福建省莆田市重点中学2020-2021学年高一上学期期中考试——数学试题含答案

2020—2021学年度第一学期期中试卷

      高 一 数 学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1、设集合，，，若，则的值为　　

A．          B．            C．1             D．0

2、函数的定义域为，则实数的取值范围是　　

A．，        B．，        C．，        D．

3、函数的值域是　　

A．， B．，       C．，        D．，

4、已知函数，那么的值为（    ）

A．32 B．16             C．8                D．64

5．设a＝30.1，b＝lg 5－lg 2，c＝log3，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a＜b＜c    B．a＜c＜b  C．c＜b＜a      D．c＜a＜b

6．已知f (x)＝│x│，g (x)＝x2，设则h(x)大致图象是（  ）

A．     B．       C．      D．

7、若f（x）是偶函数且在（0，+∞）上减函数，又f（﹣3）＝1，则不等式f（x）＜1的解集为（　　）

A．{x|x＞3或﹣3＜x＜0} B．{x|x＜﹣3或0＜x＜3} 

C．{x|x＜﹣3或x＞3} D．{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}

8、设是定义在上的奇函数,且当时,,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是(    )

A．      B．        C．       D．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．

9．已知关于x的不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为(－∞，－2)∪(4，＋∞)，则(　    )

A．a＞0                 B．不等式bx＋c＞0的解集为{x│x＜－4}

C．a＋b＋c＞0            D．不等式cx2－bx＋a＜0的解集为{x│或}

10．水滴进玻璃容器，如图所示(设单位时间内进水量相同)，那么水的高度是如何随时间变化的？下列匹配的图象与容器符合实际的有(　   　)

            Ⅰ              Ⅱ            Ⅲ         Ⅴ

(1)                (2)            (3)            (4)

A．Ⅰ—(2)     B．Ⅱ—(1)     C．Ⅲ—(3)    D．Ⅴ—(4)

11．给出下列四个结论，其中正确的结论是(　  　)

A．函数y＝的最大值为

B．已知函数y＝loga(2－ax)在(0,1)上是减函数，则a的取值范围是(1, 2)

C．已知定义在R上的奇函数f(x)在(－∞，0)内有1 010个零点，则函数f(x)的零点个数为2 021

D．已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(x＋5)是偶函数，则f(2 000)＋f(2 010)＋f(2 020)＝0

12．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数，例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f(x)＝－，则关于函数g(x)＝[f(x)]的叙述中正确的是(　  　)

A．g(x)是偶函数          B．f(x)是奇函数

C．f(x)在R上是增函数    D．g(x)的值域是{－1, 0, 1}

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13．命题,则为                           ．

14．某公司为了业务发展制订了一个激励销售人员的奖励方案：销售额x为8万元时，奖励1万元；销售额x为64万元时，奖励4万元．若公司拟定的奖励方案模型为y＝alog4x＋b.某业务员要得到8万元奖励，则他的销售额应为________万元．

15．已知a  1, 设函数的零点为m，的零点为n，则mn的最大值为           ．

16．若函数满足以下三个条件：①的定义域是，且其图象是一条连续不断的曲线；②是偶函数；③恰有3个零点．请写出一个满足上述条件的函数           ．

四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

17．（本题满分10分）

求值：（1）+＋＋lg 50＋lg 2；

（2）已知 求的值．

18．（本题满分12分）

已知集合A＝{x│2＜x＜4}，B＝{x│x2－4ax＋3a2＜0}．

（1）若a＝1，求()∩A；

（2）若a＞0，设命题p：x∈A，命题q：x∈B．已知p是q的必要不充分条件，求实数a的取值围．

19．（本题满分12分）

已知x＞0，y＞0，且．

（1）求x＋y的最小值；

（2）若xy＞m2＋6m恒成立，求实数m的取值范围．

20．（本题满分12分）

习近平总书记在十九大报告中指出，“要着力解决突出环境问题，持续实施大气污染防治行动”．为落实好这一精神，市环保局规定某工厂产生的废气必须过滤后才能排放．已知在过滤过程中，废气中的污染物含量P(单位：毫克/升)与过滤时间t(单位：小时)之间的函数关系式为P(t)＝P0(e为自然对数的底数，P0为污染物的初始含量)．过滤1小时后检测，发现污染物的含量为原来的.

