人教版新课标A选修2-1第二章 圆锥曲线与方程综合与测试课时作业

本章复习提升

易混易错练

易错点1　求轨迹方程时忽略题中的限制条件而致错

1.(★★☆)在平面直角坐标系xOy中,点B与点A(-1,1)关于原点O对称,P是动点,且直线AP与BP的斜率之积等于-.则动点P的轨迹方程为　　　　. 

2.(★★☆)如图,圆E:(x+2)2+y2=4,点F(2,0),动圆P过点F,且与圆E内切于点M,求动圆P的圆心P的轨迹方程.

易错点2　对圆锥曲线的定义理解不清而致错

3.(★★☆)已知双曲线-=1上的点P到(5,0)的距离为15,则点P到点(-5,0)的距离为(　　)

A.7 B.23 C.5或25  D.7或23

4.(★★☆)已知动点P(x,y)满足5=|3x+4y-1|,则点P的轨迹为(　　)

A.直线 B.抛物线  C.双曲线 D.椭圆

易错点3　忽略椭圆或双曲线的焦点位置而致错

5.(★★☆)椭圆+=1的焦距是2,则m的值是(　　)

A.5 B.3或8 C.3或5 D.20

6.(★★☆)已知双曲线-=1的离心率为,则m=　　　　. 

易错点4　忽视判别式对参数的限制而致错

7.(★★☆)已知椭圆C:+y2=1.

(1)求椭圆C的离心率;

(2)已知定点E(-1,0),直线y=kx+2(k≠0)与椭圆交于A,B两点,是否存在实数k,使得以AB为直径的圆过点E?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由.

易错点5　忽视直线的斜率不存在的情况而致错

8.(★★★)已知A(1,0),动点C在圆B:(x+1)2+y2=8上运动.线段AC的中垂线与BC交于点D.

(1)求D点的轨迹E的方程;

(2)设M、N、P三点均在曲线E上,O为坐标原点,且++=0,求|MN|的范围.

易错点6　忽略直线与圆锥曲线位置关系中的特殊情况而致错

9.(★★☆)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),抛物线E:x2=2py的焦点为M.

(1)若过点M的直线l与抛物线C有且只有一个交点,求直线l的方程;

(2)若直线MF与抛物线C交于A,B两点,求△OAB的面积.

思想方法练

一、数形结合思想在圆锥曲线中的应用

1.(★★☆)设点F和直线l分别是双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点和一条渐近线,若F关于直线l的对称点恰好落在双曲线上,则该双曲线的离心率为(　　)

A.2 B. C. D.

2.(★★☆)设F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上任一点,点M的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为　　　. 

3.(★★☆)已知动点P(x,y)在椭圆+=1上,若A点的坐标为(3,0),M为平面内一点,||=1,且·=0,则||的最小值为　　　　. 

4.(★★☆)点P是抛物线y2=8x上的任意一点,F是抛物线的焦点,点M的坐标是(2,3),求|PM|+|PF|的最小值,并求出此时点P的坐标.

二、函数与方程思想在圆锥曲线中的应用

5.(★★☆)若点O和点F(-2,0)分别为双曲线-y2=1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则·的取值范围为(　　)

A.[3-2,+∞) 

B.[3+2,+∞)

C. 

D.

6.(★★☆)以F1(-2,0)、F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个交点,则椭圆的长轴长为(　　)

A.3   B.2 

C.2   D.4

7.(★★☆)已知点E(1,0),椭圆+y2=1上有两个动点P,Q,若EP⊥EQ,则·的最小值为(　　)

A.4 B.3- 

C.    D.1

8.(★★☆)双曲线-=1(b>0)的右焦点F到其中一条渐近线的距离为1,抛物线y2=2px(p>0)的准线过双曲线的左焦点,则抛物线上的动点M到点(5,0)的距离的最小值是　　　　. 

9.(★★★)已知抛物线y2=8x的焦点为F,点P为抛物线上任意一点,点A(-2,0),则的取值范围为　　　　. 

10.(★★★)点A、B分别是椭圆+=1长轴的左、右端点,点F是椭圆的右焦点.点P在椭圆上,且位于x轴的上方,PA⊥PF.

(1)求点P的坐标;

(2)设M是椭圆长轴AB上的点,M到直线AP的距离等于|MB|,求椭圆上的点到点M的距离的最小值.

三、转化与化归思想在圆锥曲线中的应用

11.(2018黑龙江齐齐哈尔联考,★★☆)若抛物线x2=4y上的点P(m,n)到其焦点的距离为5,则n=(　　)

A. B.   C.3  D.4

12.(2019福建莆田六中高二月考,★★☆)设F1,F2为双曲线-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上,且满足∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积为(　　)

A. B.2 C.1 D.

13.(★★☆)已知椭圆C:+=1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1).

