高中人教版新课标A1.1命题及其关系免费课后测评

第一章　常用逻辑用语

1.1　命题及其关系*

1.1.1　命　题

基础过关练

题组一　命题的理解

1.下列语句中命题的个数为(　　)

①{0}∈N;②他长得很高;③地球上的四大洋;④5的平方是20.

A.0 B.1 C.2 D.3

2.下列语句中是命题的有　　　　.(填序号) 

①一个数不是正数就是负数;

②0是自然数吗?

③22 020是一个很大的数;

④若两个平面平行,则这两个平面无公共点.

3.判断下列语句是不是命题,并说明理由.

(1)函数f(x)=3x(x∈R)是指数函数;

(2)x2-3x+2=0;

(3)若x∈R,则x2+4x+7>0;

(4)垂直于同一条直线的两条直线一定平行吗?

(5)一个数不是奇数就是偶数.

题组二　命题真假的判断

4.下列命题中真命题的个数是(　　)

①2是质数;②=3-π;③tan<tan;④对数函数是单调函数.

A.1 B.2 C.3 D.4

5.下列命题中是假命题的是(　　)

A.a·b=0(a≠0,b≠0),则a⊥b

B.若|a|=|b|,则a=b

C.若ac2>bc2,则a>b

D.若α=60°,则cos α=

6.下列命题正确的是(　　)

A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行

B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行

C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行

D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行

7.给出下面三个命题:

①函数y=tan x在第一象限是增函数;

②奇函数的图象一定过原点;

③若a>b>1,则0<logab<1.

其中是真命题的是　　　　.(填序号) 

8.判断下列语句是不是命题,若是,判断它们的真假.

(1)若a,b,c,d∈R,a=c且b=d,则a+b=c+d;

(2)在等比数列{an}中,若公比q>1,则数列{an}是递增数列;

(3)若m>,则关于x的方程x2-x+m=0无实数根.

题组三　命题的构成

9.命题“正方形的四条边都相等”中的条件是(　　)

A.正方形

B.正方形的四条边

C.四条边

D.四条边都相等

10.命题“平行四边形的对角线既互相平分,也互相垂直”的结论是(　　)

A.这个四边形的对角线互相平分

B.这个四边形的对角线互相垂直

C.这个四边形的对角线既互相平分,也互相垂直

D.这个四边形是平行四边形

11.(2017山东济宁高二检测)命题:若a>0,则二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0右上方的区域(包括边界),条件p:　　　　　　　,结论q:　　　　　　　　　　　,是　　　　命题(填“真”或“假”). 

12.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断命题的真假.

(1)平行于同一平面的两条直线平行;

(2)能被5整除的整数的末位数字是5;

(3)三角形相似,对应边成比例.

13.已知A:5x-1>a,B:x>1,请选择适当的实数a,使得利用A,B构造的命题“若p,则q”为真命题.

题组四　命题真假的应用

14.已知不等式x+3≥0的解集是A,则使得a∈A是假命题的a的取值范围是(　　)

A.a≥-3 B.a>-3 

C.a≤-3 D.a<-3

15.给出命题“方程x2+ax+1=0没有实数根”,则使该命题为真命题的a的值可以是(　　)

A.4 B.2 C.0 D.-3

16.已知命题p:sin x+cos x>m,命题q:x2+mx+1>0.若对任意的x∈R,p和q都是真命题,求实数m的取值范围.

17.已知命题p:lg(x2-2x-2)≥0;命题q:0<x<4,若命题p是真命题,命题q是假命题,求实数x的取值范围.

能力提升练

一、选择题

1.(2019湖北武汉高二检测,★★☆)“红豆生南国,春来发几枝?愿君多采撷,此物最相思.”这是唐代诗人王维的《相思》,在这四句诗中,在当时的条件下,可以作为命题的是(　　)

A.红豆生南国 B.春来发几枝

C.愿君多采撷 D.此物最相思

2.(2018江西赣州高考二模,★★☆)设α,β,γ为三个不同的平面,c,m,n为三条不同的直线,给出下列命题:

①若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β;

②若m⊂α,n⊂α,m∥β,n∥β,则α∥β;

③若α∥β,c⊂α,则c∥β;

④若α∩β=c,β∩γ=m,γ∩α=n,c∥γ,则m∥n.

