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人教版2022届一轮复习打地基练习 平面向量数量积的坐标表示、模及其夹角
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这是一份人教版2022届一轮复习打地基练习 平面向量数量积的坐标表示、模及其夹角，共18页。试卷主要包含了已知向量a→=等内容，欢迎下载使用。
1．若向量a→，b→，c→的模均为1，且a→⋅b→=0，则|3a→+4b→−2c→|的最大值为（ ）
A．5+25B．3C．5D．7
2．已知向量a→，b→满足|a→|=2，|b→|=1，其夹角为120°，若对任意向量m→，总有(m→−a→)⋅(m→−b→)=0，则|m→|的最大值与最小值之差为（ ）
A．1B．3C．5D．7
3．已知向量a→，b→满足|a→|＝1，|b→|＝2，且a→与b→的夹角为60°，则|a→+b→|＝（ ）
A．7B．3C．5D．22
4．已知平面向量a→，b→满足a→•（a→+b→）＝3，且|a→|＝2，|b→|＝1，则向量a→与b→的夹角为（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
5．已知向量a→=（2，5），b→=（1，2），则|a→−b→|＝（ ）
A．22B．3C．10D．23
6．已知向量a→，b→满足|a→|=2，|b→|=4，a→⋅b→=5，则向量a→与a→−b→的夹角的余弦值为（ ）
A．−1020B．1020C．−33020D．33020
7．设向量a→，b→满足a→+b→=（1，3），a→•b→=1，则|a→−b→|＝（ ）
A．2B．6C．22D．10
8．已知|a→|＝1，|b→|＝2，则|a→+b→|+|a→−b→|的最大值等于（ ）
A．4B．3+7C．25D．5
二．填空题（共11小题）
9．已知单位向量a→与b→的夹角为π4，则|a→+2b→|= ．
10．已知单位向量a→，b→满足|a→+b→|＝|a→−2b→|，则a→与b→的夹角为 ．
11．已知a→，b→为单位向量，且a→⊥（a→+2b→），则向量a→与b→的夹角为 ．
12．已知非零向量a→=（t，0），b→=（﹣1，3），若a→⋅b→=−4，则a→+2b→与b→的夹角为 ．
13．已知向量a→=（1，3），b→=（2，0），则|a→−2b→|＝ ．
14．已知|a→|＝2，|b→|＝1，a→+b→=（2，−3），则|a→+2b→|＝ ．
15．已知向量a→，b→满足|a→|＝3，b→=（1，2），a→•b→=2，则|2a→−b→|＝ ．
16．已知向量a→，b→满足|a→|＝1，|b→|＝2，向量a→与b→的夹角为60°，则|2a→−3b→|＝ ．
17．设a→，b→为单位向量，且|a→+b→|=3，则|a→−b→|＝ ．
18．已知向量a→=（1，3），b→=（﹣1，0），则|a→+3b→|＝ ．
19．已知非零向量a→，b→夹角为π3，|b→|=2，对任意x∈R，有|b→+xa→|≥|a→−b→|，则|a→−b→|= ．
三．解答题（共8小题）
20．若平面向量a→，b→满足|a→|=2，|b→|＝2，（a→−b→）⊥a→．
（Ⅰ）求a→与b→的夹角；
（Ⅱ）求|2a→+b→|．
21．如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为3米（将眼睛距地面的距离按3米处理）
（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；
（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．
22．已知|a→|＝4，|b→|＝8，a→与b→的夹角是120°．
（1）计算|a→+b→|，|4a→−2b→|；
（2）当k为何值时，（a→+2b→）⊥（ka→−b→）？
23．已知向量a＝（sinx，cs），b＝（csx，sinx﹣2csx），0＜x＜π2．
（Ⅰ）若a∥b，求x；
（Ⅱ）设f（x）＝a•b，函数f（x）经过怎样的平移才能使所得的图象对应的函数成为奇函数？
24．已知向量a→=(2，1)，b→=(3，−1)．
（1）求a→与b→的夹角；
（2）求|2a→+b→|；
（3）若(ka→−b→)⊥b→，求实数k的值．
25．已知向量a→与b→的夹角为π3，且|a→|＝1，|b→|＝2．
（1）求|a→+b→|；
（2）求向量a→+b→与向量a→的夹角的余弦值．
26．已知向量a→=(1，1），b→=(−3，4）．
（1）求|a→−b→|的值；
（2）求向量a→与a→−b→夹角的余弦值．
27．已知平面向量a→=(2，4)，b→=(3，5)，c→=(−2，6)．
（Ⅰ）若a→=xb→+yc→，求x+y的值；
（Ⅱ）若a→+kc→在a→−b→上的投影是2，求实数k．
人教版2022届一轮复习打地基练习 平面向量数量积的坐标表示、模及其夹角
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．若向量a→，b→，c→的模均为1，且a→⋅b→=0，则|3a→+4b→−2c→|的最大值为（ ）
A．5+25B．3C．5D．7
【分析】根据条件可设a→=(1，0)，b→=(0，1)，c→=(csθ，sinθ)，从而可得出|3a→+4b→−2c→|=29−20sin(θ+φ)，然后即可求出最大值．
【解答】解：∵a→⋅b→=0，∴a→⊥b→，且a→，b→，c→的模均为1，
∴设a→=(1，0)，b→=(0，1)，c→=(csθ，sinθ)，
∴3a→+4b→−2c→=(3−2csθ，4−2sinθ)，
∴|3a→+4b→−2c→|=(3−2csθ)2+(4−2sinθ)2=29−12csθ−16sinθ=29−20sin(θ+φ)，其中tanφ=34，
∴sin（θ+φ）＝﹣1时，|3a→+4b→−2c→|取得最大值7．
故选：D．
2．已知向量a→，b→满足|a→|=2，|b→|=1，其夹角为120°，若对任意向量m→，总有(m→−a→)⋅(m→−b→)=0，则|m→|的最大值与最小值之差为（ ）
A．1B．3C．5D．7
【分析】根据题意先设b→=（1，0），则a→=（﹣1，3），设m→=(x，y)，由(m→−a→)⋅(m→−b→)=0及向量的数量积的坐标表示整理出x，y的关系，结合圆的性质及几何意义可求