(1)求椭圆C的方程;

(2)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P,Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N.若|OM|·|ON|=2,求证:直线l经过定点.

14.(2018云南昆明第一中学月考,★★☆)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,且点A(0,1)在椭圆E上.

(1)求椭圆E的方程;

(2)已知P(0,-2),设点B(x0,y0)(y0≠0且y0≠±1)为椭圆E上一点,点B关于x轴的对称点为C,直线AB,AC分别交x轴于点M,N,证明:∠OPM=∠ONP.(O为坐标原点)

四、分类讨论思想在圆锥曲线中的应用

15.(★★☆)已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点之间的距离为4,则n的取值范围是(　　)

A.(-1,3) B.(-1,)

C.(0,3) D.(0,)

16.(★★☆)已知三个数1,a,9成等比数列,则曲线+=1的离心率为(　　)

A.  B.  C.或  D.或

17.(★★☆)已知双曲线的渐近线方程为y=±x,实轴长为4,则该双曲线的方程为(　　)

A.-=1   B.-=1或-=1

C.-=1   D.-=1或-=1

18.(★★☆)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的一个焦点为(,0),离心率为.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)若动点P(x0,y0)为椭圆C外一点,且过点P的椭圆C的两条切线相互垂直,求点P的轨迹方程.

答案全解全析

易混易错练

1.答案　x2+3y2=4(x≠±1)

解析　因为点B与点A(-1,1)关于原点O对称,所以点B的坐标为(1,-1).设点P的坐标为(x,y),易知直线AP与BP的斜率均存在,所以x≠±1,由题意得·=-,化简得x2+3y2=4(x≠±1).

2.解析　由已知,得圆E的半径r=2,设圆P的半径为R,

则|PF|=|PM|=R,|ME|=r=2,|PE|=|PM|-|ME|=R-2,

所以|PF|-|PE|=2,

又易知|PF|-|PE|<|EF|=4,所以由双曲线的定义知,P的轨迹为双曲线的左支,

易知a=1,c=2,

所以b=,

故所求轨迹方程为x2-=1(x≤-1).

3.D　双曲线的左、右焦点分别为F1(-5,0),F2(5,0),则由双曲线的定义知,||PF1|-|PF2||=2a=8,又|PF2|=15,所以|PF1|=7或23.故选D.

4.B　把已知等式化为=,由于点(1,2)不在直线3x+4y-1=0上,所以点P的轨迹为抛物线.

5.C　因为2c=2,所以c=1,所以m-4=1或4-m=1,所以m=5或m=3.故选C.

6.答案　2或-5

解析　当双曲线的焦点在x轴上时,a2=m+2,b2=m+1,

c2=a2+b2=3+2m,又双曲线的离心率为,所以=,所以m=2.

当双曲线的焦点在y轴上时,a2=-m-1,b2=-m-2,可得c2=a2+b2=-3-2m,所以=,所以m=-5.

综上,m=2或m=-5.

7.解析　(1)由题意知a2=3,b2=1,则a=,c==,

所以椭圆C的离心率为==.

(2)假设存在实数k满足条件,由得(1+3k2)x2+12kx+9=0,

因为直线与椭圆有两个交点,

所以Δ=(12k)2-36(1+3k2)>0,即k>1或k<-1.

设A(x1,y1),B(x2,y2),

则①

所以y1·y2=(kx1+2)(kx2+2)

=k2x1x2+2k(x1+x2)+4.

若以AB为直径的圆过点E(-1,0),则AE⊥BE,

即·=0,即y1y2+(x1+1)(x2+1)=0,

所以(k2+1)x1x2+(2k+1)(x1+x2)+5=0.②

将①代入②,

解得k=>1,满足题意.

综上,存在k=,使得以AB为直径的圆过点E.

8.解析　(1)由题意得|BD|+|DA|=|BD|+|DC|=|BC|=2(2>|AB|=2),

∴点D的轨迹是以A、B为焦点的椭圆.

易知a2=2,c2=1,∴b2=1,∴点D的轨迹E的方程为+y2=1.

(2)当直线MN的斜率存在时,设其方程为y=kx+m,

由得(1+2k2)x2+4mkx+2m2-2=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),

则x1+x2=-,x1·x2=.

由++=0,

得xp=-(x1+x2)=,yp=-(y1+y2)=-k(x1+x2)-2m=,

∵(xp,yp)在椭圆上,∴+=1,即4m2=1+2k2,

∴|MN|=|x1-x2|=·=·=·∈(,].

当MN斜率不存在时,易求得|MN|=,

∴|MN|的范围是[,].

