高中数学人教版新课标A必修12.2.2对数函数及其性质第2课时课时作业

第二章　基本初等函数(Ⅰ)

2.2　对数函数

2.2.2　对数函数及其性质

第2课时　对数函数的性质及应用

基础过关练

题组一　对数函数的单调性和奇偶性

1.函数y=log2(x2+2x-3)的单调递减区间是(　　)

A.(-∞,-3) B.(1,+∞) 

C.(-∞,-1) D.(-1,+∞)

2.已知函数f(x)=lg,若f(a)=b,则f(-a)=(　　)

A.b B.-b C. D.-

3.设f(x)在R上是偶函数,若当x>0时,有f(x)=log2(x+1),则f(-7)=　　　　. 

4.已知函数f(x)=loga(a>0,且a≠1)在定义域(-∞,-1)∪(1,+∞)上是奇函数.

(1)求m的值;

(2)判断f(x)在区间(1,+∞)上的单调性,并加以证明.

题组二　指数函数与对数函数的关系

5.(2018北京西城高一上期中)函数y=与y=logbx互为反函数,则a与b的关系是(　　)

A.ab=1 B.a+b=1 C.a=b D.a-b=1

6.(2018安徽芜湖一中高一上期中)点(2,4)在函数f(x)=logax(a>0,且a≠1)的反函数的图象上,则f =(　　)

A.-2 B.2 C.-1 D.1

7.(2018广西南宁二中高一上期中)已知a>0且a≠1,函数y=ax与y=loga(-x)的图象只能是(　　)

题组三　对数函数性质的综合运用

8.(2020重庆高一上月考)不等式log2(x+1)<1的解集为(　　)

A.{x|0<x<1} B.{x|-1<x≤0}

C.{x|-1<x<1} D.{x|x>-1}

9.函数y=log0.2(2x+1)的值域为(　　)

A.(0,+∞) B.(-∞,0)

C.[0,+∞) D.(-∞,0]

10.已知x∈(e-1,1),a=ln x,b=,c=eln x,则a,b,c的大小关系为(　　)

A.c>b>a B.b>c>a

C.a>b>c D.b>a>c

11.已知y=loga(8-3ax)(a>0,且a≠1)在[1,2]上是减函数,则实数a的取值范围是(　　)

A.(0,1) B.1,

C.,4 D.(1,+∞)

12.已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a=-flog2,b=f(log24.1),c=f(20.8),则a,b,c的大小关系为(　　)

A.a<b<c B.b<a<c

C.c<b<a D.c<a<b

13.(2020福建邵武七中高一上期中)解下列不等式:

(1)lox>lo(4-x);

(2)logx>1;

(3)loga(2x-5)>loga(x-1)(a>0且a≠1).

能力提升练

一、选择题

1.(2020陕西西安中学高一上期中,★★☆)函数y=的定义域是(　　)

A.{x|0<x<2} B.{x|0<x<1或1<x<2}

C.{x|0<x≤2} D.{x|0<x<1或1<x≤2}

2.(2020山西长治二中高一上期中,★★☆)设a=50.4,b=log0.30.4,c=log40.2,则a,b,c的大小关系是(　　)

A.c>a>b B.b>a>c C.a>b>c D.a>c>b

3.(2020河北唐山一中高一上期中,★★☆)函数y=的图象是(　　)

4.(2020河北石家庄二中高一上期末,★★☆)函数f(x)=lg(x2-1)的单调递减区间为(　　)

A.(-∞,-1) B.(-∞,0) C.(0,+∞) D.(1,+∞)

5.(2020福建厦门外国语学校高一上期中,★★★)已知函数f(x)=log3(1-ax),若f(x)在(-∞,2]上为减函数,则f(x)<0的取值范围为 (　　)

A.(0,+∞) B.

C.(1,2) D.(-∞,0)

6.(2020河南省实验中学高一上期中,★★★)已知函数f(x)=loga(+x)++(a>0,且a≠1),如果f(log3b)=2 019,其中b>0,b≠1,则f(lob)=(　　)

A.2 019 B.2 017 C.-2 019 D.-2 017

二、填空题

7.(★★☆)若函数f(x)=ln(x+)为奇函数,则实数a的值为　　　　. 

8.(2020江苏江阴四校高一上期中,★★☆)若f(x)=(a>0,且a≠1)在R上为单调递减函数,则实数a的取值范围是　　　　.  

9.(2019河南周口高一上期末调研,★★★)若函数f(x)=的值域为R,则a的取值范围是　　　　. 

