人教版2022届一轮复习打地基练习 正弦函数的单调性

这是一份人教版2022届一轮复习打地基练习 正弦函数的单调性，共24页。试卷主要包含了已知函数f，设f=3sin+1，若f等内容，欢迎下载使用。

人教版2022届一轮复习打地基练习 正弦函数的单调性
一．选择题（共12小题）
1．若函数y＝sinx和y＝cosx在区间D上都是增函数，则区间D可以是（　　）
A．(0，π2) B．(π2，π) C．(π，3π2) D．(3π2，2π)
2．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）满足f（π4−x）＝﹣f（π4+x），f（−π2−x）＝f（x），且在（0，π8）上是单调函数，则ω的值可能是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．设f(x)=3sin(ωx−π12)+1，若f（x）在[−π3，π6]上为增函数，则ω的取值范围是（　　）
A．[512，72] B．[54，72] C．（0，74] D．（0，54]
4．已知函数f（x）＝sin2xcosφ+cos2xsinφ（x∈R），其中φ为实数，且f(x)≤f(2π9)对任意x∈R恒成立，记p=f(7π18)，q=f(5π6)，r=f(7π6)，则p，q，r的大小关系是（　　）
A．r＜p＜q B．q＜r＜p C．p＜q＜r D．q＜p＜r
5．若函数f(x)=2sin(ωx+π3)(ω＞0)在区间[−π4，π4]上单调递增，则ω的取值范围是（　　）
A．(0，103] B．(0，23] C．[23，103] D．[103，+∞)
6．若0＜x＜y＜π4，m＝sinx+cosx，n＝siny+cosy，则（　　）
A．m2＞n2 B．m2＜n2 C．mn＜1 D．mn＞2
7．已知函数f（x）＝cos（ωx−π6）（ω＞0）满足f（x+π）+f（x）＝0，则函数g（x）＝sin（π6−ωx）的单调递增区间为（　　）
A．[−π6+kπ，π3+kπ]，k∈Z B．[−π3+2kπ，2π3+2kπ]，k∈Z
C．[π3+kπ，5π6+kπ]，k∈Z D．[2π3+2kπ，5π3+2kπ]，k∈Z
8．已知函数y=cos(π2−3x)，则下列关于它的说法正确的是（　　）
A．图象关于y轴对称
B．图象的一个对称中心是(−2π3，0)
C．周期是−2π3
D．在(π6，π2)上是增函数．
9．若α，β为第二象限的角，且sinα＞sinβ则（　　）
A．α＞β B．cosα＞cosβ C．tanα＞tanβ D．cosα＜cosβ
10．设函数f(x)=sin(2x+2π3)，则下列结论中正确的是（　　）
A．y＝f（x）的图象关于点(π3，0)对称
B．y＝f（x）的图象关于直线x=π3对称
C．f（x）在[0，π3]上单调递减
D．f（x）在[−π6，0]上的最小值为0
11．已知ω＞0，函数f(x)=2sin(ωx+π6)在[π2，5π6]上单调递减，则实数ω的取值范围是（　　）
A．（0，1] B．[12，85] C．[23，56] D．[23，85]
12．函数y＝sinx−12π的单调递增区间是（　　）
A．[4kπ，（4k+1）π]（k∈Z） B．[4k，4k+2]（k∈Z）
C．[2kπ，（2k+2）π]（k∈Z） D．[2k，2k+2]（k∈Z）
二．填空题（共19小题）
13．函数f（x）＝3sin（﹣2x+π4）﹣2的最小正周期π，单调增区间为　 　，对称中心是　 　；对称轴为　 　．
14．函数y=sin(π6−x)的单调递减区间是 　 　．
15．函数y=sin(x+π6)的单调递增区间为　 　．
16．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2），x=−π3为f（x）的一个零点，x=π3为y＝f（x）图象的一条对称轴，且f（x）在（π2021，π6）内不单调，则ω的最小值为　 　．
17．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象关于直线x=π2对称且f（3π8）＝1，f（x）在区间[−3π8，−π4]上单调．则ω可取数值的个数为　 　．
18．已知奇函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2），函数f（x）图象的相邻两对称轴的距离为π2，则函数f（x）的单调递减区间为　 　．
19．函数f（x）＝sin（2x−π4）的最小正周期为　 　，单调递增区间为　 　．
20．对任意φ∈[0，π4]，函数f（x）＝sin（ωx+φ）在区间[π2，π]上单调递增，则实数ω的取值范围是　 　．
21．已知函数f(x)=sin(wx+φ)(w＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，
若f（x）在区间[π，a2]上单调递增，则实数a的最大值为　 　．

22．函数f(x)=2sin(2πx+π6)在区间[0，1]的单调增区间为　 　．