9.解析　(1)∵抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(1,0),抛物线E:x2=2py的焦点为M,∴p=2,M(0,1).∴抛物线C:y2=4x.

若直线l的斜率不存在,则l的方程为x=0,满足题意.

若直线l的斜率存在,设其方程为y=kx+1,代入y2=4x,

得k2x2+(2k-4)x+1=0.

当k=0时,x=,满足题意,此时方程为y=1.

当k≠0时,Δ=(2k-4)2-4k2=0,解得k=1,此时方程为y=x+1.

综上,直线l的方程为x=0或y=1或y=x+1.

(2)直线MF的方程为y=-x+1,代入y2=4x,得y2+4y-4=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=-4,y1y2=-4.

∴△OAB的面积S=|OF||y1-y2|=×1×=2.

思想方法练

1.C　如图所示,设双曲线的左焦点为E,右焦点为F,l为一条渐近线,F关于直线l的对称点设为P,连接PE,PF.

设直线l与线段PF的交点为A,因为点P与F关于直线l对称,

所以l⊥PF,且A为PF的中点,所以|AF|=b,|OA|=a,|PE|=2|AO|=2a,

根据双曲线的定义,有|PF|-|PE|=2a,则2b-2a=2a,即b=2a,

所以e===,故选C.

2.答案　15

解析　如图所示.

由+=1,可得a=5,b=4,c==3,所以F1(-3,0),F2(3,0),

由椭圆的定义可得|PF1|+|PF2|=2a=10,

所以|PM|+|PF1|=|PM|+2a-|PF2|=10+(|PM|-|PF2|)≤10+|MF2|=10+=15,当且仅当P、M、F2三点共线,且P、M在F2异侧时取等号.

故|PM|+|PF1|的最大值为15.

3.答案　

解析　由||=1,A(3,0),知点M在以A(3,0)为圆心,1为半径的圆上运动.

∵·=0且点P在椭圆上运动,∴PM⊥AM,即PM为圆A的切线,连接PA(如图),

 则||=,∴当||=a-c=5-3=2时,||取得最小值,最小值为.

4.解析　抛物线y2=8x的准线方程是x=-2,那么点P到焦点F的距离等于它到准线x=-2的距离,过点P作PD垂直于准线x=-2,垂足为D,那么|PM|+|PF|=|PM|+|PD|.

如图所示,当M,P,D三点共线时,

|PM|+|PD|的值最小,且最小值为|MD|=2-(-2)=4,

所以|PM|+|PF|的最小值是4.

此时点P的纵坐标为3,所以其横坐标为,即点P的坐标是.

5.B　因为双曲线左焦点的坐标为F(-2,0),

所以c=2.

所以c2=a2+b2=a2+1,

即4=a2+1,解得a=.

设P(x,y),则·=x(x+2)+y2,

因为点P在双曲线-y2=1上,

所以·=x2+2x-1=-.

又因为点P在双曲线的右支上,所以x≥.

所以当x=时,·最小,最小值为3+2,

即·的取值范围是[3+2,+∞).

6.C　设椭圆方程为mx2+ny2=1(n>m>0),

由消去x得

(3m+n)y2+8my+16m-1=0,因为椭圆与直线有且仅有一个交点,

所以Δ=192m2-4(16m-1)(3m+n)=0,

整理得3m+n=16mn,

即+=16.①

又c=2,∴-=4,②

由①②解得m=,n=,

∴椭圆的长轴长为2.

7.C　由题意得·=·(-)=-·=.

设P(x,y),则=(x-1,y),

∴=(x-1)2+y2=(x-1)2+1-=+,

又-2≤x≤2,∴当x=时,取得最小值.故选C.

8.答案　2

解析　双曲线-=1(b>0)的一条渐近线为bx-y=0(b>0),右焦点F(c,0),由题意,得=1,

又∵c2=3+b2,∴b=1,c=2.

∴双曲线的左焦点为(-2,0),

∵抛物线的准线过双曲线的左焦点,

∴p=4,

∴抛物线的方程为y2=8x,则动点M(x,y)到点(5,0)的距离为==≥2.

∴抛物线上的动点M到点(5,0)的距离的最小值为2.

9.答案　[1,]

解析　设P(x,y),由抛物线的定义,可得|PF|=x+2.

又|PA|==,

∴==.

当x=0时,=1;

当x>0时,=

=,

∵x+≥2=4,当且仅当x=,即x=2时取等号,

∴x++4≥8,∴0<≤1.

∴∈(1,].

综上所述,的取值范围是[1,].