【解答】解：由题意不妨设b→=（1，0），则a→=（﹣1，3），设m→=(x，y)
∵(m→−a→)⋅(m→−b→)=0
∴（x+1，y−3）•（x﹣1，y）＝0
整理可得，x2+(y−32)2=74，
即为圆心C（0，32），半径为r=72，
连接圆心C和原点（0，0），即有最大值为d+r，最小值为r﹣d，（d＝|OC|）
则|m→|的最大值为72+32，最小值72−32，差为3
故选：B．
3．已知向量a→，b→满足|a→|＝1，|b→|＝2，且a→与b→的夹角为60°，则|a→+b→|＝（ ）
A．7B．3C．5D．22
【分析】根据条件进行数量积的运算即可求出(a→+b→)2的值，进而得出|a→+b→|的值．
【解答】解：∵|a→|=1，|b→|=2，＜a→，b→＞=60°，
∴(a→+b→)2=1+4+2×1×2×12=7，
∴|a→+b→|=7．
故选：A．
4．已知平面向量a→，b→满足a→•（a→+b→）＝3，且|a→|＝2，|b→|＝1，则向量a→与b→的夹角为（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【分析】根据向量数量积的性质，得到a→2=|a|→2＝4，代入已知等式得a→•b→=−1．设a→与b→的夹角为α，结合向量数量积的定义和|a|→=2，|b|→=1，算出csα=−12，最后根据两个向量夹角的范围，可得a→与b→夹角的大小．
【解答】解：∵|a|→=2，∴a→2=4
又∵a→•（a→+b→）＝3，
∴a→2+a→•b→=4+a→•b→=3，得a→•b→=−1，
设a→与b→的夹角为α，
则a→•b→=|a|→|b|→csα＝﹣1，即2×1×csα＝﹣1，得csα=−12
∵α∈[0，π]，
∴α=2π3
故选：C．
5．已知向量a→=（2，5），b→=（1，2），则|a→−b→|＝（ ）
A．22B．3C．10D．23
【分析】可求出向量a→−b→的坐标，进而可求出|a→−b→|的值．
【解答】解：∵a→−b→=(1，3)，
|a→−b→|=10．
故选：C．
6．已知向量a→，b→满足|a→|=2，|b→|=4，a→⋅b→=5，则向量a→与a→−b→的夹角的余弦值为（ ）
A．−1020B．1020C．−33020D．33020
【分析】根据条件可求出a→⋅(a→−b→)=−1，根据|a→−b→|=(a→−b→)2进行数量积的运算可求出|a→−b→|的值，然后即可求出a→与a→−b→夹角的余弦值．
【解答】解：∵|a→|=2，|b→|=4，a→⋅b→=5，
∴a→⋅(a→−b→)=a→2−a→⋅b→=4−5=−1，|a→−b→|=(a→−b→)2=a→2−2a→⋅b→+b→2=4−10+16=10，
∴cs＜a→，a→−b→＞=a→⋅(a→−b→)|a→||a→−b→|=−12×10=−1020．
故选：A．
7．设向量a→，b→满足a→+b→=（1，3），a→•b→=1，则|a→−b→|＝（ ）
A．2B．6C．22D．10
【分析】由已知利用平面向量的坐标运算可求a→2+b→2＝8，进而即可求解|a→−b→|=(a→−b→)2的值．
【解答】解：因为向量a→，b→满足a→+b→=（1，3），a→•b→=1，
所以（a→+b→）2＝|a→+b→|2=a→2+2a→•b→+b→2=a→2+2+b→2＝10，
可得a→2+b→2＝8，
所以|a→−b→|=(a→−b→)2=a→2−2a→⋅b→+b2→=8−2=6．
故选：B．
8．已知|a→|＝1，|b→|＝2，则|a→+b→|+|a→−b→|的最大值等于（ ）
A．4B．3+7C．25D．5
【分析】根据题意，由基本不等式的性质可得，|a→+b→|+|a→−b→|≤2×|a→+b→|2+|a→−b→|22，进而变形可得答案．
【解答】解：根据题意，|a→+b→|+|a→−b→|≤2×|a→+b→|2+|a→−b→|22=2×|a→|2+|b→|2=25，
当且仅当|a→+b→|＝|a→−b→|，即a→⊥b→时等号成立，即|a→+b→|+|a→−b→|的最大值等于25；
故选：C．
二．填空题（共11小题）
9．已知单位向量a→与b→的夹角为π4，则|a→+2b→|= 5 ．
【分析】根据公式|a→|=a→2，代入计算即可．
【解答】解：|a→+2b→|=(a→+2b→)2=a→2+22a→⋅b→+2b→2=1+22×22+2=5．
故填：5．
10．已知单位向量a→，b→满足|a→+b→|＝|a→−2b→|，则a→与b→的夹角为 π3 ．
【分析】根据条件对|a→+b→|=|a→−2b→|两边平方，进行数量积的运算即可得出a→⋅b→的值，进而可求出cs＜a→，b→＞的值，从而可得出a→，b→的夹角．
【解答】解：∵|a→|=|b→|=1，|a→+b→|=|a→−2b→|，
∴1+1+2a→⋅b→=1+4−4a→⋅b→，解得a→⋅b→=12，
∴cs＜a→，b→＞=a→⋅b→|a→||b→|=12，且＜a→，b→＞∈[0，π]，
∴＜a→，b→＞=π3．
11．已知a→，b→为单位向量，且a→⊥（a→+2b→），则向量a→与b→的夹角为 2π3 ．
【分析】设向量a→与b→的夹角为θ，可得a→⋅b→=csθ，再根据a→⊥（a→+2b→），得1+2csθ＝0，最后结合θ∈[0，π]，可得a→与b→的夹角的大小．
【解答】解：设向量a→与b→的夹角为θ，
∴a→⋅b→=|a→|•|b→|csθ＝1×1×csθ＝csθ，
∵a→⊥（a→+2b→），
∴a→•（a→+2b→）=a→2+2a→⋅b→=0，得1+2csθ＝0，
可得：csθ=−12，
∵θ∈[0，π]，
∴θ=2π3．
故答案为：2π3．
12．已知非零向量a→=（t，0），b→=（﹣1，3），若a→⋅b→=−4，则a→+2b→与b→的夹角为 π3 ．
【分析】根据条件容易求出t＝4，从而得出a→=(4，0)，从而得出a→+2b→=(2，23)，可设a→+2b→与b→的夹角为θ，这样根据csθ=(a→+2b→)⋅b→|a→+2b→||b→|即可求出csθ，进而得出θ的值．
【解答】解：a→⋅b→=−t=−4；
∴t＝4；
∴a→=(4，0)，b→=(−1，3)；
∴a→+2b→=(2，23)；
设a→+2b→与b→的夹角为θ，则：csθ=(a→+2b→)⋅b→|a→+2b→||b→|=−2+64×2=12；
∴θ=π3．
故答案为：π3．