23．能使“函数f（x）＝sin（ωx+π3）在区间[π2，π]上单调递减”是真命题的一个正数ω的值为　 　．
24．设函数f(x)=2sin(3π2−x)cos(π+x)+sin2(π2−x)，则函数f（x）的单调递增区间为　 　．
25．已知函数f(x)=|sin(ωx+π4)|(ω＞1)在(π，54π)上单调递减，则实数ω的取值范围是　 　．
26．已知函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|＜π2)，若函数f（x）在[π2，5π6]上具有单调性，且f(π2)=−f(5π6)，则f(76π)=　 　．
27．当φ＝　 　时，函数f（x）＝2sin（2x+φ）在区间[π6，2π3]上单调．（写出一个值即可）．
28．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图像关于点M(π4，0)对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，则ω＝　 　，φ＝　 　．
29．已知函数f（x）＝sinxcosx﹣sin2x，x∈R．若函数f（x）在区间[a，π16]上递增，则实数a的取值范围为 　 　．
30．已知函数f（x）＝3sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π），f（4）＝f（2）﹣6，且f（x）在[2，4]上单调．设函数g（x）＝f（x）﹣1，且g（x）的定义域为[﹣5，8]，则函数g（x）的所有零点之和等于　 　．
31．若函数g(x)=sinωx+cos(ωx+π6)(ω＞0)的图象关于点（2π，0）对称，且在区间[−π3，π6]上是单调函数，则ω的值为　 　．
三．解答题（共4小题）
32．已知函数f（x）=3cosxcos(x−π2）+sin2（x−π6）−12．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若x∈[0，π4]，f（x）=36，求cos2x的值．
33．已知函数f(x)=a(2cos2x2+sinx)+b．
（1）当a＝1时，求f（x）的单调递增区间；
（2）当x∈[0，π]时，f（x）的值域为[3，4]，求a、b的值．
34．已知函数f（x）＝2cos2x﹣23sinxcosx．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）求方程f（x）=−13在区间[0，π2]内的所有实根之和．
35．已知函数f(x)=sin(x2+π4)．
（1）写出函数f（x）的单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间[−π6，2π3]上的值域．

人教版2022届一轮复习打地基练习 正弦函数的单调性
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．若函数y＝sinx和y＝cosx在区间D上都是增函数，则区间D可以是（　　）
A．(0，π2) B．(π2，π) C．(π，3π2) D．(3π2，2π)
【分析】由题意利用正弦函数、余弦函数的单调性，可得结论．
【解答】解：∵函数y＝sinx和y＝cosx在区间D上都是增函数，
则区间D为（2kπ+3π2，2kπ+2π），k∈Z，
故选：D．
2．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）满足f（π4−x）＝﹣f（π4+x），f（−π2−x）＝f（x），且在（0，π8）上是单调函数，则ω的值可能是（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据条件判断f（x）的图象关于点（π4，0）对称，同时关于x=−π4对称，结合函数的单调性分别进行讨论即可．
【解答】解：∵函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2）满足f（π4−x）＝﹣f（π4+x），
∴f（x）的图象关于点（π4，0）对称，
∵f（−π2−x）＝f（x），∴函数关于−π2−x+x2=−π4对称，
∵f（x）在（0，π8）上是单调函数，∴12•2πω≥π8，∴ω≤8．
若对称中心（π4，0）和对称轴x=−π4得距离d=π4−（−π4）=π2，
①若d=π2=T4，即T＝2π，即T=2πω=2π，则ω＝1，此时f（x）＝sin（x+φ），
x=−π4是对称轴，则−π4+φ＝kπ+π2，得φ＝kπ+3π4，∵|φ|＜π2，∴k＝﹣1时，φ=−π4，此时f（x）＝sin（x−π4），满足条件，
②若d=π2=3T4，即T=23π，即T=2πω=23π，则ω＝3此时f（x）＝sin（3x+φ），
x=−π4是对称轴，则−π4×3+φ＝kπ+π2，得φ＝kπ+5π4，∵|φ|＜π2，∴k＝﹣1时，φ=π4，此时f（x）＝sin（3x+π4），
