两圆外切，∴两圆有3条公切线，
∴平面上到点A（6，1）的距离是1且到点B（3，﹣3）的距离是4的直线的条数是3条．
故选：C．
8．点（﹣1，0）到直线x+y﹣1＝0的距离是（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】直接利用点到直线的距离公式求解．
【解答】解：由点到直线的距离公式可得：
点（﹣1，0）到直线x+y﹣1＝0的距离是d＝．
故选：A．
9．已知点A（0，1），点B在直线l：x+y＝0上运动，则当线段AB最短时，直线AB的方程为（ ）
A．x+y+1＝0 B．x﹣y﹣1＝0 C．x﹣y+1＝0 D．x+y﹣1＝0
【分析】当线段AB最短时，直线AB是过点A垂直于直线l的直线，由此能求出当线段AB最短时，直线AB的方程．
【解答】解：∵点A（0，1），点B在直线l：x+y＝0上运动，
∴当线段AB最短时，直线AB是过点A垂直于直线l的直线，
∵直线l：x+y＝0的斜率k＝﹣1，
∴当线段AB最短时，直线AB的斜率kAB＝1，
∴当线段AB最短时，直线AB的方程为：
y﹣1＝x，即x﹣y+1＝0．
故选：C．
10．曲线y＝ex上的点到直线x﹣y﹣1＝0的距离的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．2
【分析】求出函数的导数，利用导数求出斜率等于1的点，根据点到直线的距离公式即可得到结论．
【解答】解：∵曲线y＝ex，∴y′＝ex，
由y′＝1，得x＝0，y＝1，
∴曲线y＝ex上的点（0，1）到直线x﹣y﹣1＝0的距离就是曲线y＝ex上的点到直线x﹣y﹣1＝0的距离的最小值，
∴曲线y＝ex上的点到直线x﹣y﹣1＝0的距离的最小值为：
d＝＝．
故选：B．
11．点（4，a）到直线3y﹣4x＝0的距离不大于3，则a的取值范围是（ ）
A．[﹣，] B．[3，4]
C．[，] D．（﹣∞，0]∪[10，+∞）
【分析】利用点到直线的距离公式列出不等式，然后由绝对值不等式的解法求解即可．
【解答】解：点（4，a）到直线3y﹣4x＝0的距离，
变形为|3a﹣16|≤15，即﹣15≤3a﹣16≤15，解得，
所以a的取值范围是．
故选：C．
12．点P（2，3）到直线ax+y﹣2a＝0的距离为d，则d的最大值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．7
【分析】直线ax+y﹣2a＝0即a（x﹣2）+y＝0，令，解得直线经过定点Q．则当PQ⊥l时，d取得最大值|PQ|．
【解答】解：直线ax+y﹣2a＝0即a（x﹣2）+y＝0，令，解得x＝2，y＝0．
可得直线经过定点Q（2，0）．
则当PQ⊥l时，d取得最大值|PQ|．
|PQ|＝＝3．
故选：A．
二．填空题（共15小题）
13．已知点P（m，n）是直线2x+y+5＝0上的任意一点，则的最小值为 ．
【分析】先求得2m+n+5＝0，把它代入要求得式子，再利用二次函数的性质，求得所求式子的最小值．
【解答】解：∵点P（m，n）是直线2x+y+5＝0上的任意一点，∴2m+n+5＝0，
则＝＝，
故当m＝﹣1时，取得最小值为，
故答案为：．
14．长为2的线段AB的两个端点在抛物线y2＝x上滑动，则线段AB中点M到y轴距离的最小值是 ．
【分析】设A、B、M抛物线的准线上的射影分别为C、D、N，连结AC、BD、MN．根据梯形中位线定理证出|MN|＝（|AC|+|BD|），利用抛物线的定义得|AC|+|BD|＝|AF|+|BF|，由此结合平面几何的知识证出|MN|≥|AB|＝1，即可求出AB中点M到y轴距离的最小值．
【解答】解：设抛物线的准线为l，A、B、M在l上的射影分别为C、D、N，连结AC、BD、MN．