13．已知向量a→=（1，3），b→=（2，0），则|a→−2b→|＝ 23 ．
【分析】可求出向量a→−2b→的坐标，进而可求出|a→−2b→|的值．
【解答】解：∵a→−2b→=(−3，3)，
∴|a→−2b→|=12=23．
故答案为：23．
14．已知|a→|＝2，|b→|＝1，a→+b→=（2，−3），则|a→+2b→|＝ 23 ．
【分析】直接利用平面向量的数量积和向量的模的运算的应用求出结果．
【解答】解：∵a→+b→=(2，−3)，所以|a→+b→|=7，
故|a→+b→|2=7，
由于|a→|＝2，|b→|＝1，
|a→|2+2a→⋅b→+|b→|2=7，整理得a→⋅b→=1．
∴|a+2b|=a2+4a⋅b+4b2=23，
故答案为23．
15．已知向量a→，b→满足|a→|＝3，b→=（1，2），a→•b→=2，则|2a→−b→|＝ 33 ．
【分析】把所求平方，再把已知条件代入即可求解．
【解答】解：因为|a→|＝3，b→=（1，2），a→•b→=2，
∴|b→|=5；
∴|2a→−b→|2＝4a→2−4a→•b→+b→2＝4×32﹣4×2+5＝33．
∴|2a→−b→|=33．
故答案为：33．
16．已知向量a→，b→满足|a→|＝1，|b→|＝2，向量a→与b→的夹角为60°，则|2a→−3b→|＝ 27 ．
【分析】根据条件可求出a→⋅b→=1，然后根据|2a→−3b→|=(2a→−3b→)2进行数量积的运算即可求出|2a→−3b→|的值．
【解答】解：∵|a→|=1，|b→|=2，＜a→，b→＞=60°，
∴a→⋅b→=1×2×12=1，
∴|2a→−3b→|=(2a→−3b→)2=4a→2+9b→2−12a→⋅b→=4+36−12=27．
故答案为：27．
17．设a→，b→为单位向量，且|a→+b→|=3，则|a→−b→|＝ 1 ．
【分析】根据条件对|a→+b→|=3两边平方即可求出2a→⋅b→=1，然后根据|a→−b→|=(a→−b→)2即可求出答案．
【解答】解：∵|a→|=|b→|=1，|a→+b→|=3，
∴(a→+b→)2=1+1+2a→⋅b→=3，
∴2a→⋅b→=1，
∴|a→−b→|=(a→−b→)2=1+1−1=1．
故答案为：1．
18．已知向量a→=（1，3），b→=（﹣1，0），则|a→+3b→|＝ 7 ．
【分析】根据平面向量的坐标运算与数量积运算，计算模长即可．
【解答】解：向量a→=(1，3)，b→=(−1，0)，
则a→+3b→=（﹣2，3），
所以(a→+3b→)2=4+3＝7，
所以|a→+3b→|=7．
故答案为：7．
19．已知非零向量a→，b→夹角为π3，|b→|=2，对任意x∈R，有|b→+xa→|≥|a→−b→|，则|a→−b→|= 3 ．
【分析】将式子平方后整理得到a→2=a→⋅b→，进而得到|a→|=1，代入计算即可．
【解答】解：将|b→+xa→|≥|a→−b→|两边平方，
可得a→2x2+2a→⋅b→x−(a→2−2a→⋅b→)≥0对任意x成立．
则△=4(a→⋅b→)2+4a→2⋅(a→2−2a→⋅b→)≤0，化简可得（a→2−a→⋅b→）2≤0，
所以(a→2−a→⋅b→)2=0，则a→2=a→⋅b→．
因为非零向量a→，b→夹角为π3，|b→|=2，
所以a→2=a→⋅b→=|a→|⋅|b→|⋅csπ3=|a→|⋅1，所以|a→|=1，
所以|a→−b→|=(a→−b→)2=a→2+b→2−2a→⋅b→=1+4−2=3．
故答案为：3．
三．解答题（共8小题）
20．若平面向量a→，b→满足|a→|=2，|b→|＝2，（a→−b→）⊥a→．
（Ⅰ）求a→与b→的夹角；
（Ⅱ）求|2a→+b→|．
【分析】（Ⅰ）设a→与b→的夹角为θ，由向量垂直与数量积的关系分析可得a→•a→=a→•b→，由向量a→，b→的模将其变形可得csθ=22，结合θ的范围分析可得答案；
（Ⅱ）由数量积的计算公式可得|2a→+b→|2＝（2a→+b→）2＝4a→2+b→2+4a→•b→，计算即可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，设a→与b→的夹角为θ，
若（a→−b→）⊥a→，则有a→•a→=a→•b→，
又由|a→|=2，|b→|＝2，
即有2＝22csθ，
解可得csθ=22，
又由0≤θ≤π，则θ=π4；
（Ⅱ）|2a→+b→|2＝（2a→+b→）2＝4a→2+b→2+4a→•b→=20，
则|2a→+b→|＝25．
21．如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为3米（将眼睛距地面的距离按3米处理）
（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；
（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．
【分析】（1）摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，则有∠CSB＝30°，∠ASB＝60°．SA=3，在Rt△SAB中，由三角函数的定义可求AB；再由SC＝3，∠CSO＝30°，在Rt△SCO中由三角函数的定义可求OC，进而可求OB
（2）以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（csθ，sinθ），θ∈[0，2π），则N（﹣csθ，﹣sinθ），由（Ⅰ）知S（3，−3），利用向量的数量积的坐标表示可求cs∠MSN=SM→⋅SN→|SM→|⋅|SN→|∈[1113，1]，结合余弦函数的性质可求答案．
【解答】解：（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，
依题意∠CSB＝30°，∠ASB＝60°．
又SA=3，故在Rt△SAB中，可求得BA=SAtan30°=3，
即摄影者到立柱的水平距离为3米．…（3分）
由SC＝3，∠CSO＝30°，在Rt△SCO中OC＝SC•tan30°=3，
又BC＝SA=3，故OB＝23，即立柱的高度为23米．…（6分）
（2）如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐
标系．设M（csθ，sinθ），θ∈[0，2π），