当0＜x＜π8时，π4＜3x+π4＜5π8，此时函数不单调，不满足条件．
③若d=π2=5T4，即T=25π，即T=2πω=25π，则ω＝5此时f（x）＝sin（5x+φ），
x=−π4是对称轴，则−π4×5+φ＝kπ+π2，得φ＝kπ+7π4，∵|φ|＜π2，∴k＝﹣2时，φ=−π4，此时f（x）＝sin（5x−π4），
当0＜x＜π8时，−π4＜5x−π4＜3π8，此时函数单调递增，满足条件．
③若d=π2=74T，即T=27π，即T=2πω=27π，则ω＝7此时f（x）＝sin（7x+φ），
x=−π4是对称轴，则−π4×7+φ＝kπ+π2，得φ＝kπ−5π4，∵|φ|＜π2，∴k＝1时，φ=−π4，此时f（x）＝sin（7x−π4），
当0＜x＜π8时，−π4＜7x−π4＜5π8，此时函数不单调，不满足条件，
④若d=π2=94T，即T=29π，即T=2πω=29π，则ω＝9＞8不成立，
综上满足条件的ω＝1或ω＝5，
故选：C．
3．设f(x)=3sin(ωx−π12)+1，若f（x）在[−π3，π6]上为增函数，则ω的取值范围是（　　）
A．[512，72] B．[54，72] C．（0，74] D．（0，54]
【分析】由题意利用正弦函数的单调增区间，可得ωx−π12∈[−ωπ3−π12，ωπ6−π12]，故有−ωπ3−π12≥−π2ωπ6−π12≤π2，由此求得
ω的取值范围．
【解答】解：设f(x)=3sin(ωx−π12)+1，在[−π3，π6]上，ωx−π12∈[−ωπ3−π12，ωπ6−π12]，
由于f（x）为增函数，∴−ωπ3−π12≥−π2ωπ6−π12≤π2，即 ω≤54ω≤72，
求得 0＜ω≤54，
故选：D．
4．已知函数f（x）＝sin2xcosφ+cos2xsinφ（x∈R），其中φ为实数，且f(x)≤f(2π9)对任意x∈R恒成立，记p=f(7π18)，q=f(5π6)，r=f(7π6)，则p，q，r的大小关系是（　　）
A．r＜p＜q B．q＜r＜p C．p＜q＜r D．q＜p＜r
【分析】根据不等式恒成立，得到当x=2π9时，函数f（x）取得最大值，然后求出φ的值和函数f（x）的解析式，结合三角函数的单调性进行比较即可．
【解答】解：f（x）＝sin（2x+φ），
∵f(x)≤f(2π9)对任意x∈R恒成立，
∴当x=2π9时，函数f（x）取得最大值，
即2×2π9+φ＝2kπ+π2，即φ＝2kπ+π18，
则f（x）＝sin（2x+2kπ+π18）＝sin（2x+π18），
则p=f(7π18)=sin（2×7π18+π18）＝sin（15π18）＝sin（3π18），q=f(5π6)=sin（31π18）＝sin（2π−5π18）＝sin（−5π18），
r=f(7π6)=sin（43π18）＝sin（2π+7π18）＝sin（7π18），
∵y＝sinx在（−π2，π2）内为增函数，
∴sin（−5π18）＜sin（3π18）＜sin（7π18），
即q＜p＜r，
故选：D．
5．若函数f(x)=2sin(ωx+π3)(ω＞0)在区间[−π4，π4]上单调递增，则ω的取值范围是（　　）
A．(0，103] B．(0，23] C．[23，103] D．[103，+∞)
【分析】求出角ωx+π3的范围，结合正弦函数的单调性，建立不等式关系进行求解即可．
【解答】解：当−π4≤x≤π4，时，−π4ω≤ωx≤π4ω，π3−π4ω≤ωx+π3≤π4ω+π3，
要使f（x）在[−π4，π4]上单调递增，
则π3−π4ω≥−π2π4ω+π3≤π2，得ω≤103ω≤23，
又ω＞0，
∴0＜ω≤23．
故选：B．
6．若0＜x＜y＜π4，m＝sinx+cosx，n＝siny+cosy，则（　　）
A．m2＞n2 B．m2＜n2 C．mn＜1 D．mn＞2
【分析】将m，n平方，利用同角三角函数的关系可得m2＝1+sin2x，n2＝1+sin2y，结合x，y的范围及正弦函数在[0，π2]的单调性，即可得出结论．
【解答】解：m2＝（sinx+cosx）2＝1+sin2x，n2＝（siny+cosy）2＝1+sin2y，
∵0＜x＜y＜π4，
∴0＜2x＜2y＜π2，
∴0＜siin2x＜sin2y＜1，
∴m2＜n2．
故选：B．
7．已知函数f（x）＝cos（ωx−π6）（ω＞0）满足f（x+π）+f（x）＝0，则函数g（x）＝sin（π6−ωx）的单调递增区间为（　　）
A．[−π6+kπ，π3+kπ]，k∈Z B．[−π3+2kπ，2π3+2kπ]，k∈Z
C．[π3+kπ，5π6+kπ]，k∈Z D．[2π3+2kπ，5π3+2kπ]，k∈Z
【分析】求出函数的周期，然后求出ω，利用正弦函数的单调区间求解即可．
【解答】解：因为函数f（x）＝cos（ωx−π6）（ω＞0）满足f（x+π）＝﹣f（x），
所以最小正周期为2π，所以2πω=2π，解得ω＝1．
所以g（x）＝sin（π6−x）＝﹣sin（x−π6）．
由π2+2kπ≤x−π6≤3π2+2kπ，k∈Z，得2π3+2kπ≤x≤5π3+2kπ，k∈Z．
故选：D．
8．已知函数y=cos(π2−3x)，则下列关于它的说法正确的是（　　）