其中真命题的个数是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

3.(★★☆)下列四个命题中真命题的个数是(　　)

①设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是=;

②在△ABC中,++=0;

③将函数y=f(|x|)的图象向右平移1个单位得到函数y=f(|x|-1)的图象;

④cos=sin α;

⑤已知Sn是等差数列{an}的前n项和,若S7>S5,则S9>S3.

A.1 B.2 

C.3 D.4

4.(2018四川达州期末,★★☆)已知实数x,y,z,则下列命题正确的是(　　)

A.若x,y≠0,则+≥2

B.若x>y,则sin x>sin y

C.若x<y,则ln x<ln y

D.若(x-y)z2<0,则x<y

5.(2019上海高桥中学开学考试,★★★)定义域和值域均为[-a,a](常数a>0)的函数y=f(x)和y=g(x)的图象如图所示,给出下列四个命题:

①方程f[g(x)]=0有且仅有三个解;

②方程g[f(x)]=0有且仅有三个解;

③方程f[f(x)]=0有且仅有九个解;

④方程g[g(x)]=0有且仅有一个解.

其中正确命题的个数是(　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

二、解答题

6.(2019山东师大附中期中,★★☆)已知命题p:存在x∈(-1,1),使x2-x-m=0成立,命题q:关于x的方程x2+(m-3)x+m=0的一个根大于1,另一个根小于1.

(1)分别求命题p和命题q为真时实数m的取值范围;

(2)若命题p与命题q一真一假,求实数m的取值范围.

7.(2018山东青岛二中月考,★★★)已知命题p:函数y=loga(1-2x)在定义域上单调递增,命题q:不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对任意实数x恒成立.若p,q中只有一个是真命题,求实数a的取值范围.

答案全解全析

基础过关练

1.C　①④是命题,②③不是命题,因为②不能判断真假,③地球上的四大洋不是完整的句子.

2.答案　①④

解析　②是疑问句,不是命题;③是陈述句,但“很大”无法说明到底多大,不能判断真假,不是命题.

3.解析　(1)是命题,因为该句是陈述句,且能判断真假.

(2)不是命题,因为不能判断真假.

(3)是命题.当x∈R时,x2+4x+7=(x+2)2+3>0恒成立,能判断真假.

(4)是疑问句,不是命题.

(5)是命题,因为该句是陈述句,且能判断真假.

4.C　①是真命题;②=|3-π|=π-3≠3-π,是假命题;③tan=tan>tan,是真命题;④对于对数函数y=logax(a>0且a≠1),当0<a<1时,为减函数,当a>1时,为增函数,均为单调函数,是真命题.故选C.

5.B　易知A、C、D中命题是真命题,B中命题是假命题,因为|a|=|b|只能说明a与b的模相等,但a=b不一定成立,故选B.

6.C　A错,若两条直线和同一平面所成的角相等,则这两条直线可平行、可异面、可相交;

B错,如果到一个平面距离相等的三个点在同一条直线上或在这个平面的两侧,那么经过这三个点的平面与这个平面平行或相交;

C正确,如图,平面α∩β=b,a∥α,a∥β,过直线a作平面ε∩α=c,过直线a作平面γ∩β=d,因为a∥α,所以a∥c,因为a∥β,所以a∥d,所以d∥c,因为c⊂α,d⊄α,所以d∥α,又因为d⊂β,β∩α=b,所以d∥b,所以a∥b;

D错,若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面可平行、可相交,故选C.

7.答案　③

解析　①是假命题,反例:当x=2π+时,tan=,当x=时,tan =1,2π+>,但tan<tan .②是假命题,反例:y=是奇函数,但其图象不过原点.③是真命题,由对数函数的图象及单调性可知.

8.解析　(1)是命题,且是真命题.

(2)是命题,且是假命题.如等比数列-1,-2,-4,-8,…是公比为2的递减数列.

(3)是命题,且是真命题.因为m>,所以Δ=1-4m<0,所以关于x的方程x2-x+m=0无实数根.

9.A　将命题改写成“若p,则q”的形式,“若四边形为正方形,则它的四条边都相等”,所以正确选项为A.

10.C　将命题改写成“若p,则q”的形式后可知C正确.

11.答案　a>0;二元一次不等式x+ay-1≥0表示直线x+ay-1=0右上方的区域(包括边界);真

12.解析　(1)命题可改写为:若两条直线平行于同一平面,则这两条直线互相平行.