则N（﹣csθ，﹣sinθ），由（Ⅰ）知S（3，−3）．…（8分）
故SM→=（csθ﹣3，sinθ+3），SN→=（﹣csθ﹣3，﹣sinθ+3），
∴SM→•SN→=（csθ﹣3）（﹣csθ﹣3）+（sinθ−3）（﹣sinθ−3）＝11（10分）
|SM→|•|SN→|=(csθ−3)2+(sinθ+3)2×(−csθ−3)2+(−sinθ+3)2=13−(6csθ−23sinθ)×13+(6csθ−23sinθ)=169−[43cs(θ+π6)]2=169−48cs2(θ+π6)
由θ∈[0，2π）知|SM→|•|SN→|∈[11，13]…（12分）
所以cs∠MSN=SM→⋅SN→|SM→|⋅|SN→|∈[1113，1]，
∴∠MSN＜60°恒成立
故在彩杆转动的任意时刻，摄影者都可以将彩杆全部摄入画面
22．已知|a→|＝4，|b→|＝8，a→与b→的夹角是120°．
（1）计算|a→+b→|，|4a→−2b→|；
（2）当k为何值时，（a→+2b→）⊥（ka→−b→）？
【分析】（1）运用向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到；
（2）运用向量垂直的条件：数量积为0，解方程即可得到k．
【解答】解：（1）|a→|＝4，|b→|＝8，a→与b→的夹角是120°，
则a→⋅b→=4×8×cs120°＝﹣16，
即有|a→+b→|=(a→+b→)2=a→2+b→2+2a→⋅b→=16+64−32=43，
|4a→−2b→|=(4a→−2b→)2=16a→2−16a→⋅b→+4b→2
=16×16+16×16+4×64=163；
（2）由（a→+2b→）⊥（ka→−b→）
可得（a→+2b→）•（ka→−b→）＝0，
即ka→2+（2k﹣1）a→⋅b→−2b→2=0，
即16k﹣16（2k﹣1）﹣128＝0，
解得k＝﹣7．
则当k为﹣7时，（a→+2b→）⊥（ka→−b→）．
23．已知向量a＝（sinx，cs），b＝（csx，sinx﹣2csx），0＜x＜π2．
（Ⅰ）若a∥b，求x；
（Ⅱ）设f（x）＝a•b，函数f（x）经过怎样的平移才能使所得的图象对应的函数成为奇函数？
【分析】（1）根据两个向量平行，应用向量平行的充要条件得到关于变量x的等式，整理等式，根据变量的范围得到要求的角，本题的关键是角的范围的分析．
（2）写出根据所给的用向量表示的解析式，用三角函数恒等变形，得到最简形式，根据题目的平移变化，得到能使他为奇函数的且变化最小的一种结果．
【解答】解：（I）若a→∥b→，
则sinx（sinx﹣2csx）＝csx2
即﹣sin2x＝cs2x
∴tan2x＝﹣1
∵0＜x＜π2，
∴0＜2x＜π，
∴2x=3π4，
x=3π8
（II）f（x）=a→⋅b→=2sinxcsx﹣2cs2x
＝sin2x﹣cs2x﹣1
=2sin（2x−π4）﹣1
将函数f（x）的图象向上平移1个单位，再向左平移π8个单位，
即得函数g（x）=2sin2x的图象，而g（x）为奇函数．
24．已知向量a→=(2，1)，b→=(3，−1)．
（1）求a→与b→的夹角；
（2）求|2a→+b→|；
（3）若(ka→−b→)⊥b→，求实数k的值．
【分析】（1）可求出a→⋅b→=5，|a→|=5，|b→|=10，然后设a→与b→的夹角为θ，然后即可求出csθ的值，进而可得出θ的值；
（2）根据|2a→+b→|=(2a→+b→)2进行向量数量积的运算即可求出|2a→+b→|的值；
（3）可求出ka→−b→=(2k−3，k+1)，然后根据(ka→−b→)⊥b→即可求出k的值．
【解答】解：（1）∵a→=(2，1)，b→=(3，−1)，
∴a→⋅b→=2×3+1×(−1)=5，|a→|=22+1=5，|b→|=32+(−1)2=10，
设向量a→与b→的夹角为θ，则csθ=a→⋅b→|a→||b→|=55×10=22，
又由θ∈[0，π]，θ=π4，即向量a→与b→的夹角为π4；
（2）|2a→+b→|=(2a→+b→)2=4a→2+b→2+4a→⋅b→=20+10+20=52；
（3）ka→−b→=(2k−3，k+1)，且(ka→−b→)⊥b→，
∴3×（2k﹣3）﹣（k+1）＝0，解得：k＝2．
25．已知向量a→与b→的夹角为π3，且|a→|＝1，|b→|＝2．
（1）求|a→+b→|；
（2）求向量a→+b→与向量a→的夹角的余弦值．
【分析】（1）由已知利用平面向量数级的运算可求 a→⋅b→=1．进而根据向量模的运算可求|a→+b→|的值．
（2）根据条件由向量夹角的余弦公式即可求解．
【解答】解：（1）∵向量a→与b→的夹角为π3，且|a→|＝1，|b→|＝2，
∴a→⋅b→=|a→||b→|cs＜a→，b→＞=1×2×csπ3=1×2×12=1．
∴|a→+b→|=(a→+b→)2=a→2+b→2+2a→⋅b→=1+4+2=7．
（2）设向量a→+b→与向量a→的夹角θ，
∴csθ=(a→+b→)⋅a→|a→+b→|⋅|a→|=a→2+a→⋅b→|a→+b→|⋅|a→|=|a→|2+a→⋅b→|a→+b→|⋅|a→|=1+17×1=277．
26．已知向量a→=(1，1），b→=(−3，4）．
（1）求|a→−b→|的值；
（2）求向量a→与a→−b→夹角的余弦值．
【分析】（1）可以求出a→−b→=(4，−3)，从而可得出|a→−b→|的值；
（2）根据向量夹角的余弦公式即可求出a→与a→−b→的夹角的余弦值．
【解答】解：（1）∵a→−b→=(4，−3)，
∴|a→−b→|=5；
（2）cs＜a→，a→−b→＞=a→⋅(a→−b→)|a→||a→−b→|=12×5=210．
27．已知平面向量a→=(2，4)，b→=(3，5)，c→=(−2，6)．
（Ⅰ）若a→=xb→+yc→，求x+y的值；
（Ⅱ）若a→+kc→在a→−b→上的投影是2，求实数k．
【分析】（Ⅰ）直接根据向量相等对应坐标相同即可求解；
（Ⅱ）先分别求出a→+kc→与a→−b→的坐标；再结合投影定义即可求解
【解答】解：（Ⅰ）因为a→=(2，4)，b→=(3，5)，c→=(−2，6)，
所以xb→+yc→=(3x−2y，5x+6y)，
又a→=xb→+yc→，
所以3x−2y=25x+6y=4，
解得x=57y=114，
所以x+y=1114
（Ⅱ）由题意知a→−b→=(−1，−1)，a→+kc→=(2−2k，4+6k)，
所以|a→−b→|=2，(a→+kc→)⋅(a→−b→)=−(2−2k)−(4+6k)=−4k−6，