A．图象关于y轴对称
B．图象的一个对称中心是(−2π3，0)
C．周期是−2π3
D．在(π6，π2)上是增函数．
【分析】直接利用三角函数关系式的变换，把函数的关系式转换为正弦型函数，进一步利用函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：函数y=cos(π2−3x)，
＝sin3x．
则：①函数的图象关于原点对称，故选项A错误．
函数的最小正周期为T=2π3，
故选项C错误．
②当x=−2π3时f（−2π3）＝0，
故选项B正确．
③令：−π2+2kπ≤3x≤2kπ+π2（k∈Z），
整理得：−π6+23kπ≤x≤23kπ+π6，
所以函数在[π6，π2]上单调递减．
故选项D错误．
故选：B．
9．若α，β为第二象限的角，且sinα＞sinβ则（　　）
A．α＞β B．cosα＞cosβ C．tanα＞tanβ D．cosα＜cosβ
【分析】根据题意，画出单位圆以及α，β为第二象限的角的三角函数线，根据三角函数线的定义分析选项即可确定答案．
【解答】解：α，β为第二象限的角，且sinα＞sinβ，
即AB＝sinβMP＝sinαOM＝cosαOA＝cosβ
显然OA＜OM
即：cosα＞cosβ
故选：B．

10．设函数f(x)=sin(2x+2π3)，则下列结论中正确的是（　　）
A．y＝f（x）的图象关于点(π3，0)对称
B．y＝f（x）的图象关于直线x=π3对称
C．f（x）在[0，π3]上单调递减
D．f（x）在[−π6，0]上的最小值为0
【分析】由题意利用查正弦函数的图象和性质，得出结论．
【解答】解：对于函数f(x)=sin(2x+2π3)，令x=π3，求得f（x）=−32，不是最值，
可得y＝f（x）的图象不关于点(π3，0)对称，也不关于直线x=π3对称，故A、B都不正确；
在[0，π3]上，2x+2π3∈[2π3，4π3]，故f（x）在[0，π3]上单调递减，故C正确；
在[−π6，0]上，2x+2π3∈[π3，2π3]，故f（x）在[0，π3]上没有单调性，
最小值为f（−π6）＝f（0）=32，故D不正确，
故选：C．
11．已知ω＞0，函数f(x)=2sin(ωx+π6)在[π2，5π6]上单调递减，则实数ω的取值范围是（　　）
A．（0，1] B．[12，85] C．[23，56] D．[23，85]
【分析】由题意利用正弦函数的单调性，可得 12×2πω≥5π6−π2，且 π2ω+π6≥π2，且 5π6ω+π6≤3π2，由此求得实数ω的取值范围．
【解答】解：∵ω＞0，由 π2≤x≤5π6，得 π2ω+π6≤ωx+π6≤5π6ω+π6，
函数f（x）＝2sin（ωx+π6）在[π2，5π6]上单调递减，
∴12×2πω≥5π6−π2，∴0＜ω≤3 ①．
且 π2ω+π6≥π2+2kπ，且 5π6ω+π6≤3π2+2kπ，k∈Z，
解得ω≥23+4k，且ω≤85+125k，即4k+23≤ω≤85+12k5，
结合①可得k＝0，即 23≤ω≤85．
故选：D．
12．函数y＝sinx−12π的单调递增区间是（　　）
A．[4kπ，（4k+1）π]（k∈Z） B．[4k，4k+2]（k∈Z）
C．[2kπ，（2k+2）π]（k∈Z） D．[2k，2k+2]（k∈Z）
【分析】利用诱导公式将函数进行化简，结合三角函数的单调性即可得到结论．
【解答】解：由数y＝sinx−12π＝sin（π2x−π2）＝﹣cosπ2x，
由2kπ≤π2x≤2kπ+π，k∈Z，
解得4k≤x≤4k+2，k∈Z，
故函数y＝sinx−12π的单调递增区间是[4k，4k+2]（k∈Z），
故选：B．
二．填空题（共19小题）
13．函数f（x）＝3sin（﹣2x+π4）﹣2的最小正周期π，单调增区间为　[kπ+3π8，kπ+7π8]，k∈Z　，对称中心是　（kπ2+π8，﹣2），k∈Z　；对称轴为　x=kπ2+3π8，k∈Z　．
【分析】由条件利用正弦函数的单调性、以及它的图象的对称性，得出结论．
【解答】解：对于函数f（x）＝3sin（﹣2x+π4）﹣2＝﹣3sin（2x−π4）﹣2，
令2kπ+π2≤2x−π4≤2kπ+3π2，求得kπ+3π8≤x≤kπ+7π8，可得函数的增区间为[kπ+3π8，kπ+7π8]，k∈Z．
令2x−π4=kπ，求得x=kπ2+π8，故函数的图象的对称中心为（kπ2+π8，﹣2），k∈Z．
令2x−π4=kπ+π2，求得x=kπ2+3π8，可得函数的图象的对称轴为x=kπ2+3π8，k∈Z．
故答案为：[kπ+3π8，kπ+7π8]，k∈Z；（kπ2+π8，﹣2），k∈Z；x=kπ2+3π8，k∈Z．
14．函数y=sin(π6−x)的单调递减区间是 　[−π3+2kπ，2kπ+2π3]（k∈Z）　．
【分析】直接利用三角函数的关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：函数y＝sin（π6−x）＝﹣sin（x−π6），
令：−π2+2kπ≤x−π6≤2kπ+π2（k∈Z），