10.(2019湖北武汉外国语学校高一上期中,★★★)若x∈时,4x<logax恒成立,则a的取值范围是　　　　.

三、解答题 

11.(2020山东泰安一中高一上期中,★★☆)已知集合A={x|3≤3x≤27},B={x|log2x>1}.

(1)求A∩B,(∁RB)∪A;

(2)已知集合C={x|1<x<a},若C⊆A,求实数a的取值范围.

12.(2020河北唐山一中高一上期中,★★☆)已知函数f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0且a≠1.

(1)求f(x)的定义域;

(2)判断f(x)的奇偶性并予以证明;

(3)当a>1时,求f(x)>0的解集.

13.(★★☆)已知a>0,a≠1且loga3>loga2,若函数f(x)=logax在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为1.

(1)求a的值;

(2)解不等式lo(x-1)>lo(a-x);

(3)求函数g(x)=|logax-1|的单调区间.

14.(2019山东师大附中高一上第一次学分认定考试,★★☆)已知函数f(x)=lg.

(1)判断并证明函数f(x)的奇偶性;

(2)当x≥0时,函数g(x)与f(x)相同,且g(x)为偶函数,求g(x)的定义域及其表达式.

15.(★★☆)已知函数f(x)=log3·log3(27x),其中x∈.

(1)求函数f(x)的值域;

(2)求函数f(x)的单调区间.

16.(2019天津实验中学高一期中,★★★)已知函数g(x)=mx2-2mx+1+n(n≥0)在[1,2]上有最大值1和最小值0.设f(x)=.

(1)求m,n的值;

(2)若不等式f(log2x)-2klog2x≤0在x∈[2,4]上恒成立,求实数k的取值范围;

(3)若方程f(|ex-1|)+-3k=0有三个不同的实数解,求实数k的取值范围.(其中e为自然对数的底数)

答案全解全析

第二章　基本初等函数(Ⅰ)

2.2　对数函数

2.2.2　对数函数及其性质

第2课时　对数函数的性质

及应用

基础过关练

1.A　令t=x2+2x-3(t>0),

∵x2+2x-3>0,∴x>1或x<-3,

又∵t=x2+2x-3在(-∞,-3)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数,

且y=log2t在(0,+∞)上是增函数,

∴函数y=log2(x2+2x-3)的单调递减区间是(-∞,-3),故选A.

2.B　由题意得,函数f(x)的定义域为(-1,1),且f(-x)=lg=lg=-lg=-f(x),所以f(x)为奇函数,故f(-a)=-f(a)=-b.

3.答案　3

解析　依题意得f(-7)=f(7)=log2(7+1)=3.

4.解析　(1)∵f(x)是奇函数,

∴f(-x)+f(x)=0在定义域内恒成立,

即loga+loga=loga=0在定义域内恒成立,

∴1-m2x2=1-x2对任意x∈(-∞,-1)∪(1,+∞)恒成立,∴m2=1,解得m=±1.当m=-1时, f(x)=loga无意义,舍去;当m=1时,f(x)=loga,符合题意,∴m=1.

(2)当a>1时, f(x)在(1,+∞)上是减函数;当0<a<1时, f(x)在(1,+∞)上是增函数.

证明:由(1)知,f(x)=loga.设u==1+,任取x1,x2∈(1,+∞),且x1<x2,则u1-u2=-=-=,

由x1-1>0,x2-1>0,x2-x1>0,得u1-u2>0,即u1>u2.因此当a>1时,logau1>logau2,即f(x1)>f(x2), f(x)在(1,+∞)上是减函数;

同理可得,当0<a<1时, f(x)在(1,+∞)上是增函数.

5.A　由函数y=与y=logbx互为反函数得=b,所以ab=1,故选A.

6.C　因为点(2,4)在函数f(x)=logax的反函数的图象上,所以点(4,2)在函数f(x)=logax的图象上,因此loga4=2,即4=a2,又a>0,且a≠1,所以a=2,所以f(x)=log2x,故f=log2=-1.

7.B　首先函数y=ax与y=logax互为反函数,其图象关于直线y=x对称,且单调性相同;其次函数y=loga(-x)与y=logax的图象关于y轴对称,其单调性相反.A、C两个图中的图象只关于直线y=x对称,从而排除A、C;D图中的单调性错误,又可排除D,故选B.

8.C　不等式log2(x+1)<1可化为log2(x+1)<log22,

由y=log2x是增函数得,0<x+1<2,解得-1<x<1,故选C.

9.B　设u=2x+1,因为y=log0.2u是减函数,u=2x+1为增函数,所以y=log0.2(2x+1)是减函数,又因为2x+1>1,

所以log0.2(2x+1)<log0.21=0,

故该函数的值域为(-∞,0),故选B.

