高中第二章 随机变量及其分布综合与测试当堂达标检测题

本章复习提升

易混易错练

易错点1　不能正确列出随机变量的所有可能取值致误

1.(★★☆)袋中有大小相同的5个球,分别标有1,2,3,4,5五个号码,现在在有放回抽取的条件下依次取出2个球,设2个球号码之和为随机变量ξ,则ξ的所有可能取值的个数是(　　)

A.5 B.9

C.10 D.25

2.(★★☆)从装有2个红球和6个白球(球除颜色外,其余完全相同)的袋子中,每次不放回地摸出2个球作为一次试验,直到摸出的球中有红球时试验结束.

(1)求第一次试验恰好摸到1个红球和1个白球的概率;

(2)记试验次数为X,求X的分布列.

易错点2　对条件概率问题理解不清,不能正确应用公式致误

3.(★★☆)4个高尔夫球中有3个合格、1个不合格,每次任取一个,不放回地取两次.若第一次取到合格的高尔夫球,则第二次取到合格的高尔夫球的概率为(　　)

A.   B.

C.   D.

4.(2019四川攀枝花高二上学期期末,★★☆)一个布袋中装有若干个除颜色外完全相同的黑色、白色的小球,从中任意取出一个小球是白球的概率为,连续取出两个小球都是白球的概率为,若某次取出的小球是白球,则随后一次取出的小球为白球的概率为(　　)

A.   B.  C.  D.

易错点3　不能正确区分超几何分布和二项分布致误

5.(2019辽宁省实验中学高一期中,★★☆)有8名学生,其中有5名男生,从中选出4名作为学生代表,记选出的代表中男生人数为X,求X的分布列及数学期望.

6.(★★☆)为了检验训练情况,武警某支队于近期举办了一场展示活动,其中男队员12人,女队员18人,测试结果如茎叶图所示(单位:分),其中成绩不低于175分的队员将授予“优秀警员”称号,其他队员则给予“优秀陪练员”称号.

(1)用分层抽样的方法从“优秀警员”和“优秀陪练员”中共选取10人,然后从这10人中选出4人,其中至少有1人是“优秀警员”的概率是多少?

(2)若从所有“优秀警员”中选出3名代表,用ξ表示所选代表中女“优秀警员”的人数,试求ξ的分布列和数学期望.

易错点4　混淆数学期望和方差的性质致误

7.(★★☆)已知随机变量ξ服从正态分布N(3,4),则E(2ξ+1)与D(2ξ+1)的值分别为(　　)

A.13,4  B.13,8   C.7,8    D.7,16

思想方法练

一、函数与方程思想在离散型随机变量中的应用

1.(2019江苏南京六校联合体高二下学期期末,★★☆)已知乒乓球比赛采用“三局两胜”制,任一局甲胜的概率都是p(0<p<1),若甲最终赢得比赛的概率是q,则q-p的最大值为　　　　. 

2.(★★☆)某有机水果种植基地种植的某水果在售卖前要成箱包装,每箱80个,每一箱水果在交付顾客之前要按约定对水果进行检验,若检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这一箱水果中任取10个进行检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有水果进行检验.设每个水果为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各个水果的检验结果相互独立.

(1)记10个水果中恰有2个不合格品的概率为f(p),求f(p)取最大值时p的值p0;

(2)现对一箱水果检验了10个,结果恰有2个不合格,以(1)中确定的p0为p的值.已知每个水果的检验费用为1.5元,若有不合格水果进入顾客手中,则种植基地要对每个不合格水果支付a元的赔偿费用(a∈N*).

(i)若不对该箱余下的水果进行检验,这一箱水果的检验费用与赔偿费用的和记为X,求E(X);

(ii)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,试判断当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为多少元时,将促使种植基地对这箱余下的所有水果进行检验?

3.(★★☆)一个布袋中有2个白球和n个红球(n≥2,且n∈N*),每次从袋中摸出2个球(每次摸球后把这2个球放回袋中),若摸出的2个球颜色相同则为中奖,否则为不中奖.

(1)试用含n的代数式表示摸一次球中奖的概率;

(2)若n=3,求摸三次球恰有一次中奖的概率;

(3)记摸三次球时恰有一次中奖的概率为f(p),当n为何值时,f(p)取得最大值?

二、分类讨论思想在离散型随机变量中的应用

4.(★★☆)某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间相互独立,且都是整分钟数,对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:

用频率估计概率,且从第一个顾客开始办理业务时计时.

(1)估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率;

(2)用X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数,求X的分布列及数学期望.

5.(2019河北唐山高二期中,★★☆)甲、乙两个人进行射击训练,甲射击一次中靶概率是,乙射击一次中靶概率是.

(1)两人各射击一次,中靶至少一次就算完成目标,则完成目标的概率是多少?

(2)两人各射击两次,中靶至少三次就算完成目标,则完成目标的概率是多少?

三、数形结合思想在正态分布中的应用

6.(★★☆)如图为某地成年男性体重X所服从的正态曲线,请写出其正态分布密度函数,并求P(|X-72|<20).

答案全解全析

易混易错练

1.B　号码之和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10,共9个.故选B.

2.解析　(1)记“第一次试验恰好摸到1个红球和1个白球”为事件A,则P(A)==.

(2)由题意知,X的所有可能取值为1,2,3,4,则P(X=1)==,

P(X=2)=×=,

P(X=3)=××=,

P(X=4)=××=,

所以X的分布列为

3.B　解法一:记事件A={第一次取到的是合格的高尔夫球},

事件B={第二次取到的是合格的高尔夫球}.由题意可得P(AB)==,P(A)=,所以P(B|A)===.故选B.