由梯形的中位线定理，可得|MN|＝（|AC|+|BD|）
连结AF、BF，根据抛物线的定义得|AF|＝|AC|，|BF|＝|BD|
根据平面几何知识，可得|AF|+|BF|≥|AB|，
当且仅当点F在AB上时取等号
∴|AC|+|BD|≥|AB|＝2，
可得|MN|＝（|AC|+|BD|）≥|AB|＝1
设M的横坐标为a，抛物线的准线方程为x＝﹣．
则|MN|＝a+≥1，得a．
因此，当且仅当线段AB为抛物线经过焦点的弦时，
AB中点M到y轴距离的最小值为
故答案为：
15．已知点A（﹣5，0），B（﹣1，﹣3），点P是圆上任意一点，则△PAB面积的最大值是 ．
【分析】利用点到直线的距离公式可得：圆心C（1，0）到直线AB的距离d，即可得出点P到直线AB的最大距离为d+r．即可得出△PAB面积的最大值．
【解答】解：直线AB的方程为，
圆心C（1，0）到直线AB的距离，
点P到直线AB的最大距离为．
故△PAB面积的最大值是．
故答案为：．
16．点（5，2）到直线（m﹣1）x+（2m﹣1）y＝m﹣5的距离的最大值为 ．
【分析】利用直线系方程求出动直线所过定点，再由两点间的距离公式求解．
【解答】解：化直线（m﹣1）x+（2m﹣1）y＝m﹣5为m（x+2y﹣1）﹣x﹣y+5＝0，
联立，解得．
∴直线（m﹣1）x+（2m﹣1）y＝m﹣5过定点（9，﹣4），
∴点（5，2）到直线（m﹣1）x+（2m﹣1）y＝m﹣5的距离的最大值为．
故答案为：．
17．直线x﹣2y﹣3＝0与圆（x﹣2）2+（y+3）2＝9交于E、F两点，则弦长EF＝ 4 ．
【分析】由圆的方程找出圆心与半径r，利用点到直线的距离公式求出圆心到已知直线的距离d，利用垂径定理及勾股定理即可求出弦EF的长．
【解答】解：由圆（x﹣2）2+（y+3）2＝9，得到圆心坐标为（2，﹣3），半径r＝3，
∵圆心（2，﹣3）到直线x﹣2y﹣3＝0的距离d＝＝，
∴弦EF＝2＝4．
故答案为：4
18．圆x2+y2﹣2x+4y+3＝0的圆心到直线x﹣y＝1的距离为． 正确 （判断对错）
【分析】由圆的一般方程得到圆的圆心为：（1，﹣2），再结合点到直线距离公式得圆心到直线的距离，进而得到答案．
【解答】解：因为圆的方程为x2+y2﹣2x+4y+3＝0，
所以圆的圆心为：（1，﹣2），
由点到直线距离公式得圆心到直线的距离为：
d＝＝；
故答案为：正确．
19．点（0，0）到直线x+y＝2的距离是 ．
【分析】直接利用点到直线的距离公式的应用求出结果．
【解答】解：由点（0，0）到直线x+y﹣2＝0的距离公式得．．
故答案为：．
20．平面内一点A（1，2）到直线（m﹣1）x+2my+4＝0距离的最大值为 5 ．
【分析】直线（m﹣1）x+2my+4＝0化为：m（x+2y）+（﹣x+4）＝0，令，解得x，y．可得直线（m﹣1）x+2my+4＝0经过定点P．可得平面内一点A（1，2）到直线（m﹣1）x+2my+4＝0距离的最大值＝|AP|．
【解答】解：直线（m﹣1）x+2my+4＝0化为：m（x+2y）+（﹣x+4）＝0，
令，解得x＝4，y＝﹣2．
∴直线（m﹣1）x+2my+4＝0经过定点P（4，﹣2）．
∴平面内一点A（1，2）到直线（m﹣1）x+2my+4＝0距离的最大值
为|AP|＝＝5．
故答案为：5．
21．已知m∈R，A（3，2），直线l：mx+y+3＝0．点A到直线l的最大距离为 ；若两点A和B（﹣1，4）到直线l的距离相等，则实数m等于 或﹣6
【分析】求出直线l恒过定点（0，﹣3），由两点间的距离公式求点A到直线l的最大距离；再由点到直线的距离公式列式求实数m．
【解答】解：∵直线l：mx+y+3＝0恒过定点（0，﹣3），
∴点A（3，2）到直线l的最大距离为；