因为平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面,所以该命题是假命题.

(2)若一个整数能被5整除,则它的末位数字是5.假命题.

(3)若两个三角形相似,则它们的对应边成比例.真命题.

13.解析　若视A为p,则命题“若p,则q”为“若x>,则x>1”.由命题为真命题可知≥1,解得a≥4;若视B为p,则命题“若p,则q”为“若x>1,则x>”.由命题为真命题可知≤1,解得a≤4.故a取任一实数均可利用A,B构造出一个真命题,比如取a=1,则有真命题“若x>1,则x>”.

14.D　∵x+3≥0,∴A={x|x≥-3}.又∵a∈A是假命题,即a∉A,∴a<-3.

15.C　方程无实根时,应满足Δ=a2-4<0,故a=0时符合题意.

16.解析　由题意知sin x+cos x>m对任意x∈R恒成立,即sin>m对任意x∈R恒成立,∴m<-.又由x2+mx+1>0对任意x∈R恒成立,得Δ=m2-4<0,即-2<m<2.∴-2<m<-.

17.解析　由lg(x2-2x-2)≥0,得x2-2x-2≥1,即x2-2x-3≥0,解得x≤-1或x≥3.

故命题p:x≤-1或x≥3.

又命题q:0<x<4,且命题p为真命题,命题q为假命题,则

所以x≤-1或x≥4.所以满足条件的实数x的取值范围为(-∞,-1]∪[4,+∞).

能力提升练

一、选择题

1.A　“红豆生南国”是陈述句,所述事件在唐代是事实,所以此句是命题,且是真命题;“春来发几枝”是疑问句,“愿君多采撷”是祈使句,“此物最相思”是感叹句,都不是命题.故选A.

2.B　对于①②,α与β还可能相交;易知③④正确.

3.B　 ①错,取向量a=(1,0),b=(2,0),a∥b,但与无意义;

②错,由向量加法的三角形法则得++=0,不为0;

③错,将函数y=f(|x|)的图象向右平移1个单位得到函数y=f(|x-1|)的图象;

④正确,由诱导公式可得cos=sin α;

⑤正确,由已知得S7-S5=a6+a7>0,∴S9-S3=a4+a5+a6+a7+a8+a9=3(a6+a7)>0,

∴S9>S3.故选B.

4.D　A错,取xy<0时,+≥2不成立;

B错,取x=,y=,x>y,但sin<sin;

C错,取x<y<0时,ln x,ln y无意义,ln x<ln y不成立;

D正确,显然z≠0,两边同时除以z2,则x<y成立.

5.B　①∵g(x)的值域为[-a,a],且g(x)在定义域内单调递减,由f(x)的图象可知f[g(x)]在[-a,a]上有3个零点,∴①正确;

②由g(x)的图象可知g(x)在[-a,a]上有1个零点,不妨设为m,且0<m<a,∵f(x)的值域为[-a,a],∴由f(x)的图象可知f(x)=m可能有1,2,3个解,即g[f(x)]=0可能有1,2,3个解,②错误;

③同②,可知f[f(x)]=0最多有九个解,最少有3个解,③错误;

④由g(x)的图象知g(x)在[-a,a]上为单调递减函数,且仅有1个零点,不妨设为n,易知g(x)=n有且仅有1个解,即g[g(x)]=0有且仅有1个解,④正确.

综上,①④正确.

二、解答题

6.解析　(1)命题p为真时,方程m=x2-x在(-1,1)上有解,

当x∈(-1,1)时,x2-x∈,则m∈.

当命题q为真时,令f(x)=x2+(m-3)x+m,则满足f(1)<0,即2m-2<0,所以m<1.

(2)若命题p为真,命题q为假,

则解得1≤m<2.

若命题p为假,命题q为真,

则解得m<-.

所以当命题p与命题q一真一假时,1≤m<2或m<-.

7.解析　若函数y=loga(1-2x)在定义域上单调递增,则0<a<1.

若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对任意实数x恒成立,则a=2或∴-2<a≤2.

∵p,q中只有一个是真命题,

∴p,q一真一假.

当p真q假时,此时无解;

当p假q真时,

∴-2<a≤0或1≤a≤2.

∴实数a的取值范围是(-2,0]∪[1,2].