整理得：−π3+2kπ≤x≤2kπ+2π3（k∈Z），
故函数的单调递减区间为[−π3+2kπ，2kπ+2π3]（k∈Z）．
故答案为：[−π3+2kπ，2kπ+2π3]（k∈Z）．
15．函数y=sin(x+π6)的单调递增区间为　[2kπ−2π3，2kπ+π3]k∈Z　．
【分析】结合正弦函数的单调性即可直接求解．
【解答】解：令−π2+2kπ≤x+π6≤π2+2kπ可得，−2π3+2kπ≤x≤π3+2kπ，k∈Z，
故函数的单调递增区间[2kπ−2π3，2kπ+π3]，k∈Z．
故答案为：[2kπ−2π3，2kπ+π3]，k∈Z．
16．已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π2），x=−π3为f（x）的一个零点，x=π3为y＝f（x）图象的一条对称轴，且f（x）在（π2021，π6）内不单调，则ω的最小值为　154　．
【分析】直接利用已知条件和三角函数中正弦型函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：由题意知−π3ω+φ=k1ππ3ω+φ=k2π+π2，则φ=kπ2+π4．
由0＜kπ2+π4＜π2，
得，−12＜k＜12，又k∈Z，
所以k＝0，
则φ=π4．
故ω=−3k1+34．
所以f(x)=2sin(ωx+π4)．
由题设知ω＞0，当k1＝0时，ω=34，则f(x)=2sin(34x+π4)．
由−π2+2nπ≤34x+π4≤π2+2nπ，−π+8nπ3≤x≤π3+8nπ3，
知f（x）在(−π，π3)内单增，显然在(π2021，π6)内单增，不合题意．
当k1＝﹣1时，ω=154，则f(x)=2sin(154x+π4)．
由−π2+2nπ≤154x+π4≤π2+2nπ，−π5+8nπ15≤x≤π15+8nπ15，
知f（x）在(−π5，π15)内单增，在(π15，π3)内单减，
符合在(π2021，π6)内不单调的条件．
故ω的最小值为154．
故答案为：154．
17．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象关于直线x=π2对称且f（3π8）＝1，f（x）在区间[−3π8，−π4]上单调．则ω可取数值的个数为　1　．
【分析】由题意利用根据三角函数的性质，可求ω取数值的个数．
【解答】解：∵f（x）在区间[−3π8，−π4]上单调，
即[−3π8，−π4]在同一单调区间内，∴−π4+3π8≤12⋅2πω，∴0＜ω≤8 ①．
∵函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象关于直线x=π2对称，
∴当x=π2时，函数f（x）＝±2，即ωπ2+φ=π2+kπ，k∈Z②．
由f（3π8）＝1，可得sin（ω•3π8+φ）=22，
∴ω•3π8+φ=π4+2nπ③，或ω•3π8+φ=3π4+2mπ，m、n∈Z④．
故①②③成立，或者①②④成立．
由②③可得ω＝2+（k﹣2n）•8，再结合①可得，ω＝2；
此时，k＝2n，令n＝0，可得φ=−π2，f（x）=2sin（2x−π2），
满足f（x）在[−3π8，−π4]上单调第减．
由②④可得ω＝﹣2+（k﹣2m）•8，再结合①可得ω＝6，
此时，k＝2m+1，令m＝1，可得φ=π2，f（x）=2sin（6x+π2），
f（x）在[−3π8，−π4]上不单调，故不满足条件．
综上可得，ω可取数值的个数为1，
故答案为：1．
18．已知奇函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π2），函数f（x）图象的相邻两对称轴的距离为π2，则函数f（x）的单调递减区间为　[kπ+π4，kπ+3π4]（k∈Z）．　．
【分析】利用三角函数图象的周期性和单调性可得答案．
【解答】解：由题意知，奇函数f（x）的图象过坐标原点，f（0）＝0，即sinφ＝0．
又因为|φ|＜π2，故φ＝0．
又因为函数f（x）＝sinωx的图象的相邻两对称轴的距离为π2，则T2=π2（T为函数f（x）的最小正周期），
T＝2π，ω=2πT=2，所以函数f（x）＝sin2x．
令2kπ+π2≤2x≤2kπ+3π2，k∈Z，
解得：kπ+π4≤x≤kπ+3π4]（k∈Z），
则函数f（x）的单调递减区间是[kπ+π4，kπ+3π4]（k∈Z）．
故答案为：函数f（x）的单调递减区间是[kπ+π4，kπ+3π4]（k∈Z）．
19．函数f（x）＝sin（2x−π4）的最小正周期为　π　，单调递增区间为　[−π8+kπ，3π8+kπ]（k∈Z）　．
【分析】根据函数的解析式，利用正弦函数的周期性和单调性，求得结果．
【解答】解：对于函数f（x）＝sin（2x−π4），它的最小正周期为2π2=π，
令2kπ−π2≤2x−π4≤2kπ+π2，求得kπ−π8≤x≤kπ+3π8，可得它的增区间为[kπ−π8，kπ+3π8]，k∈Z，
故答案为：π；[kπ−π8，kπ+3π8]，k∈Z．