∵两点A（3，2）和B（﹣1，4）到直线mx+y+3＝0距离相等，
∴，
解得m＝，或m＝﹣6．
故答案为：；或﹣6．
22．已知点A（﹣3，﹣1）到直线l：6x﹣8y+c＝0的距离为2，则c＝ 30或﹣10 ．
【分析】根据题意，由点到直线的距离公式可得d＝＝2，解可得c的值，即可得答案．
【解答】解：根据题意，点A（﹣3，﹣1）到直线l：6x﹣8y+c＝0的距离为2，
则有d＝＝2，解可得：c＝30或﹣10，
故答案为：30或﹣10，
23．当点（0，﹣1）到直线x﹣my+1＝0（m∈R）距离最大时，m值为 1 ．
【分析】分m＝0，m＞0，m＜0三种情况进行讨论，当m＞0时，利用点到直线的距离公式求出d，然后再利用基本不等式求解最值即可．
【解答】解：设点（0，﹣1）到直线x﹣my+1＝0（m∈R）的距离为d，
当m＝0时，d＝1；
当m＞0时，，
当且仅当，即m＝1时取等号；
当m＜0时，d＜1；
故m＝1时，当点（0，﹣1）到直线x﹣my+1＝0（m∈R）距离最大为2．
故答案为：1．
24．已知点A（1，3）和点B（5，2）到直线l的距离相等，且l过点（3，﹣1），则直线l的方程为 x+4y+1＝0，或 x﹣3＝0 ．
【分析】由题意可得，直线l和直线AB平行，或者直线l经过线段AB的中点，分别利用点斜式、两点式求直线l的方程
【解答】解：∵点A（1，3）和点B（5，2）到直线l的距离相等，
∴直线l和直线AB平行，或者直线l经过线段AB的中点．
若直线l和直线AB平行，则它的斜率为＝﹣，∵l过点（3，﹣1），
则直线l的方程为 y+1＝﹣（x﹣3），即 x+4y+1＝0．
若直线l经过线段AB的中点（3，），l过点（3，﹣1），
故直线l的方程为 x＝3，即 x﹣3＝0．
综上可得，直线l的方程为 x+4y+1＝0，或 x﹣3＝0，
故答案为：x+4y+1＝0，或 x﹣3＝0．
25．已知点A（1，1），B（3，5）到经过点（2，1）的直线l的距离相等，则l的方程为 2x﹣y﹣3＝0或x＝2 ．
【分析】根据题意，分析可得当直线l平行于直线AB或过线段AB的中点时，满足题意，据此分2种情况讨论，求出直线l的方程，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，当直线l平行于直线AB或过线段AB的中点时，满足题意，
若直线l平行于直线AB，则其斜率kl＝kAB＝＝2，
此时直线l的方程为y﹣1＝2（x﹣2），即 2x﹣y﹣3＝0，
若直线l经过AB的中点时，点A（1，1），B（3，5），则AB中点的坐标为（2，3），
当直线l经过线段AB的中点（2，3）时，l的方程是 x﹣2＝0，
综合可得：直线l的方程为：2x﹣y﹣3＝0或x＝2，
故答案为：2x﹣y﹣3＝0或x＝2．
26．点P（1，1）到直线xsinθ+ycosθ﹣3＝0的最小距离是 3﹣ ．
【分析】直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质及点到直线的距离公式的应用求出结果．
【解答】解：P（1，1）到直线xsinθ+ycosθ﹣3＝0的距离d＝＝，
当时，．
故答案为：3﹣．
27．点（3，1）到直线y＝2x的距离为 ．
【分析】由题意利用点到直线的距离公式，计算求得结果．
【解答】解：点（3，1）到直线y＝2x的距离为 ＝，
故答案为：．
三．解答题（共5小题）
28．已知直线l经过点P（﹣2，5），且斜率为﹣．
（1）求直线l的方程；
（2）若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
【分析】（1）利用点斜式即可得出．
（2）设m的方程为3x+4y+c＝0，则由平行线之间的距离公式得，＝3，解出c即可得出．