(1)求函数P(t)的关系式；

(2)要使污染物的含量不超过初始值的，至少还需过滤几小时？(参考：lg 2≈0.3)

21．（本题满分12分）

已知函数f(x)＝log4(4x＋1)＋kx (k∈R)是偶函数．

（1）求k的值；

（2）若函数h(x)＝＋m·2x－1，x∈[0，log23]，是否存在实数m使得h(x)的最小值为0？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

22．（本题满分12分）

已知函数（是常数）．

（1）若，求函数的值域；

（2）设函数，若对任意，，，以，，为边长总可以构成三角形，求的取值范围．

2020—2021学年度第一学期期中试卷参考答案

1—8  AACCC   DCA   9.ABD   10.AD   11.CD   12.BC

13．   14.1024   15.    16.

17．解：(1)+＋＋lg 50＋lg 2＝2＋3＋lg 100＝2＋3＋2＝7.

(2)由2a＝3，得a＝log23，又由4b＝6，即22b＝6，得2b＝log26，

所以2b－a＝log26－log23＝log22＝1.

18．解：（1）a＝1时，B＝(1，3)，

则＝(－∞，1]∪[3，＋∞)

所以()∩A＝[3，4)．

（2）a＞0时，B＝(a，3a)．

因为命题p是命题q的必要不充分条件，则，

所以解得，

所以实数a的取值范围为[，2]．

19．解：（1）因为x＞0，y＞0，

所以，

当且仅当，即x＝3，y＝6时取等号，

所以x＋y的最小值为9．

（2）因为x＞0，y＞0，

所以，

所以xy≥16．

又因为xy＞m2＋6m恒成立，

所以16＞m2＋6m，解得－8＜m＜2，

所以m的取值范围为(－8，2)．

20．解析：(1)根据题意，得P0＝P0ek，

解得ek＝，∴P(t)＝P0.

(2)由P(t)＝P0≤P0，

得≤，

两边取以10为底的对数，并整理，

得t(2lg 2－lg5)≤-3，又lg5=1-lg 2

∴t(3lg 2－1)≤-3，即t(1－3lg 2)≥3，

∴t≥30.

因此，至少还需过滤30小时．

21．解：(1)由题意得，函数f(x)的定义域为R.

∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)恒成立，

即log4(4－x＋1)－kx＝log4(4x＋1)＋kx恒成立，

∴2kx＝log4(4－x＋1)－log4(4x＋1)＝log4=log44－x，

∴2kx＝－x，∴2k＝－1，即k＝－.

(2)存在．由题意知h(x)＝4x＋m×2x，x∈[0，log23]．

令t＝2x，则φ(t)＝t2＋mt＝－，t∈[1,3]．

又φ(t)的图象开口向上，

∴当－≤1，即m≥－2时，φ(t)min＝φ(1)＝1＋m＝0，解得m＝－1；

当1<－< 3，即－6<m<－2时，

φ(t)min＝φ＝－＝0，解得m＝0(舍去)；

当－≥3，即m≤－6时，φ(t)min＝φ(3)＝9＋3m＝0，解得m＝－3(舍去)．

∴存在m＝－1使得h(x)的最小值为0.

22．解：（1）由题意可得，即，整理可得，

因，则，即，解得，

故函数的值域为.

（2）由题意得，，，

令，，则，，其对称轴为，

①当，即时，此时在单调递减，

所以，即，

解得或，

此时；

②当，即时，此时在上单调递减，在上单调递增，

所以，即，无解；

③当，即时，此时在上单调递减，在上单调递增，

所以，即，无解；

④当，即时，此时在单调递增，

所以，即，解得或，

此时；

综上所述，此时实数的取值范围为.