10.B　∵x∈(e-1,1),

∴ln x∈(-1,0),

∴a∈(-1,0),b∈(1,2),c∈(e-1,1),

∴b>c>a,故选B.

11.B　因为a>0且a≠1,所以t=8-3ax为减函数.又y=loga(8-3ax)(a>0,且a≠1)在[1,2]上是减函数,所以y=logat是增函数,所以a>1.由8-3ax>0在[1,2]上恒成立,得a<在[1,2]上恒成立,所以a<min==.故a∈1,.

12.C　由f(x)为奇函数可得,a=-flog2=f-log2=f(log25).因为log25>log24.1>2,1<20.8<2,所以log25>log24.1>20.8,又f(x)在R上是增函数,所以f(log25)>f(log24.1)>f(20.8),

即-f>f(log24.1)>f(20.8),所以a>b>c,故选C.

13.解析　(1)由题意可得解得0<x<2,所以原不等式的解集为{x|0<x<2}.

(2)由题意得x>0,且x≠1.当x>1时,logx>1=logxx,解得x<,此时不等式无解;当0<x<1时,logx>1=logxx,解得x>,所以<x<1.

综上所述,原不等式的解集为x.

(3)当a>1时,原不等式等价于解得x>4;

当0<a<1时,原不等式等价于解得<x<4.

综上所述,当a>1时,原不等式的解集为{x|x>4};

当0<a<1时,原不等式的解集为x<x<4.

能力提升练

一、选择题

1.D　依题意得⇒

∴0<x≤2,且x≠1,故选D.

2.C　∵a=50.4>50=1,log0.30.4<log0.30.3,

即0<b<1,

c=log40.2<log41=0,

∴c<b<a,故选C.

3.B　函数y=是奇函数,排除A,C;当x=时,y=ln <0,对应点在第四象限,排除D.故选B.

4.A　由x2-1>0得x>1或x<-1.

∴f(x)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞).

设y=lg μ,μ=x2-1,则y=lg μ是增函数,

又μ=x2-1在(-∞,0]上递减,[0,+∞)上递增,考虑到定义域知,f(x)的递减区间为(-∞,-1),故选A.

5.B　设u=1-ax,则y=log3u,

由f(x)在(-∞,2]上为减函数,且y=log3u是增函数知,u=1-ax是减函数,

∴-a<0,即a>0.

由1-ax>0得,ax<1,又a>0,

∴x<,即f(x)的定义域为-∞,,

∴(-∞,2]⊆-∞,⇒2<,

结合a>0,得0<a<,

因此,a的取值范围是0,,故选B.

6.D　解法一:由题知解得x≠0,即函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.

∵f(x)=loga(+x)++

=loga(+x)+++1

=loga(+x)++1,

∴设F(x)=f(x)-1=loga(+x)+,则F(x)为奇函数.

设log3b=t,则f(t)=2 019,

又lob=-log3b=-t.

由f(t)=2 019得,F(t)=f(t)-1=2 018.

∴F(-t)=-F(t)=-2 018.

从而f(-t)=F(-t)+1=-2 018+1=-2 017,故选D.

解法二:由题知解得x≠0,即函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.

∵f(-x)=loga(-x)++,

∴f(x)+f(-x)=loga(+x)+loga(-x)+++3=0-1+3=2,

∴f(log3b)+f(lob)=f(log3b)+f(-log3b)=2,

又∵f(log3b)=2 019,

∴f(-log3b)=2-2 019=-2 017,即f(lob)=-2 017.

二、填空题

7.答案　1

解析　依题意得f(0)=ln()=0⇒=1⇒a=1,此时,f(x)=ln(x+),其定义域为R,且f(-x)=ln(-x)=ln =-ln(+x)=-f(x),

∴f(x)是奇函数,故a=1.

8.答案　

解析　∵f(x)在R上是减函数,

∴⇒⇒≤a<.

故a的取值范围是,.

9.答案　[-1,2)

解析　当x≥1时,ln x≥0,

从而1+ln x≥1.

设x<1时,y=(2-a)x+2a的值域为B,

则(-∞,1)⊆B,

因此

解得-1≤a<2.

故a的取值范围是[-1,2).

10.答案　

解析　由题意得,当0<a<1时,要使4x<logax恒成立,只需满足当0<x<时,函数y=4x的图象在函数y=logax图象的下方即可.当x=时,=2,即函数y=4x的图象过点,把点代入函数y=logax,得a=,若函数y=4x的图象在函数y=logax图象的下方,则需≤a<1(如图所示);

当a>1时,不符合题意,舍去.所以实数a的取值范围是.