因为a→+kc→在a→−b→上的投影是2，
所以2=(a→+kc→)⋅(a→−b→)|a→−b→|=−4k−62，
解得k＝﹣2
1．若向量a→，b→，c→的模均为1，且a→⋅b→=0，则|3a→+4b→−2c→|的最大值为（ ）
A．5+25B．3C．5D．7
2．已知向量a→，b→满足|a→|=2，|b→|=1，其夹角为120°，若对任意向量m→，总有(m→−a→)⋅(m→−b→)=0，则|m→|的最大值与最小值之差为（ ）
A．1B．3C．5D．7
3．已知向量a→，b→满足|a→|＝1，|b→|＝2，且a→与b→的夹角为60°，则|a→+b→|＝（ ）
A．7B．3C．5D．22
4．已知平面向量a→，b→满足a→•（a→+b→）＝3，且|a→|＝2，|b→|＝1，则向量a→与b→的夹角为（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
5．已知向量a→=（2，5），b→=（1，2），则|a→−b→|＝（ ）
A．22B．3C．10D．23
6．已知向量a→，b→满足|a→|=2，|b→|=4，a→⋅b→=5，则向量a→与a→−b→的夹角的余弦值为（ ）
A．−1020B．1020C．−33020D．33020
7．设向量a→，b→满足a→+b→=（1，3），a→•b→=1，则|a→−b→|＝（ ）
A．2B．6C．22D．10
8．已知|a→|＝1，|b→|＝2，则|a→+b→|+|a→−b→|的最大值等于（ ）
A．4B．3+7C．25D．5
二．填空题（共11小题）
9．已知单位向量a→与b→的夹角为π4，则|a→+2b→|= ．
10．已知单位向量a→，b→满足|a→+b→|＝|a→−2b→|，则a→与b→的夹角为 ．
11．已知a→，b→为单位向量，且a→⊥（a→+2b→），则向量a→与b→的夹角为 ．
12．已知非零向量a→=（t，0），b→=（﹣1，3），若a→⋅b→=−4，则a→+2b→与b→的夹角为 ．
13．已知向量a→=（1，3），b→=（2，0），则|a→−2b→|＝ ．
14．已知|a→|＝2，|b→|＝1，a→+b→=（2，−3），则|a→+2b→|＝ ．
15．已知向量a→，b→满足|a→|＝3，b→=（1，2），a→•b→=2，则|2a→−b→|＝ ．
16．已知向量a→，b→满足|a→|＝1，|b→|＝2，向量a→与b→的夹角为60°，则|2a→−3b→|＝ ．
17．设a→，b→为单位向量，且|a→+b→|=3，则|a→−b→|＝ ．
18．已知向量a→=（1，3），b→=（﹣1，0），则|a→+3b→|＝ ．
19．已知非零向量a→，b→夹角为π3，|b→|=2，对任意x∈R，有|b→+xa→|≥|a→−b→|，则|a→−b→|= ．
三．解答题（共8小题）
20．若平面向量a→，b→满足|a→|=2，|b→|＝2，（a→−b→）⊥a→．
（Ⅰ）求a→与b→的夹角；
（Ⅱ）求|2a→+b→|．
21．如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为3米（将眼睛距地面的距离按3米处理）
（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；
（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．
22．已知|a→|＝4，|b→|＝8，a→与b→的夹角是120°．
（1）计算|a→+b→|，|4a→−2b→|；
（2）当k为何值时，（a→+2b→）⊥（ka→−b→）？
23．已知向量a＝（sinx，cs），b＝（csx，sinx﹣2csx），0＜x＜π2．
（Ⅰ）若a∥b，求x；
（Ⅱ）设f（x）＝a•b，函数f（x）经过怎样的平移才能使所得的图象对应的函数成为奇函数？
24．已知向量a→=(2，1)，b→=(3，−1)．
（1）求a→与b→的夹角；
（2）求|2a→+b→|；
（3）若(ka→−b→)⊥b→，求实数k的值．
25．已知向量a→与b→的夹角为π3，且|a→|＝1，|b→|＝2．
（1）求|a→+b→|；
（2）求向量a→+b→与向量a→的夹角的余弦值．
26．已知向量a→=(1，1），b→=(−3，4）．
（1）求|a→−b→|的值；
（2）求向量a→与a→−b→夹角的余弦值．
27．已知平面向量a→=(2，4)，b→=(3，5)，c→=(−2，6)．
（Ⅰ）若a→=xb→+yc→，求x+y的值；
（Ⅱ）若a→+kc→在a→−b→上的投影是2，求实数k．
人教版2022届一轮复习打地基练习 平面向量数量积的坐标表示、模及其夹角
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．若向量a→，b→，c→的模均为1，且a→⋅b→=0，则|3a→+4b→−2c→|的最大值为（ ）
A．5+25B．3C．5D．7
【分析】根据条件可设a→=(1，0)，b→=(0，1)，c→=(csθ，sinθ)，从而可得出|3a→+4b→−2c→|=29−20sin(θ+φ)，然后即可求出最大值．
【解答】解：∵a→⋅b→=0，∴a→⊥b→，且a→，b→，c→的模均为1，
∴设a→=(1，0)，b→=(0，1)，c→=(csθ，sinθ)，
∴3a→+4b→−2c→=(3−2csθ，4−2sinθ)，
∴|3a→+4b→−2c→|=(3−2csθ)2+(4−2sinθ)2=29−12csθ−16sinθ=29−20sin(θ+φ)，其中tanφ=34，
∴sin（θ+φ）＝﹣1时，|3a→+4b→−2c→|取得最大值7．
故选：D．
2．已知向量a→，b→满足|a→|=2，|b→|=1，其夹角为120°，若对任意向量m→，总有(m→−a→)⋅(m→−b→)=0，则|m→|的最大值与最小值之差为（ ）
A．1B．3C．5D．7
【分析】根据题意先设b→=（1，0），则a→=（﹣1，3），设m→=(x，y)，由(m→−a→)⋅(m→−b→)=0及向量的数量积的坐标表示整理出x，y的关系，结合圆的性质及几何意义可求
【解答】解：由题意不妨设b→=（1，0），则a→=（﹣1，3），设m→=(x，y)
∵(m→−a→)⋅(m→−b→)=0
∴（x+1，y−3）•（x﹣1，y）＝0
整理可得，x2+(y−32)2=74，