20．对任意φ∈[0，π4]，函数f（x）＝sin（ωx+φ）在区间[π2，π]上单调递增，则实数ω的取值范围是　(0，14]∪{−32}　．
【分析】由对任意φ∈[0，π4]，函数f（x）＝sin（ωx+φ）在区间[π2，π]上单调递增，可得|ω|≤2，然后分ω＞0和ω＜0两种情况求出ω的范围．
【解答】解：∵对任意φ∈[0，π4]，函数f（x）＝sin（ωx+φ）在区间[π2，π]上单调递增，
∴12×|2πω|≥π−π2，∴|ω|≤2．
①ω＞0时，此时，0＜ω≤2，y＝sin（ωx+φ）单调递增，
可得π2ω+φ≥−π2+2kππω+φ≤π2+2kπ，k∈Z，则φ≥2kπ−π2−π2ωφ≤2kπ+π2−πω，
∵φ∈[0，π4]，∴ω≤12−14+2kω≥4k−1，
当k＝0时，可得0＜ω≤14；
①ω＜0时，此时，﹣2≤ω＜0，y＝sin（ωx+φ）单调递增，
即y＝﹣sin（﹣ωx﹣φ）在区间[π2，π]上单调递减；
可得−π2ω−φ≥π2+2kπ−πω−φ≤3π2+2kπ，k∈Z，则φ≤−2kπ−π2ω−π2φ≥−2kπ−3π2−πω，
∵φ∈[0，π4]，∴ω≤−4k−12−1ω≥−2k−32，
当k＝0时，可得ω=−32；
综上，则实数ω的取值范围是(0，14]∪{−32}．
21．已知函数f(x)=sin(wx+φ)(w＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，
若f（x）在区间[π，a2]上单调递增，则实数a的最大值为　9π4　．

【分析】根据图象求出函数的解析式，结合函数的单调性进行求解即可．
【解答】解：由图象知3T4=5π8−（−π8）=6π8，得T＝π，即2πω=π得ω＝2，
则f（x）＝sin（2x+φ）
由五点对应法得−π8×2+φ＝0，得φ=π4，
则f（x）＝sin（2x+π4），
当π≤x≤a2时，则2π≤2x≤a，9π4≤2x+π4≤a+π4，
要使函数为增函数，则a+π4≤2π+π2，
得a≤9π4
即a的最大值为9π4，
故答案为：9π4
22．函数f(x)=2sin(2πx+π6)在区间[0，1]的单调增区间为　[0，16]和[23，1]　．
【分析】求出角的范围，利用换元法结合复合函数的单调性转化求解即可．
【解答】解：∵0≤x≤1，∴0≤2πx≤2π，π6≤2πx+π6≤13π6，
设t＝2πx+π6，则函数y＝2sint在π6≤t≤π2和3π2≤t≤13π6上为增函数，
由π6≤2πx+π6≤π2和3π2≤2πx+π6≤13π6，得0≤x≤16或23≤x≤1，
即f（x）在区间[0，1]的单调增区间为[0，16]和[23，1]．
故答案为：[0，16]和[23，1]
23．能使“函数f（x）＝sin（ωx+π3）在区间[π2，π]上单调递减”是真命题的一个正数ω的值为　13　．
【分析】利用正弦函数的单调性和周期性的定义解得ω的范围可得答案．
【解答】解：因为函数f（x）＝sin（ωx+π3），x∈[π2，π]，
所以ωx+π3∈[π2ω+π3，πω+π3]，
又因为函数f（x）＝sin（ωx+π3）在区间[π2，π]上单调递减，
T=2πω≥π，ω≤2，①
所以π2ω+π3≥π2+2kπ，k∈Z，且πω+π3≤3π2+2kπ，k∈Z，
解得：13+4k≤ω，ω≤76+2k，k∈Z，②
取k＝0时，13≤ω≤76，且0＜ω≤2，
所以一个正数ω的值可取：13．
故答案为：13（不唯一）．
24．设函数f(x)=2sin(3π2−x)cos(π+x)+sin2(π2−x)，则函数f（x）的单调递增区间为　[kπ−π2，kπ]（k∈Z）　．
【分析】利用诱导公式和二倍角公式，将函数转化为f（x）=32cos2x+32，然后利用余弦函数的性质，解关于x的不等式，求出函数的递增区间即可．
【解答】解：函数f（x）＝2sin（32π﹣x）cos（π+x）+sin2（π2−x）
＝3cos2x=32cos2x+32，
令﹣π+2kπ≤2x≤2kπ，解得：kπ−π2≤x≤kπ，
故函数f（x）的递增区间是[kπ−π2，kπ]（k∈Z），
故答案为：[kπ−π2，kπ]（k∈Z）．
25．已知函数f(x)=|sin(ωx+π4)|(ω＞1)在(π，54π)上单调递减，则实数ω的取值范围是　[54，74]　．
【分析】根据x∈（π，5π4）时求出ωx+π4的取值范围，由正弦函数的图象与性质列出不等式组求实数ω的取值范围．
【解答】解：当x∈（π，5π4）时，ωπ+π4＜ωx+π4＜5π4ω+π4，
由函数f(x)=|sin(ωx+π4)|(ω＞1)在(π，54π)上单调递减，
则ωπ+π4≥3π2ω⋅5π4+π4≤2π，
解得54≤ω≤75；
所以实数ω的取值范围是[54，74]．
故答案为：[54，74]．
26．已知函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|＜π2)，若函数f（x）在[π2，5π6]上具有单调性，且f(π2)=−f(5π6)，则f(76π)=　0　．
【分析】由题意利用正弦函数的单调性求得φ的范围，根据图象的对称性求得φ的值，可得函数的解析式，从而求得要求式子的值．