三、解答题

11.解析　(1)由3≤3x≤27得,1≤x≤3,∴A={x|1≤x≤3}.

由log2x>1=log22得,x>2,∴B={x|x>2},

∴A∩B={x|2<x≤3},

又∁RB={x|x≤2},

∴(∁RB)∪A={x|x≤3}.

(2)由(1)知,A={x|1≤x≤3}.当C=⌀,即a≤1时,符合题意;

当C≠⌀,即a>1时,依题意得,a≤3,

此时1<a≤3.

综上所述,a的取值范围是(-∞,3].

12.解析　(1)由题知,f(x)=loga(x+1)-loga(1-x),a>0且a≠1,若使式子有意义,则即-1<x<1,所以函数f(x)的定义域为{x|-1<x<1}.

(2)f(x)为奇函数,证明:由(1)知f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,则任取x∈(-1,1),都有f(-x)=loga(-x+1)-loga(1+x)=-[loga(1+x)-loga(1-x)]=-f(x),所以f(x)是奇函数.

(3)f(x)>0,即loga(x+1)-loga(1-x)>0,即loga(x+1)>loga(1-x).

当a>1时,上述不等式等价于解得0<x<1.因此f(x)>0的解集为{x|0<x<1}.

13.解析　(1)∵loga3>loga2,∴a>1,

∴y=logax在[a,2a]上为增函数,

∴loga(2a)-logaa=1,∴a=2.

(2)依题意可知解得1<x<,

∴所求不等式的解集为.

(3)∵g(x)=|log2x-1|,

∴当log2x-1≥0,即x≥2时,g(x)=log2x-1;当log2x-1<0,即0<x<2时,g(x)=1-log2x.∴g(x)=

∴函数g(x)在(0,2)上为减函数,在[2,+∞)上为增函数,

即g(x)的单调递减区间为(0,2),单调递增区间为[2,+∞).

14.解析　(1)函数f(x)是奇函数.

证明如下:∵>0⇔(3-x)(3+x)>0⇔(x-3)(x+3)<0⇔-3<x<3,

∴函数f(x)的定义域为(-3,3),关于原点对称.

又∵f(x)+f(-x)=lg+lg=

lg=0,

∴f(x)=-f(-x),

∴函数f(x)是奇函数.

(2)由条件得,当x≥0时,g(x)=lg,x∈[0,3).

∵g(x)的定义域关于原点对称,

∴g(x)的定义域为(-3,3).

设x∈(-3,0),

则-x∈(0,3),

g(x)=g(-x)=lg,

∴g(x)=

15.解析　(1)由题得f(x)=log3·log3(27x)=(-1+log3x)(3+log3x),x∈.

令t=log3x,t∈[-2,1],

则g(t)=(-1+t)(3+t)=t2+2t-3=(t+1)2-4,t∈[-2,1].

当t=-1时,g(t)min=g(-1)=-4;

当t=1时,g(t)max=g(1)=0.

所以函数f(x)的值域为[-4,0].

(2)因为t=log3x在x∈上为增函数,且g(t)=(t+1)2-4在t∈[-2,-1]上为减函数,在t∈[-1,1]上为增函数,

所以当t∈[-2,-1],

即x∈时, f(x)为减函数;

当t∈[-1,1],

即x∈时, f(x)为增函数.

综上, f(x)的单调减区间为, f(x)的单调增区间为.

16.解析　(1)当m>0时,图象的对称轴为直线x=1,g(x)最大值为g(2)=1+n=1,n=0,g(x)最小值为g(1)=-m+1+n=0,m=1;当m<0时,图象的对称轴为直线x=1,g(x)最小值为g(2)=1+n=0,n=-1,舍去;当m=0时,g(x)为常函数,不满足题意.综上m=1,n=0.

(2)令log2x=t,则t∈[1,2],所以不等式f(log2x)-2klog2x≤0等价于k≥1-2.

因为t∈[1,2]时,1-2∈0,,

所以k≥.

(3)令|ex-1|=t,

则方程f(|ex-1|)+-3k=0等价于t2-(2+3k)t+(1+2k)=0,因为方程f(|ex-1|)+-3k=0有三个不同的实数解,则t2-(2+3k)t+(1+2k)=0有三个不同的实数解,则t2-(2+3k)t+(1+2k)=0必有两个不等的实数解t1,t2,且0<t1<1,t2≥1.令h(t)=t2-(2+3k)t+(1+2k),

即或

所以或即k>0.