即为圆心C（0，32），半径为r=72，
连接圆心C和原点（0，0），即有最大值为d+r，最小值为r﹣d，（d＝|OC|）
则|m→|的最大值为72+32，最小值72−32，差为3
故选：B．
3．已知向量a→，b→满足|a→|＝1，|b→|＝2，且a→与b→的夹角为60°，则|a→+b→|＝（ ）
A．7B．3C．5D．22
【分析】根据条件进行数量积的运算即可求出(a→+b→)2的值，进而得出|a→+b→|的值．
【解答】解：∵|a→|=1，|b→|=2，＜a→，b→＞=60°，
∴(a→+b→)2=1+4+2×1×2×12=7，
∴|a→+b→|=7．
故选：A．
4．已知平面向量a→，b→满足a→•（a→+b→）＝3，且|a→|＝2，|b→|＝1，则向量a→与b→的夹角为（ ）
A．π6B．π3C．2π3D．5π6
【分析】根据向量数量积的性质，得到a→2=|a|→2＝4，代入已知等式得a→•b→=−1．设a→与b→的夹角为α，结合向量数量积的定义和|a|→=2，|b|→=1，算出csα=−12，最后根据两个向量夹角的范围，可得a→与b→夹角的大小．
【解答】解：∵|a|→=2，∴a→2=4
又∵a→•（a→+b→）＝3，
∴a→2+a→•b→=4+a→•b→=3，得a→•b→=−1，
设a→与b→的夹角为α，
则a→•b→=|a|→|b|→csα＝﹣1，即2×1×csα＝﹣1，得csα=−12
∵α∈[0，π]，
∴α=2π3
故选：C．
5．已知向量a→=（2，5），b→=（1，2），则|a→−b→|＝（ ）
A．22B．3C．10D．23
【分析】可求出向量a→−b→的坐标，进而可求出|a→−b→|的值．
【解答】解：∵a→−b→=(1，3)，
|a→−b→|=10．
故选：C．
6．已知向量a→，b→满足|a→|=2，|b→|=4，a→⋅b→=5，则向量a→与a→−b→的夹角的余弦值为（ ）
A．−1020B．1020C．−33020D．33020
【分析】根据条件可求出a→⋅(a→−b→)=−1，根据|a→−b→|=(a→−b→)2进行数量积的运算可求出|a→−b→|的值，然后即可求出a→与a→−b→夹角的余弦值．
【解答】解：∵|a→|=2，|b→|=4，a→⋅b→=5，
∴a→⋅(a→−b→)=a→2−a→⋅b→=4−5=−1，|a→−b→|=(a→−b→)2=a→2−2a→⋅b→+b→2=4−10+16=10，
∴cs＜a→，a→−b→＞=a→⋅(a→−b→)|a→||a→−b→|=−12×10=−1020．
故选：A．
7．设向量a→，b→满足a→+b→=（1，3），a→•b→=1，则|a→−b→|＝（ ）
A．2B．6C．22D．10
【分析】由已知利用平面向量的坐标运算可求a→2+b→2＝8，进而即可求解|a→−b→|=(a→−b→)2的值．
【解答】解：因为向量a→，b→满足a→+b→=（1，3），a→•b→=1，
所以（a→+b→）2＝|a→+b→|2=a→2+2a→•b→+b→2=a→2+2+b→2＝10，
可得a→2+b→2＝8，
所以|a→−b→|=(a→−b→)2=a→2−2a→⋅b→+b2→=8−2=6．
故选：B．
8．已知|a→|＝1，|b→|＝2，则|a→+b→|+|a→−b→|的最大值等于（ ）
A．4B．3+7C．25D．5
【分析】根据题意，由基本不等式的性质可得，|a→+b→|+|a→−b→|≤2×|a→+b→|2+|a→−b→|22，进而变形可得答案．
【解答】解：根据题意，|a→+b→|+|a→−b→|≤2×|a→+b→|2+|a→−b→|22=2×|a→|2+|b→|2=25，
当且仅当|a→+b→|＝|a→−b→|，即a→⊥b→时等号成立，即|a→+b→|+|a→−b→|的最大值等于25；
故选：C．
二．填空题（共11小题）
9．已知单位向量a→与b→的夹角为π4，则|a→+2b→|= 5 ．
【分析】根据公式|a→|=a→2，代入计算即可．
【解答】解：|a→+2b→|=(a→+2b→)2=a→2+22a→⋅b→+2b→2=1+22×22+2=5．
故填：5．
10．已知单位向量a→，b→满足|a→+b→|＝|a→−2b→|，则a→与b→的夹角为 π3 ．
【分析】根据条件对|a→+b→|=|a→−2b→|两边平方，进行数量积的运算即可得出a→⋅b→的值，进而可求出cs＜a→，b→＞的值，从而可得出a→，b→的夹角．
【解答】解：∵|a→|=|b→|=1，|a→+b→|=|a→−2b→|，
∴1+1+2a→⋅b→=1+4−4a→⋅b→，解得a→⋅b→=12，
∴cs＜a→，b→＞=a→⋅b→|a→||b→|=12，且＜a→，b→＞∈[0，π]，
∴＜a→，b→＞=π3．
11．已知a→，b→为单位向量，且a→⊥（a→+2b→），则向量a→与b→的夹角为 2π3 ．
【分析】设向量a→与b→的夹角为θ，可得a→⋅b→=csθ，再根据a→⊥（a→+2b→），得1+2csθ＝0，最后结合θ∈[0，π]，可得a→与b→的夹角的大小．
【解答】解：设向量a→与b→的夹角为θ，
∴a→⋅b→=|a→|•|b→|csθ＝1×1×csθ＝csθ，
∵a→⊥（a→+2b→），
∴a→•（a→+2b→）=a→2+2a→⋅b→=0，得1+2csθ＝0，
可得：csθ=−12，
∵θ∈[0，π]，
∴θ=2π3．
故答案为：2π3．
12．已知非零向量a→=（t，0），b→=（﹣1，3），若a→⋅b→=−4，则a→+2b→与b→的夹角为 π3 ．
【分析】根据条件容易求出t＝4，从而得出a→=(4，0)，从而得出a→+2b→=(2，23)，可设a→+2b→与b→的夹角为θ，这样根据csθ=(a→+2b→)⋅b→|a→+2b→||b→|即可求出csθ，进而得出θ的值．
【解答】解：a→⋅b→=−t=−4；
∴t＝4；
∴a→=(4，0)，b→=(−1，3)；
∴a→+2b→=(2，23)；
设a→+2b→与b→的夹角为θ，则：csθ=(a→+2b→)⋅b→|a→+2b→||b→|=−2+64×2=12；
∴θ=π3．
故答案为：π3．
13．已知向量a→=（1，3），b→=（2，0），则|a→−2b→|＝ 23 ．
【分析】可求出向量a→−2b→的坐标，进而可求出|a→−2b→|的值．
【解答】解：∵a→−2b→=(−3，3)，
∴|a→−2b→|=12=23．
故答案为：23．
14．已知|a→|＝2，|b→|＝1，a→+b→=（2，−3），则|a→+2b→|＝ 23 ．