【解答】解：函数f(x)=sin(2x+φ)(|φ|＜π2)，若函数f（x）在[π2，5π6]上具有单调性，
∴2×π2+φ≥π2，且 2×5π6+φ≤3π2，∴−π2≤φ≤−π6．
∵f(π2)=−f(5π6)，π2+5π62=2π3，故f（x）的图象关于点（2π3，0）对称，
故 f（2π3）＝sin（4π3+φ）＝0，∴φ=−π3，f（x）＝sin（2x−π3）．
则f(76π)=sin（7π3−π3）＝sin2π＝0，
故答案为：0．
27．当φ＝　π6　时，函数f（x）＝2sin（2x+φ）在区间[π6，2π3]上单调．（写出一个值即可）．
【分析】利用正弦型函数的性质，可知φ=π6满足条件．
【解答】解当φ=π6时，函数f（x）＝2sin（2x+π6），
由于x∈[π6，2π3]，
所以2x+π6∈[π2，3π2]满足函数单调递减，
故答案为：π6．
28．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，0≤φ≤π）是R上的偶函数，其图像关于点M(π4，0)对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，则ω＝　2　，φ＝　π2　．
【分析】根据正弦、余弦函数的奇偶性、对称性和单调性，进行求解即可．
【解答】解：∵f（x）＝sin（ωx+φ）是R上的偶函数，0≤φ≤π，
∴φ=π2，
∴f（x）＝sin（ωx+π2）＝cosωx；
又f（x）图象关于点M（π4，0）对称，
∴f（π4）＝cos（π4ω）＝0，即π4ω=π2+kπ，k∈Z，即ω＝2+4k，k∈Z，
又f（x）在区间[0，π2]上是单调函数，
∴T2≥π2，即πω≥π2，解得0＜ω≤2，当k＝0时，ω＝2，
∴ω的值为2．
故答案为：2，π2．
29．已知函数f（x）＝sinxcosx﹣sin2x，x∈R．若函数f（x）在区间[a，π16]上递增，则实数a的取值范围为 　[−3π8，π16）　．
【分析】由题意利用三角恒等变换化简函数的解析式，再根据正弦函数的增区间，求得a的范围．
【解答】解：函数f（x）＝sinxcosx﹣sin2x=sin2x2−1−cos2x2=22sin（2x+π4）−12，x∈R，
若函数f（x）在区间[a，π16]上递增，
此时，2x+π4∈[2a+π4，3π8]，∴−π2≤2a+π4＜3π8，求得−3π8≤a＜π16，
则实数a的取值范围为[−3π8，π16 ），
故答案为：[−3π8，π16 ）．
30．已知函数f（x）＝3sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π），f（4）＝f（2）﹣6，且f（x）在[2，4]上单调．设函数g（x）＝f（x）﹣1，且g（x）的定义域为[﹣5，8]，则函数g（x）的所有零点之和等于　12　．
【分析】直接利用函数的性质求出函数的关系式，进一步利用函数的对称性求出零点的和．
【解答】解：由于函数f（x）＝3sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜π），满足f（4）＝f（2）﹣6，
所以f（2）﹣f（4）＝6，且f（x）在[2，4]上单调．
所以f（2）＝3，f（4）＝﹣3，
所以T＝4，
故ω=π2，
由于f（2）＝3，
所以π+φ=2kπ+π2（k∈Z），
解得φ=−π2，
所以f（x）＝3sin（π2x−π2）＝﹣3cosπ2x，
故g（x）=−3cosπ2x−1，
令g（x）＝0，解得cosπ2x=−13，
由于函数cosπ2x关于x＝2，﹣2，6对称，
所以零点的和为﹣4+4+12＝12．
故答案为：12．
31．若函数g(x)=sinωx+cos(ωx+π6)(ω＞0)的图象关于点（2π，0）对称，且在区间[−π3，π6]上是单调函数，则ω的值为　13或56　．
【分析】展开两角和的余弦，再由辅助角公式化积，由g(x)=sinωx+cos(ωx+π6)(ω＞0)的图象关于点（2π，0）对称求得ω=k2−16（k∈Z），取k值验证得答案．
【解答】解：∵g（x）＝sinωx+cosωx•cosπ6−sinωx•sinπ6=12sinωx+32cosωx
＝sin（ωx+π3）．
∵函数g(x)=sinωx+cos(ωx+π6)(ω＞0)的图象关于点（2π，0）对称，
∴g（2π）＝sin（2πω+π3）＝0，得2πω+π3=kπ，∴ω=k2−16（k∈Z），
∵ω＞0，∴取k＝1时，ω=13，此时g（x）＝sin（13x+π3），
当x∈[−π3，π6]时，13x+π3∈[2π9，7π18]，g（x）在区间[−π3，π6]上是单调函数；
取k＝2时，ω=56，此时g（x）＝sin（56x+π3），
当x∈[−π3，π6]时，56x+π3∈[π18，17π36]，g（x）在区间[−π3，π6]上是单调函数；
取k＝3时，ω=43，此时g（x）＝sin（43x+π3），
当x∈[−π3，π6]时，43x+π3∈[−π9，5π9]，g（x）在区间[−π3，π6]上不是单调函数；