【解答】解：（1）由点斜式方程得，y﹣5＝﹣（x+2），
∴3x+4y﹣14＝0．
（2）设m的方程为3x+4y+c＝0，则由平行线之间的距离公式得，＝3，
解得：c＝1或﹣29．
∴3x+4y+1＝0或3x+4y﹣29＝0．
29．求坐标原点到下列直线的距离：
（1）l1：4x﹣3y﹣15＝0；
（2）l2：x﹣y＝0；
（3）l3：Ax+By+C＝0．
【分析】直接利用点到直线的距离公式求解得答案．
【解答】解：（1）原点到直线l1的距离d＝＝3，
（2）原点到直线l2的距离d＝＝0；
（3）原点到直线l3的距离d＝＝．
30．（1）求过点P（4，1）且与两坐标轴上的截距之和为1的直线方程；
（2）求过点M（3，2）且与原点距离为3的直线方程．
【分析】（1）由题意设出直线方程，代入点P的坐标求得对应直线方程；
（2）讨论直线的斜率k不存在和k存在时，利用点到直线的距离求得对应直线方程．
【解答】解：（1）由题意可设直线方程为：+＝1，
代入点P（4，1），得＝1，
解得a＝2，
所以直线方程为：x﹣2y﹣2＝0．
（2）当直线的斜率k不存在时：x＝3，满足题意，
当直线的斜率k存在时，设直线方程为：y+2＝k（x﹣3），
即：kx﹣y﹣3k﹣2＝0，所以d＝＝3，
解得k＝，所以直线方程为：5x﹣12y﹣39＝0．
综上，直线方程为：x＝3或5x﹣12y﹣39＝0．
31．已知点C1（﹣3，1）和点C2（4，5）．
（1）若直线l过点A（4，0），且C1到直线l的距离等于1，求直线l的方程；
（2）设P为平面上的点，满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，且C1到直线l1与C2到直线l2的距离相等，试求所有满足条件的点P的坐标．
【分析】（1）设直线l的方程为y＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k＝0，利用C1到直线l的距离等于1，建立方程，求出k，即可求直线l的方程；
（2）利用C1到直线l1的距离等于C2到直线l2的距离．推出（2﹣m﹣n）k＝m﹣n﹣3或（m﹣n+8）k＝m+n﹣5，关于k的方程有无穷多解，推出或，求出P的坐标即可．
【解答】解：（1）设直线l的方程为y＝k（x﹣4），即kx﹣y﹣4k＝0，
∵C1到直线l的距离等于1，
∴＝1，
∴k＝0或﹣，
∴直线l的方程为y＝0或7x+24y﹣28＝0；
（2）设点P（m，n）则直线l1和l2，的方程分别为：y﹣n＝k（x﹣m），y﹣n＝﹣（x﹣m）
∵C1到直线l1的距离等于C2到直线l2的距离．
∴＝
∴（2﹣m﹣n）k＝m﹣n﹣3或（m﹣n+8）k＝m+n﹣5
∵关于k的方程有无穷多解，∴或
解得点P的坐标（﹣，）或（，﹣）．
32．在△ABC中，已知A（1，﹣1），B（3，2），且AC边的中点M在y轴上，BC边的中点N在x轴上．
（1）求顶点C的坐标；
（2）求△ABC的面积．
【分析】（1）根据中点坐标公式，即可求顶点C的坐标；
（2）由题设可得|AC|＝，可得直线AC的方程为x﹣2y﹣3＝0，可求点B到直线AC的距离为d＝，结合三角形的面积公式即可求△ABC的面积．
【解答】解：（1）设点C（x0，y0），
由题意AC边的中点M在y轴上，可得＝0，解得x0＝﹣1，
BC边的中点N在x轴上，可得＝0，解得y0＝﹣2，
所以点C的坐标是（﹣1，﹣2）．
（2）由题设，A（1，﹣1），C（﹣1，﹣2），
可得：|AC|＝，
可得直线AC的方程为x﹣2y﹣3＝0，
又B（3，2），
所以：点B到直线AC的距离为d＝＝，
所以：△ABC的面积S＝|AC|•d＝××＝2．
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