10.解析　(1)由已知可得A(-6,0)、F(4,0),设点P的坐标为(x,y),

则=(x+6,y),=(x-4,y),

由已知得

消去y得,2x2+9x-18=0,

∴x=或x=-6.

当x=-6时,y=0,当x=时,y=.

由于y>0,所以x=-6不合题意,所以x=,y=.

∴点P的坐标是.

(2)直线AP的方程是x-y+6=0,设点M的坐标为(m,0),则M到直线AP的距离是,于是=|m-6|,又-6<m<6,解得m=2,则M(2,0).

设椭圆上的点(x,y)到点M的距离为d,

∴d2=(x-2)2+y2=+15,

∵-6≤x≤6,∴当x=时,d取最小值.

11.D　抛物线x2=4y的准线方程为y=-1.

根据抛物线的定义可知5=n+1,解得n=4.故选D.

12.C　因为F1,F2为双曲线-y2=1的两个焦点,且c2=4+1=5,

所以|F1F2|=2.

由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2a=4,

所以|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|=16,

因为∠F1PF2=90°,

所以在Rt△F1PF2中,|PF1|2+|PF2|2=20,

所以|PF1|·|PF2|=2,

所以△F1PF2的面积为|PF1|·|PF2|=1.故选C.

13.解析　(1)由题意得,b2=1,c=1,

所以a2=b2+c2=2.

所以椭圆C的方程为+y2=1.

(2)证明:设P(x1,y1),Q(x2,y2),

则直线AP的方程为y=x+1.

令y=0,得点M的横坐标xM=-.

又y1=kx1+t,从而|OM|=|xM|=.

同理,|ON|=.

由得(1+2k2)x2+4ktx+2t2-2=0,

则x1+x2=-,x1x2=.

所以|OM|·|ON|

=·

=

=

=2.

又|OM|·|ON|=2,所以2=2.解得t=0,所以直线l经过定点(0,0).

14.解析　(1)由已知得b=1,=,

又∵a2=b2+c2,∴a2=4.

∴椭圆E的方程为+y2=1.

(2)证明:∵点B关于x轴的对称点为C,

∴C(x0,-y0),

∴直线AC的方程为y=-x+1.

令y=0,得N.

直线AB的方程为y=x+1,

令y=0,得M.

∴|ON|·|OM|=·=.

∵点B(x0,y0)在椭圆+y2=1上,

∴+=1,即=4,

∴|OM|·|ON|=4=|OP|2,即=,又∠POM=∠NOP,

∴Rt△OPM∽Rt△ONP,

∴∠OPM=∠ONP.

15.A　若双曲线的焦点在x轴上,则

又∵(m2+n)+(3m2-n)=4,∴m2=1,

∴∴-1<n<3.

若双曲线的焦点在y轴上,则双曲线的标准方程为-=1,即

即n>3m2,且n<-m2,此时n不存在.

综上,-1<n<3.故选A.

16.D　∵三个数1,a,9成等比数列,∴a2=9,则a=±3.

当a=3时,曲线方程为+=1,表示椭圆,其长半轴长为,半焦距为1,离心率为;当a=-3时,曲线方程为-=1,表示双曲线,实半轴长为,半焦距为,离心率为=.故选D.

17.D　∵双曲线的实轴长为4,

∴2a=4,则a=2.

当双曲线的焦点在x轴上时,设双曲线方程为-=1,b>0,

又双曲线的渐近线方程为y=±x,

∴=,解得b=,

∴双曲线方程为-=1.

当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线方程为-=1,b>0,

又双曲线的渐近线方程为y=±x,

∴=,解得b=2,

即双曲线的方程为-=1.故选D.

18.解析　(1)由题意得c=,

∵e==,∴a=3,

∴b==2,

∴椭圆C的标准方程为+=1.

(2)当过P点的两条切线的斜率均存在时,不妨设为k1,k2.

过P点的椭圆的切线方程可设为y-y0=k(x-x0)⇒y=kx+y0-kx0,

由消去y,

得(4+9k2)x2+18k(y0-kx0)x+9[(y0-kx0)2-4]=0,

令Δ=[18k(y0-kx0)]2-4(4+9k2)×9[(y0-kx0)2-4]=0,

整理,得(9-)k2+2x0y0k-+4=0,

∴k1k2=(x0≠±3),

由已知得k1k2=-1,∴=-1,

∴+=13,即此时点P的轨迹方程为+=13(x0≠±3).

当两条切线中有一条垂直于x轴时,两条切线方程应分别为x=3,y=2或x=-3,y=2或x=3,y=-2或x=-3,y=-2,P点坐标为(3,2)或(-3,2)或(3,-2)或(-3,-2),均满足方程+=13.

综上所述,P点的轨迹方程为+=13.