人教A版 (2019)必修 第一册1.4 充分条件与必要条件精品学案

　第一章 集合与常用逻辑用语

1.4.2充要条件

【课程标准】

1.理解充要条件概念．

2.结合具体问题，利用集合等知识，学会判断充要条件.

【知识要点归纳】

1．充要条件

一般地，如果既有p⇒q，又有q⇒p 就记作      .

此时，我们说，p是q的            ，简称           .显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.

概括地说，如果p⇔q，那么p与q             .

2.四种条件

3.总结判断充分必要的条件的方法 

（1）定义法

（2）集合法

【经典例题】

例1.下列各题中，p是q的什么条件（“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”）

例2   “x＝1”是“x2－2x＋1＝0”的(　　)

A.充要条件    B.充分而不必要条件

C.必要而不充分条件   D.既不充分也不必要条件

例3 已知ab≠0，求证：a＋b＝1是a3＋b3＋ab－a2－b2＝0的充要条件．

注意：从充分性、必要性两方面证明．

例3  求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件．

[跟踪训练] 已知方程x2＋(2k－1)x＋k2＝0，求使方程有两个大于1的实数根的充要条件．

【当堂检测】

一．选择题（共4小题）

1．设，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

2．使不等式成立的一个充分不必要条件是　　

A． B． C． D．

3．“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

4．不等式成立的一个必要不充分条件是　　

A． B．， 

C．，， D．，，

二．填空题（共2小题）

5．已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为　　．

6．下列说法中是的必要条件的是　　．

①：“”， ：“”；

②设，是实数，：“”， ：“”．

三．解答题（共1小题）

7．已知，．

（1）若，求；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

当堂检测答案

一．选择题（共4小题）

1．设，则“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】由解得范围，结合充分必要条件的定义，即可判断出结论．

【解答】解：，，

推不出，

，

是的必要不充分条件，

即是的必要不充分条件，

故选：．

【点评】本题考查了充分必要条件，考查解不等式问题，属于基础题．

2．使不等式成立的一个充分不必要条件是　　

A． B． C． D．

【分析】解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件．

【解答】解：不等式，

，解得，

故不等式的解集为：，

则其一个充分不必要条件可以是，

故选：．

【点评】本题考查了充分、必要条件的判断与应用，属于基础题．

3．“”是“”的　　

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

【分析】根据必要条件和充分条件的定义即可判断．

【解答】解：由“”不能推出“”，由“”能推出“”，

故“”是“”的必要不充分条件，

故选：．

【点评】本题考查了充分条件和必要条件，属于基础题．

4．不等式成立的一个必要不充分条件是　　

A． B．， 

C．，， D．，，

【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可．

【解答】解：由不等式，解得或，即不等式的解集为，，，

则不等式成立的一个必要不充分条件是，，，

故选：．

【点评】本题考查了不等式的性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

二．填空题（共2小题）

5．已知，，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为　，　．

【分析】根据是的必要不充分条件便得到，解该不等式组即得的取值范围．

【解答】解：，；

是的必要不充分条件；

即由能得到，而得不到；

，解得；

的取值范围是，．

故答案为：，．

【点评】考查解一元二次不等式，以及必要条件，充分条件，必要不充分条件的概念，属于基础题．

6．下列说法中是的必要条件的是　①　．

①：“”， ：“”；

②设，是实数，：“”， ：“”．

【分析】①：“”，即，由，即可判断出结论；

②由已知可得：与相互推不出，即可判断出结论．

【解答】解：①：“”，即，由，因此是的必要条件；

②设，是实数，：“”， ：“”．可得：与相互推不出，因此不是的必要条件．

故答案为：①．

【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．

三．解答题（共1小题）

7．已知，．

（1）若，求；

（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．

【分析】（1）分别解出不等式，，利用交集运算性质可得：．

（2）根据是的充分不必要条件，可得是的真子集，进而得出结论．

【解答】解：（1）由题意得，，，（2分）

时，或，（4分）

或．（5分）

（2）或，

是的充分不必要条件

所以是的真子集，（8分）

所以，或，

所以，或．（10分）

【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、方程与不等式的解法、集合运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．