取k≥4时，可知g（x）在区间[−π3，π6]上不是单调函数．
∴ω的值为13或56．
故答案为：13或56．
三．解答题（共4小题）
32．已知函数f（x）=3cosxcos(x−π2）+sin2（x−π6）−12．
（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）若x∈[0，π4]，f（x）=36，求cos2x的值．
【分析】（Ⅰ）首先把函数的关系式通过恒等变换，变形成正弦型函数，进一步利用正弦型函数的性质求出结果．
（Ⅱ）利用函数的关系式，通过角的恒等变换，进一步求出函数的值．
【解答】解（Ⅰ）f（x）=3cosxcos(x−π2）+sin2（x−π6）−12．
=3sinxcosx+1−cos(2x−π3)2−12，
=32sin2x−12(12cos2x+32sin2x)，
=34sin2x−14cos2x，
=12sin(2x−π6)
令：−π2+2kπ≤2x−π6≤2kπ+π2（k∈Z），
解得：kπ−π6≤x≤kπ+π3（k∈Z），
故函数的单调递增区间为：[kπ−π6，kπ+π3]（k∈Z）．
（Ⅱ）由于：f（x）=36，
则：12sin(2x−π6)=36，
即：sin(2x−π6)=33，
由于：0≤x≤π4，
则：π6≤2x−π6≤π3，
所以：cos(2x−π6)=63．
cos2x＝cos[（2x−π6）+π6]=，
=63⋅32−12⋅33，
=22−36．
33．已知函数f(x)=a(2cos2x2+sinx)+b．
（1）当a＝1时，求f（x）的单调递增区间；
（2）当x∈[0，π]时，f（x）的值域为[3，4]，求a、b的值．
【分析】（1）a＝1时f（x）＝（2cos2x2+sinx）+b，利用三角恒等变换求出f（x）的解析式，再求单调递增区间
（2）由三角恒等变换化简f（x），讨论a的正负，求出对应a、b的值．
【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝（2cos2x2+sinx）+b＝cosx+1+sinx+b=2sin（x+π4）+1+b，
2kπ−π2≤x+π4≤2kπ+π2，k∈Z，
2kπ−3π4≤x≤2kπ+π4，k∈Z；
所以f（x）的单调递增区间为[2kπ−3π4，2kπ+π4]，k∈Z；
（2）f（x）＝a（2cos2x2+sinx）+b＝a（cosx+1+sinx）+b=2asin（x+π4）+a+b，
当x∈[0，π]时，sin（x+π4）∈[−22，1]；
当a＞0时，由2a⋅(−22)+a+b=32a⋅1+a+b=4，解得a=2−1b=3；
当a＜0时，由2a⋅(−22)+a+b=42a⋅1+a+b=3，解得a=1−2b=4；
综上知，a=2−1，b＝3；或a＝1−2，b＝4．
34．已知函数f（x）＝2cos2x﹣23sinxcosx．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅱ）求方程f（x）=−13在区间[0，π2]内的所有实根之和．
【分析】（Ⅰ）先根据二倍角公式、辅助角公式化基本三角函数，再根据正弦函数性质求减区间．
（Ⅱ）根据正弦函数图象与性质求简单三角方程的根．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）＝2cos2x﹣23sinxcosx＝1+cos2x−3sin2x＝1﹣2sin（2x−π6），
由f（x）单调递减可知，sin（2x−π6）递增，
故2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2，k∈Z，即kπ−π6≤x≤kπ+π3，k∈Z，
∴函数f（x）的单调递增区间是：[kπ−π6，kπ+π3]，k∈Z，
（Ⅱ）由1﹣2sin（2x−π6）=−13，得：sin（2x−π6）=23，
由sin（2x−π6）在[0，π3]上递增，在[π3，π2]上递减，且12＜23＜1，
得，方程在[0，π2]上有两不等实根α，β，且满足α+β2=π3．
∴α+β=2π3．
35．已知函数f(x)=sin(x2+π4)．
（1）写出函数f（x）的单调递增区间；
（2）求函数f（x）在区间[−π6，2π3]上的值域．
【分析】（1）由题意利用正弦函数的单调性，求得函数f（x）的单调递增区间．
（2）由题意利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）在区间[−π6，7π12]上的值域．
【解答】解：（1）要求函数f(x)=sin(x2+π4)的单调递增区间，只需满足−π2+2kπ≤x2+π4≤π2+2kπ(k∈Z)，
解得：−3π2+4kπ≤x≤π2+4kπ(k∈Z)，
所以，函数f（x）的单调递增区间[−3π2+4kπ，π2+4kπ](k∈Z)．
（2）因为−π6≤x≤2π3，所以，π6≤x2+π4≤7π12．
又因为sinπ6＜sin7π12＜sinπ2，所以，函数f（x）在区间[−π6，7π12]上的值域为[12，1]．