解法二:记事件A={第一次取到的是合格的高尔夫球},事件B={第二次取到的是合格的高尔夫球}.由题意可得在事件A发生的条件下,事件B发生所包含的基本事件数n(AB)=3×2=6,事件A发生所包含的基本事件数n(A)=3×3=9,所以P(B|A)===.故选B.

4.B　设“第一次取得白球”为事件A,“第二次取得白球”为事件B,“连续取出两个小球都是白球”为事件AB,则P(A)=,P(AB)=,事件“某次取出的小球是白球,则随后一次取出的小球为白球”的概率为P(B|A)===,故选B.

5.解析　随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4,易知P(X=k)=(k=1,2,3,4),

所以随机变量X的分布列为

随机变量X的数学期望E(X)=1×+2×+3×+4×=.

6.解析　(1)由题中茎叶图可知,该支队共有“优秀警员”12人,“优秀陪练员”18人,

用分层抽样的方法从中选取10人,抽样比为12∶18=2∶3,

所以选出的人中“优秀警员”有4人,“优秀陪练员”有6人.

用事件A表示从这10人中选出4人,其中“至少有1人是‘优秀警员’”,

则P(A)=1-=1-=.

因此,从这10人中选出4人,其中至少有1人是“优秀警员”的概率是.

(2)依题意,ξ的所有可能取值为0,1,2,3.

P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,

P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,

因此ξ的分布列为

∴E(ξ)=0×+1×+2×+3×=1.

7.D　由已知得E(ξ)=3,D(ξ)=4,故E(2ξ+1)=2E(ξ)+1=7,D(2ξ+1)=4D(ξ)=16.

思想方法练

1.答案　

解析　采用“三局两胜”制,则甲在下列两种情况下获胜:甲前两局胜;前两局甲一胜一负,第三局甲胜.记甲前两局胜为事件A1,前两局甲一胜一负,第三局甲胜为事件A2,则

P(A1)=p2,P(A2)=×p×(1-p)×p=2p2(1-p).

因为A1与A2互斥,所以甲胜的概率为q=P(A1)+P(A2)=p2+2p2(1-p),则q-p=p2+2p2(1-p)-p.设y=p2+2p2(1-p)-p=-2p3+3p2-p,则y'=-6p2+6p-1.

令y'=0,解得p=或p=.

易求函数y=-2p3+3p2-p在和上单调递减,在上单调递增,故函数在p=处取得极大值,也是最大值,最大值为y=-2×+3×-=.故答案为.

2.解析　(1)10个水果中恰有2个不合格品的概率为f(p),则f(p)=p2(1-p)8,

∴f '(p)=[2p(1-p)8-8p2(1-p)7]=90p(1-p)7(1-5p),令f '(p)=0,∵0<p<1,∴p=0.2.

当p∈(0,0.2)时,f '(p)>0;当p∈(0.2,1)时,f '(p)<0,∴p=0.2为f(p)的极大值点,也是最大值点,即f(p)取最大值时p的值p0=0.2.

(2)由(1)知p=0.2.

(i)令Y表示余下的70个水果中的不合格水果的个数,依题意知Y~B(70,0.2),X=10×1.5+aY=15+aY.

∴E(X)=E(15+aY)=15+aE(Y)=15+70×0.2a=15+14a.

(ii)如果对余下的水果进行检验,则这一箱水果所需要的检验费为120元,

令15+14a>120,得a>=7.5,又a∈N*,

∴当种植基地要对每个不合格水果支付的赔偿费用至少为8元时,将促使种植基地对这箱余下的所有水果进行检验.

3.解析　(1)摸一次球时从(n+2)个球中任选2个,有种选法,其中2个球颜色相同有(+)种选法,因此摸一次球中奖的概率为=.

(2)若n=3,则摸一次球中奖的概率为,摸三次球相当于做了3次独立重复试验,则摸三次球时恰有一次中奖的概率为××=.

(3)设摸一次球中奖的概率是p,则摸三次球恰有一次中奖的概率为f(p)=×p×(1-p)2=3p3-6p2+3p,0<p<1,

∵f '(p)=9p2-12p+3=3(p-1)(3p-1),

∴f(p)在上是增函数,在上是减函数,

∴当p=时,f(p)取得最大值,∴p==(n≥2,n∈N*),

解得n=2或n=1(舍去),故当n=2时,摸三次球恰有一次中奖的概率最大.

4.解析　设Y表示顾客办理业务所需的时间,用频率估计概率,得Y的分布列如下:

 (1)记“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”为事件A,则事件A对应三种情形:

①第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟;

②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟,且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟;

③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟.

所以P(A)=P(Y=1)P(Y=3)+P(Y=3)·P(Y=1)+P(Y=2)P(Y=2)=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22.

(2)X的所有可能的取值为0,1,2.

X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟,

所以P(X=0)=P(Y>2)=0.5;

X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需的时间超过1分钟,或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟,

所以P(X=1)=P(Y=1)P(Y>1)+P(Y=2)=0.1×0.9+0.4=0.49;

X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟,

所以P(X=2)=P(Y=1)P(Y=1)=0.1×0.1=0.01.

所以X的分布列为

数学期望E(X)=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51.

5.解析　(1)完成目标共分三种情况:乙中甲不中,概率为×=;甲中乙不中,概率为×=;甲、乙全中,概率为×=.

因此,所求概率是++=.

(2)分以下两类情况:

共击中3次,概率为××××+×××××=;

共击中4次,概率为××××=.

因此,所求概率为+=.

6. 解析　由题图可知μ=72,σ=10,故y=,x∈(-∞,

+∞),P(|X-72|<20)=P(|X-μ|<2σ)=P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈

0.954 5.