【分析】直接利用平面向量的数量积和向量的模的运算的应用求出结果．
【解答】解：∵a→+b→=(2，−3)，所以|a→+b→|=7，
故|a→+b→|2=7，
由于|a→|＝2，|b→|＝1，
|a→|2+2a→⋅b→+|b→|2=7，整理得a→⋅b→=1．
∴|a+2b|=a2+4a⋅b+4b2=23，
故答案为23．
15．已知向量a→，b→满足|a→|＝3，b→=（1，2），a→•b→=2，则|2a→−b→|＝ 33 ．
【分析】把所求平方，再把已知条件代入即可求解．
【解答】解：因为|a→|＝3，b→=（1，2），a→•b→=2，
∴|b→|=5；
∴|2a→−b→|2＝4a→2−4a→•b→+b→2＝4×32﹣4×2+5＝33．
∴|2a→−b→|=33．
故答案为：33．
16．已知向量a→，b→满足|a→|＝1，|b→|＝2，向量a→与b→的夹角为60°，则|2a→−3b→|＝ 27 ．
【分析】根据条件可求出a→⋅b→=1，然后根据|2a→−3b→|=(2a→−3b→)2进行数量积的运算即可求出|2a→−3b→|的值．
【解答】解：∵|a→|=1，|b→|=2，＜a→，b→＞=60°，
∴a→⋅b→=1×2×12=1，
∴|2a→−3b→|=(2a→−3b→)2=4a→2+9b→2−12a→⋅b→=4+36−12=27．
故答案为：27．
17．设a→，b→为单位向量，且|a→+b→|=3，则|a→−b→|＝ 1 ．
【分析】根据条件对|a→+b→|=3两边平方即可求出2a→⋅b→=1，然后根据|a→−b→|=(a→−b→)2即可求出答案．
【解答】解：∵|a→|=|b→|=1，|a→+b→|=3，
∴(a→+b→)2=1+1+2a→⋅b→=3，
∴2a→⋅b→=1，
∴|a→−b→|=(a→−b→)2=1+1−1=1．
故答案为：1．
18．已知向量a→=（1，3），b→=（﹣1，0），则|a→+3b→|＝ 7 ．
【分析】根据平面向量的坐标运算与数量积运算，计算模长即可．
【解答】解：向量a→=(1，3)，b→=(−1，0)，
则a→+3b→=（﹣2，3），
所以(a→+3b→)2=4+3＝7，
所以|a→+3b→|=7．
故答案为：7．
19．已知非零向量a→，b→夹角为π3，|b→|=2，对任意x∈R，有|b→+xa→|≥|a→−b→|，则|a→−b→|= 3 ．
【分析】将式子平方后整理得到a→2=a→⋅b→，进而得到|a→|=1，代入计算即可．
【解答】解：将|b→+xa→|≥|a→−b→|两边平方，
可得a→2x2+2a→⋅b→x−(a→2−2a→⋅b→)≥0对任意x成立．
则△=4(a→⋅b→)2+4a→2⋅(a→2−2a→⋅b→)≤0，化简可得（a→2−a→⋅b→）2≤0，
所以(a→2−a→⋅b→)2=0，则a→2=a→⋅b→．
因为非零向量a→，b→夹角为π3，|b→|=2，
所以a→2=a→⋅b→=|a→|⋅|b→|⋅csπ3=|a→|⋅1，所以|a→|=1，
所以|a→−b→|=(a→−b→)2=a→2+b→2−2a→⋅b→=1+4−2=3．
故答案为：3．
三．解答题（共8小题）
20．若平面向量a→，b→满足|a→|=2，|b→|＝2，（a→−b→）⊥a→．
（Ⅰ）求a→与b→的夹角；
（Ⅱ）求|2a→+b→|．
【分析】（Ⅰ）设a→与b→的夹角为θ，由向量垂直与数量积的关系分析可得a→•a→=a→•b→，由向量a→，b→的模将其变形可得csθ=22，结合θ的范围分析可得答案；
（Ⅱ）由数量积的计算公式可得|2a→+b→|2＝（2a→+b→）2＝4a→2+b→2+4a→•b→，计算即可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，设a→与b→的夹角为θ，
若（a→−b→）⊥a→，则有a→•a→=a→•b→，
又由|a→|=2，|b→|＝2，
即有2＝22csθ，
解可得csθ=22，
又由0≤θ≤π，则θ=π4；
（Ⅱ）|2a→+b→|2＝（2a→+b→）2＝4a→2+b→2+4a→•b→=20，
则|2a→+b→|＝25．
21．如图，2012年春节，摄影爱好者S在某公园A处，发现正前方B处有一立柱，测得立柱顶端O的仰角和立柱底部B的俯角均为30°，已知S的身高约为3米（将眼睛距地面的距离按3米处理）
（1）求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度；
（2）立柱的顶端有一长2米的彩杆MN绕中点O在S与立柱所在的平面内旋转．摄影者有一视角范围为60°的镜头，在彩杆转动的任意时刻，摄影者是否都可以将彩杆全部摄入画面？说明理由．
【分析】（1）摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，则有∠CSB＝30°，∠ASB＝60°．SA=3，在Rt△SAB中，由三角函数的定义可求AB；再由SC＝3，∠CSO＝30°，在Rt△SCO中由三角函数的定义可求OC，进而可求OB
（2）以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐标系．设M（csθ，sinθ），θ∈[0，2π），则N（﹣csθ，﹣sinθ），由（Ⅰ）知S（3，−3），利用向量的数量积的坐标表示可求cs∠MSN=SM→⋅SN→|SM→|⋅|SN→|∈[1113，1]，结合余弦函数的性质可求答案．
【解答】解：（1）如图，不妨将摄影者眼部记为点S，作SC⊥OB于C，
依题意∠CSB＝30°，∠ASB＝60°．
又SA=3，故在Rt△SAB中，可求得BA=SAtan30°=3，
即摄影者到立柱的水平距离为3米．…（3分）
由SC＝3，∠CSO＝30°，在Rt△SCO中OC＝SC•tan30°=3，
又BC＝SA=3，故OB＝23，即立柱的高度为23米．…（6分）
（2）如图，以O为原点，以水平方向向右为x轴正方向建立平面直角坐
标系．设M（csθ，sinθ），θ∈[0，2π），
则N（﹣csθ，﹣sinθ），由（Ⅰ）知S（3，−3）．…（8分）
故SM→=（csθ﹣3，sinθ+3），SN→=（﹣csθ﹣3，﹣sinθ+3），
∴SM→•SN→=（csθ﹣3）（﹣csθ﹣3）+（sinθ−3）（﹣sinθ−3）＝11（10分）
|SM→|•|SN→|=(csθ−3)2+(sinθ+3)2×(−csθ−3)2+(−sinθ+3)2=13−(6csθ−23sinθ)×13+(6csθ−23sinθ)=169−[43cs(θ+π6)]2=169−48cs2(θ+π6)
由θ∈[0，2π）知|SM→|•|SN→|∈[11，13]…（12分）
所以cs∠MSN=SM→⋅SN→|SM→|⋅|SN→|∈[1113，1]，
∴∠MSN＜60°恒成立
故在彩杆转动的任意时刻，摄影者都可以将彩杆全部摄入画面
22．已知|a→|＝4，|b→|＝8，a→与b→的夹角是120°．
（1）计算|a→+b→|，|4a→−2b→|；
（2）当k为何值时，（a→+2b→）⊥（ka→−b→）？
【分析】（1）运用向量的数量积的定义和性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到；
（2）运用向量垂直的条件：数量积为0，解方程即可得到k．
【解答】解：（1）|a→|＝4，|b→|＝8，a→与b→的夹角是120°，
则a→⋅b→=4×8×cs120°＝﹣16，
即有|a→+b→|=(a→+b→)2=a→2+b→2+2a→⋅b→=16+64−32=43，
|4a→−2b→|=(4a→−2b→)2=16a→2−16a→⋅b→+4b→2
=16×16+16×16+4×64=163；
（2）由（a→+2b→）⊥（ka→−b→）
可得（a→+2b→）•（ka→−b→）＝0，
即ka→2+（2k﹣1）a→⋅b→−2b→2=0，
即16k﹣16（2k﹣1）﹣128＝0，
解得k＝﹣7．
则当k为﹣7时，（a→+2b→）⊥（ka→−b→）．
23．已知向量a＝（sinx，cs），b＝（csx，sinx﹣2csx），0＜x＜π2．
（Ⅰ）若a∥b，求x；
（Ⅱ）设f（x）＝a•b，函数f（x）经过怎样的平移才能使所得的图象对应的函数成为奇函数？
【分析】（1）根据两个向量平行，应用向量平行的充要条件得到关于变量x的等式，整理等式，根据变量的范围得到要求的角，本题的关键是角的范围的分析．
（2）写出根据所给的用向量表示的解析式，用三角函数恒等变形，得到最简形式，根据题目的平移变化，得到能使他为奇函数的且变化最小的一种结果．
【解答】解：（I）若a→∥b→，
则sinx（sinx﹣2csx）＝csx2
即﹣sin2x＝cs2x
∴tan2x＝﹣1
∵0＜x＜π2，
∴0＜2x＜π，
∴2x=3π4，
x=3π8
（II）f（x）=a→⋅b→=2sinxcsx﹣2cs2x
＝sin2x﹣cs2x﹣1
=2sin（2x−π4）﹣1
将函数f（x）的图象向上平移1个单位，再向左平移π8个单位，
即得函数g（x）=2sin2x的图象，而g（x）为奇函数．
24．已知向量a→=(2，1)，b→=(3，−1)．
（1）求a→与b→的夹角；
（2）求|2a→+b→|；
（3）若(ka→−b→)⊥b→，求实数k的值．
【分析】（1）可求出a→⋅b→=5，|a→|=5，|b→|=10，然后设a→与b→的夹角为θ，然后即可求出csθ的值，进而可得出θ的值；
（2）根据|2a→+b→|=(2a→+b→)2进行向量数量积的运算即可求出|2a→+b→|的值；
（3）可求出ka→−b→=(2k−3，k+1)，然后根据(ka→−b→)⊥b→即可求出k的值．
【解答】解：（1）∵a→=(2，1)，b→=(3，−1)，
∴a→⋅b→=2×3+1×(−1)=5，|a→|=22+1=5，|b→|=32+(−1)2=10，
设向量a→与b→的夹角为θ，则csθ=a→⋅b→|a→||b→|=55×10=22，
又由θ∈[0，π]，θ=π4，即向量a→与b→的夹角为π4；
（2）|2a→+b→|=(2a→+b→)2=4a→2+b→2+4a→⋅b→=20+10+20=52；
（3）ka→−b→=(2k−3，k+1)，且(ka→−b→)⊥b→，
∴3×（2k﹣3）﹣（k+1）＝0，解得：k＝2．
25．已知向量a→与b→的夹角为π3，且|a→|＝1，|b→|＝2．
（1）求|a→+b→|；
（2）求向量a→+b→与向量a→的夹角的余弦值．
【分析】（1）由已知利用平面向量数级的运算可求 a→⋅b→=1．进而根据向量模的运算可求|a→+b→|的值．
（2）根据条件由向量夹角的余弦公式即可求解．
【解答】解：（1）∵向量a→与b→的夹角为π3，且|a→|＝1，|b→|＝2，
∴a→⋅b→=|a→||b→|cs＜a→，b→＞=1×2×csπ3=1×2×12=1．
∴|a→+b→|=(a→+b→)2=a→2+b→2+2a→⋅b→=1+4+2=7．
（2）设向量a→+b→与向量a→的夹角θ，
∴csθ=(a→+b→)⋅a→|a→+b→|⋅|a→|=a→2+a→⋅b→|a→+b→|⋅|a→|=|a→|2+a→⋅b→|a→+b→|⋅|a→|=1+17×1=277．
26．已知向量a→=(1，1），b→=(−3，4）．
（1）求|a→−b→|的值；
（2）求向量a→与a→−b→夹角的余弦值．
【分析】（1）可以求出a→−b→=(4，−3)，从而可得出|a→−b→|的值；
（2）根据向量夹角的余弦公式即可求出a→与a→−b→的夹角的余弦值．
【解答】解：（1）∵a→−b→=(4，−3)，
∴|a→−b→|=5；
（2）cs＜a→，a→−b→＞=a→⋅(a→−b→)|a→||a→−b→|=12×5=210．
27．已知平面向量a→=(2，4)，b→=(3，5)，c→=(−2，6)．
（Ⅰ）若a→=xb→+yc→，求x+y的值；
（Ⅱ）若a→+kc→在a→−b→上的投影是2，求实数k．
【分析】（Ⅰ）直接根据向量相等对应坐标相同即可求解；
（Ⅱ）先分别求出a→+kc→与a→−b→的坐标；再结合投影定义即可求解
【解答】解：（Ⅰ）因为a→=(2，4)，b→=(3，5)，c→=(−2，6)，
所以xb→+yc→=(3x−2y，5x+6y)，
又a→=xb→+yc→，
所以3x−2y=25x+6y=4，
解得x=57y=114，
所以x+y=1114
（Ⅱ）由题意知a→−b→=(−1，−1)，a→+kc→=(2−2k，4+6k)，
所以|a→−b→|=2，(a→+kc→)⋅(a→−b→)=−(2−2k)−(4+6k)=−4k−6，
因为a→+kc→在a→−b→上的投影是2，
所以2=(a→+kc→)⋅(a→−b→)|a→−b→|=−4k−62，
解得k＝﹣2
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